Luận văn sư phạm Điểm bất động và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Lê Thị Vân Trường ĐHSP Hà Nội K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRNG I HC S PHM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ LÊ THỊ VÂN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG   KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP I HC Chuyờn ngnh: Gii tớch HNi,2013 SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi LỜI CẢM ƠN   Khóa  luận  này  được  thực  hiện  và  hoàn  thành  dưới  sự  hướng  dẫn  tận  tình của TS.Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã ln quan tâm động viên và  truyền  cho  tơi  những  kinh  nghiệm  q  báu  trong  q  trình  hồn  thành  khóa  luận.Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy.  Tơi xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Hà Nội 2, khoa Tốn và  tổ giải tích cùng tốn thể các q thầy cơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho  tơi kết thúc tốt đẹp chương trình đại học và hồn thành khóa luận tốt nghiệp.    Hà Nội, ngày 28tháng 04 năm 2013 Ngi thc hin Lờ Th Võn SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi LỜI CAM ĐOAN Tơi xin  cam  đoan  đề  tài do  chính  tơi  nghiên  cứu  và  tìm  hiểu  dưới  sự  hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng. Đề tài được tơi nghiên cứu và hồn  thành  trên  cơ  sở  kế  thừa  và  phát  huy  những  cơng  trình  nghiên  cứu  có  liên  quan. Kết quả đề tài khơng trùng lặp với đề tài nào khác. Nếu sai tơi xin hồn  tồn chịu trách nhiệm.      Người thực Lê Thị Vân SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MC LC PHN 1: MỞ ĐẦU  .  1. Lý do chọn đề tài   1  2. Mục đích nghiên cứu   2  3. Nhiệm vụ nghiên cứu  . 2  4. Cấu trúc khóa luận   2  PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH  .  CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ    1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ   4  1.2. Tô pô trong không gian metric   6  1.3. Ánh xạ liên tục   7  1.4 .Tập hợp compact và bị chặn   7  1.5. Không gian vectơ  . 8  1.6. Không gian định chuẩn không gian Banch  . 10  1.7. Tính lồi   12  1.8. Khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều  . 15  1.9. Phương trình vi phân thường   16  CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG     2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach   19  2.2. Định lý điểm bất động Brouwer  . 22  2.3. Định lý điểm bất động Schauder   29  CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG  .  3.1. Áp dụng vào phương trình vi phân thường   31  3.2. Áp dụng vào phương trình tích phân   37  3.3. Áp dụng vào đại số giải tích   42  KẾT LUẬN  . 47  TÀI LIỆU THAM KHẢO  48 SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều  bài  toán  khác  nhau  của  khoa  học  kĩ  thuật  đã  dẫn  tới  việc  nghiên cứu vấn đề sau:  Cho X là một khơng gian bất kì nào đó, A là ánh xạ từ tập con M của  khơng  gian  X  vào  chính  nó,  xét  phương  trình  phi  tuyến  Ax = x, xMdưới  các  điều  kiện  cụ  thể  hãy  khẳng  định  sự  tồn  tại  nghiệm  của  phương trình đó.Điểm x  M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là  điểm bất động của ánh xạ A trên tập M.  Việc nghiên cứu vấn đề trên góp phần đắc lực cho việc giải quyết  hàng loạt các bài tốn trong tốn học nói riêng và trong khoa học kĩ thuật  nói chung. Điều này dẫn tới một hướng nghiên cứu mới trong tốn học  và đã hình thành nên lý thuyết điểm bất động.  Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng  của  giải  tích  hàm  phi  tuyến.  Ngay  đầu  thế  kỉ  20,  các  nhà  toán  học  đã  quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định lý thuyết điểm  bất  động  đã  phát  triển  hết  sức  sâu  rộng,  trở  thành  cơng  cụ  khơng  thể  thiếu để giải quyết những bài tốn khác nhau do thực tế đặt ra.  Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi các nhà tốn  học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder  nhưng kết quả  kinh  điển  của  lý  thuyết  điểm  bất  động  đồng  thời  cũng  là  những  cơng  trình  khởi  đầu  cho  lĩnh  vực  này  đó  là  nguyên  lý  ánh  xạ  co  Banach, nguyờnlýimbtngBrouwercỏpdngnhnglnhvcca toỏnhchininh:phngtrỡnhviphõn,phngtrỡnhtớchphõn,lý thuytiukhin,lýthuyttiuhúa SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Trên  cơ  sở  các  nguyên  lý  cơ  bản  trên  điểm  bất  động  được  phát  triển theo hai hướng chính:  Hướng thứ nhất là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ liên  tục, mở đầu là nguyên lý điểm bất động Brouwer.  Hướng thứ hai là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ dạng   co, mở đầu là nguyên lý ánh xạ co Banach.  Vào  những  năm  60  của  thế  kỉ  20  một  hướng  mới  có  thể  xem  là  trung gian của hai hướng trên đó là việc nghiên cứu điểm bất động của  ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Banach.  Tất cả kết quả của những nghiên cứu trên đã mang lại nhưng ứng  dụng rất hiệu quả cho ngành tốn học hiện đại.  Vì các lý do đó mà em đã lựa chọn đề tài:“Điểm bất động ứng dụng”.  Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học và thực hiện  khóa luận tốt nghiệp.  Nghiên  cứu  một  số  vấn  đề  cơ  bản  về  điểm  bất  động  và  việc  áp  dụng nó vào ngành tốn học hiện đại.  Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên  cứu  một  số  định  lý  điểm  bất  động  trong  khơng  gian  Banach, khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều.  Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải  bài tập về phương trình vi phân thường, phương trình tích phân và đại số  giải tích.  Cấu trúc khóa luận Ngồi  phần  mở  đầu  và  phần  kết  luận,  nội  dung  chính  của  khóa  luận gồm 3 chương.  SVTH: Lª Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường §HSP Hµ Néi Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong  chương 2 và chương 3.  Chương 2: Nêu  nguyên  lý  ánh  xạ  co  Banach,  định  lý  điểm  bất  động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder, chứng minh định lý, các  ví dụ áp dụng.  Chương 3:Áp  dụng  các  định  lý  điểm  bt ng vo vic gii phngtrỡnhviphõnthng,phngtrỡnhtớchphõnvisgiitớch. SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.1.1 Cho X   ,  ta  gọi  là  một  metric  trong  X  một  ánh  xạ  d  từ  tích  Descartes XX vào tập số thực  ฀  thỏa mãn 3 tiên đề sau:  i)(x, y X ) d ( x, y )  0, d ( x, y)   x  y (tiên đề đồng nhất)  ii)(x, y X ) d ( x, y)  d ( y, x) (tiên đề đối xứng)  iii)(x, y, z X ) d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y ) (tiên đề tam )  Khơng gian metric là cặp (X,d) trong đó:  *  X   được gọi là tập nền  *d là metric trong X  *d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y X * Các phần tử của X gọi là các điểm  Ví dụ 1.1.1:  Cho  X  , x, y X   0 x  y d ( x, y )     1 x  y Chứng minh d là metric trong X và (X,d) được gọi là khơng gian  metric _ khơng gian metric rời rạc ( d cịn được gọi là metric rời rạc )   Ta có mỗi cặp  ( x, y ) X  X  có duy nhất d(x, y)฀ Ta kiểm tra ánh xạ thỏa mãn các tiên đề metric  Tiên  đề  1:  d ( x, y)  x, y X , d ( x, y )  nếu  x  y   thì  d ( x, y)   (trái giảthiết)   x  y, x, y X   Tiên đề 2: Nếu  x  y thì  y  x nên  d ( x, y)  d ( y, x)  0, x, y X SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Nếu  x  y thì  y  x  nên d ( x, y )  d ( y, x)  1, x, y X   Tiên đề 3:  x, y, z  X   Nếu x  y thì  d ( x, y)    Ta có   d ( x, z )  d ( z, y )  d ( x, y )   Nếu  x  y thì  x  y  z d ( x, y)  1 d ( x, z )  d ( z, y)      x  y, x  z d ( x, y)     d ( x, z )  d ( z, y)   x  y, y  z d ( x, y )     d ( x, z )  d ( z, y )   Vậy  d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y )   Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric (X,d).  Dãy hội tụ: Dãy  xn  X gọi  là  hội  tụ  đến  a  X nếu  (  0) (n0  N * ) :(n  n0 ) thì  d ( xn , a )   , kí hiệu:   lim xn  a hay xn  a ( n   )   n  Điểm  a còn  được  gọi  là  giới  hạn  của  dãy  ( xn ) trong  không  gian  metric (X,d)  Dãy :dãy  xn  X gọi  là  dãy  cơ  bản  (  dãy  Cauchy  )   (  0) ( n0  N * ) :(m , n  n0 ) thì  d ( xn , xm )    (  0) (n0 ฀* ) : (n  n0 ) ( p  ฀* )   thì  d ( xn  p , xn )   hay  xnlà  dãy  cơ  bản   lim d ( xm , xn )   hoặc  lim d ( xn p , xn )  0, p  1, 2,   m , n n  Không gian :Khụnggianmetricmmidóycbnuhit cgilkhụnggianmetric. SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội x u ( x )  u0   F ( y, u ( y )) dy; x0  h  x  x0  h, u  M   x0 (3.4)  Cùng với phép lặp:  x un1 ( x)  u0   F ( y, un ( y ))dy; x0  h  x  x0  h, n  1,2   (3.5)  x0 Với u1(x) = u0  Mệnh đề 3.1: Giả sử  a)  Hàm  số  F:  Sℝ  liên  tục  và  có  các  đạo  hàm  riêng  Fn:  Sℝ  cũng liên tục.  F ( x, u ) và  L  max Fn ( x, u ) ,  và  chọn  số  thực  h  b)  Đặt  M  (max x ,u )S ( x ,u )S trong trường hợp này sao cho 0 < h ≤ r, hM ≤ r, hL < 1  Khi đó các điều kiện sau là đúng  i) Bài tốn ban đầu (3.3) có nghiệm duy nhất dạng (3.3’)  ii) Đây là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân (3.4)  iii) Dãy un tạo bởi (3.5) hội tụ đến u trong khơng gian Banach X  iv) Với n=0,1  ta có đánh giá sai số  un  u  k n (1  n)1 u1  u0   un 1  u  k n (1  n) un 1  un   Chứng minh Bước 1: Định nghĩa toán tử qua  x Au ( x )  u0   F ( y, u ( y ))dy; x0  h  x  x0  h x0 Khiúphngtrỡnh(3.4)tngngvibitoỏnimbtng Au=u,uM SVTH: Lê Thị Vân 34 (3.4) K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Với uM, hàm số u: [x0-h,x0+h]ℝ tại   (x,u(x)) S, x[x0-h,x0+h]  Suy ra hàm số F: xF(x,u(x)) cũng liên tục trên [x0-h,x0+h]và hàm  sốAu: [x0-h,x0+h]ℝ liên tục  Vậy ta có một tốn tử A: M X ta chứng minh được  1) A(M)M  2)  Au  Av  k u  v , u, v  M , k  [0,1]   Thật vậy  1) Với u  M bất kì khi đó  x  F ( y, u( y))dy  x  x x0 max F ( y, u )  hM  r   ( y ,u )S Với x[x0-h,x0+h] hay  Au  u0  x max h x x  h 0 x  F ( y, u ( y))dy  r   x0 Từ đó suy ra Au  M  2) Theo định lý giá trị trung bình  F ( x, u )  F ( x , v )  Fn ( x, w) u  v  L u  v ( x, u ),( x , v ) S   Khi đó, u,v  M ta có:  Au  Av  max x x0  h x  x0  h  [F ( y, u( y))  F ( y, v( y))]dy  x0  hL max x0 h  x  x0  h   u ( y )  v( y )  k u  v Với k = hL < 1  Vậy các giả thiết của định lý điểm bất động Banach thỏa mãn áp  dụng định lý với phương trình (3.4’)  Bước 2: Sự tương đương. Gọi u là một nghiệm của phương trình (3.4)  SVTH: Lê Thị Vân 35 K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lyohm(3.4)tacúhmsucnglmtnghimcabitoỏn giỏtrbanu(3.3)(3.3) Ngcli,giulmtnghimca(3.3)(3.3).Tớchphõn(3.3) cho thấy  hàm  số  u  cũng  là  nghiệm  của  phương  trình  tích  phân  (3.4).Chứng tỏ hai bài tốn (3.4) và(3.3) – (3.3’) tương đương.  Vậy mệnh đề được chứng minh.  Ví dụ 3.1: Bài tốn ban đầu  u  u '  F ( x, u )  x   u (0)   1 x   2 1 Có nghiệm duy nhất trên tập S =  {( x, u )  ℝ :  x  , u  }  2 Thật vậy ta có hàm số  F: Sℝ  (x,u)  x  u  Là hàm liên tục và có đạo hàm riêng Fu = Đặt  M  max F ( x , u ) =  ( x ,u )S  cũng liên tục  1   ,  L  max Fn ( x , u ) =    ( x ,u )S 36 18 2 Theo giả thiết ta có: h  , r  Khi đó   h  r , hM  r , hL    Do đó các mệnh đề điều kiện của mệnh đề (3.1) đều thỏa mãn nên  bài tốn trên ln có nghiệm duy nhất trên tập S  Ta tìm nghiệm duy nhất này.Phương trình ban đầu có dạng:  1 u '  u  x ,  phương trình đặc trưng của nó là   1   ,nờntacú: 2 SVTH: Lê Thị Vân 36 K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi Tìm nghiệm riêng u*(x) dưới dạng:  u* ( x)  Ax  Bx  C   Thay vào phương trình ban đầu ta có:  1 Ax  B  ( Ax  Bx  C )  x   9 Đồng nhất hệ số ta thu được:  A   , B   , C   16   16 Suy ra   u* ( x)   x  x    9 Vậy nghiệm của phương trình là:  x u  C1e  Do u(0) = 0 nên  C1  2 16 x  x   9 16   Kết luận nghiệm duy nhất của bài toán là:   16 12 x 2 16 u  e  x  x   9 9 3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân 3.2.1 Bài tốn 3: Ta muốn giải phương trình tích phân:  b u ( x)    F ( x, y, u ( y ))dy  f ( x) a a  x  b  (3.6)  Bằng phương pháp lặp  b un 1 ( x)    F ( x, y, un ( y ))dy  f ( x) a a  x  b, n  0,1,   (3.6’)  Với -∞