Bài giảng xác suất thống kê chương 5 các phân phối sác xuất thông kê thông dụng nguyễn ngọc phụng

1 Các phân phối xác suất thông dụngPhân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý giới hạn trung tâm Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác... Phân phối nhị thứcVí

1 Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn

Phân phối nhị thức

Phân phối Poisson

Định lý giới hạn trung tâm

Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Định nghĩa (Normal Distribution)

Bnn X có phân phối chuẩn, được kí hiệu X ∼ N(µ; σ 2 ) , có hàm mđxs

Ví dụ: Đồ thị minh họa cho hàm mđxs f(x,4,1):

Định nghĩa (Standard Normal Distribution)

Trường hợp µ = 0, σ = 1 ta được X ∼ N(0; 1) Khi đó X có phân phối

chuẩn chuẩn tắc với hàm mđxs f(x) = √ 1

2π e

− x 2

2 (Hàm Gauss)

Đồ thị của hàm Gauss

Hàm ϕ(z) =

z

R

0

f(x)dx (Hàm Laplace) Giá trị của hàm Laplace là diện tích

của miền sau:

Một số tính chất của hàm Gauss và hàm Laplace:

Ví dụ:

Một trang trại trồng thử nghiệm 2 giống táo A và B cho thấy táo thu hoạch của 2 giống này có đường kính tối đa (cm) lần lượt tuân theo phân phối chuẩn N(8,35;48,65) và N(8,21;12,26) Táo loại I là táo có đường kính tối đa không nhỏ hơn là 8cm Hãy cho biết giống táo nào cho tỉ lệ táo loại I cao hơn?

Phân phối Bernoulli

Trong một phép thử, xác suất để biến cố A xảy ra là P(A) = p Gọi X là

số lần biến cố A xảy ra trong phép thử đó Ta nói X tuân theo luật phân

phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(1; p).

Ta có: Luật phân phối xác suất của X là X 0 1

P q p , với q = 1 − p.

Từ đó ta được:

E(X) = p, Var(X) = E(X 2 ) − E(X) 2 = p − p 2 = p(1 − p) = pq.

Phân phối nhị thức

Định nghĩa (Binomial Distribution)

Thực hiện n phép thử độc lập, cho biết biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử với xác suất không đổi là p.

Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong số n phép thử, X i là số lần biến cố

A xảy ra ở phép thử thứ i Khi đó X = X 1 + X 2 + · · · + X n có phân phân phối nhị thức, kí hiệu X ∼ B(n; p).

Phân phối nhị thức

Ví dụï:

Một người thực hiện mỗi loạt bắn 5 phát đạn vào một mục tiêu cố định, xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu ở mỗi phát bắn là 0,3.

a Tính xác suất người đó có bắn trúng mục tiêu ở mỗi loạt bắn.

b Nếu người đó thực hiện 300 loạt bắn, số loạt bắn trúng mục tiêu nhiều khả năng nhất là bao nhiêu? Tính số loạt bắn trúng mục tiêu trung bình của người đó.

Phaân phoái Poisson

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson

Ví dụï:

Một máy sản xuất sản phẩm tự động với khả năng sản xuất ra một phế phẩm ở mỗi lần sản xuất là 0, 1% Cho máy này sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất

a Có đúng 2 phế phẩm trong số đó.

b Có ít nhất 5 phế phẩm trong số đó.

Định lý (Định lý Lyapunov (Định lý giới hạn trung tâm))

Cho (X n ) là các dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có các kỳ vọng E(X i ) = µ i hữu hạn, và các phương sai Var(X i ) = σ 2 i hữu hạn.

Trong thực hành, ta thường xét trường hợp đơn giản là δ = 1.

Ý nghĩa: Khi một đại lượng ngẫu nhiên X = P n

i=1

X i mà không có biến

ngẫu nhiên nào trong các X i , 1 ≤ i ≤ n chiếm ưu thế so với các biến

ngẫu nhiên còn lại thì đại lượng ngẫu nhiên X sẽ tuân theo luật phân phối chuẩn với kỳ vọng m n và phương sai s 2

n

Định lý (Định lý Lévy)

Cho X 1 , X 2 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng µ và độ lệch chuẩn σ hữu hạn Khi đó S n −→ N(nµ; nσ 2 ) , với

Điều này có nghĩa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn sao cho

np ≥ 5, nq ≥ 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ N(µ; σ 2 ) với µ = np, σ = √ npq P(X = k) ≈ 1

a Có ít nhất 330 sản phẩm loại A.

b Có từ 330 đến 360 sản phẩm loại A.

2 Một nhà máy sản xuất dây xích, độ dài của mắt xích được định nghĩa sao cho độ dài dây xích bằng tổng độ dài của các mắt xích Cho biết mỗi dây xích có 50 mắt xích.

a Cho biết độ dài mỗi mắt xích có phân phối chuẩn với độ dài trung bình là 1,2cm và độ lệch chuẩn là 0,01cm Tính tỉ lệ dây xích của dây chuyền sản xuất có độ dài sai lệch không quá 0,1cm so với độ dài trung bình của dây xích.

b Cho biết độ dài của mỗi dây xích có phân phối chuẩn với độ dài trung bình là 58,5cm và độ lệch chuẩn là 0,08cm Tính tỉ lệ mắt xích của dây chuyền sản xuất có độ dài sai lệch quá 0,02cm so với độ dài trung bình của mắt xích.

Ví dụ

Với n = 100, p = 0, 015 ⇒ λ = µ = np = 1, 5, σ = √ npq = p1, 4775.

Ta có đồ thị của B(n; p), P(λ), N(µ, σ 2 ) như sau:

Ví dụ

Với n = 100, p = 0, 4 ⇒ λ = µ = np = 40, σ = √ npq = √ 24.

Ta có đồ thị của B(n; p), P(λ), N(µ, σ 2 ) như sau:

Phân phối Siêu bội

Định nghĩa (Hypergeometric Distribution)

Cho N phần tử, trong đó có N A phần tử có tính chất A Lấy ngẫu nhiên n phần tử từ N phần tử trên, gọi X là số phần tử có tính chất A trong số n phần tử lấy ra.

Khi đó X có phân phân phối siêu bội, kí hiệu X ∼ H(N; N A ; n).

Phân phối Siêu bội

Ví dụï:

Một hộp có 30 bi trong đó có 8 bi đỏ, 12 bi xanh và 10 bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộâp ra 10 bi.

a Tính xác suất lấy được ít nhất 2 bi đỏ.

b Tìm số bi đỏ trung bình lấy được và phương sai của số bi đỏ lấy được.

Chi-squared distribution

Định nghĩa (Phân phối Chi-squared)

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Chi-squared với k bậc tự do (degree of freedom), kí hiệu X ∼ χ 2 ( k).

Hàm mật độ xác suất của X ∼ χ 2 ( k) là

Ví dụ

Ta có một số đồ thị hàm mật độ xác suất của phân phối χ 2 ( k) như sau:

Giá trị tới hạn phân phối Chi-squared

Giá trị tới hạn α của phân phối χ 2 ( k) kí hiệu là χ 2 ( k; α).

Ý nghĩa:

χ 2 (5; 0, 045) = 11, 3423 ⇔ X ∼ χ 2 (5) : P(X > 11, 3423) = 0, 045.

Student's t-distribution

Định nghĩa (Phân phối Student)

Biến ngẫu nhiên T được gọi là có phân phối Student với k bậc tự do, kí hiệu T ∼ t(k).

Hàm mật độ xác suất của T ∼ t(k) là f(x) = Γ(

Ví dụ

Ta có một số đồ thị hàm mật độ xác suất của phân phối t(k) như sau, với

k=df (degree of freedom):

Giá trị tới hạn phân phối Student

Giá trị tới hạn α của phân phối t(k) kí hiệu là t(k; α).

Ý nghĩa: t(12; 0, 025) = 2, 145 ⇔ T ∼ t(12) : P(T > 2, 145) = 0, 025.

Fisher distribution

Định nghĩa (Phân phối Fisher)

Bnn X được gọi là có phân phối Fisher với các bậc tự do là m, n; kí hiệu là X ∼ F(m; n) Hàm mđxs của X ∼ F(m; n) là

Ví dụ

Ta có một số đồ thị hàm mật độ xác suất của phân phối F(m; n) như sau:

Giá trị tới hạn phân phối Fisher

Giá trị tới hạn α của phân phối F(m; n) kí hiệu là F(m; n; α).

Ý nghĩa: F(14; 12; 0, 05) = 2, 64 ⇔ X ∼ F(14; 12) : P(X > 2, 64) = 0, 05.