Xác suất phá sản trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov

Bài viết tập trung nghiên cứu mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất. Có ba hướng tiếp cận để nghiên cứu xác suất phá sản/không phá sản: ước lượng bằng bất đẳng thức, phương pháp mô phỏng Monte- Carlo, tính chính xác. Bài viết còn xây dựng công thức tính chính xác xác suất phá sản trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với dãy số tiền thu, dãy số tiền đòi trả và dãy lãi suất là các dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, phụ thuộc Markov với dãy thu , dãy đòi trả và dãy lãi suất là độc lập với nhau.

Phùng Duy Quang Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 185(09): 39 - 43 XÁC SUẤT PHÁ SẢN TRONG MƠ HÌNH BẢO HIỂM TỔNG QT CĨ TÁC ĐỘNG CỦA LÃI SUẤT VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV Phùng Duy Quang*, Phan Thị Hương Trường Đại học Ngoại thương TĨM TẮT Trong báo chúng tơi nghiên cứu mơ hình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất Có ba hướng tiếp cận để nghiên cứu xác suất phá sản/không phá sản: ước lượng bất đẳng thức, phương pháp mô Monte- Carlo, tính xác Bài báo xây dựng cơng thức tính xác xác suất phá sản mơ hình bảo hiểm tổng quát có tác động lãi suất với dãy số tiền thu, dãy số tiền đòi trả dãy lãi suất dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, phụ thuộc Markov với dãy thu , dãy đòi trả dãy lãi suất độc lập với Kỹ thuật sử dụng báo công cụ lý thuyết xác suất cổ điển Từ khóa: Xác suất phá sản, xác suất khơng phá sản, xích Markov, q trình rủi ro, cơng thức xác GIỚI THIỆU* Trong lý thuyết rủi ro cổ điển, hai mơ hình rủi ro nghiên cứu mơ hình nhị thức phức hợp với thời gian rời rạc, dãy số tiền đòi trả giả thiết biến ngẫu nhiên nhận giá trị ngun dương, mơ hình Poisson phức hợp với thời gian liên tục, dãy số tiền đòi trả giả thiết biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất liên tục tuyệt đối Mặc dầu mơ hình liên tục nghiên cứu phổ biến, mơ hình rời rạc cung cấp số ứng dụng đặc biệt đưa cách hiểu thực tế toán tốt Gần đây, Picard Lefèvre [1] đưa công thức dạng hiện, gọi công thức Picark – Lefèvre (công thức P.L) để xác định xác suất không phá sản thời gian hữu hạn mơ hình Poisson phức hợp với dãy số tiền đòi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương Đây cách tiếp cận quan trọng thực tế tốn xác định xác suất phá sản (không phá sản) đòi hỏi kết thực nghiệm số (xem, DeVylder Goovaerts [2]) Ý nghĩa quan trọng công thức P L nghiên cứu De Vylder and Goovaerts [3], Gerber [4], Ignatov, Kaishev and Krachunov [5] * Tel: 0912 083250, Email: quangpd@ftu.edu.vn Một nghiên cứu công thức có so sánh với nghiên cứu khác cung cấp De Vylder ([6], [7]) đưa cơng thức tương tự cho mơ hình Poisson phức hợp với dãy số tiền đòi trả liên tục Một cách tiếp cận khác mà Rullière Loisel [8] cơng thức P L có liên hệ với định lý Ballot công thức kiểu Seal (xem Seal [9]) Trong cơng trình Claude Lefèvre Stéphane Loisel (xem [10]) xây dựng công thức tính xác xác suất phá sản cho mơ hình cổ điển với giả thiết dãy số tiền đòi trả nhận giá trị nguyên dương chưa đề cập đến cơng thức tính xác xác suất phá sản cho mơ hình tổng qt có tác động lãi suất với vốn công ty bảo hiểm thời kỳ t là: Ut  Ut 1 (1  It )  Xt  Yt ; t  1, 2, (1) Trong Uo = u >0, u số vốn ban đầu hãng bảo hiểm, dãy số tiền thu bảo hiểm X = Xi i 1 , dãy số tiền đòi trả bảo hiểm Y = Y  j j1 , dãy lãi suất I = I n n  01 giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập phân phối dãy biến ngẫu nhiên X, Y, I độc lập với Trên thực tế, vốn, thời gian t, số tiền thu bảo hiểm Xi lần thứ i, số tiền trả bảo hiểm Yj 39 Phùng Duy Quang Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ lần thứ j, nhận giá trị nguyên dương lãi suất It lần thứ t nhận giá trị dương (miền giá trị X, Y, hữu hạn) Với giả thiết này, mục đích báo xây dựng cơng thức tính xác xác suất phá sản mơ hình (1) trường hợp dãy X, Y, I xích Markov X, Y, I độc lập với Bài báo sử dụng kiến thức Lý thuyết xác suất cổ điển đưa cơng thức tính xác xác suất phá sản (khơng phá sản) cho mơ hình (1) MƠ HÌNH VÀ CÁC GIẢ THIẾT Xét mơ hình (1) với giả thiết sau: Giả thiết 2.1: vốn ban đầu Uo = u, thời gian t nhận giá trị nguyên dương Giả thiết 2.2: dãy số tiền thu X = Xi i 1 nhận giá trị EX  1, 2, 3, , M xích Markov với ma trận xác suất chuyển sau bước: P = [pij]M x M: pij  PX n 1  j X n  i (n  1, 2, ) ;  pij  1; i, j  E X :  pij  jE X Phân phối ban đầu: P(X1  i)  pi (i  EX ) P(Xn  M  )  , tức dãy số tiền thu bị chặn (hầu chắn) P(Xn  0)   P(Xn  0)  1, tức dãy số tiền thu dương (hầu chắn) Giả thiết 2.3: dãy số tiền đòi trả Y = Yi i1 nhận giá trị E Y  1, 2, 3, ,N xích Markov với ma trận xác suất chuyển sau bước: Q = [qij]N x N: q ij  PYn 1  j Yn  i (n  1, 2, ) ;  q ij  1; i, j  E Y :  q ij  jE Y Phân phối ban đầu: P(Y1  i)  qi (i  E Y ) P(Yn  N  )  , tức dãy số tiền đòi trả ln bị chặn (hầu chắn) 40 185(09): 39 - 43 P(Yn  0)   P(Yn  0)  1, tức dãy số tiền đòi trả dương (hầu chắn) Giả thiết 2.4: dãy lãi suất I = I i i1 nhận giá trị E I  i1 , i , ,i H  xích Markov với ma trận xác suất chuyển sau bước: R = [rks]H x H: rks  PI n 1  i s I n  i k (n  1, 2, ) ; H  rks  1; k , s  1,2, ,H:  rks  s 1 Phân phối ban P(I1  i s )  rs (s  1,2, ,H) đầu: P(I n  i H  )  1, tức dãy lãi suất bị chặn (hầu chắn) P(I n  0)   P(I n  0)  1, tức dãy lãi suất dương (hầu chắn) Giả thiết 2.5: X, Y, I độc lập với Trước hết, từ (1.1) ta có: t t t 1   U t  u. (1  I k )    (X k  Yk )  (1  I j )  k 1  k 1 j k 1   X t  Yt , (2) Gọi Tu thời điểm phá sản công ty bảo hiểm: Tu  inf  j:U j  0 Khi đó, xác suất phá sản mơ hình (1) đến thời điểm t xác định sau:  t   (1) (u)  P(T  t)  P  U(U j  0)  , (3) t u  j1  Và xác suất khơng phá sản mơ hình (1) đến thời điểm t xác định sau: (1) (1) t (u)    t (u)  t   P(Tu  t  1)  P  I (U j  0)  , (4)  j1  Để xây dựng cơng thức tính xác suất (3) (4) Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau: Bồ đề Với số dương u dãy số  dương x i i1 , yi i1 , i j t t t j1 Phùng Duy Quang Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ Với p mà (1  p  t  1) thỏa mãn: A:=   (U j  0)   u  (1  I k )  X1  Y1  j1  k 1  t p p 1 p k 1 k 1 j k 1 I y p  u  (1  i k )   (x k  y k )  (1  i j )  x p (5)     u  (1  I k )   (X k  Yk )  (1  I j )  X  Y2   k 1 j k 1  k 1      u (1  Ik )   (X k  Yk )  (1  I j )  X3  Y3   k 1 j k 1  k 1  t t 1  t    u (1  Ik )   (X k  Yk )  (1  I j )  X t  Yt  , (8) k 1 j k 1  k 1  p 1 p p 1 k 1 k 1 j k 1 u (1  i k )   (x k  y k )  (1  i j )  x p 1  0, (6) Chứng minh: Nếu có (5), tức p 1 p Từ giả thiết 2.4 I1  i m1 , I2  i m2 , , It  i mt với p y p  u  (1  i k )   (x k  y k )  (1  i j )  x p k 1 k 1 185(09): 39 - 43 j k 1 p p 1 p k 1 k 1 j k 1 tập Khi đó, ta có  m1 , m2 , , mt  H p p1 k 1 k 1 jk 1 p 1 p 1 k 1 k 1 j k 1 1, 2, , H thỏa mãn điều kiện:    Ký hiệu: u (1  i k )   ( x k  y k )  (1  i j )  x p1 p 1 đặt m1 , m2 , ,m t số nguyên dương thuộc  x p  y p  u  (1  i k )   (x k  y k )  (1  i j ) p1 ta A im im     I1  i m1  I2  i m   I t  i m t .i m t  u  (1  i k )   (x k  y k )  (1  i j ) Khi đó, dãy I xích Markov nên ta có:  (x p  y p )(1  i p 1 )  x p 1 P(Aim im p 1 p 1 p 1 k 1 k 1 j k 1       )  P  I1  i m1  I2  i m2   I t  i mt    .imt       P I1  i m1 P I  i m2 I1  i m1 P I t  i mt I t 1  i mt 1  u  (1  i k )   (x k  y k )  (1  i j )   rm1 rm1m2 rmt 1mt (9) Từ giả thiết 2.2 ta đặt X1 = x1, X2 = x2, …, Xt = xt với x1 , x , ,x t số nguyên dương p p 1  p    u  (1  i k )   (x k  y k )  (1  i j )  (1  i p 1 ) k 1 j k 1  k 1   x p 1  x p 1  thỏa mãn điều kiện:  i1 ,i2 , ,i t  R Ký hiệu: Hay (6) đúng. Bx1x2 x t   X1  x1    X2  x     X t  x t  Khi đó, ta có cơng thức tính xác suất khơng thiệt hại mơ hình (1): Khi đó, dãy X xích Markov nên ta có: Định lý Với giả thiết mơ hình (1) xác suất khơng phá sản đến thời điểm t tính theo cơng thức: P(Bx1x x t )  PX1  x1   X  x    X t  x t  (1) t (u)  H  M  m1 ,m , ,m t 1 x1 ,x , ,x t 1      y1  u 1 (1imk )  x1     k 1 t t 1  t  y t   u  (1 i mk )   (x k  y k )  (1 i m j )  x t  k 1 j  k 1  k 1   p x1 p x1x p x t 1x t (10) Khi (8) viết dạng: rm1 rm1m2 rmt 1mt p x1 p x1x p x t 1x t   P  X1  x1  P  X  x X1  x1  P  X t  x t X t 1  x t 1  q y1 q y1y2 q yt 1yt (7)      A= U (I H m1 ,m , ,m t 1 M U (X Chứng minh x1 ,x , ,x t 1 Trước hết, ta có: Cixm1xi2m x it m   i m1 )  (I  i m2 )   (I t  i mt )   x1 )  (X  x )   (X t  x t ) t 41 Phùng Duy Quang Đtg  H M U U im1 ,im2 , ,i mt 1 x1 ,x , ,x t 1 A Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ   Bx1x x t  Cixm1xi2m x it m , (11) im1 im2 imt t   Cixm1xi2m x it m   Y1  u  (1  i m k )  x1  t k 1   t t t 1     Yt  u  (1  i mk )   (x k  Yk )  (1  i m j )  x t  , (12) k 1 k 1 j k 1   Do giả thiết 2.3 nên ta đặt Y1 = y1, Y2 = y2, …, Yt-1 = yt-1 với y1 , y2 , , y t 1 số nguyên dương Khi (12) trở thành:  U t t t 1     Yt  u (1  i k )   (x k  y k )  (1  i j )  x t  , (13) k 1 k 1 j k 1   Cũng có giả thiết 2.3 nên đặt Yt = yt với yt số nguyên dương Khi (13) trở thành: Cixm1xi2m x it m  t U U     y1   u  (1 i mk )  x1  y2   u  (1 i m )   (x k  y k )  (1 i m )  x  k j  k 1  k 1 j  k 1  k 1  (Y1  y1 )   (Yt  y t ), (14) U t t 1  t  y t   u  (1 i mk )   (x k  y k )  (1 i m j )  x t  k 1 j  k 1  k 1  Do dãy Y xích Markov nên ta có: P  Y1  y1    Y2  y     Yt  y t    P  Y1  y1  P  Y2  y Y1  y1  P  Yt  y t Yt 1  y t 1   q y1 q y1y2 q yt 1yt Mặt khác,  Y  y    Y 1 hệ biến cố  y     Yt  y t  (14) xung khắc nên ta có  P Cixm1xi2m x it m t     y1   u  (1 i mk )  x1   k 1   t t 1  t  y t   u  (1 i mk )   (x k  yk )  (1 i m j )  x t  k 1 j  k 1  k 1  q y1 q y1y2 q yt 1yt (15) Do X, Y, I độc lập nên biến cố Aim im .i mt , Bx1x x t , Cixm1xi2m x it m t biến cố độc lập Đồng thời, hệ biến cố 42  M  m1 ,m , ,m t 1 x1 ,x , ,x t 1 P Aim im  P A H  m1 ,m2 , , m t 1 x1 ,x , , x t 1  H  M  m1 ,m , ,m t 1 x1 ,x , ,x t 1      y1  u 1 (1 imk )  x1  k 1    H  .i mt M t  (11)  i m1i m i m t P A im im .i m t  Bx1x x t  Cixm1xi2m x it m .PB  P  B x1x x t x1x x t .PC t x1x x t i m1i m i m t     t t 1  t  y t   u  (1 i mk )   (x k  y k )  (1 i m j )  x t  k 1 j  k 1  k 1  q y1 q y1y2 q yt 1yt      M  m1 ,m , ,m t 1 x1 ,x , ,x t 1     y1   u  (1 i mk )  x1  y   u  (1 i m )   (x k  y k )  (1 i m )  x  k j  k 1  k 1 j  k 1  k 1  H   U (1) t (u)  P(A)  2     Y2  u  (1  i mk )   (x k  Yk )  (1  i m j )  x   k 1 k 1 j k 1   C  Bx1x2 x t  Cixm1xi2m x it m i m1 i m2 imt hệ biến cố xung khắc Do đó, sử dụng kết (9), (10) (15) ta có: Trong x1x x t i m1 i m2 i m t A 185(09): 39 - 43      y1  u 1 (1 imk )  x1     k 1 rm1 rm1m2 rm t 1m t p x1 p x1x p x t 1x t   q q q  t y1 y1 y y t 1 y t  t 1  t   y t   u  (1 i mk )   (x k  y k )  (1 i m j )  x t  k 1 j  k 1  k 1   (16) Định lý chứng minh. Hệ Xác suất phá sản đến thời điểm t mơ hình (1) là: (1) (1) t (u)   t (u) (17) Nhận xét Công thức (7) (17) cho phép tính xác suất khơng phá sản (hoặc phá sản) mơ hình (1) thơng qua phân phối ban đầu X1, Y1, I1 ma trận xác suất chuyển xích Markov tương ứng với giả thiết biến ngẫu nhiên X1, Y1 nhận giá trị nguyên dương I1 nhận giá trị dương KẾT LUẬN Sử dụng kiến thức xác suất cổ điển với giả thiết dãy số tiền đòi trả bảo hiểm, dãy số tiền thu bảo hiểm, vốn ban đầu, thời gian t nhận giá trị nguyên dương lãi suất nhận giá trị dương, báo thư kết quả: Bài báo xây dựng cơng thức tính xác suất phá sản (khơng phá sản) cho mơ hình (1) với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên xích Markov nhận giá trị nguyên dương Phùng Duy Quang Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ TÀI LIỆU THAM KHẢO Picard, Ph And Lefèvre, Cl., 1997, The probability of ruin in finite time with discrete claim size distribution Scandinavian Actuarial, 58 – 69 De Vylder, F E an d Goovaerts, M.J., 1998, Recursive calculation of finite – time ruin probabilities, Insurance: Mathematics and Economics,7, 1-7 De Vylder, F E an d Goovaerts, M.J., 1999, Explicit finite – time and infinite – time ruin probabilities in the continuous case Insurance: Mathematics and Economics,24,155-172 Gerber, H.U., 1979, An Introduction to Mathematical Risk Theory S S Huebner Foundation Monograph, University of Philadelphia: Philadelphia Insurance: Mathematics and Economics,24,155-172 Ignatov, Z.G., Kaishev, V K and Krachunov, R S., 2001, An improved finite – time ruin 185(09): 39 - 43 probability formula and its Mathematica implemention Insurance: Mathematics and Economics,29,375-386 De Vylder, F E., 1999, Numerical finite – time ruin probabilities by the Picard – Lefèvre formula Scandinavian Actual Journal, 2, 97-105 De Vylder, F E., 1997, La formule de Picard dt Lefèvre pour la probabilité de ruine en temps fini, Bulletin Francais d’Actuariat, 1, 31-40 Rullière, D and Loisel, St., 2004, Another look at the Picard – Lefèvre formula for finite – time ruin probabilities Insurance: Mathematics and Economics,35,187-203 Seal, H L., 1969, The Stochastic Theory of a Risk Business, J Wiley: NewYork 10 Claude Lefèvre, Stéphane Loisel, 2008, On finite - time ruin probabilities for classical models, Scandinavian Actuarial Journal, Volume 2008, Issue ABSTRACT RUIN PROBABILITIES IN GENERALIZED RISK PROCESSES UNDER INTEREST FORCE WITH SEQUENCES MARKOV DEPENDENCE RANDOM VARIABLES Phung Duy Quang*, Phan Thi Huong Foreign Trade University This paper we study the general model of insurance with the effect of interest rates There are three approaches to studying the probability of ruin: using the method of estimation, the method of Monte-Carlo simulation, using the method of exact formula.The aim of this paper to built an exact formula for ruin probabilities for generalized risk processes under interest force with sequences markov depedence random variables and these sequence are usually assumed to be integer – valued random variables Exact formula for ruin probabilities are derived by using technique of classical probability Keywords: ruin probability, unruin probability, Markov chain, risk process, Exact formula Ngày nhận bài: 12/6/2018; Ngày phản biện: 22/6/2018; Ngày duyệt đăng: 31/8/2018 * Tel: 0912 083250, Email: quangpd@ftu.edu.vn 43 ... I độc lập với Bài báo sử dụng kiến thức Lý thuyết xác suất cổ điển đưa cơng thức tính xác xác suất phá sản (không phá sản) cho mô hình (1) MƠ HÌNH VÀ CÁC GIẢ THIẾT Xét mơ hình (1) với giả thiết... X t  x t  Khi đó, ta có cơng thức tính xác suất khơng thiệt hại mơ hình (1): Khi đó, dãy X xích Markov nên ta có: Định lý Với giả thiết mơ hình (1) xác suất khơng phá sản đến thời điểm t tính... phá sản công ty bảo hiểm: Tu  inf  j:U j  0 Khi đó, xác suất phá sản mơ hình (1) đến thời điểm t xác định sau:  t   (1) (u)  P(T  t)  P  U(U j  0)  , (3) t u  j1  Và xác suất