Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị

Bài viết giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số tính chất của loại hội tụ này.

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 14 (39) - Thaùng 3/2016 Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị Convergence in probability in the sense of Mosco for random sets ThS Bùi Nguyên Trâm Ngọc Trường Đại học Đồng Nai M.A Bui Nguyen Tram Ngoc The University of Dong Nai Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị chứng minh số tính chất loại hội tụ Từ khóa: biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ Mosco Abstract In this paper, we introduce a new concept of convergent in probability sequence of random sets in the sense of Mosco and prove some interesting properties of this convergence Keywords: random sets, Mosco convergence… ta đề cập đến khái niệm hội tụ hầu chắn theo nghĩa Mosco Trong báo này, giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị chứng minh số tính chất loại hội tụ Kiến thức chuẩn bị Trong báo này, giả thiết (Ω, A, P) không gian xác suất đầy đủ, (X, ) không gian Banach Mở đầu Chúng ta biết rằng, hội tụ theo khoảng cách Hausdorff sử dụng nghiên cứu biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact Đối với biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập đóng (có thể khơng bị chặn), người ta thường sử dụng loại hội tụ: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco hội tụ Wijsman Việc nghiên cứu định lí giới hạn cho biến ngẫu nhiên đa trị theo hội tụ Mosco mang tới nhiều điều thú vị ý nghĩa Trong thời gian gần đây, có nhiều tài liệu nghiên cứu định lí giới hạn cho biến ngẫu nhiên đa trị theo hội tụ Mosco (xem chẳng hạn [1], [3], [4] tài liệu trích dẫn đó) Tuy nhiên, nay, cơng trình khoa học, nói đến hội tụ Mosco, người khả ly thực X * khơng gian đối ngẫu BX  -đại số Borel X Ký hiệu c(X ) họ tất tập đóng khác rỗng không gian Banach tập tất số thực Trên X, c(X ) ta xác định cấu trúc tuyến tính 107 với phép tốn định nghĩa sau: A  B  {a  b : a  A, b  B} , SFp (F )  { f  Lp (, F, , X) : f ()  F () , h.c.c.}, với F  -đại số A  A  {a : a  A}, A, B  c(X),   Nếu F  A S Fp ( F ) viết gọn S Fp Cho A, B  c(X ) , hàm khoảng cách Một biến ngẫu nhiên đa trị F :   c(X) gọi khả tích khoảng cách Hausdorff d (., A) , d H ( A, B) , hàm tựa s( A,.) , chuẩn A A định nghĩa sau: d ( x, A)  inf{ x  y , y  A}, x  X , tập S 1F khác rỗng gọi khả tích bị d H ( A, B)  max{sup d ( x, B), sup d ( y, A)} , Một dãy {Fn : n  1} biến ngẫu xA chặn F  L1 yB s( x , A)  sup{ x , y : y  A}, x  X , nhiên đa trị c(X ) gọi hội tụ theo xác suất theo khoảng cách Hausdorff, A  sup{ x : x  A} kí hiệu Fn   F n   , dãy * * * * (H ) Kí hiệu: biến ngẫu nhiên {d H ( Fn , F ) : n  1} hội tụ U   {C  c(X) : C  U  } , U  X Bc ( X )  -đại số c(X ) sinh theo xác suất đến n   2.2 Hội tụ Mosco 2.2.1 Định nghĩa - Cho dãy tất tập U  , với U tập mở X 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị Một ánh xạ F :   c(X) gọi biến ngẫu nhiên đa trị, với tập mở U X tập 1 Sn  tập X ( X không gian định chuẩn thực) Ta định nghĩa: s -limSn  {v  X : v  s - lim ,  Sn , n  1} w -limSn  {v  X : v  w - lim vk , vk  Snk , k  1}   dãy dãy Sn  với Snk  F (U )  {  : F ()  U  }  A Một phần tử ngẫu nhiên f :   X Các tập s -limSn w -limSn gọi giới hạn theo topo mạnh X giới hạn theo topo yếu gọi hàm chọn biến ngẫu nhiên đa trị F f ( )  F ( ) h.c.c với   Với biến ngẫu nhiên đa trị F , ta X dãy Sn  Sn  tập X Khi đó, ta nói dãy Sn  hội tụ theo nghĩa - Cho dãy 1 kí hiệu AF  {F (U ) : U  Bc( X ) } Khi AF  -đại số bé Mosco đến tập S  X nếu, A mà F đo s -limSn  w -limSn  S Với biến ngẫu nhiên đa trị F -đo F với số thực p  , ta kí hiệu  S hay Lúc ta viết, Sn  (M ) LimSn  S 108 (M ) dãy {Fnk : k  1} dãy (i) S  s -limSn {Fn : n  1} , tồn dãy {Fnk : l  1} dãy {Fnk : k  1} cho Rõ ràng, Sn   S (ii) w -limSn  S l 2.2.2 Hội tụ dãy tập lồi (M ) Fnk ( )   F ( ) h.c.c l   Cho Sn  dãy tập lồi, đóng l Rõ ràng dãy biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ h.c.c theo nghĩa Mosco hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco Để chứng minh kết tiếp theo, ta cần bổ đề sau 3.2 Bổ đề (Bổ đề 4.1 [4]) Giả sử F , Fn , n  biến ngẫu X Khi đó, ta có (xem [5]): - Nếu Sn   S X S (M ) tập lồi, đóng X Ngồi ra, - Nếu S tập lồi, đóng X Sn  S , với n  dãy Sn  hội tụ theo nghĩa Mosco LimSn  S - Nếu LimSn  S Sk  dãy dãy Sn  (M ) Sk   S k   - Nếu dãy Sn  chứa nghĩa nhiên đa trị không gian Banach khả ly X Nếu F ( )  s -limFn ( ) h.c.c., Sk  limsup d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ( )) n với x  X , h.c.c Chứng minh Vì X không gian khả ly, nên tồn tập D đếm trù mật X Theo giả thiết, tồn tập N  A cho P( N )  với   \ N , dãy dãy {Sh} hội tụ theo Mosco đến S X dãy Sn  hội tụ theo nghĩa Mosco đến S X (1) F ( )  s -limFn ( ) Cố định   \ N Khi đó, với x  D p  N , tồn y  F ( ) cho x  y  d ( x, F ( ))  p Từ (1), với n  1, tồn f n  Fn ( ) cho f n  y n   Hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị định nghĩa tương tự cách thay S n Fn ( ) S F ( ) , phát biểu h.c.c Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị Trong phần này, ta xét hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị ta chứng minh số tính chất loại hội tụ 3.1 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Fn : n  1} gọi hội tụ theo xác suất Từ đó, limsup d ( x, Fn ( ))  lim f n  x n n  x y theo nghĩa Mosco đến biến ngẫu nhiên đa  d ( x, F ( ))  P( M )  F n   , trị F , kí hiệu Fn  109 p Bằng cách cho p   , ta nhận limsup d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ( )) d ( x, A)  d ( y, A)  d ( x, y)  x  y (3) Với x thuộc X , tồn dãy {xk : k  1}  D cho lim xk  x Khi (2) n Tiếp theo, ta lưu ý hàm khoảng cách d (., A) hàm 1-Lipschitz, nghĩa là, với A  X x, y  X , k  đó, với n  k  , d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ( ))  d ( x, Fn ( ))  d ( xk , Fn ( ))   d ( xk , Fn ( ))  d ( xk , F ( ))   d ( xk , F ( ))  d ( x, F ( ))  2d ( x, xk )   d ( xk , Fn ( ))  d ( xk , F ( ))  (do (3)) Cho n   , ta có limsup  d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ())  2d ( x, xk ) (do (2)) n Sau đó, cho k   , ta nhận chọn biến ngẫu nhiên f n :   X n với f n ( )  Gn ( ) h.c.c Điều dẫn đến điều phải chứng minh ■ Để tìm hiểu số tính chất loại hội tụ nêu trên, trước hết ta cần chứng minh tồn dãy hàm chọn hội tụ h.c.c dãy biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ h.c.c theo Mosco Xem xét tồn dãy hàm chọn đo hội tụ h.c.c., ta số kết 3.3 Định lí Cho F , Fn , n  biến ngẫu  F ( ) h.c.c Hơn nữa, Fn ( )  (M ) n   nên w -limFn ( )  F ( )  s -limFn ( ) Do đó, theo bổ đề 3.2, ta limsup d ( f ( ), Fn ( ))  d ( f ( ), F ( )) n với x  X , h.c.c Vì vậy, d ( f (), Fn ())  h.c.c n   nhiên đa trị không gian Banach khả Kết hợp với,  F ( ) h.c.c ly X Nếu Fn ( )  (M ) f ( )  f n ( )  d ( f ( ), Fn ( ))  h.c.c n n   , với f  S F0 , có h.c.c n   h.c.c n   Chứng minh f (5) Ta fn  SF0 f ( )  f n ( )  n dãy { f n  S F0n } cho f n ( )  f ( ) Với Gn ()  {x  Fn () : f ()  x  d ( f (), Fn ())  },   (4) n Khi Gr (Gn )  A  BX , ta limsup  d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ( ))   S F0 Gn :   c(X) xác định ■ Cũng theo cách trên, ta có kết sau n  1, ta đặt 110 d ( f (), Fn ())  h.c.c n   3.4 Định lí Giả sử F , Fn , n  biến ngẫu Kết hợp điều với nhiên đa trị không gian Banach khả f ( )  f n ( )  d ( f ( ), Fn ( ))  ly X Nếu Fn ( )   F ( ) h.c.c (M )  f ( )  d (0, Fn ( ))  h.c.c., n   , với hàm chọn f A{Fn:n1} -đo F , có dãy ta f n  S1F f ( )  f n ( )  n { f n  SF0n ( AFn )} cho fn ( )  f () h.c.c h.c.c n   Vì vậy, ta có điều cần chứng minh ■ 3.6 Định lí Giả sử F , Fn , n  biến ngẫu n   Chứng minh Với hàm chọn f A{Fn:n1} -đo F với n  1, Gn :   c(X) xác định (4) nhiên đa trị khả tích khơng gian Banach khả ly Nếu X xét (M ) Fn ( )   F ( ) h.c.c n   , với f A{Fn:n1} -đo Khi Gr (Gn )  A  BX , ta chọn biến ngẫu nhiên AFn -đo S 1F , có dãy { f n  S1Fn ( AFn )} cho f n :   X với f n ( )  Gn ( ) h.c.c lim f n ( )  f ( ) h.c.c Như ta có điều cần chứng minh, cách chứng minh tương tự định lí ■ Xem xét tồn dãy hàm chọn khả tích hội tụ h.c.c., ta số kết sau 3.5 Định lí Giả sử F , Fn , n  biến ngẫu n Chứng minh Với f A{Fn:n1} -đo S 1F với n  1, ta xét Gn :   c(X) ly X Nếu Fn ( )   F ( ) h.c.c (M ) n   , với f  S 1F , có dãy { f n  S1Fn } cho lim f n ( )  f ( ) h.c.c biến ngẫu nhiên đa trị c(X ) cho n ( Fn  Gn )  n   Khi đó, Chứng minh f  S1F Gn :   c(X) sử f n :   X chứng minh định lí Phần lại, ta chứng minh tương tự định lí ■ Bây giờ, ta chứng minh tính chất quan trọng hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco 3.7 Định lí Cho {F , Fn , Gn , n  1} tập hợp nhiên đa trị không gian Banach khả Giả n (6) n  1,  (M ) Fn   F n   xét  f n :   X (M ) Gn   F n   chứng minh định lí Bằng cách lập luận tương tự định lí 1, ta Chứng minh  (M )  F n   Giả sử Fn  111 d H ( Fnk ( ), Gnk ( ))  s   , Với dãy {Gnk : k  1} dãy ls {Gn : n  1} , ta xét dãy {Fnk : k  1} với dãy {Fn : n  1} với tập số giống d ( f (), Gnk ())  d ( f (), Fnk ())  d H ( Fnk (), Gnk ()) theo định nghĩa 3.1, tồn dãy {Fnk : l  1} dãy {Fnk : k  1} cho ls l Do đó, F ( )  s -limFn ( ) từ k theo bổ đề 3.2, ta được, xs  f ( )  s   Do đó, f ( )  s - lim xs s f ( )  s -limGnl ( ) Vì vậy, limsup d ( f ( ), Fnk ( ))  d ( f ( ), F ( )) ks l F ( )  s -limGnk ( ) h.c.c., với   , nên có tập N1  A thỏa mãn (9) ls Tiếp ( N1 )  đến ta chứng minh w -limGnk ( )  F ( ) ls l , (7) Với x  w -limGn ( ) , tồn dãy k l ls với   \ N1 {xt } Gnk ( ) , dãy Mặt khác, với giả thiết ( Fn  Gn )  ls t Gnk ( ) , cho x  w - lim xt Với n   ta có t  ls (d H ( Fn , Gn )  0)  n   t  , ta chọn dãy { yt } Fn ( ) , k ls t Điều có nghĩa là, với   , cho (d H ( Fn , Gn )   )  (d H ( Fn , Gn )  0)  n   xt  yt  d H ( Fnk ( ), Gnk ( ))  ls ls t t t Do (8), ta xt  yt  t   Do đó, dãy biến ngẫu nhiên {d H ( Fn , Gn ) : n  1} hội tụ theo xác suất đến Khi đó, s - lim( xt  yt )  dẫn n   Nên dãy {d H ( Fn , Gn ) : l  1} , k k l t  đến w - lim( xt  yt )  l với tập số giống (7), hội tụ theo xác suất đến l   Vì vậy, có dãy {d H ( Fnk , Gnk ) : s  1} dãy {d H ( Fnk , Gnk ) : l  1} ls Gnk ( ) cho ls l l ls Khi đó, tồn dãy {xs } (M ) Fnk ( )   F ( ) h.c.c l   d ( f ( ), Fnk ( ))  ls  s   l ls tập f  S F0   \ N ,  l  Lấy Như vậy, kết hợp (7) (8), với (M ) Vì Fn   F n   nên với f   \ N2 N  N1  N2 , tập N có xác suất dãy {Gnk : k  1}  S F0 , (8) ls t  Mặt khác x  w - lim xt nên x  w - lim yt t  t  Vì vậy, ls tập x  w - lim yt  w -limFnk ( ) l t  N2  A thỏa mãn ( N2 )  112 ls Tương tự chứng minh định lí 1, ta có d ( f ( ), Fnk ( ))  h.c.c Ngoài ra, Fnk ( )   F ( ) h.c.c (M ) ls s   nên l l   Kết hợp với bất đẳng thức (5), ta w -limFnk ( )  F ( ) f ( )  f nk ( )  l   ls Điều dẫn đến x  F ( ) l Do từ (4) ta f n  S F0n Vì vậy, w -limGnk ( )  F ( )  f n   f n   (10) ls Bằng cách chứng minh tương tự định lí 6, ta kết sau 3.9 Định lí Cho F , Fn , n  biến ngẫu Từ (9) (10), ta (M ) Gnk ( )   F ( ) h.c.c s   ls Theo định nghĩa 3.1, điều có nghĩa  nhiên (M ) Gn   F n   định lí dãy c(X ) Nếu dãy { f n  S F0n ( AFn )} cho f n hội đa trị c(X ) Nếu Fn   F { f n  S F0n } trị  ( M ) n   , với f đa (M ) Fn   F n   , với hàm chọn f A{Fn:n1} -đo F , có chứng minh ■ 3.8 Định lí Cho F , Fn , n  biến ngẫu nhiên  S F0 , ■ tụ theo xác suất đến f n   tồn Kết hợp định lí định lí 6, ta 3.10 Định lí Cho F , Fn , n  biến ngẫu nhiên cho f n hội tụ theo xác suất đến f n   đa trị Với f  S F0 với n  1, ta xét Fn   F n   , với Gn :   c(X) , khả tích c(X ) Nếu Chứng minh ( M ) f n :   X f  S1F , có dãy { f n  S1Fn } cho f n chứng minh định lí Từ giả thiết hội tụ theo xác suất đến f n   ( M ) Fn   F n   , với dãy { f nk : k  1} dãy { f n : n  1} , xét dãy Kết hợp định lí định lí 6, ta kết 3.11 Định lí Cho F , Fn , n  biến ngẫu {Fnk : k  1} dãy {Fn : n  1} với tập số dãy { f nk : k  1} nhiên đa trị khả tích c(X ) Nếu Theo định nghĩa 3.1, tồn dãy {Fnk : l  1} dãy {Fnk : k  1} cho  (M ) Fn   F n   , với f A{Fn:n1} -đo S 1F , có l Fnk ( )   F ( ) h.c.c l   (M ) dãy { f n  S1Fn ( AFn )} cho f n hội tụ l Điều dẫn đến F ( )  s -limFnk ( ) theo xác suất đến f n   l 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO sets and of solutions of variational inequalities” Adv in Math., 3, 510-585 S Li, Y Ogura and V Kreinovich (2002) Limit theorems and applications of setvalued and fuzzy set-valued random variables Theory and Decision Series B: Mathematical and Statistical Methods, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands N.V.Quang and D.X.Giap (2014) Convergence in Probability in the sense of Wijsman and the multivalued weak law of large numbers for unbounded random sets (Manuscript) N.V.Quang and D.X.Giap (2013) “Mosco convergence of SLLN for triangular arrays of rowwise independent random sets” Statistics and Probability Letters, 83, 1117-1126 Ilya Molchanov (2005) Theory of Random sets Springer, London U Mosco (1969) “Convergence of convex Ngày nhận bài: 25/01/2016 Biên tập xong: 15/03/2016 114 Duyệt đăng: 20/03/2016 ... , phát biểu h.c.c Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị Trong phần này, ta xét hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị ta chứng minh... loại hội tụ 3.1 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Fn : n  1} gọi hội tụ theo xác suất Từ đó, limsup d ( x, Fn ( ))  lim f n  x n n  x y theo nghĩa Mosco đến biến ngẫu nhiên đa ... số tính chất loại hội tụ nêu trên, trước hết ta cần chứng minh tồn dãy hàm chọn hội tụ h.c.c dãy biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ h.c.c theo Mosco Xem xét tồn dãy hàm chọn đo hội tụ h.c.c., ta số