Luật mạnh số lớn trong không gian banach

LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn khoa học tơi, người tận tình bảo tơi q trình làm luận văn từ việc chọn tên đề tài, lập đề cương nghiên cứu, đến việc tìm tài liệu tham khảo mà phần lớn tài liệu dùng cho nghiên cứu thầy cung cấp, thầy bỏ nhiều cơng sức trao đổi, sửa lỗi, giúp tơi hồn thiện luận văn Tơi gởi lời cảm ơn Tiến sĩ Trần Quang Vinh người gửi cho tơi tài liệu hữu ích cho tơi nhiều lời khun xác đáng Thầy Vinh người trực tiếp dạy tơi mơn Xác suất sở, Giải tích ngẫu nhiên Tích phân Itơ làm sở cho tơi nghiên cứu đề tài Tơi xin cảm ơn sâu sắc đến thầy giảng viên Đại học sư phạm Hà Nội tận tình dìu dắt tơi xun suốt hành trình học cao học xin cảm ơn thầy Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ có nhiều góp ý hữu ích cho luận văn Cũng xin cảm ơn bạn đồng nghiệp, bạn học viên K18 động viên giúp đỡ nhiều q trình in đóng luận văn MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kết biến ngẫu nhiên giá trị thực: 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Biến ngẫu nhiên Radon giá trị khơng gian Banach: .11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 Định nghĩa 11 Định nghĩa 11 Mệnh đề 12 Mệnh đề 13 Định nghĩa 13 Định lí 14 Bổ đề 15 Định nghĩa 15 Định nghĩa 16 Định nghĩa 16 Biến ngẫu nhiên đối xứng bất đẳng thức Lévy: 16 3.1 3.2 3.3 3.4 Bổ đề Borel – Cantelli Định lí (Bất đẳng thức Kolmogorov) Bổ đề Định lí (Kolmogorov - Khinchin) Bổ đề Kronecker Định lí (LMSL Kolmogorov: trường hợp tổng qt) Định lí (LMSL Kolmogorov: trường hợp phân phối) Bổ đề Định lí (LMSL Marcinkiewicz – Zygmund) 10 Định nghĩa 16 Định nghĩa 17 Mệnh đề 17 Định lí 18 Khơng gian Banach Rademacher bổ đề hỗ trợ: 22 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Định nghĩa 22 Định lí 22 Bổ đề 22 Bổ đề 23 Bổ đề 23 Bổ đề (b.đ.t Kahane) 24 Bổ đề 24 Bổ đề 25 Bổ đề 28 Chương 2: CÁC DẠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG KHƠNG GIAN BANACH 29 LMSL Kolmogorov: 30 1.1 1.2 Định nghĩa 30 Định lí 30 LMSL dạng Chung – Teicher 30 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Định lí 31 Định lí 33 Định lí 33 Hệ 40 Định lí 43 Định lí 44 2.7 2.8 LMSL dạng Marcinkiewicz – Zygmund: 52 3.1 3.2 Định lí 46 Định lí 50 Định lí 52 Định lí 53 LMSL tổng trọng số: 54 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Định lí 54 Định lí 57 Định lí 58 Định lí 59 Định lí 60 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 63 MỞ ĐẦU Năm 1930, Kolmogorov đưa chứng minh định lý tiếng hữu ích lý thuyết xác suất thống kê gọi “Luật mạnh số lớn Kolmogorov”: Định lí: Cho ( X n , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với X < ∞ n ∑ X k → X1 hầu chắn (h.c.c.) n k =1 Sau đó, nhà tốn học khơng ngừng mở rộng tổng qt hóa định lý với giả thiết yếu Năm 1947, K L Chung chứng minh gọi “LMSL dạng Chung”: Định lí: Cho { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập < an ր ∞ , ϕ hàm số dương, chẵn liên tục cho ϕ (t ) t ϕ ( Xn ) ∞ ց t ր ∑ ϕ (a ) (0.1) n =1 0, δ < tồn n0 cho  S n − Sm > ε  < δ , n > m ≥ n0 Sử dụng Định lí Kolmogorov ta có  sup S − S > 2ε  ≤   n m  m≤n≤ M  1−δ (S M − Sm > ε ) ≤ (S M − S m > ε ) < δ , m ≥ n0 Cho M → +∞ ta có  sup S − S > 2ε  = lim  sup S − S > 2ε  ≤ δ , m ≥ n     n m n m  m≤n≤ M  M →+∞  m≤n≤ M  Từ lim m→+∞  sup S − S > 2ε  ≤ δ   n m  m< n  Vì δ > bé tùy ý nên vế trái bất đẳng thức Như dãy ( S n ) dãy h.c.c nên hội tụ h.c.c □ 1.4 Định lí (Kolmogorov - Khinchin) Giả sử ( X n ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, X n = Khi đó: ∞ a) Nếu ∑ X n2 < ∞ (1.3) chuỗi ∑X n hội tụ h.c.c.; n =1 b) Nếu với xác suất dãy ( X n ) bị chặn đều, tức tồn số c > cho  X n < c  = 1, ∀n chuỗi ∑X n hội tụ h.c.c., ∞ ∑ X n2 < ∞ n =1 1.5 Bổ đề Kronecker Giả sử < bn ↑ ∞ chuỗi số ∑x n hội tụ Lúc n→∞ n ∑ bk xk → bn k =1 1.6 Định lí (LMSL Kolmogorov: trường hợp tổng qt) Giả sử ( Xn ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với moment bậc hai hữu hạn, ( bn ) dãy số cho < bn ↑ ∞ Khi đó, ∞ ∑ n =1 Xn ε  = m→∞  ani    n=m  i =1 ani  ∞  kn Y  Y   lim  ∪ ∑ ni −  ni  > ε  = m→∞  ani    n=m  i =1 ani  kn Yni  Yni Khi ∑ −  ∑  i =1 ani  i =1 ani  kn  kn Z ni  Z ni −  ∑  hội tụ tới h.c.c Vì ∑ i =1 ani  i =1 ani  kn X ni = với n , với i nên ta có kn X ni ∑a i =1 hội tụ h.c.c kn → ∞ □ ni 51 LMSL d ng Marcinkiewicz – Zygmund: Chúng ta biết biến ngẫu nhiên độc lập phân phối ( Xn ) giá trị thực với kì vọng E X < ∞ (1 ≤ p ≤ ) , S n n1 p → p h.c.c (Định lí 1.9, Chương 1) Và nữa, Sn n1 p → Lp (theo Pyke and Root (tài liệu tham khảo [6] [2])).Vấn đề mở rộng khơng gian Banach khả li thực Andrzej Korzeniowski báo [2] Ở đây, tác giả đặc trưng hóa khơng gian xét Nó có liên quan đến tính p -trơn tính p - ổ định, dạng p -Radermacher biểu diễn hữu hạn l p mà trình bày chi tiết tài liệu tham khảo [3] [4] báo [2] Trong phần tơi nêu kết [2] phần tài liệu trích dẫn [2] Ta giữ kí hiệu Sn = X + X + + X n , ( X n ) dãy vector ngẫu nhiên độc lập phân phối có kì vọng cho ( Xn > t) ≤ C (X > t ) biến ngẫu nhiên X ∈ Lp Ta Sn n1 p → Lp , cho sup thỏa mãn ∑ n akq − p = o ( n q p Xn p -ổn định q -trơn, ( X n ) dãy martingale 3.1 Định lí Cho ≤ p < q ≤ hiệu p < ∞ ) Khi đó, S n X n I{ X n >an } → dãy ( an ) n1 p → Lp Chúng ta ý p < q cần thiết X n = ε nen , en (ε n = 1) = (ε n = −1) = -khơng gian = l p p = q lấy dãy sở tiêu chuẩn ε n người ta thu 52 Sn p = n độc lập với Vì phần chứng minh có thay đổi khơng đáng kể đường thẳng thực nên ta bỏ qua Một định lí tương tự với giả thiết mạnh cách nhẹ nhàng chẳng hạn với q = chứng minh Rao [9] Hơn Định lí 3.1 vector ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng với giá trị khơng gian dạng q - Rademacher Xét dãy ( X n ) vector ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng thỏa mãn điều kiện “đi bị chặn” sau : ( Xn > t) ≤ C (X > t ) , t ≥ 0, n ∈ ℕ X là biến ngẫu nhiên Lp (xem [10]) Lưu ý với an = ( n / log n ) 1/ p ( X n ) ∈ TP áp dụng Định lí 3.1 trùng với điều kiện u cầu 3.2 Định lí Cho ≤ p ≤ khẳng định sau tương đương: i) l p khơng thể biểu diễn hữu hạn ii) ; p - ổn định; iii) Sn / n1/ p → Lp ( X n ) ∈ Tp ; iv) Sn / n1/ p → theo xác suất ( X n ) ∈ Tp ; v) Sn / n1/ p → h.c.c ( X n ) ∈ Tp Chứng minh (i) ⇔ (ii) theo Maurey Pisier [11] (ii) ⇒ (iii) hệ Định lí 3.1 tính p ổn định suy dạng q -Rademacher với p < q (iii) 53 ⇒ (iv) hiển nhiên (iv) ⇒ (v) thay đổi nhẹ nhàng Định lí 3.1 thuộc A de Acosta [12], chẳng hạn dãy ( X n ) biến ngẫu nhiên độc lập phân phối có kỳ vọng thay ( X n ) ∈ Tp (v)⇒ (i) suy từ hệ 2.4 [11] □ LMSL tổng trọng số: Để bước vào nghiên cứu LMSL tổng trọng số ta giả thiết ≠ v ới i≥0 < A1 ≤ A2 ≤ → ∞ Viết ui = / Ai đặt ([ n,1],[ n,2], ,[ n, n]) hốn vị (1, 2, , n ) cho u[n ,1] ≥ ≥ u[ n,n] , [ n, i ] < [ n, j ] i < j ui = u j Đặt I[.] hàm tiêu xác định Vn , j = An−1 ∑ I    ui ≥ u[n , j ]  với ≤ j ≤ n Vn = max Vn, j 1≤ j ≤ n Đặt N ( x ) số số i cho Ai / ≤ x h ( x ) > làm hàm biến đổi chậm x → ∞ ; C kí hiệu số dương hữu hạn thay đổi trường hợp khác nhau; { X n } ≺ X có nghĩa sup n P ( X n > t ) ≤ CP ( X > t ) , t > X biến ngẫu nhiên giá trị thực 4.1 Định lí Cho dạng p với < p ≤ h ( x ) ↑ x → ∞ Giả sử N ( n ) = O ( nh ( n ) ) (2.15) Vn = O (1) , n ≥ (2.16) 54 Với dãy { X n , n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên -giá trị độc lập phân phối, n X = limsup An−1 ∑ > n →∞ (2.17) i =1 X h ( X ) < ∞ , −1 n A n ∑a X i i → (2.18) i =1 Chứng minh Đặt Yi = X i I  X i ≤ Ai /  , Z i = X i − Yi , U n = ∑ i=1 aiYi ,Vn = ∑ i =1 Z i Khi n  n  −1 n A n ∑a X i i = An−1U n + An−1Vn (2.19) i =1 Từ (2.15) được: Ai / → ∞ i → ∞ , (2.15) X h ( X ) < ∞ suy ra: ∞ ∑ ( X i > Ai / ) < ∞ ∑ Ai−1 Z i < ∞ h.c.c suy i =1 Từ Bổ đề Borel – Cantelli, ∞ i =1 An−1Vn → (2.20) (2.21) Tiếp theo, chứng minh: An−1 U n → n → ∞ Lưu ý rằng: 55 (2.22) An−1 U n ≤ An−1 n n ∑ X i + An−1 ∑a i =1 i =1 X i I  X i > Ai /  =: I n + II n (2.23) i  Khi lim n→∞ An−1 ∑ i =1 = ta I n → từ n limsup n→∞ An−1 ∑ i =1 > 0, n  X < ∞ Lưu ý X n = Do để chứng minh (2.23) ta cần     chứng minh II n → Đặt En, j =  , ,∞   , En,n =   u[n , j ] u[n , j +1]   u[ n,n]      −1 n II n = A n ∑ a[ i =1 −1 n =A n =A n ,i ∑ j =1 −1    X 1I  X  j =i ∈En , j  j X 1I  X  n ∑  X1 > u[ n ,i ]  n j =1 = X 1I  n ∑ a[ ] ∑ i =1 −1 n n ,i ] X 1I  X  ∈En , j  ∑ a[ i =1 n ,i ]  h−1 n  V ≤  ∑ + ∑  Vn, j n, j ∈En , j    j =1 j =h  X1 I  X  ∈En , j  =: III n + IIII n h số ngun cố định với ≤ h ≤ n Đặt u * = max i≥1 { ui } , ý Vn , j = An−1 ∑ j i =1 a[ n,i] ≤ ju * Amax1≤i ≤ n [ n,i] / An Vì / Ai → i → ∞ , nên tồn số ngun dương H (phụ thuộc vào h khơng phụ thuộc vào n cho max1≤i≤h [ n, i ] ≤ H III n ≤ C ∑ j =1 Vn , j ≤ Cu * AH h −1 ( ∑ j ) / A ≤ Cu A h / A → n → ∞ h −1 j =1 * n 56 H n Dễ dàng thấy từ (2.16) IIII n ≤ C X1 I  X  >1/ u[ n , h ]   Vì ui → 0, ∀ε > 0, u[n ,h] < ε cách cho h đủ lớn n ≥ h Hơn nữa, thu IIII n < ε X < ∞ Điều chứng minh (2.22) Vậy để chứng minh An−1U n → h.c.c, nhờ nhận xét định lí 2.1 cần rằng: J1 = ∑ k =1 Ak− p ak ∞ p p Xk I  X k ≤ Ak / ak  < ∞   Thật vậy, từ (2.15) ∞ J1 ≤ C ∑ ∑ j− p j =1 j −1≤ Ak / ak ≤ j p X I  X1 ≤ j   ∞ j = C ∑  N ( j ) − N ( j − 1)  j − p ∑ j =1 ≤C n =1  p X I n−1≤ X1 ≤n   X h ( X ) < ∞.□ Nhận xét Phần đảo lại định lí phát biểu sau: Nếu (2.15) (2.16) khơng xảy tồn dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực độc lập phân phối { X i } mà X h ( X ) < ∞ (2.17) thỏa mãn (2.18) khơng đúng.( xem[4]) Và phần chứng minh [20] [22] 4.2 Định lí Cho < t < dạng p với < p ≤ Giả sử N ( n ) = O ( nt h ( n ) ) , n ≥ Với dãy { X n } phần tử ngẫu nhiên độc lập (2.17) thỏa mãn (2.24) -giá trị với { X n } ≺ X X h ( X ) < ∞ , (2.18) t Chứng minh 57 Lấy Yi , Z i ,U n , Vn định lí 4.1 Từ Định lí 4.1 ta cần U n → n → ∞ An−1 (2.25) X h ( X ) < ∞ ta được: t Từ (2.24) ∞ ∑A −1 i X i I  X i > Ai /  < ∞  i =1 X h ( X ) < ∞ suy Từ tính chất h ( x ) , lim n→∞ An−1 ∑ i =1 = 0, n An−1 ∑ i =1 (2.26)  t X → n → ∞ n (2.27) Lưu ý limsup n→∞ An−1 ∑ i =1 > 0, X n = Do từ (2.23) với (2.26) n (2.27) suy (2.25) □ Nhận xét Tương tự Định lí 4.1, phần đảo Định lí trình bày [4]: Nếu (2.24) khơng đúng, tồn dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực độc lập phân phối { X i } mà X h ( X ) < ∞ (2.17) (2.18) khơng Và phần chứng minh [20] [22] 4.3 Định lí Giả sử ≤ t < h ( x ) ↑ ∞ x → ∞ t = Cho { X n } -giá trị với { X n } ≺ X Nếu (2.24) thỏa dãy phần tử ngẫu nhiên mãn X h ( X ) < ∞ , (2.18) thỏa mãn t Chứng minh Từ giả thiết ta được: ∞ ∑ ( i =1 X i > Ai / ) < ∞ ∞ ∑ i =1 58 X i I  X i ≤ Ai /   Ai  (2.29) Điều (2.28) kéo theo X1 h ( X1 ) < ∞ t Hơn (2.30) dạng p (1 ≤ t < p ≤ ) , N ( n ) = O ( nt h ( n ) ) , Vn = O (1) t = Khi từ Định lí 4.1 (2.16), ta đạt từ (2.30) n An−1 ∑ ( X i − X i ) → h.c.c n → ∞ i =1 59 (2.31) Từ giả thiết (2.18) (2.31)ta được: −1 n A n ∑a X i → h.c.c n → ∞ i (2.32) i =1 Nếu limsup n→∞ An−1 ∑ i =1 = a > , tồn dãy số ngun dương {nk } n cho nk ↑ k → ∞ −1 nk lim A k →∞ nk ∑a i =a>0 (2.33) i =1 Hiển nhiên, (2.32) (2.33) kéo theo: X = □ {X i} 4.5 Định lí Cho dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực với { X i } ≺ X Giả sử với t ≥ (2.24) thỏa mãn Nếu (2.17) X h ( X ) < ∞ khơng cần thay đổi phân phối { X n } ta xác t định lại { X n } khơng gian xác suất giàu hơn, với dãy biến ( (X I D ngẫu nhiên chuẩn độc lập {Yn , n ≥ 1} với Yn = N 0, n  X1 ≤ An / an    )) cho n ∑ a X − ∑ a Y = o ( A ) h.c.c i i i i i =1 n (2.34) i =1 Chứng minh Lưu ý n n ∑ a X = ∑ a  X I i i =1 i i  X i ≤ Ai /    i i =1 n − X i I  X i ≤ Ai /     n + ∑ X i I  X i ≤ Ai /  + ∑ X i I  X i > Ai /   i =1  i =1 =: I n( ) + I n( ) + I n( ) 60   (2.35) Từ chứng minh Định lí 4.2 ta biết h.c.c An−1I n( ) → An−1I n( )  → n → ∞ (2.36) Như chứng minh J1 < ∞ cho p > t ta được: p ∞ ∑ i =1 Do dãy { Ai }  X i I  X i ≤ Ai /  − X i I  X i ≤ Ai /        [...]... trng hp thc lờn cỏc khụng gian Banach kh ly cú tớnh hỡnh hc, c th l cỏc khụng gian Banach p trn (1 < p 2 ) Cng nh trong chng 1, chỳng ta luụn s dng khụng gian Banach kh ly 29 ký hiu 1 LMSL ca Kolmogorov: ( Xi ) 1.1 nh ngha Cho sao cho khụng gian Banach X n = 0 , vi n 1 Ta núi dóy ( X n ) tha món Sn 0 , n (2.1) n lut s ln nu N u l mt dóy cỏc bin ngu nhiờn giỏ tr trong Sn h.c.c 0 (2.2) ta núi... p Trng hp p = 1 ủc chng minh trong ủnh lớ Kolmogorov (xem [1], trang 262) 2 Bin ngu nhiờn Radon giỏ tr trong khụng gian Banach: 2.1 nh ngha Mt bin ngu nhiờn hoc mt vector ngu nhiờn Borel giỏ tr giỏ tr trờn khụng gian Banach sut ( , A , ) no ủú vo tp m ca l mt ỏnh x ủo ủc X t khụng gian xỏc ủc trang b mt - ủi s Borel B sinh bi cỏc 2.2 nh ngha Mt bin ngu nhiờn X giỏ tr trong ủc gi l chớnh quy ủi vi... ủ trong [16] 4.9 B ủ Cho X 1 , , X n l cỏc bin ngu nhiờn -giỏ tr ủc lp vi X i < ( i = 1, , n ) , Fi l cỏc - trng sinh bi ( X 1 , , X i ) vi i = 1,2, , n v ủt F0 l -trng tm thng Khi ủú ủi vi 1 i n (S n Fi ) (S n Fi 1 ) X i + 28 Xi Chng 2: CC DNG LUT MNH S LN TRONG KHễNG GIAN BANACH õy l chng chớnh ca bn Lun vn Trong chng ny chỳng ta s gii thiu mt s kt qu m rng trong trng hp thc lờn cỏc khụng gian. .. ca dóy ( àn ) trong ta ch cn kim tra ( àn ) l compc tng ủi trong trong tụ pụ yu v tt c cỏc gii hn l nh nhau 2.6 nh lớ Mt h ( ài )iI trong P ( ) l compc tng ủi ủi vi tụ pụ yu nu v ch nu ủi vi > 0 cú mt tp compc K trong ài ( K ) 1 vi mi i I sao cho: (1.10) Tiờu chun compc ny ủc miờu t nhiu cỏch khỏc nhau tựy thuc vo ng cnh Chng hn, (1.10) tha món nu v ch nu vi mi > 0 cú mt tp hu hn A trong sao cho... nhiờn Tiờu chun Prokhorov v (1.12) ủ ch ra rng vi mi > 0 tn ti mt khụng gian con hu hn chiu F ca , sao cho vi mi n , {d ( S , F ) > } < n 20 Vỡ à l mt ủ ủo Radon, ta ch cn ch ra rng {d ( S , F ) > } 2à ( x; d ( x, F ) > ) n i vi bt kỡ n, > 0 v khụng gian con ủúng F trong kh li, vi mi khụng gian con ủúng F trong D = { f m } trong hỡnh cu ủn v ca Vi mi m , ( f ( S ) , , f ( S ) ) 1 n m n Bõy gi,... Kolmogorov ủi vi cỏc bin ngu nhiờn thc khng ủnh ủiu kin cn v ủ ủ chui X n hi t l cỏc chui (i)-(iii) n =1 hi t Trong khụng gian Banach Rademacher dng p (1 p 2 ) kh li thc, s hi t ca ba chui (i)-(iii) l ủiu kin ủ chui X n hi t Tuy nhiờn, ủiu n =1 ngc li núi chung l khụng ủỳng trong khụng gian Banach Chng hn xột vớ d sau: Vớ d Cho 2 2 = l 2 = x = ( x1 , x2 , ) : xi , x 2 = xi < Cho { X n , n... trờn ( B,B ) 2.3 Mnh ủ X l mt bin ngu nhiờn Radon nu v ch nu X nhn hu ht cỏc giỏ tr ca nú trong khụng gian con tuyn tớnh ủúng kh li ca Chng minh Tht vy, di gi thit ca (1.9) tn ti mt dóy ( K n ) cỏc tp compc trong sao cho X K n = 1 Vỡ th X nhn hu ht cỏc giỏ tr ca nú trong n khụng gian con kh li no ủú ca trong o li, ly { xn , n } l mt dóy trự mt v > 0 c ủnh Do tớnh trự mt nờn vi mi n 1 cú... ny ủc gi l tụ pụ yu, mt dóy ( àn ) trong P ( ny gi l hi t yu yeỏu Nhn xột rng àn à nu v ch nu: 13 Tụ pụ sinh bi lõn ) hi t ủi vi tụ pụ lim d àn = d à n vi mi hm liờn tc b chn trong , hoc nu v ch nu limsup à n ( F ) à ( F ) n vi mi tp ủúng F trong , hoc nu v ch nu lim infàn ( G ) à ( G ) n vi mi tp m G trong Khụng gian P ( nu ) ủc trang b tụ pụ yu l khụng gian ủy ủ (nú kh li kh li) Do ủú, ủ... ,2 n ) l kớ hiu hỡnh cu ủúng tõm xi bỏn kớnh 2 n trong Khi ủú ủt K = K ( ) = B ( xi , 2 n ) l tp ủúng v { X K } = 1 Hn na, K n1 i N n l compc vỡ t mi dóy trong K ngi ta cú th rỳt ra mt dóy con m mi phn t ca nú nm trong hỡnh cu B ( xi ,2 n ) vi mi n , dóy ny l dóy Cauchy nờn hi t nh tớnh ủy ủ ca khụng gian 12 i vi bin ngu nhiờn X vi giỏ tr trong c a , ủ ủo xỏc sut à = à X l nh bi X ủc gi... ngu nhiờn -giỏ tr, khi ủú vi 1 p, q < , khi ủú tn ti K > 0 sao cho p n X i i i =1 1 p K q n X i i =1 i 1 q trong ủú { i ,1 i n} l dóy Bernoulli ủi xng Hai b ủ sau theo th t l m rng ca bt ủng thc Kolmogorov v ủnh lý ba chui s ca Kolmogorov trong khụng gian Banach 4.7 B ủ Cho X n = 0 v { X n , n 1} p Xn { l cỏc phn t ngu nhiờn < , p 1 vi mi n Khi ủú vi mi > 0 ta cú } Sn max S ... DẠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Đây chương Luận văn Trong chương giới thiệu số kết mở rộng trường hợp thực lên khơng gian Banach khả ly có tính hình học, cụ thể khơng gian Banach. .. văn này, tơi trình bày số kết mở rộng luật mạnh số lớn dạng Chung – Teicher, Marcinkiewics – Zygmund luật số lớn tổng trọng số lên khơng gian Banach có tính chất hình học Bản Luận văn chia thành... 24 Bổ đề 25 Bổ đề 28 Chương 2: CÁC DẠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG KHƠNG GIAN BANACH 29 LMSL Kolmogorov: 30 1.1 1.2 Định nghĩa 30