Bài giảng xác suất thống kê chương 5 các phân phối sác xuất thông kê thông dụng nguyễn ngọc phụng

Các phân phối xác suất thông dụng Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Định nghóa (Normal Distribution) Bnn X có phân phối chuẩn, kí hiệu X ∼ N(µ; σ ), có hàm mđxs (x − µ)2 − 2σ f(x, µ, σ) = √ e σ 2π X(Ω) = R ModX = MedX = EX = µ VarX = σ Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ: Đồ thị minh họa cho hàm mđxs f(x,4,1): Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Định nghóa (Standard Normal Distribution) Trường hợp µ = 0, σ = ta X ∼ N(0; 1) Khi X có phân phối x2 − chuẩn chuẩn tắc với hàm mđxs f(x) = √ e (Hàm Gauss) 2π Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Đồ thị hàm Gauss Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác z Hàm ϕ(z) = f(x)dx (Hàm Laplace) Giá trị hàm Laplace diện tích miền sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác z Hàm Laplace ϕ(z) = f(x)dx có đồ thị sau Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Một số tính chất hàm Gauss haøm Laplace: f(−x) = f(x), ∀x ϕ(−x) = −ϕ(x), ∀x ϕ(+∞) = 0, 5, ϕ(−∞) = −0, Khi tính toán làm tròn đến số lẻ thứ ta có: f(x) ≈ 0, x ≥ 4, 76 ϕ(x) ≈ 0, 5, x ≥ 4, 42 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Định lý X ∼ N(µ; σ ) ⇔ aX + b ∼ N(aµ + b; (aσ)2 ) (a = 0) X ∼ N(0; 1) : b P(a ≤ X ≤ b) = b a a f(x)dx − f(x)dx = f(x)dx = ϕ(b) − ϕ(a) X−µ ∼ N(0; 1) : σ a−µ X−µ b−µ ≤ ≤ ) P(a ≤ X ≤ b) = P( σ σ σ b−µ a−µ = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ X ∼ N(µ; σ ) =⇒ Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ: Một trang trại trồng thử nghiệm giống táo A B cho thấy táo thu hoạch giống có đường kính tối đa (cm) tuân theo phân phối chuẩn N(8,35;48,65) N(8,21;12,26) Táo loại I táo có đường kính tối đa không nhỏ 8cm Hãy cho biết giống táo cho tỉ lệ táo loại I cao hơn? Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ √ √ Với n = 100, p = 0, ⇒ λ = µ = np = 40, σ = npq = 24 Ta có đồ thị B(n; p), P(λ), N(µ, σ ) sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Phân phối Siêu bội Định nghóa (Hypergeometric Distribution) Cho N phần tử, có NA phần tử có tính chất A Lấy ngẫu nhiên n phần tử từ N phần tử trên, gọi X số phần tử có tính chất A số n phần tử lấy Khi X có phân phân phối siêu bội, kí hiệu X ∼ H(N; NA ; n) Ta coù X(Ω) = {max{0, n − (N − NA )} min{n, NA }} n−k Ck A CN−NA N , với k ∈ X{Ω} n CN N−n NA EX = np, VarX = npq , với p = , q = − p N−1 N (NA + 1)(n + 1) + (NA + 1)(n + 1) + ModX = k với −1≤k≤ N+2 N+2 P(X = k) = Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Phân phối Siêu bội Ví dụï: Một hộp có 30 bi có bi đỏ, 12 bi xanh 10 bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộâp 10 bi a Tính xác suất lấy bi đỏ b Tìm số bi đỏ trung bình lấy phương sai số bi đỏ lấy Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Chi-squared distribution Định nghóa (Phân phối Chi-squared) Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Chi-squared với k bậc tự (degree of freedom), kí hiệu X ∼ χ2 (k) Hàm mật độ xác suất X ∼ χ2 (k)  k x  x −1 e− , x > k k fk (x) = 2 Γ( )  , x≤0 +∞ Trong Γ(x) = t x−1 e−t dt , x > 0 Xây dựng phân phối: Cho (Xi )i≥1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, với k Xi ∼ N(0; 1) Khi X = i=1 X2 ∼ χ2 (k) i Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Chi-squared distribution Xét X ∼ χ2 (k), ta có: X(Ω) = [0; +∞) 9k Mod(X) = max{k − 2; 0} Med(X) ≈ k − E(X) = k Var(X) = 2k Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ Ta có số đồ thị hàm mật độ xác suất phân phối χ2 (k) sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Giá trị tới hạn phân phối Chi-squared Giá trị tới hạn α phân phối χ2 (k) kí hiệu χ2 (k; α) Ý nghóa: χ2 (5; 0, 045) = 11, 3423 ⇔ X ∼ χ2 (5) : P(X > 11, 3423) = 0, 045 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Student's t-distribution Định nghóa (Phân phối Student) Biến ngẫu nhiên T gọi có phân phối Student với k bậc tự do, kí hiệu T ∼ t(k) Γ( k+1 ) Hàm mật độ xác suất T ∼ t(k) f(x) = √ k nπΓ( ) +∞ Trong Γ(x) = t x−1 e−t dt x2 1+ k − k+1 , x > 0 Xây dựng phân phối: Cho bnn độc lập X ∼ N(0; 1) Y ∼ χ2 (k) Khi X T = ∼ t(k) Y k Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Student's t-distribution Xét T ∼ t(k), ta có: T(Ω) = R Med(T) = Mod(T) = 0 , k>1 E(T) = Không xác định , k ≤   k  , k>2 k−2 Var(T) = , 1 2, 145) = 0, 025 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Fisher distribution Định nghóa (Phân phối Fisher) Bnn X gọi có phân phối Fisher với bậc tự m, n; kí hiệu X ∼ F(m; n) Hàm mđxs X ∼ F(m; n)  m x −1  , x>0 k m+n fm,n (x) =  (mx + n) , x≤0 m n +∞ Γ( m+n )m n 2 , Γ(x) = Trong k = t x−1 e−t dt , x > m n Γ( )Γ( ) Xây dựng phân phối: Cho bnn độc lập X ∼ χ2 (m) Y ∼ χ2 (n) Khi Z = X m Y n ∼ F(m; n) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Fisher distribution Xét X ∼ F(m; n), ta có: X(Ω) = [0; +∞) m−2 n Mod(X) = , m > m n+2 n E(X) = , n > n−2 2n2 (m + n − 2) Var(X) = , n > m(n − 2)2 (n − 4) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Ví dụ Ta có số đồ thị hàm mật độ xác suất phân phối F(m; n) sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Giá trị tới hạn phân phối Fisher Giá trị tới hạn α phân phối F(m; n) kí hiệu F(m; n; α) Ý nghóa: F(14; 12; 0, 05) = 2, 64 ⇔ X ∼ F(14; 12) : P(X > 2, 64) = 0, 05 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KEÂ ... phân phối xác suất thông dụng khác Đồ thị hàm Gauss Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân. .. TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác Phân phối Siêu... hàm mật độ xác suất phân phối χ2 (k) sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson