Luận văn sư phạm Cơ sở Grobner và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỞ ĐẦU Trong Đại số giao hoán, nghiên cứu vành đa thức biến [ ] (với trường), ta biết iđêan đa thức đa thức ∈ sinh mà ta gọi phần tử sinh Vì với [ ] bất kì, ta thực phép chia đa thức cho đa thức theo thuật tốn Euclide để tìm đa thức dư , đa thức xác định ∈ I thức nhiều biến = Một lẽ tự nhiên mở rộng lên vành đa [ ,…, ], để xác định đa thức có thuộc iđêan đa thức ⊆ [ ,…, khơng, ta tìm tập phần tử sinh { } ≔ , cho tập đa thức Tuy nhiên, liệu có thực phép chia đa thức đa thức để tìm đa thức dư ] ] cho trước hay ,…, ∈ , sau thực phép chia đa thức ∈ [ ,…, cho tập hay khơng? Và đa thức dư cịn xác định nhất? Thuật tốn chia có thay đổi so với thuật toán Euclide? Liệu ∈ I = 0? Cơ sở Gröbner Đại số máy tính cho phép giải đáp tất thắc mắc Được động viên, giúp đỡ thầy, giáo khoa Tốn, đặc biệt thầy cô tổ Đại số, em chọn đề tài: “Cơ sở Gröbner ứng dụng” Nội dung đề tài trình bày khái niệm sở lí thuyết Grưbner ứng dụng Xây dựng quan hệ thứ tự tập đơn thức nhiều biến, từ đó, thấy làm rõ cách thức mở rộng thuật toán chia đa thức biến trung học sở sang trường hợp đa thức nhiều biến Qua đó, người ta xác định phương hướng để giải số toán iđêan vành đa thức nhiều biến Đỗ Thị Mùi K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Đề tài trình bày hai chương: Chương Cơ sở Gröbner Chương đề cập đến khái niệm thứ tự từ, xuất phát điểm để xây dựng sở Grưbner Từ đó, người ta đưa khái niệm iđêan khởi đầu, từ khởi đầu, định nghĩa số tính chất sở Grưbner Tiếp đó, tác giả trình bày việc mở rộng thuật toán chia với dư vành đa thức nhiều ẩn Cuối cùng, đề cập tới thuật toán Buchberger Chương Một số ứng dụng Cơ sở Gröbner Nội dung chủ yếu chương trình bày ứng dụng sở Grưbner để giải số toán iđêan vành đa thức nhiều biến Mặc dù có nhiều cố gắng song nhiều hạn chế thời gian kiến thức, khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Đỗ Thị Mùi K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG CƠ SỞ GRÖBNER 1.1 Thứ tự từ 1.1.1 Thứ tự, giả thứ tự Định nghĩa 1.1: Cho tập ≠ ∅ Quan hệ hai quan hệ thứ tự phận điều kiện sau thỏa mãn: i) Với ii) Với , đối xứng) iii) cầu) ∈ : (tính chất phản xạ) ∈ : Với , , ∈ : = (tính chất phản (tính chất bắc Ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự ≤, ≥ Nhận xét: Nếu quan hệ thứ tự phận thì: = {( , )|( , ) ∈ } quan hệ thứ tự phận gọi thứ tự ngược Nếu kí hiệu Ví dụ tự ≤ kí hiệu ≥  Quan hệ ≤ tập hợp số tự nhiên N quan hệ thứ  Quan hệ chia hết N quan hệ thứ tự phận Định nghĩa 1.1.2 Nếu có thứ tự phận ≤ ta nói phận Khi đó, với , sánh với ∈ Quan hệ thứ tự ≤ phần tử ≤ tập ≤ , , không so gọi thứ tự toàn phần cặp so sánh với Khi đó, ta nói tập hoàn toàn Đỗ Thị Mùi K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Quan hệ hai ngơi thỏa mãn tính chất phản xạ bắc cầu gọi giả thứ tự Ví dụ  (N, ≤) tập thứ tự toàn phần  (R, ≤) tập thứ tự tồn phần phần tử R so sánh với Tuy nhiên, (C, ≤) xác định sau: + ≤ + ≤ ≤ ⟺ quan hệ thứ tự phận ℂ  Quan hệ chia hết thứ tự phận tập N giả thứ tự phận Z  ≤ tập đơn thức vành [ ] với quan hệ xác định sau: , = … , = , … ≤ ,∀ = quan hệ thứ tự phận Với số biến quan hệ 1, … quan hệ thứ tự toàn phần Định nghĩa 1.1.3 Cho ( , ≤) tập phận, Ø ≠ i) ∈ với ii) ∈ ∈ gọi phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) , ta có ∈ ta có ∈ ≤ (tương ứng ≤ ) = phần tử bé (tương ứng lớn nhất) iii) Phần tử với ⊆ ≤ ta có ∈ (tương ứng với ≤ ) chặn (tương ứng chặn dưới) , ≤ (tương ứng ≤ ) iv) Tập gọi bị chặn vừa bị trên, vừa bị chặn v) Tập gọi thứ tự tốt hoàn toàn tập khác rỗng để có phần tử bé Ví dụ Đỗ Thị Mùi K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp  (N, |), nguyên tố  (ℝ, ≤), Trường ĐHSP Hà Nội > 1} Các phần tử tối tiểu số ={ ∈ℕ∶ = [1,2], nhất, lớn = (1,2) Khi đó: 1,2 phần tử bé khơng có phần tử bé nhất, lớn nhất, tối tiểu, tối đại bị chặn bị chặn ℝ  (ℕ, ≤) tập thứ tự tốt (ℕ, ≤) hồn toàn phận khác rỗng N có phần tử bé Tuy nhiên, (ℤ, ≤) khơng = { | ∈ ℤ, phải tập thứ tự tốt tập < −2} khơng có phần tử bé Bổ đề 1.1.1 ( Bổ đề Zorn) Nếu tập (bộ phận) cho tập khác rỗng hồn tồn bị chặn có phần tử tối đại 1.1.2 Thứ tự từ Định nghĩa 1.1.4 Cho tất đơn thức [ ] Thứ tự toàn phần ≤ tập gọi thứ tự từ nếu: i) Với ii) Với ∈ , ,1 ≤ , ∈ ≤ ≤ Ví dụ: Quan hệ theo bậc đơn thức biến thứ tự từ Bổ đề 1.1.2 Một thứ tự toàn phần ≤ thứ tự tốt dãy đơn thức thực giảm: > dừng (sau hữu hạn phần tử) Chứng minh ⊆ > >⋯ Giả sử ≤ không thứ tự tốt cho Đỗ Thị Mùi , tức tồn tập khơng có phần tử bé Lấy phần tử bất K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp kì Vì , với Trường ĐHSP Hà Nội khơng có phần tử bé nên tìm ta tìm < Lặp lại trình mãi ta nhận < dãy vô hạn đơn thức thực giảm: > - > >⋯> >⋯ Ngược lại, có dãy vô hạn đơn thức thực giảm dãy khơng có phần tử bé Vì vậy, thứ tự cho không thứ tự tốt Bổ đề 1.1.3 Mọi thứ tự từ thứ tự tốt Ngược lại, thứ tự tốt thỏa mãn điều kiện ii) Định nghĩa 1.1.4 thứ tự từ Chứng minh - Cho ≤ thứ tự từ Giả sử ∅ ≠ đơn thức sinh ,…, , gọi ,…, ) Vì ≤ thứ tự tồn phần nên giả thiết ≤ Ta chứng tỏ ∈ , =( phần tử bé ,…, đơn thức, ta tìm ≤ Vì ≤ - ⊆ [ ] iđêan Theo Bổ đề Dickson tồn hữu hạn phần tử cho : = ( ∈ ⊆ ≤ , với Thật vậy, với ) nên theo bổ đề tính chia hết iđêan theo tính chất , với = đơn thức hay ≤ thứ tự tốt Ngược lại, giả sử ≤ thứ tự tốt tồn đơn thức cho : Khi đó, theo tính chất ii) Định nghĩa 1.1.4 ta có : 1> - 1> = > = , = > = ,… Cứ tiếp tục ta nhận dãy vô hạn đơn thức thực giảm: > > > > ⋯ Theo bổ đề tính tương đương iđêan đơn thức, điều trái với giả thiết ≤ thứ tự tốt Suy ra, ≤ với ∈ Vậy ≤ thỏa mãn hai tính chất Định nghĩa 1.1.4, hay ≤ thứ tự từ Đỗ Thị Mùi K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.1.3 Một số thứ tự từ quan trọng Trong phần này, xét xem thứ tự từ quan trọng mà phần thường xuyên sử dụng đến chúng Đó thứ tự từ điển, thứ tự từ điển phân bậc, thứ tự từ điển ngược Cho ≤ thứ tự từ Bằng cách thay đổi số biến cần thiết giả thiết : > Định nghĩa 1.1.5 >⋯> i) Thứ tự từ điển, kí hiệu ≤ … < bên trái véctơ ( … − , xác định sau : thành phần khác không kể từ ,…, tồn ≤ < cho sau : < = ) số âm (Nói cách khác, − ,…, = ( ii) Thứ tự từ điển phân bậc, kí hiệu ≤ … deg( … … … )= … khác không kể từ bên trái véctơ ( số âm Nói cách khác, +⋯+ = + ⋯+ … + ⋯+ iii) Thứ tự từ điển ngược, kí hiệu ≤ … … … < ( … ( ≤ ) < , xác đinh )< … thành phần − < ,…, + ⋯+ − ⋯+ = − , xác định sau : … )= ,…, ) số dương Nói cách khác, + ⋯+ = = + ⋯+ > … )< … thành phần khác không kể từ bên phải véctơ ( ,…, ) +⋯+ tồn ≤ ≤ < − + cho Nhận xét : Dễ dàng chứng minh thứ tự kể thứ tự từ Ví dụ Đỗ Thị Mùi K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  Trong thứ tự ta ln có :  Cho đơn thức : > : > , > , >⋯> Sắp xếp biến , - Đối với thứ tự từ điển: > > > > > - Đối với thứ tự từ điển phân bậc: > - Đối với thứ tự từ điển ngược: > > > 1.2 Iđêan khởi đầu, sở Gröbner 1.2.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu Định nghĩa 1.2.1 Cho ≤ thứ tự từ ∈ [ ] Từ khởi đầu đa thức Nếu ∈ hiệu ( ), từ lớn đa thức thứ tự từ ≤ đơn thức đầu thứ tự từ ≤ đầu ( )= ( )= ,0 ≠ ( )= gọi hệ số Nếu thứ tự từ ≤ xác định rõ ràng ta thường viết gọn (tương ứng Chú ý ( ), ( )) thay cho ( ) (tương ứng , kí ( ), ( ) ( ))  Từ khởi đầu đa thức khơng xác định, nhận giá trị tùy ý  Trong biểu diễn tắc đa thức thứ tự giảm dần Ví dụ Cho đa thức thứ tự giảm dần với Đỗ Thị Mùi ta viết từ theo ( ) xuất =3 > + > , ta có: −6 ( )=3 + − Viết theo K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội ( )= ( ) = −6 Bổ đề 1.2.1: Cho , i) ∈ [ ] ( ii) )= ( iii) Khi đó: ∈ ( ) ( ) )= ( ) { ( + )≤ ( ) = − ( ) ( )} Dấu < xảy ( ), Chứng minh Giả sử: < = ( )+∑ ( ), i) Với , ( ) ( ) ≠ 0, , : ( ii) Vì )= ( )= ( ) ∑ ( ) ( ) từ lớn ( ) ( ) nên điều chứng minh suy từ i) ( ) ta có : ( )> Ta có : +∑ ( )> nghĩa từ khởi đầu, ta có : tổng )= ( )= ( )+ ( )> nên Vậy, ( )> + = ( )≥ ( )> ( )+ ( )  Nếu ( ) Do nên lại có: Đỗ Thị Mùi { ( ), ( )= ( )+∑ ( )+ ( )} ( ) +∑ ( ) từ lớn ( ) ≠ ( + )= ( )= ( )≠− ( ) ( )> { ( ), ( )+ Theo định khơng giản ước với từ khác, nên + ( ) ( ) < iii) Khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử  Nếu , ( ) ( ) giản ước với từ khai triển tích Vậy ( )+∑ = từ Khi đó: ( ) ( ) Do đó, ( )< ( ) < , ( )= ( )} ( + + = ( )> K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp  Nếu đó, + < Trường ĐHSP Hà Nội ( ) = − ( ) ta có: = ( + )= ( ) Vậy, ( =∑ ( ), )< { ( + )< phải chứng minh + ( ), +∑ Khi ( + )= ( )} Đó điều 1.2.2 Iđêan khởi đầu Định nghĩa 1.2.2 Cho iđêan [ ] ≤ thứ tự từ Iđêan khởi đầu , ( ), iđêan kí hiệu tử thuộc Nghĩa là: ( )=( Nhận xét ( )| ∈ ) ( ) iđêan đơn thức   [ ] sinh từ khởi đầu phần Ta viết ( ) thay Bổ đề 1.2.2 ( ) thứ tự ≤ xác định Cho ≤ thứ tự từ , hai iđêan Khi : i) Tập tất đơn thức ii) Nếu iđêan đơn thức iii) Nếu ( ) iv) v) = ⊆ ( ) ( )⊆ ( )+ Chứng minh i) Nếu ∈ ( )= ( ) Hơn nữa, ( )⊆ ( )⊆ ⊆ ( )= ( + ) ( ) theo bổ đề điều kiện tương đương = ( ) ( )| ∈ I} Điều ngược lại hiển nhiên Đỗ Thị Mùi ( )| ∈ } ( ) iđêan đơn thức, ta có : { ( ) tập { 10 ∈ Vậy ∈ K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠ SỞ GRƯBNER 2.1 Bài tốn thành viên Bài toán Cho = ( , … , ) ∈ [ ] ∈ [ ] Phải thuật tốn giải, KL kết luận toán : KL := true ∈ ? Sau ∈ ( , … , ), KL := false ∈ ( , … , ) Thuật tốn 2.1.1 : Thuật tốn thử thành viên Tìm THVIEN( ; , … , ) :=KL để kiểm tra Input : ,…, , Output : KL { ,…, ≔ IF ∈ ( ,…, ) ? : đa thức [ , … , ] } := CSGR( , … , ) ( ; ,…, ) = THEN KL := true ELSE KL := false Tính đắn thuật toán đảm bảo hệ Định lí 1.3.2: ∈ RemG( ) = Trường hợp đặc biệt, = , Bài toán trở thành toán kiểm tra xem có phải iđêan thực khơng Trong trường hợp không cần phải làm mà cần tìm sở Grưbner xét xem có chứa đa thức khơng Điều dựa vào nhận xét sau: Bổ đề 2.1: = [ ,…, chứa đa thức Chứng minh Đỗ Thị Mùi ] (hoặc mọi) sở Grưbner I 36 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Giả sử ={ Trường ĐHSP Hà Nội } sở Grưbner ,…, ] Vì ∈ nên ∈ [ ,…, ( )= ( = ( ) Theo bổ đề ), … , điều kiện tương đương iđêan đơn thức, đơn thức chia hết cho ( ) đó, với ≤ Do đơn thức bé nên số khác không Vậy Ngược lại, ={ ,…, thức hằng, ta chọn 1= = ( ) phải đơn thức } ⊆ sở Gröbner chứa đa ∈ ) Khi đó, ta có biểu diễn: (0 ≠ + + ⋯ + + 0, nên phần dư phép chia cho G khơng Do đó, ∈ = [ ,…, ] Ví dụ : Cho =( − + Phải −5 , − ∈ ? ), ∈ ? = −4 Xét thứ tự từ điển phân bậc với  + +3 , = > Sử dụng thuật > tốn Buchberger ta tìm sở Grưbner gồm đa thức sau: = − , = − , = = − − , = − , (Hơn nữa, sở Gröbner rút gọn) Thực phép chia đa thức, ta được: Vậy = (−4 ∈  −4 Đối với g, ( ) nào, ≤ 5, nên Bài toán Cho ) ∉ + ( )= = ( , … , ), = ( định xem = ? ,…, + + + (−3) +0 không chia hết cho từ khởi đầu )⊂ [ ] hai iđêan Hãy xác Thuật toán 2.1.2 Thuật toán thử hai iđêan Đỗ Thị Mùi 37 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Tìm giá trị để IDEALEQ( , … , , ( ,…, ) ≔ ( Input: ,…, ; ,…, ,…, Output: KL ≔ IF ≔ ) ):=KL để kiểm tra ,…, : đa thức [ , … , ] ( ,…, ) = ( ,…, ) THEN KL:=true ELSE KL:=false Tính đắn thuật toán đảm bảo Mệnh đề 1.2.2 Ban đầu ta tìm cở sở Grưbner tối tiểu dựa vào thuật tốn Buchberger thuật tốn tìm tập sinh đơn thức tối tiểu Cơ sở Grưbner rút gọn tìm theo thuật tốn tìm sở Grưbner rút gọn Một cách giải khác tìm sở Grưbner và dựa vào toán thực theo + phép thử phải ∈ ∈ < Iđêan khử thứ 2.2 Bài toán khử biến Cho iđêan = ( ,…, ) ⊂ [ ℎ ,…,ℎ ∈ = ⋂ [ = ( ,…, ) ⊂ [ ,…, ] ] xác định bởi: ,…, Bài toán 3: Cho [ ,…, ,…, [ ,…, ] cho ] ] < Tìm đa thức = (ℎ , … , ℎ ) Để giải toán ta cần khái niệm: Định nghĩa 2.1 Kí hiệu = ] = [ ∈ ℝ ( )∈ [ ,…, gọi thứ tự từ khử biến kiện sau: Nếu Đỗ Thị Mùi 38 ,…, ,…, ] Thứ tự từ ≤ thỏa mãn điều ∈ K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Mệnh đề 2.1 Cho ≤ thứ tự từ thõa mãn điều kiện sau : … < … + ⋯+ thứ tự từ khử cụm biến ,…, Chứng minh Giả sử đầu ( )∈ ∈ < ( ) ∈ Ta chứng tỏ + ⋯+ Khi đó, ≤ ∈ Thật vậy, từ khởi có nghĩa chứa biến có số lớn Theo giả thiết, đơn thức chứa biến có số nhỏ thực lớn hơn ( ) Do từ đa thức nhỏ ( ), từ chứa biến có số nhỏ Vì vậy, ∈ □ Mệnh đề cho ta kết sau: Mệnh đề 2.2 Kí hiệu i) Nếu ii) Nếu định nghĩa Cho ( )∈ ∈ đa thức ( )∈ Định lí 2.2.1 ∈ ∈ Giữ kí hiệu Định nghĩa 2.2.1 Giả sử ≤ thứ tự từ khử cụm biến ,…, Cho ⊂ Khi đó, thứ tự từ cảm sinh từ ≤ tập tất đơn thức , ta có: Hơn nữa, cho ,…, ( ∩ )= ( )∩ sở Gröbner cho tập tất đa thức khơng chứa biến ,…, sở Grưbner ∩ Chứng minh Đỗ Thị Mùi ∩ =( Nói riêng: ,…, 39 ,…, ,…, Khi đó, ) K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Với ∈ nên cho ∈ Trường ĐHSP Hà Nội ( ∩ ), tồn ∈ ( )⋂ Ngược lại, với ( )∈ ( )= Lại có, = ∩ Rõ ràng ( ∩ ) Vậy Đặt ( ∩ )= ( ), ≤ , sinh ∈ nên ( )∩ ( )⊆ ( ) ∩ Giả sử sở Gröbner, tồn ≤ biến ∈ ⋂ cho ∈ ∈ biến đầu tiên, nên Vì ∈ Suy ra: suy ≤ Do đó, nên ( )= ( )∩ Điều có nghĩa lí 1.2.1, ta có: =( = ,…, ( ,…, ,…, ∈ , tức không chứa ( ) có tính chất này, tức ∈ Theo cách chọn chia hết cho ( ∈ ⋂ Suy ra, ( ) ∩ Vì ( ), với ≤ , điều dẫn đến: ( ∩ )⊆ ∈ ( ) ∩ Ta chứng tỏ ( ) ∈ Từ Định nghĩa 2.2.1 suy ,…, ( ) ∩ , tồn ∈ ( )| Vì để Vì ( )= ), … , ), … , ( ( ) ⊆ ( ) ) sở Gröbner Theo Định □ ) Thuật tốn 2.2.1 Thuật tốn khử biến Tìm sở Grưbner IDEALKHU( , … , ; iđêan khử ( , … , ) biến Input: Output: { ,…, ≔0 , … , : đa thức [ , … , < : hai số tự nhiên : đa thức [ ,…, ( ,…, ) }≔ FOR ≤ DO IF Đỗ Thị Mùi ,…, = THEN ≔ 40 ,…, ,…, ,…, ] )≔{ ,…, } ] + 1, ≔ K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Có thể áp dụng tốn khử biến để giải tốn tìm biểu diễn vành đa thức Bài tốn (Bài tốn tìm biểu diễn vành) Cho ℎ , … , ℎ ∈ biến ] phần tử vành đa thức [ ,…, Tìm biểu diễn vành ,…, đa thức ℎ , … , ℎ , tức tìm [ℎ , … , ℎ ] ≅ Lời giải [ ,…, ≔ Đặt , ,…, Tách phần đa thức , ( )= ( chế ]⟶ ∈( −ℎ ) =⋯= − ℎ y= dễ thấy iđêan cần tìm ) , = 1, … , − ℎ ) ( ∈ ≔ − ℎ ) = 0, nên = Vậy : −ℎ ) − ℎ ,…, [ℎ , … , ℎ ], iđêan khử biến [ ,…, ] , = 1, … , − ℎ ra, ta Kí hiệu y ánh xạ hạn chế nghĩa , … , ) ,…, ]/ ≅ ] sinh ] cho: ⟼ ℎ ( = 1, … , ) đẳng cấu, nên =( ]∕( ( = 1, … , không chứa − ℎ ,…, [ ,…, [ ,…, ⟼ Rõ ràng = ∈ [ ,…, Xét đồng cấu vành : ,…, [ ,…, [ ,…, = + ] Vì: ( ) = Mà hạn = [ ,…, ] Từ định y = ∩ ≔ , tức Khi ta có: [ℎ , … , ℎ ] Thuật tốn 2.2.2 Thuật tốn tìm biểu diễn vành đa thức Tìm sở Gröbner BIEUDIEN(ℎ , … , ℎ ) = { , … , } iđêan định nghĩa [ℎ , … , ℎ ] Đỗ Thị Mùi 41 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Input: ℎ , … , ℎ : đa thức [ , … , Output: ] , … , : đa thức [ℎ , … , ℎ ] FOR ≤ DO ℎ ≔ −ℎ { ,…, } ≔ (ℎ , … , ℎ ; Ví dụ Elip: +2 ,…, ) − − = cắt đường tròn: + + =1 hai điểm Để tìm hai điểm này, ta tìm sở Gröbner iđêan = (2 +2 Sử dụng thứ tự từ điển =2 + Khi đó, =4 5, > = giải với −3 + −2 −2 , + để khử , ta được: +5 − = − 1) ⊂ [ , ] =5 −4 = 4/5 Thay giá trị vào , ta tìm hai giao điểm (1, 0) 2.3 Giao iđêan Kí hiệu tập biến ,…, tập biến Bài tốn (Bài tốn tìm giao iđêan) Cho ,…, [ ] Tìm tập sinh ,…, tương ứng tập sinh iđêan iđêan ⋂ ,…, ⊆ Cơ sở để giải toán là: Mệnh đề 2.3 Cho iđêan [ , ] sinh : Khi đó: Đỗ Thị Mùi 1−( +⋯+ ) 42 ,…, K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội = ∩ [ ] Chứng minh Cho ,1 ≤ ≤ ∈ ⋂ [ ] Vì ,…, = (1 − ∑ ∈ , biểu diễn: )+∑ ∈ [ , ], ℎ ∈ Cố định số ∈ ℕ, , Thay = ta thấy vế trái khơng đổi (vì ℎ = với ≠ khơng chứa biến khơng đổi, cịn đa thức phải trở thành phần tử Ngược lại, giả sử Vì có ∈ = Do đó, vào biểu diễn ) Vì thay xong chứa biến , nên vế ∈ Khi đó: ∈⋂ [ ], nên ℎ , ∑ 1− + ∈ ∈ ∩ [ ] □ Thuật toán 2.3.1: Thuật tốn tìm giao iđêan Tìm sở Grưbner GIAOIDEAL( , … , )≔ Output: : tập đa thức [ , … , ] Input: : tập hữu hạn [ , … , ,…, ≔− ∈ [ , ] ≔ , Ví dụ Cho = ( + ; , ⋂ ] ( ) ,…, ) = ( − ) Thêm biến , tìm 43 K35A – SP Tốn sở Grưbner iđêan sinh đơn thức sau: Đỗ Thị Mùi Khóa luận tốt nghiệp = + Trường ĐHSP Hà Nội , = với quan hệ thứ tự từ điển biến , ), ta được: − , − Vì vậy, ∩ = { ,2 2.4 Thương iđêan − , > > = − =1− − , , (thứ tự từ điển khử với hai > − − , + −1 − } =( ,…, ) hai iđêan vành , − ,2 − − , Bài toán 6: Cho =( , … , ) Tìm ℎ , … , ℎ để : = (ℎ , … , ℎ ) [ ] Để giải toán trước hết xét trường hợp = Mệnh đề 2.4 Cho iđêan đa thức tùy ý vành [ ] Giả sử sở Grưbner ∩ ( ) Khi đó, đa thức và: Chứng minh ={ / | ∈ chia hết cho ∈ } sở Gröbner : Vì ∩ ( ) = ( : ), nên đa thức ∩ ( ) chia hết cho Nói riêng, chia hết cho , đó, sở Grưbner cho Đặt tùy ý Vì ℎ chia hết cho , hay ℎ ∈ , nên tồn = / ∈ sở Gröbner : ⊂ : Cho ℎ ∈ : Nhận xét rằng: : = ⋂ Suy ra, : ∈ để ( ℎ) chia hết □ Vì vậy, áp dụng thuật tốn tìm giao iđêan ta xây dựng thuật tốn giải tốn tìm thương sau: Thuật tốn 2.4.1: Thuật tốn tìm thương Đỗ Thị Mùi 44 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Tìm hệ sinh THUONG( , … , ; ( , … , ): ( Input: ,…, ,…, , ) ,…, ,…, ) ≔ {ℎ , … , ℎ } : đa thức [ ] Output: ℎ , … , ℎ : đa thức [ ] FOR ≤ DO ,…, ≔ ≔ {ℎ , … , ℎ } ≔ / ,…, / Ví dụ Cho = ( + , ( ,…, ; ( ,…, ) ) = ( + Để tìm iđêan thương : , ta cần biết : ( Tính được: + )={ ∩( ∩( Nên : ( + )={ + , , + + ) = ( , ) : ( Do đó, : = Đỗ Thị Mùi + :( ) + + ) ∩ } + + :( 45 + , + + ) : ( + )=( + } − ) ={ ) [ , ] + + ) + 1, ) + , } K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Nội dung Lí thuyết sở Grưbner số ứng dụng trình bày cách hệ thống, logic Nhờ lí thuyết sở Grưbner mà vấn đề như: Có thể thực phép chia đa thức cho tập đa thức { đa thức ,…, } hay không? Làm để biết có thuộc iđêan cho trước? Giao thương iđêan cho trước xác định nào? giải cách triệt để Bản khóa luận mang tính chất giới thiệu, nghiên cứu phần nhỏ Nhiều kiến thức khác Lí thuyết sở Grưbner cho modun, Hình học đại số…chưa đề cập tới khóa luận Đề tài thực có ý nghĩa tiếp tục nghiên cứu, bổ sung ý tưởng lẫn phương pháp Cuối cùng, em mong muốn đóng góp ý kiến giúp đỡ cộng tác nghiên cứu quý thầy cô bạn đọc để đề tài thực có ý nghĩa Em xin chân thành cảm ơn! Đỗ Thị Mùi 46 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Grưbner, Nxb ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Trần Trọng Huệ (2001), Đại Số Đại Cương, Nxb ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số số học, tập 1,2,3, Nxb Giáo dục, Hà Nội Hồng Xn Sính (2003), Đại Số Đại Cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại Số Đại Cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội Đỗ Thị Mùi 47 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ GRÖBNER 1.1 Thứ tự từ 1.2 Iđêan khởi đầu, sở Gröbner 1.3 Thuật toán chia 17 1.4 Thuật toán Buchberger 28 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠ SỞ GRƯBNER 36 2.1 Bài tốn thành viên 36 2.2 Bài toán khử biến 38 2.3 Giao iđêan 42 2.4 Thương iđêan 44 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Đỗ Thị Mùi 48 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tồn thể thầy khoa Tốn, thầy cô tổ Đại số, người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em trình hồn thành khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS Nguyễn Huy Hưng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Mùi Đỗ Thị Mùi 49 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, với cố gắng thân trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Mùi Đỗ Thị Mùi 50 K35A – SP Toán ... với việc tìm sở Grưbner thứ tự Tuy nhiên, việc làm khơng đơn giản khơng phải sở sở Gröbner Hơn nữa, sở cho sở Grưbner thứ tự khơng sở Grưbner thứ tự khác Ví dụ iđêan vành [ ] Ta biết vành có ... sở Grưbner tối tiểu dựa vào thuật toán Buchberger thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu Cơ sở Grưbner rút gọn tìm theo thuật tốn tìm sở Grưbner rút gọn Một cách giải khác tìm sở Grưbner và. .. số tính chất sở Grưbner Tiếp đó, tác giả trình bày việc mở rộng thuật toán chia với dư vành đa thức nhiều ẩn Cuối cùng, đề cập tới thuật toán Buchberger Chương Một số ứng dụng Cơ sở Gröbner Nội