Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: ước lượng điểm; ước lượng bằng khoảng tin cậy; ước lượng kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên; ước lượng tỷ lệ của đám đông; ước lượng phương sai của đại lượng ngẫu nhiên;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
CHƯƠNG ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN Chương ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN Ước lượng điểm Ước lượng khoảng tin cậy • Ước lượng kỳ vọng tốn ĐLNN • Ước lượng tỷ lệ đám đơng • Ước lượng phương sai ĐLNN Chương §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.1 Ước lượng điểm Giả sử cần ước lượng tham số θ ĐLNN X đám đơng • Ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2,…,Xn) • Tùy thuộc vào θ, XDTK: θ* = f(X1,X2,…,Xn) • Khi n lớn với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn), tính tốn θ*tn = f (x1,x2,…,xn) Ta lấy θ ≈ θ*tn làm ước lượng điểm cho tham số θ Chương §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá chất tốt ước lượng 1.2.1 Ước lượng không chệch Thống kê θ* gọi ước lượng không chệch θ E(θ*) = θ Ngược lại, ta nói θ* gọi ước lượng chệch θ Chương §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.2 Cáctiêuchuẩnđánhgiábảnchấttốtcủaướclượng 1.2.1 Ướclượngkhơngchệch Ta có: X làướclượngkhơngchệchcủaμ S’ 2làướclượngkhơngchệchcủaσ Nếuθ*làướclượngchệchcủaθvàđượcgọilàướclượngtiệmcậnkhơ ngchệchnếu θ =θ Chương §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.2.2 Ước lượng vững Thống kê θ* gọi ước lượng vững θ với ε >0 ta có: lim P( * ) n Theo định lý Trêbưsép (trường hợp đặc biệt) thì: • X ước lượng vững μ • f ước lượng khơng chệch p Chương §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá chất tốt ước lượng 1.2.3 Ước lượng hiệu (ước lượng không chệch tốt nhất) Thống kê θ* gọi ước lượng hiệu θ ước lượng khơng chệch có phương sai nhỏ so với ước lượng khơng chệch khác mẫu • X ước lượng hiệu μ • f ước lượng hiệu p Chương §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá chất tốt ước lượng 1.2.4 Ước lượng đủ Thống kê θ* gọi ước lượng đủ θ chứa tồn thơng tin từ mẫu Trung bình mẫu, phương sai mẫu … ước lượng đủ Chú ý: Tuy ước lượng điểm đơn giản có hạn chế khơng biết sai số gặp sai số lớn kích thước mẫu nhỏ Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 2.1 Khái niệm Giả sử cần ước lượng tham số θ ĐLNN X đám đông • Chọn mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, …, Xn), • Từ ước lượng điểm tốt θ xây dựng thống kê: G = f(X1,X2, …, Xn, θ) cho G có quy luật xác định có biểu thức chứa θ Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY Vớiγ = 1- αchotrước, xácđịnhα1≥ 0, α2 ≥0 thỏamãnα1+ α2 = α Từđóxácđịnhcácphânvị g1- α1và gα2: P(g 30 nên ta lấy σ ≈ s’ + Đối với tốn 3, chưa biết quy luật X nên giả sử trung bình mẫu có phân phối chuẩn Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 2.3 Ướclượngtỷlệ Giảsửcầnnghiêncứumộtđám đơng kích thước N có M phầntửmangdấuhiệu A Khiđóp làtỉlệcácphầntửmangdấuhiệutrênđám đơng.Từđám lấymẫukích thước nvàf = nA/nlàtầnsuấtmẫu Khinkhálớn ta có: (vớiq = - p) U= = M/N đơng Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 2.3 Ước lượng tỷ lệ • Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2) Với độ tin cậy – α tìm phân vị uα/2 cho : P(|U|< uα/2) = 1- α P(f – ε < p < f + ε) = 1- α Khoảng tin cậy đối xứng p: (f – ε; f + ε) Với sai số ước lượng: pq u n Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY • Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2) Khi p chưa biết n lớn ta thay p ≈ f q ≈ – f Do Khi đó: pq u n f (1 f ) u n Độ tin cậy ước lượng 1- α Khoảng tin cậy đối xứng (f – ε ; f + ε) Độ dài khoảng tin cậy 2ε Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY • Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2) • Bài tốn 1: Tìm sai số khoảng tin cậy pq u n f (1 f ) u n • Bài tốn 2: Biết sai số, kích thước mẫu, tìm độ tin cậy u / n pq n f (1 f ) 1 Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY • Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2) • Bài tốn 3: Biết sai số, độ tin cậy Tìm kích thước mẫu n u / u / n p.q f (1 f ) Nếu q, p chưa biết ta lấy pq = ¼, đó: u / n 4 Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY • Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2) Chú ý: + Nếu biết p cần ước lượng f đó: P(p – ε < f < p + ε) ≈ 1- α + Khoảng tin cậy M (nếu biết N) N(f – ε ) < M < N(f + ε ) Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY • Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2) + Khoảng tin cậy N (nếu biết M) M/(f + ε ) < N < M/(f - ε ) + Khoảng tin cậy nA: n(p – ε) < nA < n(p + ε) Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY • Khoảng tin cậy phải (α1 = 0; α2= α) Tương tự, với độ tin cậy – α xác định phân vị uα cho: P(U < uα) ≈ – α Thay biểu thức U, biến đổi ta được: P( f Ta lấy p ≈ f, khoảng tin cậy phải p: f pq u p ) n f (1 f ) u ;1 n Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY • Khoảng tin cậy trái (α1 = α; α2= 0) Tương tự, với độ tin cậy – α xác định phân vị uα cho: P(- uα< U) ≈ – α Thay biểu thức U, biến đổi ta được: P( p f pq u ) n Ta lấy p ≈ f, khoảng tin cậy trái p: 0; f f (1 f ) u n Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 2.4 Ước lượng phương sai ĐLNN phân phối chuẩn Vì X ~ N(μ; σ2), XDTK (n 1) S '2 ~ 2( n 1) 2 • Khoảng tin cậy hai phía σ2 (α1 = α2= α/2) Với độ tin cậy 1- α ta tìm phân vị 12(n /21) ; 2(/2n ,1) đó: P( 12(n /21) 2(/2n1) ) Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 2.4 Ước lượng phương sai ĐLNN phân phối chuẩn • Khoảng tin cậy σ2 (α1 = α2= α/2) P( ( n 1) S '2 2 2( n 1) /2 (n 1) S '2 2( n 1) 1 /2 Ta có khoảng tin cậy σ2 ( (n 1) S '2 2( n 1) /2 ; (n 1) S '2 2( n 1) 1 /2 ) ) 1 Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 2.4 Ước lượng phương sai ĐLNN phân phối chuẩn • Khoảng tin cậy phải σ2 (α1 = 0; α2= α) ( n 1) Với độ tin cậy 1- α ta tìm phân vị , đó: P 2 ( n 1) 1 ( n 1) S '2 2 P ( n 1) Ta có khoảng tin cậy phải σ2 ( n 1) S '2 ( n 1) ; Chương §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 2.4 Ước lượng phương sai ĐLNN phân phối chuẩn • Khoảng tin cậy trái σ2 (α1 = α; α2= 0) ( n 1) Với độ tin cậy 1- α ta tìm phân vị 1 , đó: P ( n 1) 1 1 ( n 1) S '2 1 P ( n 1) 1 Ta có khoảng tin cậy trái σ2 ( n 1) S ' 0; ( n 1) 1 .. .Chương ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN Ước lượng điểm Ước lượng khoảng tin cậy • Ước lượng kỳ vọng toán ĐLNN • Ước lượng tỷ lệ đám đơng • Ước lượng phương sai ĐLNN Chương §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM... gọi ước lượng chệch θ Chương §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.2 Cáctiêuchuẩnđánhgiábảnchấttốtcủaướclượng 1.2.1 Ướclượngkhơngchệch Ta có: X làướclượngkhơngchệchcủaμ S’ 2làướclượngkhơngchệchcủaσ Nếuθ*làướclượngchệchcủaθvàđượcgọilàướclượngtiệmcậnkhơ... Ta lấy θ ≈ θ*tn làm ước lượng điểm cho tham số θ Chương §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá chất tốt ước lượng 1.2.1 Ước lượng không chệch Thống kê θ* gọi ước lượng không chệch θ E(θ*)