Một mở rộng định lý tồn tại vector riêng của toán tử (k,uo) lõm chính quy trong không gian banach với nón cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ HỒNG PHƯƠNG MỘT MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K,u0) - LÕM CHÍNH QUY TRONG KHƠNG GIAN BANACH VỚI NĨN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ HỒNG PHƯƠNG MỘT MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K,u0) - LÕM CHÍNH QUY TRONG KHƠNG GIAN BANACH VỚI NĨN CỰC TRỊ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN PHỤ HY HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hồn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể Thầy, Cơ giáo khoa Tốn, đặc biệt Tổ Tốn Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Vũ Hồng Phương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, luận văn chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài: Một mở rộng định lý tồn vector riêng toán tử (K,u0 ) - lõm quy khơng gian Banach với nón cực trị tơi tự làm Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Vũ Hồng Phương Mục lục Mở đầu Không gian Banach nửa thứ tự 1.1 Banach 1.1.1 Khái niệm nón khơng gian Banach 1.1.2 Quan hệ thứ tự không gian Banach 10 1.2 Quan hệ thông ước 11 1.3 Phần tử u0 - đo 13 1.4 Một số nón đặc biệt 17 1.5 Khái niệm nón quan hệ thứ tự khơng gian 1.4.1 Nón chuẩn tắc 17 1.4.2 Nón cực trị 21 Không gian Banach thực nửa thứ tự Lp (p > 1) 23 1.5.1 Xây dựng khơng gian tuyến tính thực Lp 23 1.5.2 Xây dựng không gian định chuẩn Lp 24 1.5.3 Xây dựng không gian Banach nửa thứ tự Lp 28 Mở rộng định lý tồn vectơ riêng toán tử (K,u0 ) - lõm quy 2.1 34 Khái niệm tốn tử (K,u0 ) - lõm quy 34 2.1.1 Các định nghĩa 34 2.1.2 Một số tính chất 35 2.2 Toán tử (K,u0 ) - lõm quy khơng gian Lp 36 2.3 Mở rộng định lý tồn vectơ riêng tốn tử (K,u0 ) lõm quy 38 2.4 Áp dụng 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu Lí chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động ngành tốn học lý thuyết có nhiều ứng dụng Lý thuyết điểm bất động nghiên cứu theo nhiều hướng khác gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng như: Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, Các nhà toán học xét toán tử khác nhau: toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Fréchet hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm, Nhà toán học Nga tiếng Kraxnoxelxki nghiên cứu toán tử lõm tác dụng khơng gian Banach thực với nón cố định (1956), nghiệm riêng phương trình tốn tử (1962) Phát triển kết nhà toán học Nga Kraxnoxelxki, GS.TS Bakhtin nghiên cứu phương trình khơng tuyến tính với tốn tử lõm (1959), nghiệm dương phương trình khơng tuyến tính với tốn tử lõm (1984), sau mở rộng cho tốn tử (K,u0 ) - lõm tác dụng khơng gian Banach thực với hai nón cố định có điểm chung (1984) Các lớp toán tử giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu công bố kết lớp tốn tử lõm tác dụng khơng gian Banach với nón cố định, tốn tử có chung tính chất u0 - đo Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy nghiên cứu vectơ riêng tốn tử lõm quy vào năm 2013 vectơ riêng dương tốn tử (K,u0 ) - lõm quy Tác giả mở rộng phát triển kết tốn tử lõm cho lớp tốn tử lõm quy tác dụng khơng gian Banach với nón cố định khơng u cầu tốn tử có tính chất u0 - đo Để chứng minh tồn vectơ riêng tốn tử, cơng trình nhà toán học kể bổ sung điều kiện phù hợp cho toán tử Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp tốn tử này, nhớ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình Thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, chọn nghiên cứu đề tài: "Một mở rộng định lý tồn vector riêng tốn tử (K,u0 ) - lõm quy khơng gian Banach với nón cực trị" Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm mở rộng số định lý tồn vectơ riêng tốn tử (K,u0 ) - lõm quy ( khơng có tính chất u0 - đo được) khơng gian Banach cách bổ sung điều kiện cho nón: nón cực trị Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu không gian Banach nửa thứ tự Tìm hiểu tồn vectơ riêng tốn tử (K,u0 ) - lõm quy khơng gian Banach với nón cực trị Một mở rộng định lý tồn vectơ riêng toán tử (K,u0 ) - lõm quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: kiến thức sở cần thiết, kết toán tử (K,u0 ) - lõm quy, tồn vectơ riêng tốn tử (K,u0 ) - lõm quy khơng gian Banach với nón cực trị Phạm vi nghiên cứu: tài liệu báo nước có liên quan đến vectơ riêng tốn tử (K,u0 ) - lõm quy khơng gian Banach với nón cực trị Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp kiến thức liên quan tới mục đích nghiên cứu Đóng góp luận văn Luận văn trình bày tổng qt về: Khơng gian Banach nửa thứ tự Một số tính chất tốn tử (K,u0 ) - lõm quy Tốn tử (K,u0 )- lõm quy khơng gian Lp [a;b] (p > 1) Một mở rộng định lý tồn vectơ riêng tốn tử (K,u0 ) - lõm quy Chương Không gian Banach nửa thứ tự 1.1 1.1.1 Khái niệm nón quan hệ thứ tự khơng gian Banach Khái niệm nón không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian Banach thực Tập K không gian E gọi nón, K thỏa mãn điều kiện: 1) K tập đóng khơng gian E; 2) Với ∀x, y ∈ K x + y ∈ K ; 3) Với ∀x ∈ K , ∀t ∈ R+ tx ∈ K ; 4) Với ∀x ∈ K x = θ −x ∈ / K ( θ kí hiệu phần tử không không gian E) Định lý 1.1.1 Nếu K nón khơng gian định chuẩn thực, θ ∈ K K tập lồi Chứng minh 41 Nếu Q đạo hàm tiệm cận tốn tử A theo nón K Qx ≤ Ax, ∀x ∈ K Chứng minh Hiển nhiên định lý với x = θ Aθ ≥ θ = Qθ Giả sử x ∈ K \ {θ}, nghĩa x > θ, ∀n ∈ N∗ ta có: nx 1 Ax − Qx = (A − Qx) ≥ ( Anx − Qx) x x n x n Anx − Qnx W (nx) = nx nx Ax − Qx Cho n → ∞ ta được: ≥ θ ⇒ Qx ≤ Ax x Vì vậy, Qx ≤ Ax, ∀x ∈ K = Định lý 2.3.4 Giả sử r(Q) bán kính phổ tốn tử Q Khi (∀α ∈ R∗+ ) tốn tử Q1 = α−1 Q đạo hàm tiệm cận toán tử A1 = α−1 A theo nón K có bán kính phổ r(Q1 ) = α−1 r(Q) Chứng minh Vì tốn tử Q đạo hàm tiệm cận toán tử A nên ta có Ax = Qx + W (x) ⇒ α−1 Ax = α−1 Qx + α−1 W (x) ⇒ A1 x − Q1 x = α−1 W (x) Suy lim x →∞ α−1 W (x) W (x) A1 x − Q1 x = lim = lim = 0, x x α x →∞ x x →∞ 42 nên Q1 đạo hàm tiệm cận toán tử A1 theo nón K Mặt khác, theo định nghĩa bán kính phổ n r(Q) n n = Q = lim Q r(Q1 ) = lim n Qn1 = lim n αn α α Định lý 2.3.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn 1) A toán tử (K, u0 ) - lõm quy (∃w0 ∈ K(u0 ))(∀x ∈ K) Ax ≤ w0 ; 2) Đạo hàm tiệm cận Q tốn tử A theo nón K có vector riêng xq ∈ K(u0 ) tương ứng với giá trị riêng λq bán kính phổ r(Q) tốn tử Q; 3) K nón cực trị Khi đó, tốn tử A có vector riêng K(u0 ) Chứng minh *) Theo định lý (2.3.1) (2.3.3), λq > ∀t ∈ (0; 1) Axq = A(t.t−1 xq ) > tA(t−1 xq ) ≥ tQ(t−1 xq ) = λq xq (2.1) Từ hệ thức (2.1) giả thiết định lý (2.3.5), suy tồn số dương α, β cho ∀t ∈ (0; 1) αu0 ≤ xq < 1 β Axq ≤ w0 ≤ u0 λq λq λq (2.2) 1 Axq ∈ K(u0 ), Axq − txq > θ (θ kí hiệu phần tử không λq λq không gian E ) ⇒ 43 Nên tồn số dương δ cho A( ⇒ Đặt x0 = t Axq ) − tAxq ≥ δu0 λq t t δ A( Axq ) − Axq ≥ u0 λq λq λq λq (2.3) t tβ Axq ta có: tαu0 ≤ x0 ≤ u0 , nghĩa x0 ∈ K(u0 ) λq λq δu0 δ tβ δ Ax0 − x0 ≥ = u0 ≥ x0 λq λq tβ λq tβ δ ⇒ Ax0 ≥ (1 + η)x0 η = > λq tβ A ⇒ x0 ≤ A1 x0 , A1 = λq (1 + η) Theo định lý (2.1.1), toán tử A1 có tính chất tốn tử A theo định lý 2.3.4, toán tử Q1 = Q đạo hàm tiệm cận toán tử A1 theo λq (1 + η) nón K có bán kính phổ r(Q1 ) = r(Q) λq (1 + η) *) Xét dãy điểm xn = A1 xn−1 (n = 1, 2, ) Ta có x0 ≤ A1 x0 = x1 ≤ A1 x1 = x2 ≤ ≤ xn = A1 xn−1 ≤ w0 (n = 1, 2, ) λq Hệ thức chứng tỏ dãy điểm (xn )∞ n=1 không giảm, chứa K(u0 ) bị chặn phần tử w0 ∈ K(u0 ) λq Ta chứng minh dãy bị chặn theo chuẩn Thật vậy, giả sử sup xn ∞ n=1 = ∞ 44 Bằng phép quy nạp toán học, từ dãy (xn )∞ n=1 ta tách dãy ∞ k=1 xnk lim k→∞ xnk cho xnk > k, xnk > xnk −1 (k = 1, 2, ) = ∞ nên lim k→∞ xnk −1 = ∞ Có thể coi Q1 ≤ + r1 (Q) chọn k0 đủ lớn cho A1 xnk −1 − Q1 xnk −1 xnk −1 < với k ≥ k0 Suy ra, 1≤ A1 xnk −1 xnk −1 ≤ A1 xnk −1 − Q1 xnk −1 xnk −1 + Q1 xnk −1 xnk −1 < 1, điều vô lý Do đó, dãy (xn )∞ n=1 bị chặn theo chuẩn Nhờ tính cực trị nón K, tồn cận x∗ = sup (xn )∞ n=1 thuộc K \ {θ} *) Theo tính chất cận tính chất tốn tử A1 , t x0 ≤ xn ≤ x∗ ≤ w0 ,xn ≤ xn+1 = A1 xn ≤ A1 x∗ (n = 1, 2, ) λq ⇒ x∗ ≤ A1 x∗ tồn số dương λ = tα > γ = (2.4) tβ > cho λq λu0 ≤ x0 ≤ xn ≤ xn+1 = A1 xn ≤ x∗ ≤ γu0 λ ⇒ x∗ ∈ K(u0 ), xn − x∗ ∈ K với γ λ αλq λ = > 0(n = 1, 2, , không phụ thuộc t) γ β γ Xét ánh xạ hn : R −→ E t −→ hn (t) = xn − tx∗ (2.5) 45 Ánh xạ hn liên tục nhờ tính liên tục phép tốn đại số khơng gian E Nên h−1 n (K) tập đóng khơng gian R với chuẩn thơng λ thường Kí hiệu tn = sup h−1 ≤ tn ≤ (do (2.4)) Hiển n (K) < γ nhiên, tn ∈ h−1 n (K) Hơn xn+1 − tn x∗ ≥ xn − tn x∗ ≥ θ ⇒ tn+1 ≥ tn Ta nhận dãy số thực dương (tn )∞ n=1 không giảm bị chặn số 1, tồn lim tn = t0 ∈ n→∞ λ ;1 γ *) Giả sử t0 < Khi A1 t0 x∗ > t0 A1 x∗ ≥ t0 x∗ ⇒ A1 t0 x∗ − t0 x∗ > θ A1 t0 x∗ t0 x∗ thuộc K(u0 ) Tồn số δ1 > cho A1 (A1 t0 x∗ ) − t0 A1 x∗ ≥ δ1 u0 hay A21 t0 x∗ − t0 A1 x∗ ≥ δ1 u0 δ1 ⇒ A21 t0 x∗ ≥ t0 A1 x∗ + δ1 u0 ≥ t0 x∗ + x∗ γ δ1 δ1 Đặt ξ = > 0, ta γ = γt0 ξt0 A21 t0 x∗ ≥ t0 x∗ + ξt0 x∗ = t0 (1 + ξ)x∗ Suy ra, ∀n ∈ N∗ tn tn xn+2 = A21 xn ≥ A21 tn x∗ = A21 t0 x∗ ≥ A21 t0 x∗ t0 t0 tn ≥ t0 (1 + ξ)x∗ = (1 + ξ)tn x∗ ⇒ t2n+2 ≥ tn (1 + ξ) t0 Đặc biệt, t2k+1 ≥ (1 + ξ)t2k−1 ≥ ≥ (1 + ξ)k t1 (k = 1, 2, ) ⇒ t0 = lim t2k+1 = ∞, mâu thuẫn với điều giả sử t0 < k→∞ Do đó, t0 = *) Cuối cùng, tn A1 x∗ ≤ A1 tn x∗ ≤ A1 xn = xn+1 ≤ x∗ 46 Cho n → ∞, ta nhận bất đẳng thức A1 x∗ ≤ x∗ Từ hệ (2.4) (2.6) ta A1 x∗ = x∗ hay (2.6) Ax∗ = x∗ λ0 ⇒ Ax∗ = λ0 x∗ Vậy, x∗ vectơ riêng toán tử A tập K(u0 ) Định nghĩa 2.3.3 Tốn tử tuyến tính P : E → E gọi dương, P K ⊂ K Định nghĩa 2.3.4 Tốn tử tuyến tính P : E → E gọi đạo hàm Fréchet tốn tử A điểm θ theo nón K , lim x∈K, x →0 Ax − Aθ − P x = x Định lý 2.3.6 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) A tốn tử (K, u0 ) - lõm quy ∃v0 ∈ K(u0 )(∃x ∈ K)Ax ≤ v0 Aθ = θ(phần tử θ khơng gian E ); 2) Tốn tử tuyến tính dương P u0 - đạo hàm Fréchet tốn tử A θ theo nón K vào có vector riêng xp ∈ K(u0 ) tương ứng với giá trị riêng λp > 0; 3) K nón chuẩn tắc cực trị Khi đó, tốn tử A có vector riêng K(u0 ) Chứng minh 47 *) Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Ax ≤ P x, ∀x ∈ K (2.7) Hiển nhiên, (2.7) với x = θ Giả sử x ∈ K \ {θ} lim+ t→0 P tx − Atx tx u0 = ⇒ lim+ t→0 P tx − Atx t = u0 Theo định nghĩa u0 - đạo hàm Fréchet (∀ε > 0)(∃t0 ∈ (0; 1))(∃t ∈ (0; t0 ]) ⇒ −εu0 ≤ P tx − Atx t nhỏ tùy ý ) ⇒ P x ≥ −εu0 + Vậy, Ax ≤ P x, ∀x ∈ K Hơn nữa, P toán tử đơn điệu nón K (∀x, y ∈ K : x ≤ y)y − x ≥ θ ⇒ P y − P x = P (y − x) ≥ θ ⇒ P y ≥ P x *) Tồn số dương α, β để αu0 ≤ xp ≤ βu0 Từ hệ thức (2.8) (2.9) chọn λ1 ∈ (0; λp ), ε = (λp − λ1 )α > , ∃t1 ∈ (0; 1) cho với t2 = {t0 , t1 } có At2 xp At2 xp − P t2 xp = + P xp ≥ −(λp − λ1 )αu0 + P xp t2 t2 (2.9) 48 ≥ −(λp − λ1 )xp + λp xp = λ1 xp At2 xp ≥ t2 xp λ1 Đặt A1 = A, x0 = t2 xp λ1 ⇒ αt2 u0 ≤ x0 ≤ βt2 u0 , (2.10) P toán tử λ1 tuyến tính dương u0 - đạo hạm Fréchet toán tử A1 điểm θ theo toán tử A1 (K, u0 ) - lõm quy, x0 ≤ A1 x0 , P1 = nón K *) Thành lập dãy xn = A1 xn−1 (n = 1, 2, ) ta có t2 xp = x0 ≤ A1 x0 = x1 ≤ A1 x1 = x2 ≤ ≤ A1 xn−1 = xn (n = 1, 2, ), nên dãy (xn )∞ n=1 khơng giảm, chứa nón K , Axn ≤ v0 (∀n = 1, 2, ) Suy (xn )∞ n=1 ⊂ K(u0 ) Theo giả thiết, K nón chuẩn tắc, (∃N > 0) xn ≤ N v0 (∀n ∈ N∗ ) Lại giả thiết, K nón cực trị nên tồn x∗ = sup (xn )∞ n=1 thuộc nón K Theo tính chất cận tính chất toán tử A1 , x0 ≤ xn ≤ x∗ ≤ v0 , xn ≤ xn+1 = A1 xn ≤ A1 x∗ (n = 1, 2, ) λ1 ⇒ x∗ ≤ A1 x∗ , (2.11) tồn số dương λ = αt2 > γ = βt2 > cho λu0 ≤ x0 ≤ xn ≤ xn+1 = A1 xn ≤ x∗ ≤ γu0 (2.12) 49 λ α λ λ ⇒ x∗ ∈ K(u0 ), xn − x∗ ∈ K với = (n = 1, 2, , không phụ thuộc t) γ γ β γ Xét ánh xạ: hn : R −→ E t −→ hn (t) = xn − tx∗ Ánh xạ hn liên tục nhờ tính liên tục phép tốn đại số không gian E nên h−1 n (K) tập đóng khơng gian R với chuẩn thơng λ thường Kí hiệu tn = sup h−1 (K) < ≤ tn ≤ 1(do(2.11)) Hiển n γ nhiên, tn ∈ h−1 n (K) Hơn xn+1 − tn x∗ ≥ xn − tn x∗ ≥ θ ⇒ tn+1 ≥ tn Ta dãy số dương (tn )∞ n=1 không giảm bị chặn số 1, tồn lim tn = t∗ ∈ n→∞ λ ;1 γ *) Giả sử t∗ < Khi A1 t∗ x∗ > t∗ A1 x∗ ≥ t∗ x∗ ⇒ A1 t∗ x∗ > θ, A1 t∗ x∗ t∗ x∗ thuộc K(u0 ) Tồn số δ1 > cho A1 (A1 t∗ x∗ ) − t∗ A1 x∗ ≥ δ1 u0 hay A21 t∗ x∗ − t∗ A1 x∗ ≥ δ1 u0 δ1 ⇒ A21 t∗ x∗ ≥ t∗ A1 x∗ + δ1 u0 ≥ t∗ x∗ + u0 γ δ1 δ1 Đặt ξ = ∗ > 0, ta γ = ∗ γt ξt A21 t∗ x∗ ≥ t∗ x∗ + ξt∗ x∗ = t∗ (1 + ξ)x∗ Suy ra, ∀n ∈ N∗ tn tn xn+2 = A21 xn ≥ A21 tn x∗ = A21 ∗ t∗ x∗ ≥ ∗ A21 t∗ x∗ t t tn ∗ ≥ ∗ t (1 + ξ)x∗ = (1 + ξ)tn x∗ ⇒ t2n+2 ≥ tn (1 + ξ) t Đặc biệt, t2k+1 ≥ (1 + ξ)t2k−1 ≥ ≥ (1 + ξ)k t1 (k = 1, 2, ) 50 ⇒ t∗ = lim t2k+1 = ∞, mâu thuẫn với điều giả sử t∗ < Do đó, k→∞ t∗ = *) Cuối cùng, tn A1 x∗ ≤ A1 tn x∗ ≤ A1 xn = xn+1 ≤ x∗ Cho n → ∞, ta nhận bất đẳng thức A1 x∗ ≤ x∗ (2.13) Từ hệ (2.11) (2.13) ta A1 x∗ = x∗ hay Ax∗ = x∗ λ0 ⇒ Ax∗ = λ0 x∗ Vậy, x∗ vectơ riêng toán tử A tập K(u0 ) 2.4 Áp dụng Toán tử A : Lp −→ Lp x −→ Ax, Ax(t) = x(t) + tốn tử (K, u0 ) - lõm quy theo mục 2.2 Xét toán tử Q : Lp −→ Lp x = x(t) −→ Qx(t) = h.k.n [a;b] Ta có Q tốn tử tuyến tính bị chặn Khi Ax = Qx + W (x) = W (x) với x ∈ K W (x) Ax = = 0≤ x x b a p x(t) + dt x p 51 ⇒ W (x) = lim x x∈K, x →∞ lim x∈K, x →∞ b a p p p  = x(t) p  = x(t) + dt b a x(t) + = p x(t) + dt b a p p  x(t) + x  x(t) + dt x b a p p  p1 x(t) dt    p    ≤ x(t) x(t)   W (x) = nên Q đạo hàm tiệm cận toán tử A x x∈K, x →∞ theo nón K Ta chứng minh toán tử (K, u0 ) - lõm quy A nón K Ta có lim khơng bị chặn w0 ∈ K(u0 ) Thật vậy, giả sử toán tử A bị chặn phần tử z = z(t) thuộc K(u0 ) nghĩa Ax ≤ z, ∀x ∈ K Ax ≤ z, ∀x ∈ K ⇒ Chọn v = v(t) = z(t) x(t) + ≤ z(t) ta có Av = z(t) + = z(t) + > z(t) nên Av > z mâu thuẫn với điều giả sử Như vậy, tốn tử A khơng thỏa mãn điều kiện bị chặn phần tử thuộc K(u0 ), tốn tử A có vectơ riêng Thật Ta ứng với số λ > tồn giá trị x ∈ K(u0 ) để Ax = λx Giả sử x = x(t) ∈ K(u0 ) Khi đó, ∃m > 0, ∃M > để m ≤ x(t) ≤ M Ax = x(t) + Suy ra, Ax = λx ⇔ x(t) + = λx(t) ⇔ λx(t) − x(t) − = 52 Nhận thấy ứng với giá trị riêng λ = > tồn vectơ riêng x = x(t) = ∈ K(u0 ) Nghĩa điều kiện toán tử (K, u0 ) - lõm quy A bị chặn phần tử w0 ∈ K(u0 ) điều kiện đủ để tốn tử (K, u0 ) - lõm quy A có vectơ riêng K(u0 ) 53 Kết luận Luận văn "Một mở rộng định lý tồn vector riêng tốn tử (K,u0 ) lõm quy khơng gian Banach với nón cực trị", trình bày vấn đề theo hai chương sau: Chương Khơng gian Banach nửa thứ tự Trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, định nghĩa nón, nón chuẩn tắc, nón cực trị, khơng gian Eu0 tập K(u0 ) Sau xây dựng không gian Banach thực nửa thứ tự Lp (p > 1) Chương Mở rộng định lý tồn vector riêng toán tử (K, u0 ) - lõm quy Trình bày khái niệm số tính chất tốn tử (K, u0 ) - lõm quy Trình bày chứng minh định lý tồn vectơ riêng toán tử (K, u0 ) - lõm quy khơng gian Banach với nón cực trị, số ví dụ áp dụng định lý tốn tử (K, u0 ) - lõm quy khơng gian Lp 54 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các vector riêng tốn tử lõm quy, Tạp chí tốn học, Viên Hàn lâm KHCN Việt Nam, tập 15, số 2, 17-23 [2] Nguyễn Phụ Hy (2002), Sự phụ thuộc liên tục vectơ riêng vào giá trị riêng lớp tốn tử phi tuyến, Thơng báo khoa học trường đại học, Bộ GDĐT, tập toán tin, 62-64 [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2012), Các điểm bất động toán tử (K,u0 ) - lõm quy, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 22, 157-167 [5] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các vector riêng dương toán tử (K,u0 ) - lõm quy, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 24, 118-127 [B] Tài liệu Tiếng Nga [6] Bakhtin I.A (1984), Các nghiệm dương phương trình khơng tuyến tính với tốn tử lõm, Vơrơnegio 55 [7] Kraxnoxelxki M.A (1962), Các nghiệm dương phương trình tốn tử, Matkva, NXB Tốn - Lí ... tài: "Một mở rộng định lý tồn vector riêng tốn tử (K,u0 ) - lõm quy khơng gian Banach với nón cực trị" Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm mở rộng số định lý tồn vectơ riêng toán tử (K,u0 ) - lõm quy. .. vectơ riêng tốn tử lõm quy vào năm 2013 vectơ riêng dương toán tử (K,u0 ) - lõm quy Tác giả mở rộng phát triển kết toán tử lõm cho lớp tốn tử lõm quy tác dụng khơng gian Banach với nón cố định. .. PHƯƠNG MỘT MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K,u0) - LÕM CHÍNH QUY TRONG KHƠNG GIAN BANACH VỚI NĨN CỰC TRỊ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC