Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát điều khiển được với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc

Bài viết trình bày việc mở rộng mô hình của Maikol A. Diasparra và Rosaria Romera (2009) với dãy tiền chi trả bảo hiểm là phụ thuộc Markov và dãy tiền lãi là phụ thuộc hồi quy cấp 1. Từ đó, chúng tôi đưa ra các ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình đó. Phương pháp đệ quy được sử dụng để thiết lập bất đẳng thức Lundberg tổng quát cho các xác suất thiệt hại.

ISSN: 1859-2171 e-ISSN: 2615-9562 TNU Journal of Science and Technology 204(11): 131 - 136 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MƠ HÌNH BẢO HIỂM TỔNG QT ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC Phùng Duy Quang1*, Nguyễn Ngọc Hải2 Trường Đại học Ngoại thương, 2Trường Đại học Cơng đồn TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi mở rộng mơ hình Maikol A Diasparra Rosaria Romera (2009) với dãy tiền chi trả bảo hiểm phụ thuộc Markov dãy tiền lãi phụ thuộc hồi quy cấp Từ đó, chúng tơi đưa ước lượng xác suất thiệt hại cho mơ hình Phương pháp đệ quy sử dụng để thiết lập bất đẳng thức Lundberg tổng quát cho xác suất thiệt hại Kết đáng ý cơng trình định lý: Xây dựng ước lượng chặn cho xác suất thiệt hại mơ hình dạng hàm mũ phương pháp đệ quy Từ khóa: xác suất thiệt hại; xích Markov nhất, trình rủi ro điều khiển được, phương pháp đệ quy, phụ thuộc Markov, phụ thuộc hồi quy Ngày nhận bài: 06/5/2019; Ngày hoàn thiện: 13/8/2019; Ngày đăng: 19/8/2019 RUIN PROBABILITY IN A CONTROLLED RISK PROCESS UNDER RATES OF INTEREST WITH DEPENDENT RANDOM VARIABLES Phung Duy Quang1*, Nguyen Ngoc Hai2 Foreign Trade University, 2Trade Union University ABSTRACT In this paper, we extend the model reviewed by Maikol A Diasparra and Rosaria Romera (2009) to produce ruin probability estimates for the general insurance model with the effect of interest rate with Markov's range of insurance payouts is dependent and the range of interest is dependent on fisrt order regression with the range of insurance payments and the range of interest is a series of random variables that receive values in positive numbers The main purpose of the paper is that we use recursive methods to establish general Lundberg inequalities for ruin probabilities Since then, this paper obtained the main result is Theorem 2, constructing the upper bound estimates for the ruin probability of the model in exponential form by recursive method Key words: ruin probability, homogenous Markov chain, autoregressive process, recursive technique Received: 06/5/2019; Revised: 13/8/2019; Published: 19/8/2019 * Corresponding author Email: quangpd@ftu.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 131 Phùng Duy Quang Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN Giới thiệu Gần đây, toán thiệt hại mơ hình bảo hiểm thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu [1], [2], [3] Trong mơ hình bảo hiểm cổ điển, q trình u cầu bồi thường giả định trình Poisson số tiền bồi thường cá nhân mô tả biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối.Teugels Sundt [2] nghiên cứu xác suất thiệt hại theo mơ hình bảo hiểm Poisson phức hợp với lãi suất số Yang [4] xây dựng ước lượng chặn dạng mũ không dạng mũ cho xác suất thiệt hại mô hình bảo hiểm với lãi suất dãy tiền thu dãy tiền chi trả bảo hiểm độc lập Cai ([5], [6]) ước lượng xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm với dãy tiền thu chi bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập, lãi suất trình tự hồi quy cấp Cai Dickson [7] xây dựng bất đẳng thức Lundberg xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm thời gian rời rạc với lãi suất phụ thuộc Markov dãy tiền thu chi bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập Xu Wang [9] đưa ước lượng chặn cho xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm có tác động lãi suất với dãy tiền thu chi bảo hiểm trình tự hồi quy cấp 1, lãi suất dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Phùng Duy Quang [14], [15], [16], [17], [18] đưa ước lượng chặn cho xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm có tác động lãi suất với dãy tiền biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov phương pháp đệ quy phương pháp Martingale Ngoài ra, nhiều kết nghiên cứu mơ hình bảo hiểm, nơi mà q trình rủi ro kiểm sốt tái bảo hiểm tỷ lệ Tiêu chí thực lựa chọn chiến lược kiểm soát tái bảo hiểm để ràng buộc xác suất phá hoại trình rời rạc với lãi suất phụ thuộc Markov Kiểm sốt q trình rủi ro lĩnh vực hoạt động rộng, đặc biệt thập kỷ qua; xem [8], [11], [12] Tuy 132 204(11): 131 - 136 nhiên, việc có giải pháp tối ưu rõ ràng nhiệm vụ khó khăn bối cảnh chung Maikol A Diasparra Rosaria Romera [9] thu ước lượng Lundberg xác suất thiệt hại trình rủi ro thời gian rời rạc điều khiển với dãy lãi suất phụ thuộc Markov, dãy biến ngẫu nhiên độc lập Trong cơng trình [19], Phùng Duy Quang mở rộng kết cho dãy phụ thuộc Markov sử dụng phương pháp ước lượng Martingale Trong cơng trình này, chúng tơi mở rộng mơ hình xem xét Maikol A Diasparra Rosaria Romera [9] để đưa ước lượng xác suất thiệt hại cho mơ hình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất có điều khiển với dãy tiền chi trả bảo hiểm phụ thuộc Markov dãy lãi suất phụ thuộc hồi quy cấp với phương pháp ước lượng sử dụng báo phương pháp đệ quy phương pháp Martingale Mơ hình giả thiết Gọi Yn số tiền chi trả thứ n, Zn biến ngẫu nhiên khoảng cách hai thời điểm chi trả thứ n n -1, In lãi suất thứ n Chúng ta giả thiết Yn, Zn, In biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (, A, P) Khi đó, xét q trình rủi ro tái bảo hiểm với thời gian rời rạc U n n  với vốn ban đầu u xác định sau: U n  U n1 (1  I n )  C(bn1 ).Zn  h(bn 1 , Yn ), n  1, (1) Ý nghĩa biến hàm mô tả giả thiết sau: Giả thiết U o  u  Giả thiết Yn n  xích Markov nhất, cho Yn nhận giá trị tập số không âm GY   y1 , y2 , , yn ,  với Yo = yi pij  P  : Yn 1 ()  y j Yn ()  yi  (n  N , yi  GY , y j  GY ),  Ở đây,  pij  1,  pij  j 1 Giả thiết I n n0 dãy biến ngẫu nhiên khơng âm, tn theo mơ hình tự hồi quy cấp 1: http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Phùng Duy Quang Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN I n  I n1  Wn ,    1, I o  io  0,  Wn n  204(11): 131 - 136 Xét trạng thái ban đầu tùy ý: U o  u  dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập phân phối với hàm phân phối: trình điều khiển   an n 1 Khi đó, G(t)  P   ; Wo ()  t  Giả thiết Z n n  dãy biến ngẫu nhiên liên tục độc lập phân phối với hàm phân phối xác suất: F ( z )  P   ; Z o ()  z  Giả thiết Chúng ta ký hiệu C( b ) tác động bên trái thu bảo hiểm công ty bảo hiểm mức trì b chọn:  C (b)  c, b  B Quá trình điều khiển tái bảo hiểm, ứng với việc chọn mức b  B B : bmin ,1 , bmin   0,1 Tỷ suất thu bảo hiểm c cố định Giả thiết Chúng ta ký hiệu hàm h( b, y ) nhận giá trị khoảng  0, y  quy định cụ thể phần yêu cầy bồi thường y cơng ty bảo hiểm chi trả phụ thuộc vào mức trì b vào đầu kỳ Do y - h(b, y) phần bên tái bảo hiểm chi trả Mức trì b = thay cho việc khơng có tái bảo hiểm Trong báo xét trường hợp tái bảo hiểm theo tỷ lệ, với hàm h xác định bởi: h( b, y )  b.y, với b  B (2) Thông thường, số bm in giả thiết chọn bởi: bmin : b  0,1; C (b)  0 Giả thiết Chúng ta giả thiết dãy Yn n  , Wn n0 I n n0 dãy biến ngẫu nhiên độc lập Giả thiết Chúng ta xem xét trình điều khiển Markov   an n 1 , mà thời điểm n phụ thuộc vào trạng thái tại: an (U n ) : bn với n  Về mặt hình thức ký hiệu: a :   B, với    ,B không gian định http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn với n  1, U n xác định sau: n n n   U n  u (  I l )    C( bn 1 )Z l  bl 1 Yl  (  I m ) ,( ) l 1  l 1 m  l 1  Xác suất thiệt hại dùng trình điều khiển  , với vốn ban đầu u, số tiền chi trả ban đầu Yo  yi , giá trị lãi suất ban đầu I o  ir thỏa mãn giả thiết đến xác định sau:     ( u, yi ,io )  P  (U k  ) U o  u,Yo  yi , I o  io  ,( )  k 1  Hay viết:   (u, yi ,io )  P Uk  , k  Uo  u,Yo  yi ,Io  io  ,( ) Tương tự, xác suất thiệt hại với thời gian hữu hạn dùng trình điều khiển  , với vốn ban đầu u, số tiền chi trả ban đầu Yo  yi , giá trị lãi suất ban đầu I o  io thỏa mãn giả thiết đến xác định sau:   (U k  ) U o  u,Yo  yi , I o  io  ,( )  k 1   n ( u, yi ,io )  P  n Từ (5) (6), dễ dàng thu được: lim n ( u, yi ,io )    ( u, yi ,io ) n Ký hiệu  khơng gian q trình điều khiển Một q trình điều khiển  gọi tối ưu với cặp giá trị ban đầu (Yo, Io) = (yi, ir), có: *  (u, yi , io )   (u, yi , io ) * với  Kết thảo luận Mục đích cơng trình sử dụng phương pháp đệ quy để xây dựng ước lượng chặn cho xác suất thiệt hại mơ hình (1) Để mở rộng kết Maikol A Diasparra Rosaria Romera [9], tác giả báo đề xuất giả thiết từ đến xây dựng kết nghiên cứu định lý Để chứng minh 133 Phùng Duy Quang Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN định lý 2, trước hết chứng minh định lý sau đây: Định lý Cho mơ hình (1) với giả thiết từ đến 8, với n = 1, 2, 3, ta có   j1  n 1 (u, yi , i o )   pij        dF(z)   n   j1 1 (u, yi , i o )   pij   bo y j  u(1io  t)  C(bo )  0 dF(z)         (u(1  io  t)  bo y j  C(b o )z, y j , i o  t)dF(z)  dG(t) (8)  bo y j  u(1io  t)  C(bo )  Với quy ước: v  ii) Nếu v   dF(z)   dF(z) , điều phải t  chứng minh Sử dụng kết Định lý bổ đề, chứng minh kết báo định lý Với giả thiết cho Định lý Bổ đề Ro > Với yi  GY   y1 , y2 , , yn ,  u   (u, yi , io )  E e Ro u(1 I1 ) Io  io  (11) F(v)  ,  v t  1  inf e R o C(bo )t  e  R o C(bo )z dF(z) t 0 F(t) v v     (h(z), yi , io )dF(z)  0 Sử dụng định nghĩa (4), (6) tính chất xác suất cổ điển, ta dễ dàng suy điều phải chứng minh Để thiết lập kết ước lượng chặn xác suất thiệt hại cho mơ hình (1), ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề Cho mơ hình (1) với giả thiết từ đến 8, E (bo Y1  C(bo )Z1 ) Yo  yi   , P  bo Y1  C(bo )Z1  Yo  yi   , ,    1.(12) Chứng minh Ta xét trường hợp: Trường hợp Chứng minh (9) Với yi  GY tồn số dương R i 134 fi (0)  0; fi' (0)  0; lim fi (t)   suy Trong i) Nếu thỏa mãn: Xét hàm số Định lý  iii) Nếu Chứng minh Từ tính chất hàm fi(t): Hàm fi(t) hàm lồi     (u(1  io  t)  bo y j  C(b o )z, y j , i o  t)dF(z)  dG(t) (7)  bo y j  u(1io  t)  C(bo )    R C( b )Z  b Y  E   e i  o o  Yo  y i   1(10)     t C(b )Z  b Y   fi (t)  E  e  o o  Y1  yi   1, t   0;      bo y j  u(1io  t) C(bo ) 204(11): 131 - 136 t eR oC(bo )t  eR oC(bo )z dF(z)   inf t 0 F(t) Từ (12) suy    với v >   F(v)  .eRo C(bo )v E eRoC(bo )Z1 (13) Đặt bo y j  u(1  i o  t)   K1   j  1, 2,  :  0 , C(b )  o  bo y j  u(1  i o  t)   K   j  1, 2,  :  0 C(bo )   Từ công thức (8) ta có: 1 (u, yi , i o ) http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Phùng Duy Quang Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN 204(11): 131 - 136    bo y j  u(1  i o  t)   p  dG(t)  ij   F  C(b ) o jK1        bo y j  u(1  i o  t)     pij   F   dG(t)   C(bo ) jK     Cho n dần đến vơ (17), ta có Sử dụng cơng thức (13) ta có Với   n (n  N* ), công thức (18) trở thành  n (u, yi , io )     (u, yi , io )     bo y j  u(1  io  t)   p  dG(t)  ij   F  C(bo ) jK       R C(b )y u(1io  t)    E  e  R oC(bo )Z1 dG(t).(14)    pij   e o  o j   jK    bo y j  u(1  i o  t)  Đồng thời F    C(b o )   j  K1 nên suy      bo y j  u(1  io  t)   p  dG(t)   ij   F  C(bo ) jK1       R C(b )y u(1io  t)   E  e  R oC(bo )Z1    pij   e o  o j  jK1     dG(t).(15)  Từ (14) (15) ta thu 1 (u, yi , io )  E e Ro u(1 I1 ) Io  io  Sử dụng bổ đề 1, định lý chứng minh quy nạp thu được: n (u, yi , io )  E e Ro u(1 I1 ) Io  io  (16) Cho n dần đến vô (16) ta thu bất đẳng thức (11) Trường hợp  (u, yi , io )     Ro u(1 I1 ) E e Io  i o  (17)       Ro u(1 I1 ) E e Io  io  (18)       Ro u(1 I1 ) E e Io  io  (19)   n Cho n dần đến vô (19) ta thu   (u, yi , io )   E  e Ro u(1 I1 ) Io  i o    Do vậy, bất đẳng thức (11)   □ Kết luận Bài báo sử dụng phương pháp đệ quy xét mô hình đưa Maikol A Diasparra Rosaria Romera [9] Chúng mở rộng kết Maikol A Diasparra Rosaria Romera [9] để đưa ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất có điều khiển với dãy tiền chi trả bảo hiểm phụ thuộc Markov dãy tiền lãi suất phụ thuộc hồi quy cấp 1, dãy nhận giá trị tập số dương Ghi chú: Bài viết kết nhóm nghiên cứu “Mơ hình Tốn ứng dụng số vấn đề kinh tế -xã hội” thuộc trường Đại học Ngoại thương TS Phùng Duy Quang làm Trưởng nhóm nghiên cứu Nếu TÀI LIỆU THAM KHẢO t e R o C(bo )t  e  R o C(bo )z dF(z) Chứng minh tương tự mục a), ta có [1] B Sundt and J L Teugels, “Ruin estimates under interest force”, Insurance: Mathematics and Economics, 16 (1995), pp 7-22, 1995 [2] B Sundt and J L Teugels, “The adjustment function in ruin estimates under interest force” Insurance: Mathematics and Economics, 19 (1997), pp 85-94, 1997 [3] H U Gerber, An Introduction to Mathematical Risk Theory, Monograph Series, Vol.8.S.S Heubner Foundation, Philadelphia, 1979 [4] H Yang, “Non – exponetial bounds for ruin probability with interest effect included”, Scandinavian Actuarial Journal, 2(1999), pp 6679, 1999 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 135 inf t 0 F(t)      t Với   : e R o C(bo )t  e  R o C(bo )z dF(z) F(t) v F(v)  eR oC(bo )v  eR oC(bo )z dF(z)   Phùng Duy Quang Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN [5] J Cai, “Discrete time risk models under rates of interest” Probability in the Engineering and Informational Sciences, 16 (2002), pp 309-324, 2002 [6] J Cai, “Ruin probabilities with dependent rates of interest”, Journal of Applied Probability, 39 (2002), pp 312-323, 2002 [7] J Cai and D C M Dickson, “Ruin Probabilities with a Markov chain interest model” Insurance: Mathematics and Economics, 35 (2004), pp 513-525, 2004 [8] J Grandell, Aspects of Risk Theory, Springer, Berlin, 1991 [9] L Xu and R Wang, “Upper bounds for ruin probabilities in an autoregressive risk model with Markov chain interest rate”, Journal of Industrial and Management optimization, Vol.2 No.2 (2006),165- 175, 2006 [9] Maikol A Diasparra and Rosaria Romera, Inequalities for the ruin probability in a controlled discrete-time risk process, Woking paper, Statistics and Econometrics Series, 2009 [10] O Hernández-Lerma, J B Lasserre, Discrete- Time Markov Control Processes: Basic Optimality Crieria, Springer- Verlag, New York, 1996 [11] O Hernández-Lerma, J B Lasserre, Further Topics on Discrete- Time Markov Control Processes, Springer- Verlag, New York, 1999 [12] O Hernández-Lerma, J B Lasserre, Markov Chains and Invariant Probabilities Birkhauser, Basel, 2003 [13] S D Promislow, “The probability of ruin in a process with dependent increments" Insurance: 136 204(11): 131 - 136 Mathematics and Economics, 10 (1991), pp 99107, 1991 [14] P D Quang, “Ruin Probability in a Generalized Risk Process under Rates of Interest with Homogenous Marrkov Chain premiums”, Int.J.Stat Probab., (2013), pp 85-92, 2013 [15] P D Quang, “Upper bounds for Ruin Probability in a Generalized Risk Process under Rates of Interest with Homogenous Markov Chain claims”, Asian J Math Stats., (2014), pp 1-11 2014 [16] P D Quang, “Upper bounds for Ruin Probability in a Generalized Risk Process under Rates of Interest with Homogenous Markov Chain claims and Homogenous Markov Chain premiums”, Applied Mathematical Sciences, Vol.8, No.29, pp 1445-1454 (Scopus), 2014 [17] P D Quang, “Martingale Method for Ruin Probability in a Generalized Risk Process under Rates of Interest with Homogenous Markov Chain Premiums and Homogenous Markov Chain Interests”, Journal of tatistics Applications & Probability Letters, Vol.2, No.1, pp 15-22, 2015 [18] P D Quang, “Ruin Probability in a Generalised Risk Process under Rates of Interest with Homogenous Markov Chains”, East Asian Journal on Applied Mathematics, Vol.4, No.3, pp 283-300 (SCIE), 2014 [19] P D Quang, “Phương pháp Martingale ước lượng xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm tổng quát có điều khiển với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov”, Tạp chí KH & CN- Đại học Thái Nguyên, Tập 178 (Số 2), tr 139-144, 2017 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn ... cho xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm với lãi suất dãy tiền thu dãy tiền chi trả bảo hiểm độc lập Cai ([5], [6]) ước lượng xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm với dãy tiền thu chi bảo hiểm dãy. .. chi bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập Xu Wang [9] đưa ước lượng chặn cho xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm có tác động lãi suất với dãy tiền thu chi bảo hiểm trình tự hồi quy cấp 1, lãi suất. .. suất dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Phùng Duy Quang [14], [15], [16], [17], [18] đưa ước lượng chặn cho xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm có tác động lãi suất với dãy tiền biến ngẫu nhiên