Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản cung cấp cho người học các kiến thức: Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản, các quy luật phân phối liên tục, tích phân Laplace, các định lý giới hạn, các công thức tính gần đúng,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc X Phân phối rời rạc: Phân phối khơng – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) P x1 k X  P x2 xk 1 k k q p Định lý 1.1: X có phân phối A(p) E(X) = p, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k nk   n , p     k  C p     n q , k  1, n Định nghĩa 1.2: Định lý1.2:    n, p     X   np, D     npq, Mod   k0   n  1 p  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Phân phối siêu bội Bài toán: Cho hộp có N bi có M bi trắng cịn lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (khơng hồn lại), n khơng lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy k nk Giải: CM C N M   k   , k  0, n n CN Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n)  H ( N , M , n)       np, Định lý 1.3: Giả sử N n M D     npq ,p N 1 N Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội Phân phối Poisson P(a),a>0: k Định nghĩa 1.4:   a     k  e a a , k  0,1,     k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson)    X  12  0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm  …)    X  12      X  12        5 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tn theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm Giải: Gọi X số người ngẫu nhiên vào trạm 10 phút X có phân phối P(a), a = Khi ấy:     4  e 4! 5 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §2: Các quy luật phân phối liên tục Phân phối chuẩn Định nghĩa 2.1:    a,   ,    a,    f  x   e  2 Định lý 2.1: X có phân phối   a,    x  a  2 2  E(X) = a, D(X) = Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hóa) N(0,1) nếu: f u   Khoa Khoa Học Máy Tính u2 / e 2 (hàm mật độ Gauss) Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Định lý 2.2: U có phân phối N(0,1) u FU  u   0,5   t /2 e dt  0,5   U  2 với  U  tích phân Laplace (hàm lẻ) Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có: 1   u1  U  u2     u2     u1  ;     U     2   Định lý 2.4:  Khoa Khoa Học Máy Tính   a,   U  X a    0,1 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Định lý 2.5: Giả sử    a,   Khi ta có:   a  a                                a     2.     Ví dụ 2.1:Chiều cao X niên có phân phối chuẩn N(165, 52 ).Một niên bị coi lùn có chiều cao nhỏ 160 cm.Hãy tính tỷ lệ niên lùn  160  165      X  160               1       0,34134  0,5 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.2: Cho U   0,1 tính kỳ vọng U m Giải:  u2 /2 m m  U    u e du  m lẻ cận đối xứng,  2 hàm dấu tích phân hàm lẻ  u2 / u2 /  U    u e du   u.u e du   2 2 u2 / u2 / dv  u e v e 2 2   u /  u2 / 2   U   u e  e du    2 2  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Tương tự: u /2  U    u u e du  2    u /2  u /2  u e  3. u e du  3. U   3.1;   2 2   U   5 U   5.3.1;  U n    2n  1!! Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.3: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại gặp vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: C6 C52 P  C15 10 Phân phối liên tục: (Xem SGK) Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phân phối miền D  , neá u ( x, y)  D  f ( x, y)   S( D ) 0 , neá u ( x, y)  D  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 10 Phân phối mũ : Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ hàm mật độ X là:  x   e neá u x  0;  f ( x)   neá ux0,  0 Định lý 2.6 : X E ( )  E ( X )   ( X )   >0  Phân phối bình phương:(Xem SGK) Phân phối Student:(Xem SGK) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 11 §3 Các định lý giới hạn ( luật số lớn) Định lý Chebyshev: • Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X đại lượng ngẫu nhiên.Khi ta có: P (| X  E ( X )|   )  D( X ) 2 • Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 , 2 , , n , đôi độc lập có C  : D( X k )  C, k Khi ta có:  lim P   n n   n X k 1 k  n  E(X k )    1   k 1  n Định lý Bernoulli: • Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m số lần thành công dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì: Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 12  m  lim P   p  1 n   n  Các định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử 1 , 2 , , n đôi độc lập n E X k  E( X k )  lim k 1 0 3/ n  n   D    k   k 1  Khi ta có: n n i   E  i   n n i 1 U  i 1  N  0,1 n đủ lớn  n  30  n D  xi   n i 1 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 13 Hệ 3.1:Giả sử thêm vào ta có E ( X i )  a, D( X i )   , i  1, n U  Hệ 3.2: n (  X i  a) n n i 1   N (0,1) m  p) n U n  N (0,1) p(1  p) Khoa Khoa Học Máy Tính ( n đủ lớn n đủ lớn Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 14 Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X trung bình cộng n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối: 1 , 2 , n với phương sai: D  k    k  1, 2, n  Xác định n cho với xác suất không bé 0,9973 : a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt 0,01 b) Trị tuyệt đối X-E(X) không vượt 0,005 Bài giải: n    i , E (  i )  a  E  X   a; n i 1 D  i        Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 15 a )    E     0, 01  0, 9973    a  n 0, 01 n     U     0, 9973       0, 01 n       0,  0, 9973    0, 01 n       0, 4973    2, 785     2,875  0, 01 n   2, 785  n     0, 01  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 16 b) (   E     0, 005)  0, 9973  P (| U | | X  E( X ) | n  0, 005 n    )  0, 9973  0, 005 n   2.    0, 9973    0, 005 n  0, 9973       3       0, 005 n    n     0, 005  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 17 $4.Các cơng thức tính gần Cơng thức gần siêu bội nhị thức Định lý 4.1:Khi n0  Phân phối bình phương:(Xem SGK) Phân phối Student:(Xem SGK) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 11 §3 Các định lý giới hạn ( luật số lớn) Định lý...    5 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tn theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người... 10 Phân phối liên tục: (Xem SGK) Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phân phối miền D  , neá u ( x, y)  D  f ( x, y)   S( D ) 0 , neá u ( x, y)  D  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương