Cơ sở trong không gian Banach

Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Tốn LỜI NĨI ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết hàm giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt toán học tốn học ứng dụng Nội dung phong phú, đa dạng Do kiến thức lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó sâu nghiên cứu vấn đề giải tích hàm Với mong muốn tìm hiểu sâu mơn này, góc độ sinh viên sư phạm toán phạm vi khoá luận tốt nghiệp với giúp đỡ thầy giáo – TS Bùi Kiên Cường, em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết đề tài : “Cơ sở khơng gian Banach” Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu giải tích hàm, đặc biệt tìm hiểu sâu sở khơng gian Banach Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật tính chất đặc trưng sở tổng quát không gian Banach, mối liên hệ sở với số dãy dặc biệt, tính đối ngẫu sở Từ đó, nghiên cứu sâu tính chất đặc trưng số sở cụ thể: sở hội tụ tuyệt * đối, sở yếu yếu khơng gian Banach Qua đó, bổ sung thêm tính chất quan trọng làm phong phú thêm nội dung mơn Giải tích hàm Phương pháp nghiên cứu Đề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khố luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm ba chương:  Chương 1: Kiến thức chuẩn bị  Chương 2: Cơ sở không gian Banach *  Chương 3: Cơ sở hội tụ tuyệt đối, sở yếu yếu khơng gian Banach Trong suốt q trình nghiên cứu, thầy giáo – TS Bùi Kiên Cường bảo, giúp đỡ tận tình, em hồn thành khố luận Một lần cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Em mong thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên khoa đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Tác giả Vũ Thị Hương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kí hiệu F : kí hiệu trường vô hướng, F =  F =  A : lực lượng tập A hữu hạn c n  : cn để chuỗi  mn 1 nÕu  0 hội tụ  m  : số Kronecker n, m n nÕu Cho X,Y tập hợp Khi : f : X Y hàm với miền xác định X , miền giá trị Y Range( f ) f (X)  f (x) : x X : ảnh miền giá trị f  x : phiếm hàm tuyến tính liên tục X    x, x x (x) : tác động x lên x X  x sup x, x  x X 1 §1 Không gian Banach Định nghĩa không gian định chuẩn ví dụ Định nghĩa 1.1 Khơng gian vectơ X gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn (không gian định chuẩn) với x tồn số thực x , X gọi chuẩn x , thoả mãn: a) x 0,  x 0 x 0, c) c c x x, với vô hướng c, với x X , d) x y x y , x, y X Nếu có tính chất a), c) d)  gọi nửa chuẩn Định nghĩa 1.2 Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn  Một dãy vectơ x n  X X hội tụ tới x lim x  nghĩa là, n n  0,   x 0, N n 0, N, xn  x  Trong trường hợp này, ta viết xn lim xn x  n x  Một dãy vectơ xn  X dãy Cauchy lim x  n xm m,n   0, nghĩa là, 0, N m, 0, n 0,  xn   xm Dễ thấy dãy hội tụ không định chuẩn dãy Cauchy Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung khơng Ta nói X khơng gian đầy thoả mãn dãy Cauchy hội tụ Khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy gọi không gian Banach Định nghĩa1.3 Dãy xntrong không gian Banach X a) b) c) Bị chặn inf xn 0,  , Bị chặn sup xn Chuẩn hoá xn 1 với n Định nghĩa 1.4 Cho không gian định chuẩn X  ,  X Hai chuẩn hai chuẩn   gọi tươmg đương tồn hai số dương ,  cho x x   Định lí 1.1 Nếu  ,  2 x x X tương đương xác định hội tụ với dãy bất kì, nghĩa lim x  xn n  x x n lim 0 n Ví dụ 1.1 Cho f hàm giá trị phức xác định tập E  Khi a) Với p , đặt  f (x) p  p L (E)  dx  :E f    : E Đây không gian Banach với chuẩn p b) Trường hợp p =  , đặt 1/ p f L p ( f (x) dx)  E  L (E) :E f hàm bị chặn E  : f Đây không gian Banach với chuẩn_sup f x L  esssup f (x) = infM  Ví dụ 1.2 Đặt C(E) x  E 0 : f (x)  hầu khắp nơi M = f : E C : f liên tục E   Nếu E tập compact  phiếm hàm liên tục E bị chặn Trong trường hợp này, chuẩn_sup C  E không gian Banach với  f L  f (x) sup x  E Ví dụ 1.3 Với p , đặt  p l  c (c  n ): c   p    n Đây không gian Banach với chuẩn c l p  (c ) n p  l p )1/ p (  c n n Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Holder) Với p  và xác định hệ thức 1  p q 1 a) Nế u p thoả mãn Đặt   0  , p f L (E) g th fg L1 (E) p L ì (E) fg f L L p g L p , Với p bất đẳng thức tương đương với mệnh đề f (x)g(x) dx p f (x) )  ( E b) Nếu (an 1/ p E p , (g(x) ) 1/ p , E , ) (b )  l p p l n (a b ) l n (anbn ) l ( (an ) l (bn ) lp , p Với p bất đẳng thức tương đương với mệnh đề a b n n p  ) (  n Đặc biệt, , an p 1/ p n n , , 1/ p ) ( b n p p =2 ta có bất đẳng thức Schwarz Cauchy – Schwarz : f (x)g(x) dx  ( E a b n n f (x) ) 2 1/ ) )1/  1/ E  an (g(x) ) E ( n 1/ ( b n n n Tôpô không gian định chuẩn Định nghĩa 1.5 Tập X  gọi không gian định chuẩn không  gian định chuẩn X X khơng gian tuyến tính khơng gian X chuẩn xác định X chuẩn xác định X Nếu X0 đồng thời tập đóng khơng gian X X gọi khơng gian định chuẩn đóng khơng gian X Định nghĩa 1.6 Khơng gian tuyến tính định chuẩn X gọi không gian tách tồn tập đếm trù mật X Ví dụ 1.4 Với 1p  p thì l Định nghĩa 1.7 Cho xn không gian tách dãy tuỳ ý khơng gian tuyến tính định chuẩn X  Bao tuyến tính hữu hạn tập hợp tất tổ hợp dãy xn tuyến tính phần tử dãy xn Kí hiệu  N span xn  cn xn : N 0 vµ c1, ,cN =  F  nghĩa  y   y Như ý trên, yếu * X  (xn, sở mạnh phiếm an) hàm hệ số phần tử X Do đó, ta ln viết   a (x) x,a n ta n nói phiếm hàm hệ số liên kết với sở mạnh Tuy nhiên, nói phiếm hàm mà chúng liên tục hay chưa ta viết Dễ thấy, tất sở mạnh sở yếu an (x) * Các tính chất sở yếu sở yếu khơng gian Banach Định lí 3.2 Cho X khơng gian Banach Nếu x n X xn x n sở mạnh sở yếu X Hơn nữa, trường hợp này, sở Schauder yếu X với phiếm hàm hệ số liên tục mạnh X Chứng minh Giả sử xn sở mạnh X Khi đó, xn sở Schauder mạnh theo định lí 2.3 Vì vậy, phiếm hàm hệ số liên kết phiếm hàm tuyến tính liên tục mạnh X Ta xn an sở yếu anlà dãy phiếm hàm hệ số liên kết với sở yếu Do ta biết phiếm hàm liên tục mạnh, điều kiện cần để liên tục để liên tục yếu suy xn sở Schauder yếu Do đó, với xX bất kì, x  hội tụ mạnh Do hội ta có x,an xn tụ mạnh suy hội tụ yếu nên chuỗi phải hội tụ yếu tới x Hoặc để thấy rõ điều này, để ý x   x , ta có  X N tuỳ ý từ tính liên tục N  lim    x,a N n   x , x  l im x,a n n , x  N  n n1  x,a x , x  n n1  x, x  n Do đó, cần khai triển x  Giả sử x,an xn có x  mà chuỗi hội tụ yếu Đặc biệt, cố định m bất kì, c  n n n xn m  a X từ hội tụ yếu chuỗi x  c x ta có N x,am lim  cn xn , am  N n1 N lim  cn xn,am  N n1 N  lim  cn m n N n1 sở yếu X cm Vì vậy, biểu diễn xn Mệnh đề 3.1 Cho dãy không gian Banach giả sử xn xn   N (cn ) Y  (cn ) : với n Đặt Y sup N n1 c cnxn n xn Khi đó, mệnh đề sau ln héi tơ yÕu X đặt a) Y không gian Banach  u Nế sở yếu X Y đồng phơi với X qua xn ánh xạ (cn )  c xn n Chứng minh  Nhớ lại dãy hội tụ yếu bị chặn (bổ đề 1.2) Do đó, (cn ) Y N  cn xn  Y  vì li m  cn xn (cn ) N hội tụ yếu Phần lại n1 chứng minh đồng với chứng minh mệnh đề 2.1  sử Giả xn sở yếu X Xác định ánh xạ T:Y X cho T(cn ) cnxn , chuỗi hội tụ yếu Ánh xạ hoàn toàn xác định theo định nghĩa Y Hiển nhiên ánh xạ tuyến tính song ánh xn T(cn )  sở  Cuối cùng, (cn )Y N  sup cx c x n n n1 yếu N (cn ) Y n n n1 Lại chuỗi hội tụ yếu bị chặn nên T bị chặn Vì vậy, T phép đồng phôi ánh xạ Y lên X Từ mệnh đề ta thấy tổng riêng toán tử sở yếu liên tục mạnh (đối chiếu với hệ 2.1) Hệ 3.1 (xn, sở yếu không gian Banach X an) Cho Khi a) sup SN ví i xX x b) Mi SN l liờn tc mnh C sup SN  (xn,an) Cho sở yếu khơng gian Banach X Khi c) x sup SN x với chuẩn có dạng chuẩn X tương đương ban đầu  X thoả mãn   C  Chứng minh a) Lấy Y mệnh đề 3.1 Khi đó, T : X Y cho T(cn )  c xn n (hội tụ yếu) phép đồng phôi ánh xạ X lên Y Giả sử theo định nghĩa ta có x   a (x) xX Khi đó, hội tụ yếu vô hướng an (x) n xn Vì vậy, ta phải có T1x (a (x)) n Do sup SN x N b) c) N sup (an (x)) T1  an (x)xn Y  x N n1  Từ (3.3), ta thấy sup SN T 1 x (3.3) Y  T1 Dễ thấy,  có tính chất nửa chuẩn nhỏ Bây giờ, lấy x X, ta có x  sup SN sup x SN N x  lim N  SN x  x sup SN x N   N Từ hai kết suy đương với  Số hữu hạn x C x C sup SN  thực chất chuẩn tương số sở yếu N Định lí 3.3 Mọi sở yếu không gian Banach sở Schauder yếu Thực chất, phiếm hàm hệ số X thoả mãn 1 an an phiếm hàm tuyến tính liên tục mạnh xn 2C , C số sở yếu Chứng minh Theo hệ 3.1, ta thấy C  , chí sở yếu X Do (xn,an ) an tuyến tính, để an liên tục mạnh, ta cần an bị chặn Lấy an (x) xX , ta tính n xn  an (x)xn n1  ak (x)xk  ak (x)xk k1 k1 n  ak (x)xk n1  k1 Sn x  Sn1x 2C x  a k1 k (x)xk Do x , ta n suy an 2C/  Bất đẳng thức sau xn suy từ việc tính tốn an (xn )  an xn  Định lí 3.4 (Định lí sở yếu) Mọi sở yếu khơng gian Banach X sở mạnh X hội tụ yếu Chứng minh Ta định lí 3.2 tất sở mạnh sở yếu Đối với hội tụ, giả gử (xn, sở yếu X Từ định an) lí 3.3, a liên tục m nên  a X Hơn nữa, từ tính khai m triển (3.1), ta phải có xn ,am  với m,n Do đó, (xn,an)  mn hệ song trực giao theo định nghĩa 2.10 Hơn nữa, theo hệ 3.1 suy sup SN  x   X  Theo định lí 2.6, ta đầy X Do đó, giả sử xn n thoả mãn x , x 0 với n Khi đó, với xX , từ (3.1) ta có N  x, x lim  x,a N  x , x  n n n1 N l im  x,a x , x  n n N 0 n n1 Do đó, x  Vì  vậy, x  đầy X KẾT LUẬN Khố luận: “Cơ sở khơng gian Banach” nghiên cứu tổng quan vấn đề : + Cơ sở không gian Banach tính chất đặc trưng + Mối liên hệ sở số dãy đặc biệt: dãy độc lập tuyến tính dãy song trực giao + Tính đối ngẫu sở khơng gian Banach, phần nghiên cứu mối quan hệ sở sở đối ngẫu khơng gian conn Spana  X * + Nghiên cứu sâu số sở cụ thể không gian Banach: sở * hội tụ tuyệt đối, sở yếu yếu khơng gian Banach Qua khố luận này, thân em không lĩnh hội thêm tri thức giải tích hàm mà có hiểu biết định nghiên cứu khoa học Việc nghiên cứu sâu lí thuyết sở khơng gian Banach góp phần bổ sung thêm kết quan trọng vào lí thuyết hàm giải tích hàm, mơn có tầm quan trọng đặc biệt toán học toán học ứng dụng Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót định Vì vậy, em mong đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Khoa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 nm 2007 Sinh viờn Vũ Thị Hơng TI LIU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải(2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, II, Nxb Giáo dục Hà Nội [3] Hồng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Christopher Heil, A Basic Theory Primer, School of Mathematics, Georgia Institute of Technology, Atlanta, USA [5] W Rudin (1991), Functional Analysis, Second Edition, McGraw Hill, New York MỤC LỤC Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kí hiệu §1 Không gian Banach Định nghĩa không gian định chuẩn ví dụ Tôpô không gian định chuẩn Tốn tử tuyến tính Không gian liên hợp, toán tử liên hợp Sự hội tụ yếu 10 §2 Không gian Hilbert 11 §3 Các ngun lí giải tích hàm .16 Chương 2: CƠ SỞ TRONG KHÔNG GIAN BANACH .18 §1 Sự hội tụ chuỗi 18 1.Các định nghĩa 18 Mối liên hệ hội tụ tuyệt đối hội tụ vô điều kiện chuỗi không gian Banach 19 §2 Cơ sở khơng gian Banach 22 1.Cơ sở Hamel .22 Các định nghĩa, kí hiệu ví dụ sở 26 Các tính chất sở khơng gian Banach 28 §3 Mối liên hệ sở với dãy độc lập tuyến tính dãy song trực giao 36 Mối liên hệ sở với dãy độc lập tuyến tính 36 Mối liên hệ sở dãy song trực giao 40 §4 Tính đối ngẫu sở khơng gian Banach 49 Chương 3: CƠ SỞ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI, CƠ SỞ YẾU VÀ YẾU* TRONG KHÔNG GIAN BANACH 53 §1 Cơ sở hội tụ tuyệt đối không gian Banach 53 Định nghĩa 3.1 53 Định lí 3.1 53 Ví dụ 3.1 54 * §2 Cơ sở yếu yếu không gian Banach .54 Định nghĩa 3.2 54 * Các tính chất sở yếu sở yếu không gian Banach 56 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 ... chương:  Chương 1: Kiến thức chuẩn bị  Chương 2: Cơ sở không gian Banach *  Chương 3: Cơ sở hội tụ tuyệt đối, sở yếu yếu không gian Banach Trong suốt trình nghiên cứu, thầy giáo – TS Bùi Kiên... nghĩa 1.9 Cho X không gian tuyến tính định chuẩn  trường F Ta gọi khơng gian X phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian X không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) không gian X Định lí...  Định nghĩa 1.14 Không gian tuyến tính trường F với tích không gian Hilbert H thoả man điều kiện: vô hướng gọi không gian tiền Hilbert Như vậy, không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với