MỘT HƯỚNG mở RỘNG ĐỊNH lí về sự tồn tại VECTOR RIÊNG của TOÁN tử lõm TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC nửa sắp THỨ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI --------------------- ĐÀO THỊ TƯƠI MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ LÕM TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN PHỤ HY HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy. Đồng thời, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học, Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Tác giả Đào Thị Tươi ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy. Trong hoàn thiện luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Tác giả Đào Thị Tươi Mục lục Mở đầu Không gian định chuẩn thực nửa thứ tự 1.1. Khái niệm không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . 1.2. Khái niệm nón không gian định chuẩn thực . . . . 1.3. Quan hệ thứ tự không gian định chuẩn thực . . . . 12 1.4. Các phần tử thông ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Một số nón đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6. Phần tử u0 - đo được. Không gian Eu0 . . . . . . . . . . 20 1.7. Không gian định chuẩn thực M [a; b] . . . . . . . . . . . . 24 1.7.1. Định nghĩa không gian M [a; b] số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7.2. Nón quan hệ thứ tự không gian M [a; b] . 28 1.7.3. Các phần tử thông ước M [a; b] . . . . . . . 35 1.7.4. Không gian M [a; b]u0 . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Mở rộng định lí tồn vector riêng toán tử lõm iii iv không gian Banach nửa thứ tự 39 2.1. Khái niệm toán tử lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1. Một số định nghĩa [2,3] . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2. Một số tính chất đơn giản toán tử lõm . . . . 40 2.2. Toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự M [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3. Mở rộng định lí tồn vector riêng toán tử lõm 48 2.3.1. Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.2. Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 BẢNG KÍ HIỆU Luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: M [a; b] Tập tất hàm số thực bị chặn [a, b]. N Tập số tự nhiên. N∗ Tập số tự nhiên khác không . R Tập số thực . R+ Tập số thực không âm. Ø Tập hợp rỗng. . Chuẩn. K ∗ = K \ θ Tập phần tử thuộc tập K, không kể phần tử θ. H ∗ = H \ θ Tập phần tử thuộc tập H, không kể phần tử θ. A∩B Giao tập A tập B. A\B Hiệu tập A tập B. MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Nhiều vấn đề toán học, vật lí, kĩ thuật dẫn đến việc xét phương trình: Ax − λx = (1), A toán tử tác dụng không gian X đó, x ∈ X phần tử phải tìm, tham số λ ∈ R. Phần tử x = θ thỏa mãn (1) gọi vector riêng toán tử A, λ giá trị riêng tương ứng với vector riêng x. Nhiều nhà toán học nghiên cứu phổ vector riêng toán tử không gian hàm. Nhà toán học Nga tiếng Kraxnoxelxki M. A. nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm. Sau đó, năm 1984, Bakhtin I. A. [7] mở rộng kết cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0 )- lõm. Năm 1987, PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy [2] xây dựng khái niệm toán tử lõm quy mở rộng định lí quan trọng vector riêng toán tử cho toán tử lõm quy. Với mong muốn mở rộng kết tương ứng toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự, hướng dẫn tận tình thầy giáo, PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy, chọn đề tài: “ Một hướng mở rộng định lí tồn vector riêng toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự ” Trong công trình nghiên cứu, báo nêu mục tài liệu tham khảo từ [1] đến [9], mở rộng định lí tồn vector riêng toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự, tác giả thường bổ sung điều kiện phù hợp toán tử, đề tài mở rộng theo hướng bổ sung điều kiện cho nón. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn “ Một hướng mở rộng định lí tồn vector riêng toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự ” nhằm đưa số tính chất toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự mở rộng định lí tồn vector riêng toán tử lõm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: + Nghiên cứu số tính chất không gian định chuẩn thực nửa thứ tự. + Nghiên cứu số tính chất toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự. + Nghiên cứu tồn vector riêng toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Toán tử lõm. - Phạm vi nghiên cứu: + Tính chất toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự. + Sự tồn vector riêng toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự. 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng phương pháp giải tích hàm toán tử lõm nghiên cứu tài liệu áp dụng kết nghiên cứu vào không gian hàm cụ thể; + Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất; + Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn. 6. Dự kiến đóng góp đề tài + Trình bày cách có hệ thống toán tử lõm tính chất toán tử lõm. + Mở rộng định lí tồn vector riêng toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự cách bổ sung điều kiện phù hợp cho nón. + Áp dụng kết vào không gian M [a; b]. Chương Không gian định chuẩn thực nửa thứ tự 1.1. Khái niệm không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1.1. (Không gian định chuẩn thực) Một không gian định chuẩn thực không gian vectơ thực E với ánh xạ E → R, gọi chuẩn kí hiệu . , thỏa mãn điều kiện: i) x ≥ 0, ∀x ∈ E x = x = θ, với θ phần tử không không gian E; ii) αx = |α| . x , ∀x ∈ E ∀α ∈ R; iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E. Số x gọi chuẩn vector x. Ta kí hiệu không gian định chuẩn tương ứng E. Các tiên đề i), ii), iii) gọi hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. (Dãy hội tụ) 43 Chứng minh. Ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học. Hiển nhiên, định lí với n = 1. Giả sử định lí với n = k ≥ 1, tức toán tử Ak toán tử lõm. Chứng minh định lí với n = k + 1. Thật vậy, với n = k + ta xét toán tử Ak+1 . Ta có: *) Ak (H) ⊂ H ⇒ Ak+1 H = A(Ak H) ⊂ AH ⊂ H. suy Ak+1 H ⊂ H. *) ∀x, y ∈ H mà x ≤ y ⇒ Ak x ≤ Ak y Ak x, Ak y ∈ H. Suy Ak+1 x = A(Ak x) ≤ A(Ak y) = Ak+1 y. *) (∀x ∈ H \ {θ}), (∀t ∈ (0; 1)), (∃d1 = d1 (x1 , t)) Ak tx > (1 + d1 )tAk x ≥ tAk x ≥ tα2 u0 , α2 > thỏa mãn α2 u0 ≤ Ak x ≤ β2 u0 ( Ak toán tử u0 − đo được). ∃ c1 = c1 (Ak x, t), ta có Ak+1 tx = A(Ak tx) ≥ A(tAk x) ≥ (1 + c1 )tA(Ak x) = (1 + c1 )tAk+1 x ≥ (1 + d)tAk+1 x, ≤ d ≤ min(c1 , d1 ). Nên Ak+1 toán tử lõm. Theo nguyên lý quy nạp toán học, (∀n ∈ N∗ ) toán tử An toán tử lõm. Định lý 2.1.4. Mỗi toán tử lõm có không điểm bất động khác không H(u0 ). Chứng minh. Giả sử tồn x, y ∈ H(u0 ), x = y, Ax = x, Ay = y. Do x = y nên hai phần tử x − y, y − x không thuộc nón K. 44 Giả sử x − y ∈ / K. Do u0 ∈ K ∩ H \ {θ}, nên H(u0 ) ⊂ K ∩ H \ {θ}. Do A toán tử u0 - đo nên ∃ α > 0, ∃ β > cho αu0 ≤ Ax ≤ βu0 , αu0 ≤ Ay ≤ βu0 . Mà Ax = x, Ay = y, αu0 ≤ x ≤ βu0 αu0 ≤ y ≤ βu0 . α α α Suy x ≥ αu0 = βu0 ≥ y ⇒ x − y ≥ 0. β β β α Số < 1. Thật vậy, β α ≥ α ≥ β > suy x ≥ αu0 ≥ βu0 ≥ y, β hay x − y ∈ K (mâu thuẫn với giả sử x − y ∈ / K). Hiển nhiên, x − ty ≥ t < 1. Xét ánh xạ : h : R −→ E t → x − ty Khi ánh xạ h liên tục phép cộng hai vector phép nhân số với vector không gian định chuẩn liên tục. Xét tập I = {t ∈ R : x − ty ≥ θ} = {t ∈ R : x − ty ∈ K} = h−1 (K) . Do K nón E nên K tập đóng E nên h−1 (K) tập đóng R hay I tập đóng R .Theo ta có t ∈ I t < hay I bị chặn nên tồn giá trị t0 = max{t ∈ R : x − ty ≥ θ}. α Ta có < ≤ t0 < 1. Khi x − t0 y = θ. Thật vậy: β Nếu x − t0 y = θ ⇒ x = t0 y x = t0 y = t0 Ay < At0 y = Ax 45 (mâu thuẫn với Ax = x). Do đó, x − t0 y = θ. Từ tính chất toán tử A số t0 ta có x = Ax ≥ At0 y ≥ (1 + c)t0 Ay = (1 + c)t0 y ⇒ x − (1 + c)t0 y ≥ θ hay x − (t0 + ct0 )y ≥ θ, điều mâu thuẫn với tính chất cực đại số t0 (t0 < t0 + ct0 ). Vì vậy, toán tử lõm A có không điểm bất động khác không H(u0 ). Định lý 2.1.5. Cho A toán tử lõm. Nếu x ∈ H \ {θ} mà Ax = λx, λ ∈ R λ > 0. Chứng minh. Do A toán tử lõm nón H nên A toán tử u0 - đo nón H. Do đó, x ∈ H \ {θ}, ∃α(x) > 0, β(x) > cho αu0 ≤ Ax ≤ βu0 . Mà Ax = λx, < αu0 ≤ λx ≤ βu0 ⇒ λ > 0. Định lý 2.1.6. Mỗi toán tử lõm nón H có không vector riêng H(u0 ) ứng với giá trị riêng. Chứng minh. Giả sử tồn x ∈ H \ {θ}, y ∈ H \ {θ}, x = y cho Ax = λx, Ay = λy. Theo định lí 2.1.5 ta có λ > 0. Do đó, tồn giá trị nghịch đảo λ−1 . Xét toán tử A1 = λ−1 A. 46 Theo định lí 2.1.1, A toán tử lõm nên A1 = λ−1 A toán tử lõm. Ta lại có A1 x = (λ−1 .A)x = λ−1 Ax = λ−1 λx = x; A1 y = (λ−1 .A)y = λ−1 Ay = λ−1 λy = y. Suy x, y (x = y) hai điểm bất động toán tử A1 . Mâu thuẫn với định lí 2.1.4. Vậy toán tử lõm nón H có không vector riêng H(u0 ) ứng với giá trị riêng. 2.2. Toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự M [a; b] Cho không gian M [a; b] nửa thứ tự theo nón K. Với H, K hai nón xác định  định nghĩa 1.7.4.  0 t ∈ [a; c) , Chọn u0 (t) =  1 t ∈ [c; b] đó, c phần tử cố định thuộc (a; b).Khi đó, H(u0 ) = {x(t) ∈ M [a; b] | x(t) = 0, với t ∈ [a; c); mx ≤ x(t) ≤ Mx , với t ∈ [c; b], Mx ≥ mx > 0}. Khi đó, A : M [a; b] −→ M [a; b] xác định :   0 với a ≤ t < c x(t) → Ax(t) =   x(t) + với c ≤ t ≤ b ,là toán tử lõm. Thật vậy: *) ∀x ∈ H, ta có: 47 x(t) ≤ với a ≤ t < c, (Ax)(t) = 0, x(t) ≥ với c ≤ t ≤ b, (Ax)(t) = x(t) + > 0. Suy Ax ∈ H, suy AH ⊂ H, hay A toán tử dương nón H. ∀x, y ∈ H cho x ≤ y. + Với ∀t ∈ [a; c) ta có Ax(t) = Ay(t) = 0. +Với ∀t ∈ [c; b] ta có ≤ x(t) ≤ y(t), nên Ax(t) = x(t) + ≤ y(t) + = Ay(t). Do đó, (∀t ∈ [a; b])Ax(t) ≤ Ay(t), hay Ax ≤ Ay. Suy A toán tử đơn điệu nón H. *)(∀x ∈ H \ {θ}) ta có + ∀t ∈ [c; b] ta có x(t) ≥ 0(∃mx , Mx : ≤ mx ≤ Mx )(u0 (t) = 1) √ √ ( mx +2)u0 (t) = mx +2 ≤ Ax(t) = x(t)+2 ≤ Mx +2 = ( Mx +2)u0 (t). + ∀t ∈ [a; c) ta có : u0 (t) = Ax(t) = 0, nên √ ( mx + 2)u0 (t) = = Ax(t) = ( Mx + 2)u0 (t). Suy tồn < α = √ mx + ≤ √ Mx + = β cho ∀t ∈ [a; b] αu0 (t) ≤ Ax(t) ≤ βu0 (t), hay αu0 ≤ Ax ≤ βu0 . Do đó, toán tử A có tính chất u0 - đo được. *)(x ∈ H \ {θ})(∀α ∈ (0; 1)) ta có: +(∃t0 ∈ [a; b]) x(t0 ) = 0. 48 + x(t) ≤ với t ∈ [a; c), x(t) ≥ với t ∈ [c; b], nên (∃mx , Mx ) ≤ mx = inf x(t) ≤ supx(t) = Mx , [c;b] [c;b] Ax(t) = với t ∈ [a; c), Ax(t) = Xét biểu thức với t ∈ [c; b] αx(t) + −1= 0< α( x(t) + 2) Khi √ Px ≥ x(t) + với t ∈ [c; b]. αx(t) + − α( x(t) + 2) = α( x(t) + 2) √ x(t)( α − α) + 2(1 − α) α( x(t) + 2) = Px . √ mx ( α − α) + 2(1 − α) √ = c. α( Mx + 2) Suy Aαx(t) ≥ (1 + c)αAx(t), ∀t ∈ [a; b], hay Aαx ≥ (1 + c)αAx. Vậy, A toán tử lõm. 2.3. Mở rộng định lí tồn vector riêng toán tử lõm Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự theo nón K ∈ E, H nón không gian E, u0 ∈ K ∩H \{θ}, A : E −→ E toán tử. 49 2.3.1. Định lí Định nghĩa 2.3.1. Toán tử tuyến tính liên tục Q : E −→ E gọi đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón H, nếu: ∀x ∈ H, Ax = Qx + W (x), lim x∈H,||x||→+∞ W (x) = 0. x Ví dụ 2.3.1. Xét toán tử lõm A xây dựng mục 2.2. toán tử : Q: M [a; b] −→ {θ} x(t) → Qx(t) = 0, ∀t ∈ [a; b]. Hiển nhiên, Q toán tử tuyến tính, liên tục. Hơn nữa, Ax Ax − Qx = . x x Với t ∈ [a; c), lim x∈H,||x||→+∞ sup |Ax(t)| Ax − Qx a≤t cho 1 Ax0 = A(t0 . AxQ ) ≥ (1 + c)t0 A( AxQ ) λQ λQ Giả sử t0 ∈ (0; 1). Kí hiệu x0 = 51 QxQ ) λQ ≥ (1 + c)t0 AxQ , t0 AxQ < Ax0 . suy x0 = λQ λQ (1 + c) Đặt A1 = A, ta nhận hệ thức: x0 ≤ A1 x0 . λQ (1 + c) Hiển nhiên, A1 toán tử lõm, Q1 = Q đạo hàm tiệm cận λQ (1 + c) toán tử A1 theo nón H với bán kính phổ ≥ (1 + c)t0 A( r1 (Q1 ) = r(Q) =1 < 1. λQ (1 + c) 1+c Xét dãy xn = A1 xn−1 (n = 1, 2, .). Do A1 toán tử dương, đơn điệu A bị chặn u nên dễ dàng chứng minh x0 ≤ x1 ≤ . ≤ xn ≤ . ≤ u. Mà x0 , u ∈ H(u0 ) nên ∃a > 0, b > 0, c > 0, d > cho au0 ≤ x0 ≤ bu0 , cu0 ≤ u ≤ du0 . Do đó, ta có au0 ≤ x0 ≤ x1 ≤ . ≤ xn ≤ . ≤ du0 , hay dãy (xn )∞ n=1 ⊂ H(u0 ) dãy không giảm. Có hai khả năng: dãy ( xn )∞ n=1 bị chặn không bị chặn. ∗ Giả sử dãy ( xn )∞ n=1 bị chặn: (∃α > 0)(∀n ∈ N ) xn ≤ α. Nhờ tính chất d - cực trị nón H, tồn x∗ = sup(xn ) ∈ H. Hơn nữa, au0 ≤ x0 ≤ x1 ≤ . ≤ xn ≤ x∗ ≤ u ≤ du0 , 52 nên x∗ ∈ H(u0 ). Lại có xn ≤ x∗ (n = 1, 2, .). (2.1) xn ≤ xn+1 = A1 xn ≤ A1 x∗ (n = 1, 2, .) ⇒ x∗ ≤ A1 x∗ . (2.2) Do đó, Mặt khác, với n ∈ N ∗ , ∃ α > 0, β > cho: αu0 ≤ xn , x∗ ≤ βu0 ⇒ xn − Ta nhận thấy, α α ∗ x ∈ K, > 0. β β α α α ≤ 1, > xn ≥ x∗ > x∗ , mâu thuẫn với β β β (2.1). Ta xét ánh xạ: f : R −→ E t → f (t) = xn − tx∗ . Nhờ tính chất liên tục phép nhân số thực với phần tử thuộc E phép cộng hai phần tử thuộc E, nên ánh xạ f liên tục. Do đó, f −1 (H) tập đóng R. Theo lập luận trên, tn = maxf −1 (H) ∈ [0; 1]. Ta nhận dãy số (tn )∞ n=1 ⊂ [0; 1] . Vì xn+1 − tn x∗ ≥ xn − tn x∗ ⇒ tn+1 ≥ tn (n = 1, 2, .), nên dãy số (tn )∞ n=1 không giảm bị chặn 1. Do đó, ta có lim tn = t ∈ (0; 1]. n→∞ Giả sử t < 1, ∃ α = α(x∗ , t) > cho A1 tx∗ ≥ (1 + α)tA1 x∗ ≥ tx∗ 53 tn ⇒ xn+2 = A21 xn ≥ A21 tn x∗ = A21 ( tx∗ ) t tn ∗ ≥ A1 tx t tn tn ≥ A1 tx∗ ≥ (1 + α)tA1 x∗ t t ∗ ≥ (1 + α)tn x (n = 1, 2, .) ⇒ tn+2 ≥ (1 + α)tn , (n = 1, 2, .). Đặc biệt, t2k+1 ≥ (1 + α)t2k−1 ≥ . ≥ (1 + α)k t1 , (k = 1, 2, .). Suy t = lim tn = lim t2k+1 = +∞, n→∞ k→∞ mâu thuẫn với điều giả sử t < 1. Vậy, t = 1. Mặt khác, tn A1 x∗ ≤ A1 tn x∗ ≤ A1 xn = xn+1 ≤ x∗ (n = 1, 2, .) Cho n → ∞, ta hệ thức A1 x∗ ≤ x∗ . (2.3) Từ hệ thức (2.2), (2.3) : A1 x∗ = x∗ hay Ax∗ = λQ (1 + c)x∗ , nghĩa là, toán tử A có vector riêng x∗ ∈ H(u0 ) tương ứng với giá trị riêng λQ (1 + c). Còn dãy ( xn )∞ n=1 không bị chặn, ta chứng minh tiếp sau: Gọi n1 số nguyên dương nhỏ cho xn1 > ⇒ xn1 > xn1 −1 . Giả sử xây dựng xn1 , xn2 , ., xnk > cho n1 < n2 < . < nk , xnk > k xnk > xnk −1 . Do dãy ( xn )∞ n=1 không bị chặn, nên tìm số tự nhiên nhỏ nk+1 > nk cho xnk+1 > k + ⇒ xnk+1 > xnk . 54 ∞ Theo phép quy nạp toán học, tồn dãy (xnk )∞ k=1 ⊂ (xn )n=1 có tính chất xnk > k, xnk > xnk −1 , k = 1, 2, . Do đó, lim xnk = +∞. k→∞ Dãy ( xnk −1 )∞ k=1 bị chặn. Thật vậy, giả sử lim xnk −1 = +∞. k→∞ Nhờ tính chất liên tục toán tử tuyến tính Q1 , coi Q1 ≤ (1 + r1 (Q1 )) < 1. Tồn số k0 ∈ N∗ cho ∀k ≥ k0 ta có A1 xnk −1 − Q1 xnk −1 < (1 − r1 (Q1 )) xnk −1 ⇒1< xnk −1 A1 xnk −1 − Q1 xnk −1 A1 xnk −1 ≤ + Q1 ( ) xnk −1 xnk −1 xnk −1 1 < (1 − r1 (Q1 )) + (1 + r1 (Q1 )) = 1, điều vô lí . 2 Suy dãy ( xnk −1 )∞ k=1 bị chặn. Lặp lại lí luận cho dãy yk = xnk −1 (k = 1, 2, .), ta tới khẳng định: toán tử A nhận x∗ ∈ H(u0 ) làm vector riêng. 2.3.2. Áp dụng Tuy nhiên, định lí 2.3.1 điều kiện đủ. Giả sử A toán tử xây dựng mục 2.2. Xét phương trình: Ax(t) = λx(t). Ta kiểm tra x0 (t) =   0 với t ∈ [a; c)  1 với t ∈ [c; b] (2.4) (2.5) 55 vector riêng ứng với giá trị riêng λ = 3. Với t ∈ [c; b] ta có (2.4) ⇔ x(t) + = λx(t) ⇔ x(t) = λx(t) − ⇔ x(t) = λ3 x3 (t) − 6λ2 x2 (t) + 12λx(t) − ⇔ λ3 x3 (t) − 6λ2 x2 (t) + (12λ − 1)x(t) − = 0. (2.6) Xét phương trình (2.6) với λ = 3, ta có: f3 (x) = 27x3 − 54x2 + 35x − = 0. Ta thấy f3 (1) = 0. Hiển nhiên, với t ∈ [a; c) ta có Ax0 (t) = = 3.0 = 3x0 (t). Suy Ax0 (t) = 3x0 (t), ∀t ∈ [a; b]. Vậy, x0 (t) xác định công thức (2.5) vector riêng toán tử A ứng với giá trị riêng λ = 3. Trong đó, A toán tử không bị chặn. Thật vậy, ta xét dãy hàm   0 với t ∈ [a; c) xn (t) =  n với t ∈ [c; b] n ∈ N∗ . Hiển nhiên, (xn )∞ n=1 ⊂ H, Axn = √ n + → +∞ n → +∞. 56 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách có hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, giới thiệu số nón tính chất chúng; Khái niệm toán tử lõm, trình bày số tính chất toán tử lõm lấy ví dụ, toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự M [a; b]; Định nghĩa đạo hàm tiệm cận số tính chất đơn giản; Mở rộng định lí tồn vector riêng toán tử lõm. Với phạm vi luận văn thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận bảo, góp ý Thầy, Cô bạn đọc để vấn đề trình bày luận văn hoàn thiện luận văn trở thành tài liệu khoa học hữu ích. Xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các điểm bất động toán tử lõm quy, Tạp chí Toán học, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam.Tập 15, số 1, trang 27-32. [2] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các vector riêng toán tử lõm quy, Tạp chí Toán học, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam.Tập 15, số 2, trang 17-23. [3] Nguyễn Phụ Hy (2002), Sự phụ thuộc liên tục vector riêng giá trị riêng lớp toán tử phi tuyến, Thông báo khoa học trường đại học, tập Toán- Tin, 2002, trang 62-64. [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội. [5] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các điểm bất động toán tử (K, u0 )- lõm quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 22/2012, trang 157-167. 57 58 [6] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các vector riêng toán tử (K, u0 )- lõm quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 22/2013, trang 118-127. [B] Tài liệu tiếng Nga [7] Bakhtin I. A (1959), Về phương trình tuyến tính với toán tử lõm lõm đều, DAN Liên Xô cũ. T.126, số 1, trang 9-12. [8] Kraxnoxelxki M. A (1962), Các nghiệm dương phương trình toán tử, Nhà xuất Toán - Lý, Maxkva . [9] Bakhtin I. A (1984), Các nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm, Voronegiơ. [...]... là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K \ {θ} Phần tử x ∈ E được gọi là u0 - đo được nếu tồn tại số dương t sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0 Tập hợp tất cả các phần tử u0 - đo được trong E kí hiệu là Eu0 Định lý 1.6.1 Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K \ {θ} Khi đó, Eu0 là một không gian tuyến tính 21 Chứng minh Ta có E là không gian tuyến tính thực. .. điều kiện iv) của định nghĩa 1.2.1 Do đó, x − y = θ ⇔ x = y *) Với x, y, z ∈ K sao cho x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z − y ∈ K Do z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K nên x ≤ z 13 Định nghĩa 1.3.2 (Không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự) Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự “ ≤ ” trên gọi là không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự theo nón K (hay sắp thứ bộ phận theo nón K) Định lý 1.3.2... x Như vậy, M [a; b] là không gian vector thực với phép cộng và phép nhân 26 vô hướng xác định ở trên Ta kí hiệu không gian vector nhận được là M [a; b] và phần tử không của không gian đó là θ Định lý 1.7.1 Không gian vector thực M [a; b] cùng với ánh xạ: : M [a; b] → R x → x = sup |x(t)| (1.2) a≤t≤b là không gian định chuẩn thực Chứng minh Vì x(t) bị chặn trên [a; b] nên tồn tại sup |x(t)| Do đó a≤t≤b... t1 t0 + t1 nên K(M ) ∩ [−K(M )] = {θ} Vậy, K(M ) là nón trong không gian E 1.3 Quan hệ thứ tự trên không gian định chuẩn thực Giả sử E là một không gian định chuẩn thực, K là một nón trong không gian E Định nghĩa 1.3.1 Với x, y ∈ E, ta viết x ≤ y (hoặc x < y) nếu y − x ∈ K (hoặc y − x ∈ K\ {θ}) Định lý 1.3.1 Quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ thứ tự trong E Chứng minh Thật vậy: *) Mọi x ∈ K, x − x = θ ∈ K... không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.2.1 (Khái niệm nón ) Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là tập con khác rỗng trong không gian E Tập K được gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau: i) K là một tập con đóng trong không gian E; ii) (∀x, y ∈ K) x + y ∈ K; iii) (∀x ∈ K) (∀t ∈ R+ ) tx ∈ K; iv) (∀x ∈ K \ {θ}) − x ∈ K ( θ là phần tử không của không gian E) / Định lý 1.2.1 Nếu K là một. .. 1.4 Các phần tử thông ước Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E Định nghĩa 1.4.1 (Các phần tử thông ước) Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E Với x, y ∈ E ta nói x thông ước với y nếu tồn tại số α(x) > 0, β(x) > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy Định lý 1.4.1 Cho x, y ∈ E, nếu x thông ước với y thì y thông ước với x Chứng minh Vì x thông ước với y nên tồn tại số dương... tới x trong không n=1 gian M [a; b] Vậy M [a; b] là không gian Banach 1.7.2 Nón và quan hệ thứ tự trong không gian M [a; b] Định lý 1.7.4 Các tập hợp K = {x ∈ M [a; b] : (∀t ∈ [a; b]) x(t) ≥ 0}, H = {x ∈ M [a; b] : x(t) ≤ 0, ∀ t ∈ [a; c); x(t) ≥ 0, ∀ t ∈ [c; b]} trong đó c là một số thực cố định thuộc (a; b), là hai nón trong không gian M [a; b] 29 Chứng minh *)Chứng minh K là nón trong không gian. .. 14 Định lý 1.3.5 Giả sử u0 ∈ K, x0 ∈ K sao cho ∃µ0 ∈ R, x0 ≤ µ0 u0 Khi đó, tồn tại số thực nhỏ nhất α sao cho x0 ≤ αu0 Chứng minh Xét ánh xạ f :R µ −→ K −→ f (µ) = µu0 − x0 Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Từ đó và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f −1 (K) là tập đóng trong không gian. .. nên tồn tại số dương t sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0 Nếu α ≥ 0 thì −tαu0 ≤ αx ≤ tαu0 Do đó αx ∈ Eu0 Nếu α < 0 thì −α > 0 nên −t(−α)u0 ≤ (−α)x ≤ t(−α)u0 , hay −[t(−α)]u0 ≤ (−α)x ≤ t(−α)u0 Do đó αx ∈ Eu0 Vì vậy, Eu0 là không gian con tuyến tính của E nên Eu0 là không gian tuyến tính thực Định lý 1.6.2 Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K \ {θ} Khi đó, Eu0 là một không gian. .. n0 ta có xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach) Một không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ Định nghĩa 1.1.5 (Tập đóng) Cho E là một không gian định chuẩn, D ⊂ E được gọi là tập đóng nếu với mọi dãy (xn )∞ ⊂ D, xn → x ∈ E khi n → ∞ thì x ∈ D n=1 Định nghĩa 1.1.6 (Tập lồi) Cho E là một không gian định chuẩn, D ⊂ E được gọi là tập lồi nếu với . “ Một hướng mở rộng định lí tồn tại vector riêng của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự ” nhằm đưa ra được một số tính chất của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa. cách có hệ thống về toán tử lõm và các tính chất của toán tử lõm. + Mở rộng một định lí về sự tồn tại của vector riêng của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự bằng cách bổ. chất của không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự. + Nghiên cứu một số tính chất của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. + Nghiên cứu sự tồn tại vector riêng của toán tử lõm