IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1.Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
Định lý
Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝). Nếu 𝑛 ≫ 0, 𝑝 ≈ 0 thì ta có thể xấp xỉ X bởi quy luật Poisson với 𝜆 = 𝑛𝑝 (𝑋 ≈ 𝑃(𝑛𝑝))
Ví dụ
Xác suất để làm ra một đinh ốc không đúng quy cách là 0,015. Người ta xếp mỗi hộp gồm 100 chiếc đinh ốc. a. Tính tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc đúng quy cách
b. Cần phải xếp mỗi hộp tối thiểu bao nhiêu chiếc đinh ốc để tỉ lệ mỗi hộp chứa ít nhất 100 đinh ốc đúng quy cách tối thiểu là 80%.
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
Giải
a, Gọi X là số đinh ốc không đúng quy cách trong một hộp thì X ~ B(n; p) với n = 100 và p = 0,015
𝑃 𝑋 = 0 = 𝐶1000 0,0150. 0,985100 = 0,985100 = 0,22061
Hoặc ta có thể xấp xỉ X bởi qui luật Poisson với λ = np = 1,5 nên
𝑃 𝑋 = 0 ≈ 𝑒−1,5 = 0,22313
Như vậy, tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc đúng quy cách xấp xỉ 22%.
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
b. Gọi số đinh ốc xếp vào mỗi hộp là n = 100 + k và X là số đinh ốc không đúng quy cách trong một hộp thì X ~
B(n; p) với n = 100 + k và p = 0,015
Để mỗi hộp chứa ít nhất 100 đinh ốc đúng quy cách thì số đinh ốc không đúng quy cách phải không lớn hơn k, tức là 𝑋 ≤ 𝑘. Vậy
𝑃 𝑋 ≤ 𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑖)
𝑘
𝑖=0
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
Do ta xấp xỉ X bởi quy luật Poisson với λ = np = (100 + k)0,015 ≈1,5 (k rất nhỏ) nên 𝑃 𝑋 = 𝑖 = 𝑒−1,5 1,5 𝑖 𝑖! Suy ra 𝑃 𝑋 ≤ 𝑘 = 𝑒−1,5 1,5 𝑖 𝑖! 𝑘 𝑖=0 = 𝑒−1,5 1,5 𝑖 𝑖! 𝑘 𝑖=0 ≥ 0.8
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC
1. Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson
Với k = 2 ta có 𝑃 𝑋 ≤ 2 = 𝑒−1,5 1,5 𝑖 𝑖! 2 𝑖=0 = 0,8022
Vậy ta cần xếp mỗi hộp 102 chiếc đinh ốc để xác suất trong hộp có ít nhất 100 chiếc đinh ốc đúng quy cách là 80,22 %.
IV. XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC