Luận văn sư phạm Cơ sở trong không gian Banach

Khoá lu n t t nghi p V Th H L I NịI ng - K29K - Toán U Lý ch n đ tƠi Lí thuy t hƠm vƠ gi i tích hƠm có t m quan tr ng đ c bi t đ i v i toán h c c b n vƠ toán h c ng d ng N i dung c a r t phong phú, đa d ng Do ki n th c l p v i l ng th i gian eo h p nên khó có th sơu nghiên c u m t v n đ nƠo c a gi i tích hƠm V i mong mu n đ hi u sơu h n v b môn nƠy, d c tìm i góc đ m t sinh viên s ph m toán vƠ ph m vi c a m t khoá lu n t t nghi p v i s giúp đ c a th y giáo ậ TS Bùi Kiên C ng, em xin m nh d n trình bƠy nh ng hi u bi t c a v đ tƠi : “C s khơng gian Banach” M c đích nghiên c u Quá trình th c hi n đ tƠi giúp em b c đ u lƠm quen v i vi c nghiên c u khoa h c vƠ tìm hi u sơu h n v gi i tích hƠm, đ c bi t lƠ tìm hi u sơu v c s không gian Banach Nhi m v nghiên c u tƠi nƠy đ c nghiên c u nh m sơu khai thác lƠm n i b t nh ng tính ch t đ c tr ng c a c s t ng quát không gian Banach, m i liên h gi a c s v i m t s dãy d c bi t, tính đ i ng u c a c s T đó, nghiên c u sơu tính ch t đ c tr ng c a m t s c s c th : c s h i t t đ i, c s y u vƠ y u* khơng gian Banach Qua đó, b sung thêm nh ng tính ch t quan tr ng vƠ lƠm phong phú thêm n i dung c a b môn Gi i tích hƠm Ph ng pháp nghiên c u tƠi đ c hoƠn thƠnh d a s k t h p ph c u lí lu n, phơn tích, t ng h p, đánh giá ng pháp: nghiên Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán C u trúc khoá lu n NgoƠi ph n m đ u, k t lu n, danh m c tƠi li u tham kh o, khoá lu n g m ba ch ng:  Ch ng 1: Ki n th c chu n b  Ch ng 2: C s không gian Banach  Ch ng 3: C s h i t t đ i, c s y u vƠ y u * không gian Banach Trong su t trình nghiên c u, đ C c th y giáo ậ TS Bùi Kiên ng ch b o, giúp đ t n tình, em hoƠn thƠnh khố lu n nƠy M t l n n a cho em đ c g i l i c m n sơu s c t i th y Em r t mong th y giáo, cô giáo b n sinh viên khoa đóng góp ý ki n đ đ tƠi nƠy đ c hoƠn thi n h n HƠ N i, tháng 05 n m 2007 Tác gi V Th H ng Khoá lu n t t nghi p V Th H Ch ng - K29K - Toán ng KI N TH C CHU N B M t s kí hi u F : kí hi u lƠ tr A :l cl c n ng vô h ng c a t p A h u h n   : đ ch chu i 1 0  mn   ng, F = ฀ ho c F = ฀ c n h it nÕu m  n, : ch s Kronecker nÕu m  n Cho X, Y lƠ t p h p Khi : f : X  Y lƠ m t hƠm v i mi n xác đ nh X , mi n giá tr Y Range( f )  f ( X)   f ( x) : x  X : nh ho c mi n giá tr c a f x : lƠ phi m hƠm n tính liên t c X  x, x  x ( x) : tác đ ng c a x lên x  X x  sup  x, x  x X 1 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Tốn §1 Khơng gian Banach nh ngh a khơng gian đ nh chu n vƠ ví d nh ngh a 1.1 Không gian vect X đ c g i lƠ khơng gian n tính đ nh chu n (không gian đ nh chu n) n u v i m i x  X t n t i s th c x , g i lƠ chu n c a x , tho mãn: a) x  0, b) x  n u vƠ ch n u x  , c) cx  c x , v i m i vô h d) x  y  x  y , ng c, v i m i x  X , x, y  X N u ch có tính ch t a), c) vƠ d)  đ c g i lƠ m t n a chu n nh ngh a 1.2 Cho X lƠ m t khơng gian n tính đ nh chu n a) M t dãy vect  xn  X h i t t i x X n u lim xn  x  0, ngh a lƠ, n u n   0, N  0, n  N, xn  x   Trong tr ng h p nƠy, ta vi t xn  x ho c lim xn  x n  b) M t dãy vect  xn  X lƠ dãy Cauchy n u lim xn  xm  0, ngh a lƠ, n u m,n   0, N  0, m, n  0, xn  xm   c) D th y m i dãy h i t không đ nh chu n đ u lƠ dãy Cauchy Tuy nhiên, u ng c l i nói chung khơng Ta nói r ng X không gian đ y n u tho mãn m i dãy Cauchy đ u h i t Khơng gian n tính đ nh chu n đ y đ c g i lƠ không gian Banach Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán nh ngh a1.3 Dãy  xn  không gian Banach X a) B ch n d i n u inf xn  0, b) B ch n n u sup xn   , c) Chu n hoá n u xn  v i m i n nh ngh a 1.4 Cho không gian đ nh chu n X  ,  lƠ hai chu n X Hai chu n   g i lƠ t mg đ ng n u t n t i hai s d ng  ,  cho  x  x   x x  X nh lí 1.1 N u  ,  t ng đ ng xác đ nh m t s h i t v i m t dãy b t kì, ngh a lim x  xn   lim x  xn  n n Ví d 1.1 Cho f lƠ hƠm giá tr ph c xác đ nh t p E  ฀ Khi a) V i  p  , đ t   p Lp ( E )   f : E  ฀ :  f ( x) dx      E ơy lƠ m t không gian Banach v i chu n f  (  f ( x) dx)1/ p p p L E ng h p p =  , đ t b) Tr L ( E )   f : E  ฀ : f lƠ hƠm b ch n E ơy lƠ không gian Banach v i chu n_sup f  x Ví d 1.2 L  ess sup f ( x) = inf M  : f ( x)  M h u kh p n i xE t C ( E ) =  f : E  C : f liên t c E   Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán N u E lƠ m t t p compact ฀ m i phi m hƠm liên t c ng h p nƠy, C  E  m t không gian Banach v i E đ u b ch n Trong tr chu n_sup f L  sup f ( x) xE Ví d 1.3 V i  p   , đ t   p l p  c  (cn ) :  cn    n฀   ơy lƠ m t không gian Banach v i chu n c lp  (cn )  ( cn )1/ p p lp n฀ nh lí 1.2 (B t đ ng th c Holder) V i  p   xác đ nh p tho mãn h th c 1   p q t 1    0  a) N u f  Lp ( E ) g  Lp ( E ) fg  L1 ( E ) , fg  f L1 g Lp V i  p   b t đ ng th c t  E Lp , ng đ ng v i m nh đ f ( x) g ( x) dx  (  f ( x) )1/ p (  g ( x) )1/ p p, p E , E b) N u (a n )  l p (bn )  l p (a nbn )  l1 , (a nbn )  ( (a n ) l1 V i  p   b t đ ng th c t ng đ lp (bn ) lp , ng v i m nh đ  anbn  ( a n )1/ p ( bn )1/ p p, p n n , n c bi t, n u p  p, = ta có b t đ ng th c Schwarz ho c Cauchy – Schwarz : Khoá lu n t t nghi p  E V Th H ng - K29K - Toán f ( x) g ( x) dx  (  f ( x) )1/ (  g ( x) )1/ 2 E a b n n n E  ( a n )1/ ( bn )1/ 2 n n Tôpô không gian đ nh chu n nh ngh a 1.5 T p X0   g i lƠ không gian đ nh chu n c a không gian đ nh chu n X n u X0 lƠ khơng gian n tính c a không gian X vƠ chu n xác đ nh X0 lƠ chu n xác đ nh X N u X0 đ ng th i lƠ t p đóng khơng gian X X0 g i lƠ khơng gian đ nh chu n đóng c a không gian X nh ngh a 1.6 Không gian n tính đ nh chu n X g i lƠ không gian tách đ cn ut nt im tt pđ mđ c trù m t X Ví d 1.4 V i  p   l p lƠ không gian tách đ c nh ngh a 1.7 Cho  xn lƠ m t dãy tu ý khơng gian n tính đ nh chu n X a) Bao n tính h u h n c a dãy  xn lƠ t p h p t t c t h p n tính ph n t c a dãy  xn Kí hi u span  xn N  =  cn xn : N  vµ c1, , cN  F   n1  b) Bao đóng n tính c a  xn lƠ bao đóng c a bao n tính h u h n vƠ đ c kí hi u lƠ span  xn c)  xn lƠ đ y X n u span  xn = X hay span  xn trù m t X Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Tốn Tốn t n tính nh ngh a 1.8 Cho hai không gian n tính đ nh chu n X vµ Y ng F M t ánh x T : X  Y đ tr c g i lƠ m t toán t N u Y  F thi toán t T : X  F lƠ phi m hƠm X T lƠ n tính n u T(a x  by) = aT x  bTy , a, b  F , x, y  X T lƠ đ n ánh ho c  n u Tx  Ty vƠ ch x  y nh hay mi n giá tr c a T Range(T)  T( X)  Tx : x  X T lƠ toƠn ánh ho c lên n u Range(T)  Y Chu n c a toán t n tính ho c đ n gi n lƠ chu n c a toán t T T  sup Tx x 1 Tđ c g i lƠ b ch n n u T   T lƠ b o toƠn chu n ho c đ ng c n u Tx Y  x X x  X nh lí 1.3 Cho T : X  Y tốn t n tính ánh x khơng gian đ nh chu n X vào không gian đ nh chu n Y Khi T liên t c  T b ch n Do đó, ta dùng thu t ng liên t c b ch n thay th cho nói v tốn t n tính Khơng gian liên h p, toán t liên h p nh ngh a 1.9 Cho X lƠ m t khơng gian n tính đ nh chu n ng F Ta g i khơng gian X phi m hƠm n tính liên t c tr không gian X lƠ không gian liên h p (không gian đ i ng u) c a khơng gian X nh lí 1.4 N u X khơng gian đ nh chu n, không gian đ i ng u X không gian Banach v i chu n x X  sup  x, x  x X 1 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Tốn nh lí 1.5 Gi s X khơng gian Banach Khi đó, x  X x X  sup  x, x  x 1 nh ngh a 1.10 a) Không gian liên h p c a không gian X g i lƠ không gian liên h p th hai c a không gian đ nh chu n X vƠ kí hi u lƠ X b) M i ph n t x  X xác đ nh m t ph n t  ( x)  X cho b i công th c  x , ( x)  x, x  v i x  X Ánh x  : X  X đ c g i lƠ phép nhúng t c X vµo X , t đ ng nh t X v i không gian  ( x)  X N u  lƠ song ánh ta vi t X  X vƠ nói r ng X khơng gian ph n x Ví d 1.5 Lp ( E) vµ l p lƠ khơng gian ph n x n u  p   , nh ng c p   không lƠ không gian ph n x v i p  1h V i  p  , q  tho mãn 1   thì: p q ( Lp ( E))  Lq ( E), (l p )  l q nh ngh a 1.11 Gi s X, Y lƠ hai khơng gian n tính đ nh chu n, S tốn t n tính b ch n t X vµo Y Tốn t S : Y  X xác đ nh b i S y  y  S, y  Y , ngh a lƠ  x, S y    Sx, y  , x  X g i lƠ toán t liên h p c a toán t n tính b ch n S D th y S n tính vƠ v i m i y  Y ta có (1.1) Khố lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán (S y ) x   Sx, y   y S x ,x  X Do đó, S y  S y V y S lƠ m t tốn t n tính b ch n nh lí 1.6 N u S tốn t n tính liên h p c a tốn t n tính b ch n S t khơng gian n tính đ nh chu n X vào khơng gian n tính đ nh chu n Y S  S S h i t y u nh ngh a 1.12 Gi s X lƠ m t không gian Banach a) Dãy xn ph n t c a X h i t t i m x  X n u lim x  xn  Khi đó, ta c ng g i s h i t nƠy lƠ s h i t m nh ho c s n h i t theo chu n b) Dãy  xn ph n t c a X h i t y u đ n x  X n u x  X , lim  xn , x   x, x  n Khi đó, ta nói r ng xn  x y u   c) Dãy xn phi m hƠm c a X h i t y u* đ n x  X n u x  X , lim  xn , x   x , x  n Trong tr ng h p nƠy, ta nói r ng xn  x yÕu ho c tôpô yÕu Chú ý r ng, s h i t yÕu ch áp d ng đ i v i s h i t c a phi m hƠm không gian đ i ng u X Tuy nhiên, X không gian đ i ng u c a nó, ta có th ch s h i t m nh ho c y u c a phi m hƠm X c ng lƠ s h i t yÕu c a phi m hƠm nƠy c bi t, n u X lƠ không gian ph n x X  X , xn  x y u X n u vƠ ch n u xn  x yÕu X 10 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Tốn Do đó, theo đ nh lí 2.6, ta c n ch ng t sup TN   , TN N t ng riêng toán t liên k t v i (an, ( xn )) , ngh a lƠ N N n1 n1 TN ( x )    x , ( xn )  an    xn , x  an , v i x  spanan Thơng th ng dùng SN kí hi u cho t ng riêng toán t liên k t v i c s (xn,an) X Do SN lƠ ánh x n tính liên t c t X vào nó, SN có ánh x liên h p SN : X  X Do chu n c a toán t lien h p b ng chu n c a tốn t ban đ u nên ta có SN  SN (xem đ nh lí 1.6) Bơy gi n u x  X vµ x  X t (1.1), ta có  x, SN ( x )  SN x, x  N    x, an  xn , x  n1 N  x,   xn , x  an  n1  x, TN ( x ) Do đó, TN  SN Vì v y, sup TN  sup SN  sup SN b) Gi s (xn,an) lƠ c s vô u ki n c a X Khi đó, theo ph n a), ta th y (an, ( xn )) lƠ c s c a spanan Vì v y, ta c n ch c s nƠy lƠ c s vô u ki n Do đó, c x    x , ( xn )  an lƠ s đ nh b t kì x  spanan Khi đó, bi u di n nh t c a x c s (an, ( xn )) Ta ph i ch chu i nƠy h i t vô u ki n L y  lƠ m t phép th b t kì c a ฀  Khi đó, v i m i x  X , 50 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán  x, x  x,   x , ( xn )  an (do x    x , ( xn )  an ) n    x , ( xn )  x, an  n    xn , x  x, an  (theo đ nh ngh a c a  ) n    x, an  xn , x  n    x, a ( n)  x ( n) , x  x    x, an  xn (h i t n vô u ki n)    x, a ( n)  x ( n) , x  n  x,   x , ( x ( n) )  a ( n)  Do đó, x    x , ( x ( n) )  a ( n) Vì v y, chu i   x , ( x )  a  n n h i t vô u ki n c)Gi s (xn,an) lƠ c s b ch n c a X Khi đó, theo đ nh ngh a,  inf xn  sup xn   H n n a, t (2.5), ta có  an xn  2C , C lƠ h ng s c s c a (xn,an) Do đó,  inf an  sup an   K t h p v i ph n a) suy (an, ( xn )) lƠ m t c s b ch n H qu 2.3 N u (xn,an) m t c s , c s vô u ki n ho c c s b ch n không gian Banach ph n x X , (an, ( xn )) m t c s , c s vô u ki n ho c c s b ch n c a X 51 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán Ch ng minh Gi s (xn,an) lƠ m t c s c a X Khi đó, theo đ nh lí 2.10 suy (an, ( xn )) lƠ m t c s c a spanan X Vì v y, ta c n ch an lƠ đ y X Gi s x  X tho mãn  an , x  ví i mäi n Do X lƠ ph n x , X   ( X) Do đó, x   ( x) v i m t vƠi x  X Nh ng đó,  x, an  an , ( x)  an, x  v i m i n Do đó, x    x, an  xn   Vì v y, x   ( x)   Theo đ nh lí Haln ậ Banach (h qu 1.4) suy an lƠ đ y X Các m nh đ đ i v i c s vô u ki n ho c c s b ch n đ c suy m t cách tr c ti p H qu 2.4 Cho H m t khơng gian Hilbert Khi đó, (xn,yn) m t c s , c s vô u ki n ho c c s b ch n n u ch n u kh ng đ nh v i (yn,xn) Ch ng minh K t qu nƠy suy t h qu 2.3 vƠ th c t không gian Hilbert lƠ t đ i ng u, ngh a lƠ H   H 52 Khoá lu n t t nghi p C S V Th H Ch ng H I T TUY T I, C ng - K29K - Toán S Y U VẨ Y U* TRONG KHƠNG GIAN BANACH §1 C s h i t t đ i không gian Banach nh ngh a 3.1 C s (xn,an) không gian Banach X lƠ h i t t đ i n u chu i x    x, an  xn h i t t đ i X v i m i x  X , ngh a lƠ ta c n có x  X,   x, a n  xn   nh lí 3.1 N u khơng gian Banach X có m t c s h i t t đ i X đ ng phơi v i l Ch ng minh Gi s (xn,an) lƠ m t c s h i t t đ i c a X Xác đ nh ánh x T : X  l cho b i Tx  ( x, an  xn ) Hi n nhiên T hoàn toàn xác đ nh, lƠ đ n ánh vƠ lƠ ánh x n tính Gi s yN  X, yN  y  X TyN  (cn )  l Khi N lim   yN , an  xn  cn  lim TyN  (cn ) N  n1 N  l1 0 Do phi m hƠm h s an lƠ liên t c vƠ t (3.1) ta có  y, an  xn  lim  yN , aN  xn  cn N  53 (3.1) Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Tốn Do đó, Ty  (cn ) Vì v y, T lƠ ánh x đóng T ngun lí đ th đóng (đ nh lí 1.16) suy T 1 lƠ liên t c M t khác, ta có th k t lu n đ c u t vi c tính tốn tr c ti p nh sau x    x, a n n  xn    x, an  xn  Tx l1 n Ví d 3.1 Cho H lƠ m t không gian Hilbert vô h n chi u tách đ en lƠ m c e n n c vƠ l y t c s tr c chu n b t kì c a H Ta bi t ví d 2.1, chu i h i t n u vƠ ch n u (cn )  l vƠ tr vô u ki n Trong tr ng h p nƠy s h i t lƠ ng h p khác, en  1, ta th y c e n n h it n u vƠ ch n u (cn )  l Do l lƠ t p th c s c a l , suy en không th lƠ c s h i t t đ i c a H H n n a, H đ ng phôi v i l l không đ ng phôi v i l , t đ nh lí suy H khơng có b t kì c s nƠo h i t t đ i §2 C s y u vƠ y u không gian Banach * nh ngh a 3.2 Cho X không gian Banach a) Dãy  xn ph n t c a X lƠ m t c s c a X n u đ nh ngh a 2.5 đúng, ngh a lƠ, v i m i x  X , ph i t n t i nh t vô h ng an ( x) cho x   an ( x)xn , v i s h i t c a chu i nƠy tôpô m nh, ngh a N lim x   an ( x) xn  N  n1 Trong m c nƠy, đ nh n m nh ki u h i t c a chu i ta th ng liên h v i m t c s m nh ho c c s t c T đ nh lí 2.3, m i phi m hƠm h s am liên h v i m t c s m nh lƠ liên t c m nh, ngh a lƠ n u yn  y 54 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Tốn m nh X am( yn )  am( y) Do đó, m i c s m nh đ u lƠ c s Schauder m nh b) Dãy  xn ph n t c a X lƠ c s y u c a X n u v i m i ng an ( x) cho x   an ( x) xn v i s x  X , t n t i nh t vô h h i t c a chu i nƠy tôpô y u, ngh a lƠ N x  X , lim   an ( x)xn , x  x, x  (3.2) N  n1 C s y u lƠ c s Schauder y u n u m i phi m hƠm h s am liên t c y u X , ngh a lƠ, n u yn  y y u X am( yn )  am( y)   c) Dãy xn phi m hƠm X lƠ c s yÕu c a X n u v i m i x  X t n t i nh t vô h ng an ( x ) cho x   an ( x ) xn v i s h i t c a chu i nƠy tôpô yÕu , ngh a lƠ N x  X , lim   an ( x )xn , x  x , x  N  n1 C s y u* lƠ m t c s Schauder y u* n u m i phi m hƠm h s am liên t c y u* X , ngh a lƠ yn  y y u* X am ( yn )  am ( y ) Nh ý trên, n u (xn,an) lƠ m t c s m nh m i phi m hƠm h s lƠ m t ph n t c a X Do đó, ta ln vi t  x, an  an ( x) ta nói v phi m hƠm h s liên k t v i m t c s m nh Tuy nhiên, nói v phi m hƠm mƠ không bi t lƠ chúng liên t c hay ch a ta ch vi t an ( x) D th y, t t c c s m nh đ u lƠ c s y u 55 Khoá lu n t t nghi p V Th H Các tính ch t c a c s y u vƠ c s ng - K29K - Toán y u* khơng gian Banach nh lí 3.2 Cho X m t không gian Banach N u  xn m t c s m nh X  xn c s y u X H n n a, tr xn ng h p này, c s Schauder y u X v i phi m hàm h s liên t c m nh X Ch ng minh Gi s xn lƠ m t c s m nh c a X Khi đó, xn lƠ c s Schauder m nh theo đ nh lí 2.3 Vì v y, phi m hƠm h s liên k t an lƠ phi m hƠm n tính liên t c m nh X Ta s ch  xn lƠ c s y u vƠ an lƠ dãy phi m hƠm h s liên k t v i c s y u nƠy Do ta bi t phi m hƠm nƠy lƠ liên t c m nh, lƠ u ki n c n đ liên t c đ liên t c y u vƠ suy đ c  xn lƠ c s Schauder y u Do đó, v i x  X b t kì, ta có x    x, an  xn h i t m nh Do h i t m nh suy h i t y u nên chu i nƠy c ng ph i h i t y u t i x Ho c đ th y rõ u nƠy, đ ý r ng n u x  X tu ý t tính liên t c c a x , ta có N N lim    x, an  xn , x   lim   x, an , x  N  N  n1 n1     x, an  xn , x  n1  x, x  56 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Tốn Do đó, c n ch s khai tri n x    x, an  xn lƠ nh t Gi s c ng có x   cn xn mƠ chu i nƠy h i t y u c bi t, c đ nh m b t kì, am  X vƠ t s h i t y u c a chu i x   cn xn ta có N  x, am  lim   cn xn , am  N  n1 N  lim  cn  xn , am  N  n1 N  lim  cn mn N  n1  cm Vì v y, s bi u di n lƠ nh t vƠ  xn lƠ c s y u c a X M nh đ 3.1 Cho  xn m t dãy không gian Banach gi s xn   v i m i n (cn ) Y  sup N t Y  (cn ) :  cn xn héi tô yÕu X đ t N c x n1 n n Khi đó, m nh đ sau a) Y không gian Banach b) N u  xn m t c s y u c a X Y đ ng phôi v i X qua ánh x (cn )   cn xn Ch ng minh a) Nh l i r ng dãy h i t y u lƠ b ch n (b đ 1.2) Do đó, n u (cn )  Y (cn ) Y   N  cn xn  lim  cn xn h i t y u Ph n l i c a N  n1 c a ch ng minh bơy gi lƠ đ ng nh t v i ch ng minh c a m nh đ 2.1 57 Khoá lu n t t nghi p b) Gi s xn lƠ m V Th H ng - K29K - Toán t c s y u c a X Xác đ nh ánh x T : Y  X cho b i T(cn )   cn xn , chu i nƠy h i t y u Ánh x nƠy hoƠn toƠn xác đ nh theo đ nh ngh a c a Y Hi n nhiên ánh x nƠy lƠ n tính vƠ lƠ song ánh T(cn )  xn  c x n1 n n lƠ c  sup N s N c x n1 n n y u Cu i cùng, n u (cn )  Y  (cn ) Y L i chu i h i t y u đ u b ch n nên T lƠ b ch n Vì v y, T lƠ phép đ ng phôi ánh x Y lên X T m nh đ nƠy ta th y r ng t ng riêng toán t đ i v i c s y u lƠ liên t c m nh (đ i chi u v i h qu 2.1) H qu 3.1 Cho (xn,an) m t c s y u c a khơng gian Banach X Khi a) sup SN x vớ i x X b) M i SN liên t c m nh C  sup SN   Cho (xn,an) m t c s y u c a khơng gian Banach X Khi c) x  sup SN x có d ng m t chu n X t ng đ ng v i chu n ban đ u  c a X tho mãn     C  Ch ng minh a) L y Y nh m nh đ 3.1 Khi đó, T : X  Y cho b i T(cn )   cn xn (h i t y u) lƠ m t phép đ ng phôi ánh x X lên Y Gi s x  X Khi đó, theo đ nh ngh a ta có x   an ( x) xn h i t y u vƠ vơ h nh t Vì v y, ta ph i có T1x  (an ( x)) Do 58 ng an ( x) Khoá lu n t t nghi p sup SN x  sup N N V Th H N  a ( x)x n1 n n ng - K29K - Toán  (an ( x)) Y  T1x Y  T1 x (3.3) b) T (3.3), ta th y sup SN  T1   c) D th y,  có tính ch t c a n a chu n nh nh t Bơy gi , l y x  X , ta có x  sup SN x  sup SN x  C x N N x  lim SN x  sup SN x  x N  N T hai k t qu đơy suy  đ th c ch t lƠ m t chu n t ng ng v i  S h u h n C  sup SN lƠ h ng s c s y u N nh lí 3.3 M i c s y u không gian Banach c s Schauder y u Th c ch t, phi m hàm h s an phi m hàm n tính liên t c m nh X tho mãn  an xn  2C , C h ng s c s y u Ch ng minh Theo h qu 3.1, ta th y C   , th m chí m c dù (xn,an) ch lƠ c s y u c a X Do m i an lƠ n tính, đ ch an lƠ liên t c m nh, ta c n ch an b ch n L y x  X , ta tính an ( x) xn  an ( x) xn   n1 n  a ( x) x   a ( x) x k1 k k n  a ( x) x k1 k k  Sn x  Sn1x  2C x 59 k1  k k n1  a ( x) x k1 k k Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán Do m i xn   , ta suy an  2C / xn   B t đ ng th c sau nƠy suy t vi c tính tốn  an ( xn )  an xn   nh lí 3.4 ( nh lí c s y u) M i c s y u không gian Banach X c s m nh c a X h i t y u Ch ng minh Ta ch đ nh lí 3.2 r ng t t c c s m nh đ u lƠ c s y u i v i s h i t , gi g r ng (xn,an) lƠ c s y u c a X T đ nh lí 3.3, m i am lƠ liên t c nên am  X H n n a, t tính nh t c a s khai tri n (3.1), ta ph i có  xn, am   mn v i m i m, n Do đó, (xn,an) lƠ h song tr c giao theo đ nh ngh a 2.10 H n n a, theo h qu 3.1 suy sup SN   Theo đ nh lí 2.6, ta ch  xn lƠ đ y X Do đó, gi s x  X tho mãn  xn, x  v i m i n Khi đó, v i m i x  X , t (3.1) ta có N  x, x   lim    x, an  xn , x   N  n1 N  lim   x, an  xn , x  N  n1  Do đó, x   Vì v y,  xn lƠ đ y X 60 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán K T LU N Khố lu n: “C s khơng gian Banach” nghiên c u t ng quan v v n đ : + C s không gian Banach nh ng tính ch t đ c tr ng c a + M i liên h gi a c s m t s dãy đ c bi t: dãy đ c l p n tính dãy song tr c giao + Tính đ i ng u c a c s không gian Banach, ph n nghiên c u m i quan h gi a c s c s đ i ng u c a khơng gian Spana n   X* + Nghiên c u sâu m t s c s c th không gian Banach: c s h i t t đ i, c s y u y u* khơng gian Banach Qua khố lu n nƠy, b n thơn em không ch đ tri th c m i c a gi i tích hƠm mƠ có đ c l nh h i thêm nh ng c nh ng hi u bi t nh t đ nh nghiên c u khoa h c Vi c nghiên c u sơu lí thuy t c s khơng gian Banach góp ph n b sung thêm nh ng k t qu quan tr ng vƠo lí thuy t hƠm vƠ gi i tích hƠm, b mơn có t m quan tr ng đ c bi t đ i v i toán h c c b n vƠ toán h c ng d ng Do th i gian nghiên c u có h n vƠ kh n ng b n thơn h n ch nên đ tƠi nƠy không tránh kh i nh ng thi u sót nh t đ nh Vì v y, em r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a th y giáo, cô giáo b n sinh viên Khoa đ đ tƠi nƠy đ c hoƠn thi n h n Em xin chơn thƠnh c m n! HƠ N i, thỏng 05 n m 2007 Sinh viờn Vũ Thị H-ơng 61 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán TẨI LI U THAM KH O [1] Nguy n Ph Hy (2005), Gi i tích hàm, Nxb Khoa h c vƠ K thu t, HƠ N i [2] Nguy n V n Khuê, Lê M u H i(2001), C s lí thuy t hàm gi i tích hàm, T p I, II, Nxb Giáo d c HƠ N i [3] HoƠng T y (2003), Hàm th c Gi i tích hàm, Nxb i h c Qu c gia HƠ N i [4] Christopher Heil, A Basic Theory Primer, School of Mathematics, Georgia Institute of Technology, Atlanta, USA [5] W Rudin (1991), Functional Analysis, Second Edition, McGraw Hill, New York 62 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Toán M CL C Ch ng 1: KI N TH C CHU N B M t s kí hi u §1 Khơng gian Banach nh ngh a không gian đ nh chu n vƠ ví d Tơpơ không gian đ nh chu n Toán t n tính Khơng gian liên h p, tốn t liên h p S h i t y u 10 §2 Không gian Hilbert 11 §3 Các ngun lí c b n c a gi i tích hƠm 16 Ch ng 2: C S TRONG KHÔNG GIAN BANACH 18 §1 S h i t c a chu i 18 1.Các đ nh ngh a 18 M i liên h gi a s h i t t đ i vƠ s h i t vô u ki n c a chu i không gian Banach 19 §2 C s khơng gian Banach 22 1.C s Hamel 22 Các đ nh ngh a, kí hi u vƠ ví d v c s 26 Các tính ch t c a c s không gian Banach 28 §3 M i liên h gi a c s v i dãy đ c l p n tính vƠ dãy song tr c giao 36 M i liên h gi a c s v i dãy đ c l p n tính 36 M i liên h gi a c s vƠ dãy song tr c giao 40 §4 Tính đ i ng u c a c s không gian Banach 49 Ch ng 3: C S H I T TUY T I, C S Y U VẨ Y U* TRONG KHÔNG GIAN BANACH 53 63 Khoá lu n t t nghi p V Th H ng - K29K - Tốn §1 C s h i t t đ i không gian Banach 53 nh ngh a 3.1 53 nh lí 3.1 53 Ví d 3.1 54 §2 C s y u vƠ y u* không gian Banach 54 nh ngh a 3.2 54 Các tính ch t c a c s y u vƠ c s y u* không gian Banach 56 K T LU N 61 TẨI LI U THAM KH O 62 64 ... t khơng gian n tính đ nh chu n ng F Ta g i không gian X phi m hƠm n tính liên t c tr không gian X lƠ không gian liên h p (không gian đ i ng u) c a khơng gian X nh lí 1.4 N u X khơng gian đ nh... c s Hamel đ đ a m t ví d v m t không gian mƠ không gian nƠy lƠ không gian Banach v i hai chu n không t ng đ ng đ ng D dƠng đ a ví d v không gian vect v i chu n không t ng đ ng Ch ng h n, C 0,1... khơng b ch n Do m i không gian Banach lƠ m t không gian vect nên có c s Hamel ho c c s khơng gian vect Trong không gian Banach vô h n chi u tách đ c đòi h i có c s Hamel không đ m đ c H n n