Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều cung cấp cho người học các kiến thức: Đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều, phân phối lề, phân phối biên duyên, độc lập về xác suất của X,Y,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
ThS Phạm Trí Cao * Chương 11-02-2019 Một đại lượng ngẫu nhiên X, Y xét đồng thời gọi ĐLNN chiều, ký hiệu V= (X,Y) Thường ta quan tâm X Y có ảnh hưởng lẫn hay không Nếu X, Y rời rạc V ĐLNN chiều rời rạc Nếu X, Y liên tục V ĐLNN chiều liên tục VD: Xét đồng thời chiều cao (X) trọng lượng (Y) người Xét đồng thời số buổi học môn XSTK (X) điểm thi môn XSTK (Y) Xét đồng thời độ tuổi (X) nhan sắc (Y) người phụ nữ (X,Y) không ĐLNN chiều CHƯƠNG IV: ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN CHIỀU I ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN CHIỀU (rời rạc) Tính chất: Bảng phân phối xác suất đồng thời (X,Y) có dạng: Y y1 yj yn Lưu ý: Ta không xét ĐLNN chiều liên tục X x1 p11 p1j p1n xi pi1 pij pin xm pm1 pmj pmn 0≤ pij ≤1 , i,j p ij i j Trong đó: X nhận giá trị x1, x2 ,…, xm Y nhận giá trị y1, y2 ,…, yn Xác suất X nhận giá trị xi Y nhận giá trị yj lúc là: pij = P(X=xi ,Y = yj ) ThS Phạm Trí Cao * Chương 11-02-2019 II PHÂN PHỐI LỀ (PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN) Ví dụ 1: Cho ĐLNN chiều V=(X,Y) có bảng phân phối xác suất đồng thời Y 1) Phân phối lề X Ví dụ 1: X 1/8 2/8 1/8 1/8 2/8 1/8 0 Nhận xét: Để xác định bảng phân phối lề đơn giản, ta lập bảng sau: Y 1/8 2/8 0 3/8 1/8 1/8 2/8 4/8 1/8 2/8 2/8 2/8 2/8 X P 3/8 4/8 1/8 P (X =2) = P[(X=2).(Y=1)+(Y=2)+(Y=3)+(Y=4)] X 1/8 = P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4) 0 8 P(X=4)= P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4) = 0 8 8 Tương tự cho P(X=6) X P 3/8 4/8 1/8 Kỳ vọng: E(X) = xi P( X xi ) = 2 4 6 8 i Phương sai: var(X) = (xi EX)2.P(X=xi) i = (2 7)2.3 (4 7)2 (6 7)2.1 8 Hoặc var(X) = E(X2)-{E(X)}2 ThS Phạm Trí Cao * Chương 11-02-2019 2) Phân phối lề Y: III ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X,Y Ví dụ 1: Y X,Y độc lập P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j P 2/8 2/8 2/8 2/8 P(Y=1) = P(X=2)+(X=4)+(X=6).(Y=1)] = P(X=2,Y=1)+P(X=4,Y=1)+P(X=6,Y=1)= 8 Tương tự cho P(Y=2) , P(Y=4) , P(Y=6) Kỳ vọng: E(Y) = y P(Y y ) = 1 j 8 8 j j Ví dụ 1: P(X=2,Y=1) = = P(X = 2).P(Y = 1) 88 Vậy X,Y không độc lập Phương sai: var(Y) = (yj -EY)2 P(Y=yj) j = (1 ) 2 (2 ) 2 (3 ) 2 (4 ) 2 8 8 10 ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X VÀ Y Bài toán ngược: VD2: Bảng phân phối xác suất đồng thời X Biết bảng pp xs X Y, lập bảng pp xs đồng thời (X,Y) Y 1/18 3/18 2/18 6/18 2/18 6/18 4/18 12/18 3/18 9/18 6/18 VD3: X Y độc lập, có bảng pp xs: Bảng phân phối lề X -1 Y P 1/3 2/3 P 1/5 2/5 2/5 X Y P 1/3 2/3 P 1/6 3/6 2/6 Ta coù: P(X=0,Y=1) = 3/18 = (1/3).(3/6) = P(X=0).P(Y=1) Lập bảng pp xs đồng thời (X,Y) ? Tương tự: P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j 11 Vậy X Y độc lập xác suất 12 ThS Phạm Trí Cao * Chương 11-02-2019 Giải: X, Y độc lập P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j IV LẬP BẢNG PP XS CHO X.Y, TÍNH E(X.Y) Ví dụ 1: XY P(X=-1,Y=0) = P(X=-1).P(Y=0) = (1/3)(1/5) = 1/15 P P(X=2,Y=1) = P(X=2).P(Y=1) = (2/3)(2/5) = 4/15 12 16 18 24 1/8 3/8 0 1/8 2/8 1/8 Tương tự cho xác suất lại P(XY=2) = P(X=2, Y=1) = 1/8 X P(XY=4) = P(X=2,Y=2) + P(X=4,Y=1) = 2/8+1/8 = 3/8 Y -1 2 1/15 2/15 2/15 2/15 4/15 4/15 P(XY=6) = P(X=6,Y=1)+P(X=2,Y=3) = 0+0 = E(XY) = 2.(1/8)+4(3/8)+12.(1/8)+16.(2/8)+18.(1/8) = 19/2 13 14 Lưu ý: Để xác định giá trị X.Y tính xác suất cho dễ, ta lập bảng phụ: Y X 15 4 8 12 16 12 18 24 Tính trực tiếp E(XY): 8 E(XY) = xi y j pij 2(1 2 3 04 0) i j 1 8 8 + 4(1 2.03 4 ) 6(1 02 03 4 0) = 19/2 Bài tập: 1) Lập bảng ppxs cho X+Y? 2) Tính E(X+Y), var(X+Y)? 3) Có sử dụng công thức sau: E(X+Y) = E(X)+E(Y) ? Var(X+Y) = var(X)+var(Y) ? 16 ThS Phạm Trí Cao * Chương 11-02-2019 V PHÂN PHỐI CÓ ĐIỀU KIỆN Giả sử biến cố F xảy P(F) > Phân phối X theo điều kiện F là: P(X x ,F ) i P(X=xi /F) = =P iF P(F ) Ví dụ 1: Xét F = (Y=1) Phân phối có điều kiện X theo F là: XF PiF ½ 1/2 17 Phân phối Y theo điều kiện F laø: P (Y y j , F ) P(Y=yj /F) = = PFj P (F ) Ví dụ 1: Xeùt F = (X=4) YF PFj 1/4 ¼ 2/4 P(Y=1/X=4) = P ( X , Y 1) P (X 4) Tính chất: 19 0