Luận văn sư phạm Dạng Jordan phức và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** TRỊNH THỊ HỒNG NHUNG DẠNG JORDAN PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TĨM TẮT KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Phạm Thanh Tâm Hà Nội - 2013 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số tuyến tính mơn học Tốn cao cấp, ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học vi phân, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật Những kiến thức Đại số tuyến tính ánh xạ tuyến tính, cấu trúc tự đồng cấu kiến thức quan trọng, khơng thể thiếu Hơn nữa, việc tìm cho tự đồng cấu (trong trường hợp có thể) sở không gian cho sở tự đồng cấu có ma trận đơn giản, cụ thể gần ma trận chéo tốt tìm dạng Jordan ma trận bước toán Thấy tầm quan trọng nên ta nghiên cứu vấn đề ta không dừng lại nghiên cứu trường số thực mà mở rộng trường số phức thơng qua việc phức hóa khơng gian vectơ tìm hiểu ứng dụng Thấy tầm quan trọng vấn đề, với hướng dẫn nhiệt tình thầy Phạm Thanh Tâm chọn đề tài ” Dạng Jordan phức ứng dụng ” Mục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu dạng Jordan phức ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài Dạng Jordan phức ứng dụng quan trọng Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài Nghiên cứu dạng Jordan phức ứng dụng phạm vi mơn đại số tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên cứu số kiến thức chuẩn bị liên quan đến dạng Jordan phức Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp : hệ thống lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp Kết cấu khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Dạng Jordan phức ứng dụng Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Hồng Nhung Chương Kiến thức sở 1.1 Ánh xạ tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa, tính chất ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.1 Cho V, W hai không gian vectơ trường K Ánh xạ f : V → W gọi ánh xạ tuyến tính nếu: → − → − − − f (→ α + β ) = f (→ α ) + f( β ) − − f (k → α) = kf (→ α) → − − với → α , β ∈ V k ∈ K Ánh xạ tuyến tính cịn gọi đồng cấu tuyến tính, hay cách vắn tắt đồng cấu Kí hiệu: Hom(V, W) tập ánh xạ tuyến tính từ V vào W Tính chất 1.1 Ánh xạ tuyến tính có số tính chất bản: Giả sử f : V → W ánh xạ tuyến tính.Khi đó: → − → − 1) f ( ) = − − − 2) f (−→ α ) = −f (→ α ), ∀→ α ∈V − → − → − → − → → →) + λ − 3) f (λ1 − α α + · · · + λm α m ) = λ f ( α ) + λ f ( α ) + · · · + λm f ( α m ) Ví dụ 1.1 1) Ánh xạ đạo hàm d dx : R [x] → R [x]; R[x] khơng gian đa thức ẩn x cho bởi: d (an xn + · · · + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + · · · + a1 dx ánh xạ tuyến tính 2) Coi C R - khơng gian vectơ Phép lấy liên hợp: ϕ: C →C z →z ánh xạ tuyến tính 3) Cho A = (aij )m×n ∈ M ath(m × n, K) Ánh xạ f : Kn → Kn cho bởi:     x1 x1 . .   → A       xn xn n ánh  tuyến tính coi vectơ (x1 , , xn ) ∈ K ánh  xạ x1 .  xạ cột:    xn Định nghĩa 1.2 Giả sử V, W K không gian vectơ f, g : V → W hai ánh xạ tuyến tính Ta gọi tổng f g ánh xạ, kí hiệu f + g, xác định bởi: f +g : V →W → − − − − α → (f + g)(→ α ) = f (→ α ) + g(→ α ) Với λ ∈ K f : V → W ánh xạ tuyến tính, ta gọi tích ánh xạ f với vơ hướng λ ánh xạ, ký hiệu λ.f , xác định bởi: λ.f : V → W → − − − α → (λ.f )(→ α ) = λ.f (→ α) Nhận xét 1.1 Các ánh xạ f + g λ.f ánh xạ tuyến tính từ V vào W Định lý 1.1 Giả sử V không gian vectơ n - chiều Khi đó, ánh xạ tuyến tính từ V đến W hồn tồn xác định ảnh − − − sở Tức là, (ε) = {→ ε1 , → ε2 , , → εn } sở V → − → − − → β1 , β2 , , βn n vectơ W Khi có → − − ánh xạ tuyến tính f : V → W cho f (→ ε ) = β , i = 1, n i i − − − − εn ∈ ε2 +· · ·+xn → ε1 +x2 → Chứng minh a) Sự tồn tại: Với → α = x1 → V, ta đặt: → − → − − → − f (→ α ) = x1 β1 + x2 β2 + xn βn ∈ W → − − Khi f : V → W ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (→ εi ) = βi , 1, n b) Sự nhất: Giả sử g : V → W ánh xạ tuyến tính thỏa mãn định − − − α = lý f (→ εi ) = g(→ εi ), i = 1, n với → n − xi ( → εi ) ∈ V ta có: i=1 n − f (→ α ) = f( n − εi ) = xi → i=1 = n − xi f ( → εi ) i=1 − xi g(→ εi ) = g( n − − εi ) = g(→ α ) xi → i=1 i=1 ⇒ g = f Vậy tồn f Định nghĩa 1.3 Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính trường K Khi đó: a) f đơn cấu f đơn ánh b) f toàn cấu f toàn ánh c) f đẳng cấu f song ánh Nếu có đẳng cấu f : V → W ta nói V đẳng cấu với W viết V ∼ = W Nhận xét 1.2 Quan hệ đẳng cấu không gian vectơ quan hệ tương đương Định lý 1.2 Cho V W hai không gian vectơ hữu hạn chiều trường K Khi V đẳng cấu với W dim V =dim W Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử V đẳng cấu với W, có đẳng cấu − − − f : V → W Tức là, {→ ε1 , → ε2 , , → εn } sở V hệ − − − {f (→ ε ), f (→ ε ), , f (→ ε )} sở W Thật vậy: n → − − Giả sử β vectơ W, tồn → α ∈ W để n → − − − − β = f (→ α ) Tức là, có → α = (ai → εi ) thì: i=1 → − − β = f (→ α ) = f( n − εi ) = (ai → i=1 n − f (→ εi ) i=1 → − − − − Khi β biểu thị tuyến tính qua hệ {f (→ ε1 ), f (→ ε2 ), , f (→ εn )} n → − → − − Nếu β cịn biểu thị tuyến tính β = bi f ( → εi ) thì: i=1 → − → → + ··· + b − → − α α = f −1 ( β ) = b1 − n αn →, , − →) sở V a = b , , a = b Vì (− α α n 1 n n → − − Như vectơ β biểu thị tuyến tính qua hệ {f (→ ε1 ), − − f (→ ε ), , f (→ ε )} nên hệ sở W Nói cách khác dimV = n dimW Điều kiện đủ: Giả sử dimV = dimW = n Chọn sở − − → →, , − →} V {→ {− α α β1 , , βn } W Ánh xạ tuyến tính n − → →) = → →) = − ϕ : V → W xác định ϕ(− α β1 , , ϕ(− α βn đẳng n cấu tuyến tính Thật vậy, nghịch đảo ϕ ánh xạ tuyến tính ψ : W → V → − → →, , ψ(− → xác định điều kiện ψ( β1 ) = − α βn ) = − α n 1.1.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.4 Giả sử V, W K - Không gian vectơ hữu hạn − − − chiều,(e) = {→ e , ,→ e } sở V, (ε) = {→ ε , ,− ε→} 1 n m sở W Theo định lý (1.1), ánh xạ tuyến tính f : V → W xác − − − định hệ vectơ (f (e)) = {f (→ e ), , f (→ e } Các vectơ f (→ e ) n j − ε→ lại biểu thị tuyến tính cách qua sở (ε) = {→ ε1 , , − m} W: − f (→ ej ) = n − εi , j = 1, n aij → i=1 aij thuộc trường K Đặt A ma trận xác  a11  a  21 A=   am1 định bởi: a12 a1n   a22 a2n    = (aij )m×n   am2 amn Khi A gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f : V → W cặp sở (e) (ε) Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính có ma trận A = (aij )m×n − cặp sở (e) ε Mọi vectơ → α ∈ V có tọa độ (x1 , , xn )  x1   −  sở (e), viết dạng cột: → α =    Khi đó, tọa độ vectơ xn − f (→ α) ∈ W   sở ε (y1 , , yn ), viết dạng cột: y1   −  f (→ α) =    cho công thức: yn y = Ax (1)    y1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn      y2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn        y = a x + a x + · · · + a x m m1 m2 mn n hay là:     yi = n aij xj (2) j=1   i = 1, 2, , m Ta gọi công thức biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính f cặp sở (e) (ε) cho Thật vậy, ta có: n n − − ε1 = f ( → α ) = f( yi → − εj ) = xj → j=1 m j=1 i=1 m n = xj j=1 − εj aij → n n = aij xj i=1 i=1 − xj f (→ εj ) → − εj j=1 Dạng (1) gọi dạng ma trận ánh xạ tuyến tính f ; dạng (2) gọi dạng tường minh f Định lý 1.3 Nếu f : V → W g : W → U ánh xạ tuyến tính ánh xạ tích g ◦ f : W → U ánh xạ tuyến tính → − − Chứng minh Thật vậy, với ∀→ α , β ∈ W; ∀λ, β ∈ K ta có: → − → − − − (g ◦ f )(λ→ α + µ β ) = g(λf (→ α ) + µf ( β )) → − − = λg(f (→ α )) + µg(f ( β )) → − − = λ(g ◦ f )(→ α ) + µ(g ◦ f )( β ) Vậy gf ánh xạ tuyến tính K 1.1.3 Hạt nhân, ảnh ánh xạ tuyến tính Định lý 1.4 Giả sử f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi đó: a) Nếu T khơng gian vectơ V ảnh f (T) qua f khơng gian vectơ W b) Nếu U không gian vectơ W nghịch ảnh f −1 (U) U không gian vectơ V → − → − → − → − − Chứng minh a) Vì f ( ) = nên ∈ f (T) Hơn nữa, → α ′, β ′ → − → − − − vectơ thuộc f (T) chúng có dạng → α ′ = f (→ α ), β ′ = f ( β ) → − − → α , β ∈ T Lúc đó, với vơ hướng λ thuộc K, T khơng → − → − − − − gian vectơ V, → α + β ∈ T λ→ α ∈ T Do f (→ α + β ) ∈ f (T) − f (λ→ α ) ∈ f (T) Nhưng f tuyến tính nên → − → − → − − − − f (→ α + β ) = f (→ α ) + f( β ) = → α ′ + β ′ − − − f (λ→ α) = λf (→ α ) = λ→ α ′ → − − Vậy → α ′ + β ′ ∈ f (T) f (T) không gian vectơ W → − → − → − b) Vì f ( ) = nên ∈ f −1 (U) → − → − − − Nếu → α , β ∈ f −1 (U) f (→ α ), f ( β ) ∈ U Vì f ánh xạ tuyến tính Ta có :   −1 −1   −1 −1    A2 =  ,A =  −1 −1   −1 −1 Do f đồng cấu lũy linh bậc q = Đặt V1 = V11 không gian vectơ gây vectơ cột − − − − A2 Khơng gian có sở −→ ε1 − → ε2 + → ε3 + → ε4 (cột đầu A2 ) Gọi V2 không gian vectơ sinh vectơ cột ma trận − − A Ta chọn V12 sinh vectơ → ε2 − → ε3 V12 đẳng cấu với V11 qua ánh xạ f − Tiếp theo V3 = V = R4 Ta chọn V13 không gian sinh → ε1 → − → − Vì dim (V = R4 ) = 4, nên V22 = V23 = { }, V22 = { } → − V23 = { } (hoặc thấy điều vectơ cột A rõ ràng gây nên không gian vectơ chiều) Không gian V33 phần bù tuyến tính V11 Ker f , − − rõ ràng dim Kerf = → ε1 + → ε4 ∈ Kerf nên lấy V33 không − − gian sinh → ε +→ ε Như vậy, ta tìm không gian vectơ chiều với sở − − − − − xyclic f với sở xyclic là: {→ µ =→ ε ,→ µ = −→ ε −→ ε , 1 2 → − − − − − µ3 = − → ε1 − → ε2 + → ε3 + → ε4 } không gian vectơ chiều xyclic − − − f gây vectơ → µ =→ ε +→ ε 4 28 Ma trận f sở   1   0  − − − − (→ µ1 , → µ2 , → µ3 , → µ4 ) có dạng:  0  0 0   0  0 → − → − − − − − − − Đó f (→ µ1 ) = → µ2 ; f ( → µ2 ) = → µ3 ; f ( → µ3 ) = ; f ( → µ4 ) = Định lý 2.2 a) Mỗi không gian riêng suy rộng V(λ) f không gian bất biến f b) Ánh xạ (f − λ.idV )|V(λ) tự đồng cấu lũy linh V(λ) c) Nếu λ giá trị riêng f không gian riêng Pλ = Ker(f − λ.idV ) nằm không gian riêng suy rộng V(λ) d) Với không gian riêng suy rộng V(λ), λ giá trị riêng f Chứng minh a) Vì f ◦ (f − λ.idV ) = (f − λ.idV ) ◦ f nên với m nguyên dương ta có f ◦ (f − λ.idV )m = (f − λ.idV )m ◦ f Vì vậy, → − − − → α ∈ V(λ) có m ngun dương để (f − λ.id )m (→ α) = V Nhưng thì: → − → − − − (f − λ.idV )m (f (→ α )) = f (f − λ.idV )m (→ α ) = f( ) = − Chứng tỏ f (→ α ) ∈ V(λ) − − b) Xét sở V(λ) {→ ε1 , , → εp Với j = 1, p có → − mj để (f − λ.idV )mj (εj ) = Lấy k = max{m1 , , mp } rõ ràng ((f − λ.idV )|V(λ))k = c) Hiển nhiên 29 → − → − − d) Với → α ∈ V(λ) , có số nguyên m ≥ để (f −λ.idV )m−1 = → − → − − (f − λ.idV )m−1 = Gọi β = (f − λ.idV )m−1 (→ α ) → − β ∈ Ker(f − λ.idV ) = Pλ Định nghĩa 2.1 Cho f tự đồng cấu lũy linh không gian vectơ V Dạng Jordan f dạng mà ma trận biểu diễn có dạng:                                 k                               k                               k với a2 + b2 = Các ma trận khối đường chéo gọi ô Jordan f, chúng có kích thước khác Định lý 2.3 Cho ánh xạ f : V → V lũy linh Khi tồn 30 sở V để ma trận f theo sở có dạng Jordan − − Chứng minh Gọi → v k1 , , → v krk vectơ độc lập tuyến tính Fk \Fk−1 sở không gian bù với Fk−1 Fk Tác động f lên vectơ ta thu vectơ: − → − = f (→ v ki ) v k−1 i − Khi vectơ {→ v k−1 } nằm Fk−1 không nằm i − Fk−1 Hơn nữa, vectơ {→ v k−1 } độc lập tuyến tính tổ hợp i → − tuyến tính khác khơng thuộc Fk−2 Do đó: rk−1 = dimFk−1 − dimFk−2 ≥ rk − Vì ta bổ sung vào vectơ vectơ → v k−1 rk +1 , , → − v k−1 rk−1 để chúng sở không gian bù với Fk−2 Tương tự, xét ảnh chúng Fk−2 , ta được: (*) → − − v k1 , , → v krk : sở phần bù Fk−1 Fk → − k−1 − k−1 → − k−1 → → − v k−1 , , v rk , v rk +1 , , v rk −1 : sở phần bù Fk−2 Fk−1 − − − − → − − v , ,→ v : sở phần v , ,→ v , ,→ v 1, , → v1, → rk rk +1 r2 +1 rk−1 r1 bù F1 F2 Với sở gồm tất vectơ ta sở không gian vectơ V mà ma trận f theo sở ma trận dạng Jordan, ô Jordan ứng với vectơ cột Theo cách xây dựng, vectơ hàng thứ độc lập tuyến tính Ngồi bổ sung vào chúng sở Fk −1 ta sở Fk = V Điều có nghĩa, khơng có tổ hợp tuyến 31 tính khác vectơ Fk −1 Từ suy vectơ: → − k−1 → − k−1 → − v k−1 , v , , v rk hàng thứ thỏa mãn tính chất tương tự, nghĩa khơng có tổ hợp tuyến tính khác chúng nằm Fk −2 Thật vậy, : − − − v k−1 + · · · + ar k → v k−1 + a2 → v k−1 a1 → rk ∈ Fk −2 nghĩa là: − − − v k2 + · · · + ark f (→ v k1 + a2 → f (a1 → v krk ) ∈ Fk −2 thì: − − − v krk ) = v k2 + · · · + ark → v k1 + a2 → f k −1 (a1 → − mâu thuẫn với giả thiết → v ki Tiếp tục ta có vectơ bảng độc lập tuyến tính Mặt khác, từ cách xây dựng ta thấy số phần tử bảng (*) n: rk + rk−1 + · · · + r1 = dimFk − dimFk −1 + · · · + dimF1 = n Vậy chúng lập thành sơ V Mệnh đề 2.1 Ngược lại, V có sở để ma trận f sở có dạng Jordan f lũy linh Định lý 2.4 Giả sử f : V → V tự đồng cấu K - không gian vectơ n chiều V có đa thức đặc trưng Pf (X) phân tích thành tích nhân tử tuyến tính: Pf (X) = (λ1 − X)s1 (λ2 − X)s2 (λm − X)sm λ1 , , λm vô hướng đôi khác K Khi đó, V phân tích thành tổng trực tiếp không gian riêng suy 32 rộng ứng với giá trị riêng λ1 , , λm : V = V(λ1 ) ⊕ V(λ2 ) ⊕ · · · ⊕ V(λm ) dim V(λk ) = sk , k = 1, m Hơn V có sở để ma trận f sở tổng trực tiếp khối Jordan cấp s có dạng:   λ 0 0  k     λk 0     λk 0    Js,λk =           0 λ k   0 λk Số khối Jordan cấp s với phần tử λk đường chéo bằng: rank(f − λk idV )s−1 − 2rank(f − λk idV )s + rank(f − λk idV )s+1 Ma trận xác định f sai khác xếp khối Jordan đường chéo gọi ma trận dạng chuẩn tắc Jordan f Chứng minh Do đa thức Pf (X) có bậc dim nên dimV = s1 + s2 + · · · + sm mà dimV(λk ) = sk nên V = V(λ1 ) ⊕ V(λ2 ) ⊕ · · · ⊕ V(λm ) Vì: (f − λ.idV )|V(λj ) : V(λj ) → V(λj ) λj = λk đẳng cấu tuyến tính nên: rank(f − λk idV )s−1 − 2rank(f − λk idV )s + rank(f − λk idV )s+1 33 thu hẹp V(λj ), thu hẹp Vλk , (f − λ.idV )|V(λj ) lũy linh, nên số khối Jordan nói định lý Vì số ma trận dạng chuẩn tắc Jordan f , hai ma trận khác thứ tự khối Jordan đường chéo Định lý 2.5 Giả thiết f : V → V tự đồng cấu tuyến tính với đa thức đặc trưng có đủ nghiệm thực Khi tồn sở mà theo ma trận f có dạng đường chéo khối chính.Trong ma trận đường chéo khối ô Jordan:  λ   λ        với λ giá trị riêng f         1  λ Ví dụ 2.2 Tìm dạng chuẩn Jordan trường số thực ma trận sau:   −4   4 −5 −2    A=  0 −2   0 −1 Giải: Ta có: det(A−X.E4 ) = 3−X −4 −5 − X −2 0 3−X −2 0 −1 − X 34 = (X −1)2 (X +1)2 Đa thức có đủ nghiệm thực λ1 = λ2 = 1; λ3 = λ4 = −1 Với λ1 = λ2 = ta có:   −4   4 −6 −2    rank(A − 1.E4 ) = rank  =3 0 −2   0 −2  2 −4   4 −6 −2    rank(A − 1.E4 )2 = rank   =2 0 −2   0 −2 Như vậy, số khối Jordan cấp ma trận Jordan J cần tìm với phần tử đường chéo là: rank(A − 1.E4 )0 − 2rank(A − 1.E4 )1 + rank(A − 1.E4 )2 = − 2.3 + = Kết hợp điều với điều λ = nghiệm kép đa thức đặc trưng A ta suy J chứa khối Jordan cấp với phần tử đường chéo -1 Do đó, dạng chuẩn tắc Jordan ma trận A là:   0   1 0      0 −1    0 −1 Định nghĩa 2.2 Đa thức có bậc nhỏ số đa thức P (t) với hệ số cao thỏa mãn P (f ) = gọi đa thức cực tiểu ánh xạ f , ký hiệu mf (t) 35 2.2 Phức hóa khơng gian ứng dụng Định nghĩa 2.3 Cho V không gian vectơ thực Không gian phức hóa VC V định nghĩa sau Phần tử VC cặp (u, v), u, v ∈ V viết cách hình thức (u + iv) với i đơn vị ảo, i2 = −1, với phép toán định nghĩa sau: (+) Phép cộng: (u + iv) + (x + iy) = (u + x) + i(v + y) (+) Phép nhân: (a + ib)(u + iv) = (au − bv) + i(av + bu) Mỗi ánh xạ tuyến tính thực f : V → W xác định ánh xạ tuyến tính phức fC cơng thức : f (u + iv) = f (u) + if (v) Ví dụ 2.3 (i) Khơng gian phức hóa Rn Cn ii) Khơng gian phức hóa khơng gian đa thức với hệ số thực không gian đa thức với hệ số phức Bổ đề 2.3 Đa thức đặc trưng tự đồng cấu f trùng với đa thức đặc trưng ánh xạ phức hóa fC Chứng minh Hiển nhiên, sở (thực) V sở (phức) VC ma trận f fC trùng Nhận xét 2.1 Một ánh xạ thực khơng có dạng Jordan theo nghĩa định lý 2.5 đa thức đặc trưng khơng có nghiệm thực Tuy nhiên ánh xạ phức hóa ln có dạng Jordan đa thức đặc trưng trường số phức ln có đủ nghiệm phức Ví dụ 2.4 Cho f : R2 → R2 phép quay với góc θ Ma trận 36 f theo sở tự nhiên R2 :   cosθ −sinθ   sinθ cosθ Đa thức đặc trưng f , Pf (t) = t2 − 2cosθ.t + khơng có nghiệm thực < θ < π Tuy nhiên Pf (t) có hai nghiệm phức là: λ± = cosθ ± isinθ Với giả thiết < θ < π hai nghiệm phân biệt đó, theo định lý 1.6, ánh xạ fC : C → C chéo hóa Ta tính cụ thể vectơ riêng fC là:  v± =  ±i   Định lý 2.6 Giả sử f : V → V ánh xạ thực Khi tồn sở V để ma trận f đường chéo khối, khối khối Jordan khối Jordan "suy rộng" theo nghĩa sau:       a −b      b a        a −b        b a                   a −b    b a 37                        Chứng minh Xét ánh xạ fC VC Giả thiết λ nghiệm PfC (t) Nếu λ thực nghiệm phức hệ phương trình: (f − λ)r (x) = nhận từ nghiệm thực cách phức hóa Do ô Jordan fC sinh ô Jordan tương ứng fC ¯ Xét trường hợp λ khơng thực Vì Pf (t) có hệ số thực nên λ nghiệm củaPf (t) Với vectơ z := u + iv VC ký hiệu: z¯ := u − iv gọi vectơ liên hợp phức với z Dễ thấy, z ∈ Ker(f − λ)r thì: ¯ r z¯ ∈ Ker(f − λ) Giả sử z1 , z2 , , zk phần sở Jordan fC , ứng với Jordan đó.Nghĩa là: f (z1 ) = λz1 , f (z2 ) = λz2 + z1 , , f (zk ) = λzk + zk−1 Giả sử zj := uj + ivj Khi đó: uj = zj + z¯j zj − z¯j , vj = 2i Từ dễ dàng tính được, với λ = a + ib, f (uj ) = auj − bvj + uj−1 f (vj ) = buj + avj + vj−1 Từ giả thiết z1 , z2 , , zk , z¯1 , , z¯k độc lập tuyến tính C ta suy tập vectơ u1 , v1 , , uk , vk V độc lập tuyến tính Mặt 38 khác chúng sinh không gian bất biến f Ma trận f theo sở dạng Jordan suy rộng mô tả Bài tập Bài tập Chứng minh ma trận vuông cấp n: A = (aij ) (trên trường K) có aij = với i ≤ j An = Bài tập Chứng minh ϕ tự đồng cấu không gian vectơ phức hữu hạn chiều mà ϕ có giá trị riêng ϕ lũy linh Bài tập Cho ϕ ψ hai tự đồng cấu giao hốn K - khơng gian vectơ hữu hạn chiều V Chứng minh rằng: a) Nếu ϕ ψ lũy linh ϕ + ψ lũy linh b) Nếu ϕ ψ chéo hóa ϕ + ψ ϕ.ψ chéo hóa Bài tập Đưa ma trận sau (trên trường số thực) dạng chuẩn tắc Jordan (thực)  −5  a) A =  5 −7 −9  n  n −   b) B =  n −      3  0   n    n − n      n Bài tập Chứng minh hai ma trận vuông cấp n sau đồng dạng 39 với nhau:    −1 0   1    −1 0       1    0 0    ,              0 −1   0 0 0   1   1     Bài tập Hãy mô tả dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp có đa thức cực tiểu (t + 1)2 (t2 + 2) trên: a) R b) C Bài tập Chứng minh ϕ tự đồng cấu không gian vectơ phức hữu hạn chiều mà giá trị riêng ϕ lũy linh Bài tập Giả sử V không gian vectơ phức hữu hạn chiều f ∈ End(V) mà có số N nguyên dương để f N = id Chứng minh V có sở gồm vectơ riêng f Bài tập Chứng minh hai ma trận vuông cấp đồng dạng với chúng có đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng Nếu trùng đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng có cịn khơng ? 40 KẾT LUẬN Trong q trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, tơi bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, tơi trình bày dạng Jordan suy rộng tự đồng cấu khơng gian phức hóa không gian vectơ thực kiến thức sở dạng Jordan tự đồng cấu không gian vectơ Từ đó, ta ln tìm dạng chuẩn Jordan tự đồng cấu đa thức đặc trưng tự đồng cấu khơng có đủ nghiệm thực Cuối chương tập củng cố Đây xem tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến dạng Jordan tự đồng cấu đại số tuyến tính, đồng thời thấy logic toán học, nhờ toán học phát triển tư duy, khả suy luận cho người học Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh Viên Trịnh Thị Hồng Nhung 41 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phùng Hồ Hải (2010), Bài giảng Trường hè cho sinh viên, Viện toán học [2] Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh (1998), Đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Phan Hồng Trường (2001), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [5] I M Gelfand (1997), Bài giảng đại số tuyến tính (tiếng Nga), Nauka, Moskva ... hiểu ứng dụng Thấy tầm quan trọng vấn đề, với hướng dẫn nhiệt tình thầy Phạm Thanh Tâm chọn đề tài ” Dạng Jordan phức ứng dụng ” Mục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu dạng Jordan phức ứng dụng. .. Jordan phức ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài Dạng Jordan phức ứng dụng quan trọng Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài Nghiên cứu dạng Jordan phức ứng dụng phạm vi mơn đại số tuyến tính... liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Dạng Jordan phức ứng dụng Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi