Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————————————– PHAN HOÀNG THẠCH LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————————————– PHAN HOÀNG THẠCH LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM MỞ RỘNG CHUYÊN NGÀNH: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC MÃ SỐ: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN THÀNH Nghệ An - 2014 Mục lục Mục lục Trang 1 Lời nói đầu Trang 2 1 Kiến thức chuẩn bị Trang 4 1.1 Biến ngẫu nhiên và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Một số bất đẳng thức thường gặp. . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Trang 11 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng . . . . . . . . . . 13 2.3 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Kết luận Trang 27 Tài liệu tham khảo Trang 28 1 Lời nói đầu Các khái niệm về sự phụ thuộc âm đã được các nhà toán học nghiên cứu rộng rãi. Khái niệm này được đề xuất bởi Ebrahimi và Ghosh [11] năm 1981 và Block cùng các cộng sự [6] năm 1982. Nhà toán học Lehmand [16] đã xem xét một số khái niệm phụ thuộc, trong đó sự phụ thuộc âm được xem như là một sự mở rộng của tính độc lập của dãy các biến ngẫu nhiên. Đặc biệt Matula [18] năm 1992 đã xây dựng luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm. Phát triển gần đây của luật mạnh số lớn đối với biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm được tìm thấy trong đề tài của Bingham và Nilisami [5] năm 2004, Gerasimov [12] năm 2009, Baek và cộng sự [4] năm 2009. Năm 2006, Li, Rosalsky và Volodin [10] nghiên cứu về luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một. Các khái niệm về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng được đề xuất bởi Liu [17] năm 2009, và tiếp tục phát triển bởi Chen và các cộng sự [7, 8] vào các năm 2010, 2011. Các nhà toán học Kotz và cộng sự [15] năm 2000, Tang và Ver- nic [19] năm 2007, Cosselte và cộng sự [9] năm 2008, cùng nhiều người khác đã nghiên cứu một số ứng dụng của luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng vào tài chính, bảo hiểm. Năm 2001, Harshorva [13] thành lập định lý giới hạn cho một chuỗi các biến ngẫu nhiên với phân phối hữu hạn chiều FGM (viết tắt tên của ba nhà toán học Farlie-Gumbel-Morgenstern). Trên cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu tham khảo [7] chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài “Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng”. Mục đích chính của đề tài là thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng bằng cách sử dụng phương pháp tương tự như trong một số tài liệu tham khảo, một số bất đẳng thức thường gặp . Luận văn gồm hai chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chất về 2 3 các biến ngẫu nhiên, các khái niệm về luật số lớn, một số bất đẳng thức thường gặp. Chương 2. Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng. Chương 2 gồm ba mục. Trong mục 2.1, chúng tôi giới thiệu định nghĩa và các tính chất của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm. Mục 2.2 giới thiệu đầy đủ về định nghĩa các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng. Mục 2.3 chúng tôi thiết lập các bổ đề và luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng. Kết quả của mục 2.3 về luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng là kết quả chính của Yiqing Chen, Anyue Chen, Kai W. Ng [7] năm 2010. Luận văn được hoàn thành tại trường đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lê Văn Thành. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người thầy đã quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới GS. TS. Nguyễn Văn Quảng cùng các thầy giáo, cô giáo trong tổ Lý thuyết xác suất và thống kê toán học đã giảng dạy và chỉ bảo trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, người thân và các đồng nghiệp tại trường THPT Bắc Yên Thành đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá tr ình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy giáo, cô giáo và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 10 năm 2014 Phan Hoàng Thạch Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về các biến ngẫu nhiên và một số kiến thức liên quan. Nội dung chính của Chương 1 được trích dẫn từ tài liệu [1, 2, 3]. Trong suốt luận văn này, (Ω,F ,P) là không gian xác suất cố định. Với một số thực x bất kỳ ta kí hiệu x + = max(x,0), x − = max(−x , 0). 1.1 Biến ngẫu nhiên và các tính chất cơ bản 1.1.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, B (R) là σ - đại số các tập Borel trên R. Khi đó, ánh xạ X: Ω →R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi B ∈ B (R), tập X −1 (B) = { ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B } ∈ F . 1.1.2 Tính chất. Giả sử X: Ω → R là một ánh xạ. Khi đó các mệnh đề sau tương đương a) X là biến ngẫu nhiên, b) { ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x } ∈ F , với mỗi x ∈ R, c) { ω ∈ Ω : X (ω) < x } ∈ F , với mỗi x ∈ R, d) { ω ∈ Ω : x ≤ X (ω) < y } ∈ F , với mỗi x,y ∈ R,x < y. 1.1.3 Định nghĩa. Hàm ϕ : (R n ,B (R n )) →(R,B (R)) được gọi là hàm Borel nếu nó là B (R n ) - đo được, nghĩa là ϕ −1 (B) ∈ B (R n ) với mỗi B ∈ B (R). Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: Nếu ϕ : R n → R là hàm liên tục thì ϕ cũng là hàm Borel. Đặc biệt các hàm (x,y) → x + y,(x,y) → xy,(x, y) → max(x , y),(x,y) → min(x, y) là các hàm Borel hai biến. 4 5 1.1.4 Định lí. Giả sử X 1 , ,X n là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω,F , P) và ϕ (t 1 , ,t n ) là hàm Borel giá trị thực. Khi đó Y = ϕ (X 1 , ,X n ) cũng là biến ngẫu nhiên. Chứng minh. Đặt X (ω) = (X 1 (ω), ,X n (ω)) là các hàm trên (Ω,F ,P) nhận giá trị trên R n . Theo giả thiết với x 1 , ,x n ∈ R bất kỳ, ta có n  i=1 { ω : X i (ω) < x i } ∈ F , hay X −1  n ∏ i=1 (−∞,x i )  ∈ F . Nhưng lớp các tập { n ∏ i=1 (−∞,x i ),x 1 , ,x n ∈R}sinh ra B (R n ), suy ra X −1 (B) ∈ F với B ∈ B (R n ) bất kỳ. Từ đó nếu C ∈ B (R) thì ϕ −1 (C) ∈ B (R n ) và X −1  ϕ −1 (C)  ∈ F . Do đó Y −1 (C) = X −1  ϕ −1 (C)  ∈ F và suy ra Y là biến ngẫu nhiên. 1.1.5 Hệ quả. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên. Khi đó X ±Y, X ∪Y, X ∩ Y, X + = X ∨0, X − = (−X) ∨0, | X | = X + + X − cũng là biến ngẫu nhiên. 1.1.6 Định lí. Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên và sup n X n , inf n X n hữu hạn trên Ω. Khi đó, sup n X n , inf n X n , limsup n X n , liminf n X n là các biến ngẫu nhiên. Đặc biệt nếu limX n = X , X hữu hạn thì X là biến ngẫu nhiên. Chứng minh. Từ các đẳng thức inf n≥1 X n = −sup n (−X n ), lim n→∞ infX n = sup n≥1  inf k≥n X k  , lim n→∞ supX n = inf n≥1  sup k≥n X k  . Ta chỉ cần chứng minh rằng sup n X n là biến ngẫu nhiên. Thật vậy, với x ∈R bất kỳ, ta có { | X n ≤ x | } ∈ F , n = 1, 2, Vì vậy {     sup n X n ≤ x     } = ∞  n=1 (X n ≤ x) ∈ F . 6 1.1.7 Tính độc lập của dãy biến ngẫu nhiên. Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất cố định. P (Ω) là họ tất cả các tập con của Ω. Khi đó, lớp F ⊂ Ω được gọi là một σ - đại số nếu 1. Ω ∈ F , 2. A ∈ F ⇒ A C = Ω \A ∈ F , 3. A n ∈ F , n = 1,2, ⇒ ∞  n=1 A n ∈ F . Giả sử A ∈ P (Ω), khi đó σ - đại số bé nhất chứa A được gọi là σ - đại số sinh bởi A. Họ hữu hạn { F i , i ∈ I } các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu P   i∈I A i  = ∏ i∈I P(A i ) với A i ∈ F i , i ∈ I bất kỳ. Họ vô hạn { F i , i ∈ I } các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu mỗi họ con hữu hạn của nó độc lập. Họ các biến ngẫu nhiên X i , i ∈ I được gọi là độc lập nếu họ các σ - đại số sinh bởi chúng { F (X i ), i ∈ I } là độc lập. Họ các biến cố { A i , i ∈ I } ⊂ F được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên { I A i , i ∈ I } là độc lập. Họ các biến ngẫu nhiên { X i , i ∈ I } được gọi là độc lập đôi một nếu với mọi i, j ∈ I, i = j thì X i , X j độc lập. 1.1.8 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên. Giả sử X: (Ω,F ,P) → (R,B (R)) là biến ngẫu nhiên. Khi đó tích phân Lebesgue  Ω XdP (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọng của X, kí hiệu là EX. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên và C là hằng số. Khi đó ta có một số tính chất cơ bản sau đây của kỳ vọng. 1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0. 2. Nếu X = C thì EX = C. 3. Nếu tồn tại EX với mọi C ∈ R , ta có E (CX) = CEX. 4. Nếu tồn tại EX và EY thì E (X ±Y ) = EX ±EY. 5. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x 1 , ,x n , với xác suất tương ứng P(X = x i ) = p i thì EX = ∑ i x i p i . 7 6. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x) thì EX = ∞  −∞ xp(x)dx. 7. Giả sử f : R → R là hàm đo được và Y = f (X). Khi đó EY = ∑ i f (x i )p i , nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x 1 , x 2 , , với P (X = x i ) = p i . Và EY = ∞  −∞ f (x) p(x)dx, nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x). 1.1.9 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Giả sử (Ω,F , P) là không gian xác suất, X: Ω → R là biến ngẫu nhiên. Khi đó hàm P X : B (R) → R; B → P X (B) = P  X −1 (B)  được gọi là phân phối xác suất của X. Giả sử P X là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Khi đó ta có 1. P X là độ đo xác suất trên B (R). Thật vậy, ta có i) P X (B) = P  X −1 (B)  ≥ 0, với mọi B ∈ B (R). ii) P X (R) = P  X −1 (R)  = P (Ω) = 1. iii) Giả sử (B n ) ∈ B (R), B i B j = ∅ (i = j). Lúc đó X −1 (B i )X −1 (B j ) = X −1 (B i B j ) = ∅ (i = j). Điều này kéo theo P X  ∞  n=1 B n  = P  X −1  ∞  n=1 B n  = P  ∞  n=1 X −1 (B n )  = ∞ ∑ n=1 P  X −1 (B n )  = ∞ ∑ n=1 P X (B n ). 8 2. Nếu Q là độ đo xác suất trên B (R) thì Q là phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên X nào đó. Chứng minh. Đặt Ω = R, F = B (R), P = Q. Xét X: Ω → R ; ω → X (ω) = ω. Với mọi B ∈B (R) thì P X (B) = P  X −1 (B)  = P (B) = Q (B), suy ra P X = Q hay Q là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X xác định như trên. 1.1.10 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên. Giả sử (Ω,F , P) là không gian xác suất, X: Ω → R là biến ngẫu nhiên. Khi đó, hàm số F X (x) = P (X < x) = P (ω : X (ω) < x ) được gọi là hàm phân phối của X. Từ định nghĩa ta có F X (x) = P  X −1 (−∞,x)  = P X ((−∞,x)). Kí hiệu F X (x) ≡ F (x). Các tính chất của hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. 1. 0 ≤ F (x) ≤ 1. 2. Nếu a < b thì F (b) −F (a) = P(a ≤ X < b), do đó F (x) là hàm không giảm. Thật vậy, giả sử a < b, ta có F (b) = P (X < b) = P(X < a) + P (a ≤ X < b) ≥ P (X < a) = F (a). 3. lim n→+∞ F (x) = 1; lim x→−∞ F (x) = 0. Thật vậy lim x→+∞ F (x) = lim x→+∞ P(X < x) = P (X < +∞) = 1; lim x→−∞ F (x) = lim x→−∞ P(X < x) = P (X < −∞) = 0. Để thuận lợi, người ta thường dùng ký hiệu F (+∞) = lim x→+∞ F (x); F (−∞) = lim x→−∞ F (x). Lúc đó Tính chất 3 có thể viết F (+∞) = 1; F (−∞) =0 . 1.2 Luật số lớn Luật số lớn đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất. Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu về các lĩnh vực khác nhau của luật số lớn và thu [...]... 1, , n} là phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm phía trên mở rộng, phụ thuộc âm mở rộng, tương ứng Khi M = 1, ta thấy các khái niệm phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm phía trên mở rộng và phụ thuộc âm mở rộng trùng với các khái niệm phụ thuộc âm phía dưới, phụ thuộc âm phía trên và phụ thuộc âm, tương ứng 15 2.3 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Trong... thu được các kết quả chính sau: 1) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 2) Trình bày một số tính chất của dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 3) Trình bày một số tính chất của dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng 4) Trình bày và chứng minh điều kiện cần và điều kiện đủ của luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng 5)... thuộc âm mở rộng và một số kiến thức liên quan Chương 2 gồm 3 mục Mục 2.1 chúng tôi giới thiệu về các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, Mục 2.2 trình bày về khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Cuối cùng, Mục 2.3 trình bày về luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Kết quả chính của chương này thuộc về Yiqing Chen, Anyue Chen, Kai W Ng (2010) 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc. .. thuộc âm phía trên mở rộng, thì n ∏ Xk+ E k=1 n + ≤ M ∏ EXk (2.3.1) k=1 (b) Giả sử rằng dãy các biến ngẫu nhiên {Xk , k = 1, , n} là phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm phía trên mở rộng, phụ thuộc âm mở rộng Nếu {gk , k = 1, , n} đều không giảm thì {gk (Xk ) , k = 1, , n} vẫn là biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm phía trên mở rộng, phụ thuộc âm mở rộng, tương ứng,... là các biến ngẫu nhiên độc lập và EXn = 0, n ≥ 1 Khi đó, với p ≥ 1 luôn tồn tại hằng số dương A p , B p phụ thuộc vào p thỏa mãn n Ap n ∑ X j2 j=1 với X 1 2 1 p p p = (E|X| ) ≤ p n ≤ Bp ∑ Xj j=1 p 1 2 ∑ X j2 j=1 , p Chương 2 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, các biến ngẫu nhiên phụ thuộc. .. (Xn )} là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 2.2 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Trong Mục 2.2 chúng tôi giới thiệu khái niệm các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Đây là khái niệm chính liên quan đến đề tài luận văn Khái niệm phụ thuộc này được giới thiệu bởi Liu [17], và là một sự mở rộng của khái niệm phụ thuộc âm được trình bày ở mục trước 14 2.2.1 Định nghĩa Các biến ngẫu nhiên {Xk... ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm nếu mọi tập con hữu hạn của nó phụ thuộc âm Ta nhận thấy rằng, nếu dấu bằng xảy ra ở (2.1.3) và (2.1.4) thì khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm chính là khái niệm biến ngẫu nhiên độc lập Vậy khái 13 niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm là một mở rộng của khái niệm biến ngẫu nhiên độc lập Một trong các tính chất quan trọng của biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm được giới thiệu... thuộc âm phía trên mở rộng sau đây 2.2.2 Định nghĩa Các biến ngẫu nhiên {Xk , k = 1, , n} được gọi là biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía trên mở rộng nếu tồn tại M ≥ 1 sao cho với mọi số thực x1 , , xn , ta có n n (Xk > xk ) P ≤ M ∏ P (Xk > xk ) (2.2.2) k=1 k=1 2.2.3 Định nghĩa Các biến ngẫu nhiên {Xk , k = 1, , n} được gọi là biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng nếu chúng vừa là phụ thuộc âm phía dưới mở. .. đối với biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày kết quả chính của luận văn Nội dung trọng tâm của mục này là giới thiệu và chứng minh điều kiện cần và đủ của định lý luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Kết quả này thuộc về Yiqing Chen, Anyue Chen, Kai W Ng [7] 2.3.6 Định lí Cho {Xk , k = 1, 2 } là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở. .. rộng, vừa là phụ thuộc âm phía trên mở rộng, có nghĩa là tồn tại M ≥ 1 sao cho với mọi số thực x1 , , xn , ta có n n (Xk ≤ xk ) P k=1 k=1 n n (Xk > xk ) P k=1 ≤ M ∏ P (Xk ≤ xk ), ≤ M ∏ P (Xk > xk ) k=1 Một dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xk , k = 1, 2 } được gọi là phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm phía trên mở rộng, phụ thuộc âm mở rộng nếu với mỗi số nguyên dương n, dãy các biến ngẫu nhiên . 9 2 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Trang 11 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng. và phụ thuộc âm mở rộng trùng với các khái niệm phụ thuộc âm phía dưới, phụ thuộc âm phía trên và phụ thuộc âm, tương ứng. 15 2.3 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Trong. đề tài Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng . Mục đích chính của đề tài là thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng bằng cách sử