Dạng jordan phức và ứng dụng

Hơn nữa, việc tìm cho mỗi tự đồng cấu trong trường hợp có thể một cơ sở của không gian sao chotrong cơ sở đó tự đồng cấu có ma trận đơn giản, cụ thể là càng gần matrận chéo càng tốt chín

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

Phạm Thanh Tâm

Hà Nội - 2013

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số tuyến tính là một môn học cơ bản của Toán cao cấp, đượcứng dụng vào hàng loạt các lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hìnhhọc vi phân, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật Những kiến thức cơ bản củaĐại số tuyến tính như ánh xạ tuyến tính, cấu trúc của tự đồng cấu lànhững kiến thức quan trọng, không thể thiếu Hơn nữa, việc tìm cho mỗi

tự đồng cấu (trong trường hợp có thể) một cơ sở của không gian sao chotrong cơ sở đó tự đồng cấu có ma trận đơn giản, cụ thể là càng gần matrận chéo càng tốt chính là tìm dạng Jordan của ma trận là một bước

cơ bản trong các bài toán Thấy được tầm quan trọng của nó nên khi

ta nghiên cứu các vấn đề này ta không dừng lại nghiên cứu trên trường

số thực mà còn mở rộng trên trường số phức thông qua việc phức hóakhông gian vectơ và tìm hiểu ứng dụng của nó

Thấy được tầm quan trọng của vấn đề, cùng với sự hướng dẫnnhiệt tình của thầy Phạm Thanh Tâm tôi đã chọn đề tài ” DạngJordan phức và ứng dụng ”

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu về dạng Jordan phức và ứng dụng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Dạng Jordan phức và những ứng dụng quan trọng của nó

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu về dạng Jordan phức và ứng dụng của nó trong phạm vi củamôn đại số tuyến tính

5 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến dạng Jordan phức

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp : hệ thống lại các kiếnthức có liên quan, phân tích, tổng hợp

7 Kết cấu của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luậngồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Dạng Jordan phức và ứng dụng

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạnchế nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót.Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quýthầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm2013

Sinh viênTrịnh Thị Hồng Nhung

Chương 1

Kiến thức cơ sở.

1.1.1 Định nghĩa, tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 1.1 Cho V, W là hai không gian vectơ trên trường K Ánh

xạ f : V → W được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:

f (−→α +−→β ) = f (−→α ) + f (−→β )

f (k−→α ) = kf (−→α )với mọi −→α ,−→

β ∈ V và mọi k ∈ K Ánh xạ tuyến tính còn được gọi làđồng cấu tuyến tính, hay một cách vắn tắt là đồng cấu

Kí hiệu: Hom(V, W) là tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W.Tính chất 1.1 Ánh xạ tuyến tính có một số tính chất cơ bản:

Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính.Khi đó:

1) f (−→

0 ) =→−

02) f (−−→α ) = −f (−→α ), ∀−→

α ∈ V3) f (λ1−→α

Ví dụ 1.1 1) Ánh xạ đạo hàm dxd : R [x] → R [x]; trong đó R[x] là khônggian các đa thức một ẩn x cho bởi:

d

dx(anx

n

+ · · · + a1x + a0) = nanxn−1 + · · · + a1ánh xạ tuyến tính

2) Coi C là một R - không gian vectơ Phép lấy liên hợp:

Định nghĩa 1.2 Giả sử V, W là các K không gian vectơ và f, g : V → W

là hai ánh xạ tuyến tính Ta gọi tổng của f và g là một ánh xạ, kí hiệu

là f + g, xác định bởi:

f + g : V → W

−

→α 7→ (f + g)(−→α ) = f (−→α ) + g(−→α ).

Với λ ∈ K và f : V → W là ánh xạ tuyến tính, ta gọi là tích của ánh xạ

f với vô hướng λ là một ánh xạ, ký hiệu là λ.f , xác định bởi:

λ.f : V → W

−

→α 7→ (λ.f )(−→α ) = λ.f (−→α )

Nhận xét 1.1 Các ánh xạ f + g và λ.f là những ánh xạ tuyến tính từ

V vào W

Định lý 1.1 Giả sử V là một không gian vectơ n - chiều Khi đó, mỗiánh xạ tuyến tính từ V đến W được hoàn toàn xác định bởi ảnh của nótrên một cơ sở Tức là, nếu (ε) = {−→ε

1, −→ε

2, , −→ε

n} là một cơ sở của Vcòn −→

Định nghĩa 1.3 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính trên trường K.Khi đó:

a) f là một đơn cấu nếu f đơn ánh

b) f là một toàn cấu nếu f toàn ánh

c) f là một đẳng cấu nếu f song ánh

Nếu có một đẳng cấu f : V → W thì ta nói rằng V đẳng cấu với

W và viết V ∼= W

Nhận xét 1.2 Quan hệ đẳng cấu giữa những không gian vectơ là mộtquan hệ tương đương.

Định lý 1.2 Cho V và W là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trêntrường K Khi đó V đẳng cấu với W khi và chỉ khi dim V =dim W

Thật vậy, nghịch đảo của ϕ là ánh xạ tuyến tính ψ : W → V đượcxác định bởi điều kiện ψ(−→

1, , −ε→

m}của W:

ym = am1x1 + am2x2 + · · · + amnxnhay là:

Chứng minh Thật vậy, với ∀−→α ,−→

β ∈ W; ∀λ, β ∈ K ta có:

(g ◦ f )(λ−→α + µ−→β ) = g(λf (−→α ) + µf (−→β ))

= λg(f (−→α )) + µg(f (−→β ))

= λ(g ◦ f )(−→α ) + µ(g ◦ f )(−→β )

1.1.3 Hạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tính

Định lý 1.4 Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó:a) Nếu T là một không gian vectơ con của V thì ảnh f (T) của nó qua f

là một không gian vectơ con của W

b) Nếu U là một không gian vectơ con của W thì nghịch ảnh f−1(U) của

U là một không gian vectơ con của V

β ∈ T Lúc đó, với vô hướng λ bất kì thuộc K, do T là khônggian vectơ con của V,−→α +−→

0 ) = {−→

x ∈ V | f (−→x ) = −→

0 } của V là hạtnhân (hay hạch) của f và ký hiệu là Kerf Số chiều của Kerf gọi làkhuyết của f

b) Không gian vectơ con f (V) của W là ảnh của f và ký hiệu là Imf

Số chiều của Imf gọi là hạng của f và ký hiệu là rankf

(vi) Rank(f ) = dimV

c) Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó ánh xạ

f : V/Ker(f ) → W cho bởi f ([−→α ]) = f (−→α ) là một đơn cấu, lúc này nó

gây nên một đẳng cấu từ V/Ker(f ) lên Im(f ).

d) Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính của không gian vectơ hữuhạn chiều V Khi đó:

dimV = dimKer(f ) + dimIm(f )

e) Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó, với mọi khônggian vectơ con U của V ta có:

dimf (U) ≤ dimf (U)f) Giả sử f : V → W là một tự đồng cấu của không gian vectơ hữu hạnchiều V Khi đó mệnh đề sau tương đương:

(i) f là một đẳng cấu

(ii) f là một đơn cấu

(iii) f là một toàn cấu

Định nghĩa 1.6 Ta gọi mỗi ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ Vvào chính nó là một tự đồng cấu của V Một tự đồng cấu của V đồngthời là một đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu của V Không gianvectơ tất cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là End(V)

Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của V được ký hiệu là GL(V).Khi f ∈ End(V), ta sẽ gọi ma trận của f trong cặp cơ sở

cơ sở của không gian vectơ V, C là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ

sở (ε) và f : V → W là một tự đồng cấu của V Khi đó, nếu f có matrận là A trong cơ sở (e), có ma trận là B trong cơ sở (ε) thì ma trận Ađồng dạng với ma trận B Cụ thể là ta có B = C−1AC

Chứng minh Giả sử C = (ckj), A = (ajk), B = (bli) thì ta có tươngứng các đẳng thức:

Hệ quả 1.1 a) Hai ma trận đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng

là ma trận của cùng một tự đồng cấu, của một không gian vectơ trong

cơ sở tương ứng nào đó của không gian này

b) Định thức của ma trận của một tự đồng cấu tuyến tính trong những

cơ sở khác nhau của không gian là như nhau

Định nghĩa 1.7 Cho f ∈ End(V) Gọi A = (aij)m×n là ma trận của ftrong một cơ sở nào đó của V Ta gọi:

a) det A là định thức của tự đồng cấu f và ký hiệu là det f

b) Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là vếtcủa f , ký hiệu là tr(f ):

c) Vết của ma trận liên hợp Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, cho P

là ma trận vuông cấp n và khả nghịch Liên hợp của A theo P là P AP−1,khi đó:

tr(A) = tr(P AP−1)

Như vậy khi lấy liên hợp thì vết của nó không thay đổi

d) Vết của ma trận chuyển vị Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, At

là ma trận chuyển vị của nó Ta có:

tr(A) = tr(At)

1.2 Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính thực.

1.2.1 Giá trị riêng và vectơ riêng, đa thức đặc trưng

Cố định một không gian vectơ thực V có chiều ít nhất bằng 1 vàmột tự đồng cấu tuyến tính f : V → V

Định nghĩa 1.8 Số thực λ được gọi là giá trị riêng của f nếu tồn tạimột vectơ −→v 6=−→0 sao cho:

f (−→v ) = λ−→v Khi đó −→v được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ.Định nghĩa 1.9 Số thực λ được gọi là giá trị riêng của ma trận vuông

A cấp n nếu tồn tại một vectơ −→v 6= −→0 sao cho:

A−→v = λ−→v Khi đó −→v được gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.

Ví dụ 1.2 a) Mọi vectơ khác −→

0 đều là vectơ riêng của ánh xạ tuyếntính thuần nhất hoặc ánh xạ 0 Với ánh xạ tuyến tính đồng nhất giá trịriêng là 1, còn ánh xạ 0 giá trị riêng là 0

b) Nếu f là phép quay trên mặt phẳng quanh gốc tọa độ một góc

0 ≤ α ≤ 2π, thì phép quay này không có giá trị riêng nếu α 6= π Nếu

α = π thì nó có giá trị riêng là -1 và mọi vectơ khác −→

0 đều là vectơriêng

Định nghĩa 1.10 Đa thức đặc trưng của f , ký hiệu là Pf(t), được địnhnghĩa là định thức của ánh xạ f − t.id, trong đó id là ánh xạ tuyến tínhđồng nhất

Để đơn giản ký hiệu, từ nay trở đi phép vị tự λ.id sẽ được ký hiệu

Suy ra λ chính là giá trị riêng của f 

Để đơn giản bài toán, ta chỉ xét tự đồng cấu f mà đa thức đặctrưng của f có đủ các nghiệm thực Khó khăn duy nhất mà chúng taphải đối mặt là đa thức này có thể có nghiệm bội

Định lý 1.6 Giả thiết Pf(t) có đủ n nghiệm thực khác nhau λi Khi đótồn tại một cơ sở mà ma trận của f là ma trận đường chéo với các phần

tử trên đường chéo là các số λi

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh các vectơ −→v

i độc lập tuyếntính Giả sử trái lại, khi đó không mất tính tổng quát có thể giả thiếttồn tại các số a1, , an, với a1 6= 0, thỏa mãn:

a1−→v

1 + · · · + an−→v

cơ sở mà ứng với nó ma trận biểu diễn của ánh xạ là ma trận đườngchéo, nói cách khác f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V gồm toànnhững vectơ riêng của f

Đa số các ánh xạ là chéo hóa được

Định nghĩa 1.12 Biệt thức ∆(P ) của một đa thức P được xác địnhnhư sau:

∆(P ) = b2c2 − 4ac3 − 4b3d − 27a2d2 + 18abcd

Mệnh đề 1.2 Đa thức P có nghiệm bội khi và chỉ khi đa thức ∆(P )triệt tiêu.

Định nghĩa 1.13 Ma trận A = M ath(n × n, K) đồng dạng với một matrận chéo được gọi là ma trận chéo hóa được(trên K)

Như vậy, nếu A chéo hóa được thì mọi ma trận đồng dạng với nócũng chéo hóa được.Việc tìm một ma trận khả nghịch C(nếu có) sao cho

C−1AC được gọi là việc chéo hóa ma trận A

Định lý 1.7 Tự đồng cấu f chéo hóa được khi và chỉ khi hai điều kiệnsau đây được thỏa mãn:

(i) Đa thức Pf(t) có đủ các nghiệm thực Tức là đa thức đặc Pf(t) phântích được thành:

Pf(t) = (−1)n(t − λ1)s1 (t − λn)sn

Trong đó λ1, , λn là các số đôi một khác nhau

(ii) Mỗi λi là nghiệm với bội si thì hệ phương trình (f − λi)(x) = 0 có

si nghiệm độc lập tuyến tính Tức là không gian vectơ (f − λi)(x) = 0

j 6= i nào đó) Vì thế không gian vectơ (f − λi)(x) = 0 có số chiều là si

với i = 1, m

Ngược lại, giả sử các điều kiện (i), (ii) được thỏa mãn Xét cáckhông gian con riêng ứng với giá trị riêng λi : V = Ker(f − λiidV)(i = 1, m) Ta có :

dimVi = dimKer(f − λiidV) = n − rank(f − λiidV) = si

Mà ta luôn có tổng V1 + · · · + Vm là một tổng trực tiếp, với sốchiều bằng s1 + · · · + sm = n Vậy tổng đó bằng toàn bộ không gian V:

V =M

Không gian nghiệm của (f − λi)(x) = 0 được gọi là không gian riêng của

f ứng với giá trị riêng λi, ký hiệu là Vλ i Như vậy, nếu ánh xạ f chéohóa được thì V được khai triển một cách duy nhất thành tổng trực tiếp:

i

Vλi

sao cho khi hạn chế lên mỗi không gian Vλi, f là một phép vị tự 

Hệ quả 1.2 Cho f là một tự đồng cấu của không gian vectơ V chiều

n Khi đó:

(i) f chéo hóa được khi và chỉ khi V có cơ sở gồm các vectơ riêng.(ii) Nếu f có n giá trị riêng khác nhau thì f chéo hóa được

1.2.2 Không gian con bất biến.

Định nghĩa 1.14 Không gian con U ⊂ V được gọi là bất biến đối với

f (hoặc ổn định đối với f ) nếu f (U) ⊂ U

Ví dụ 1.4 a) Không gian 0 và toàn bộ V là các không gian con bất biếntầm thường

b) Giả sử λ là một giá trị riêng của f Khi đó không gian riêng ứng vớigiá trị riêng λ là một không gian con bất biến đối với f c) Ta xét một

đa thức theo f :

A(f ) := a0fk + a1fk−1 + · · · + akidU

ai là các hệ số thực A(f ) được gọi là một ánh xạ đa thức theo f Hạch

và ảnh của A(f ) là các không gian con bất biến đối với f

Mệnh đề 1.3 Giả thiết U là không gian con bất biến đối với ánh xạ f Khi đó ta có các mệnh đề sau:

(i) Tồn tại một cơ sở của V để ma trận của ánh xạ f có dạngđường chéo khối :

với A, B, D là các ma trận khối trong đó A, D là các ma trận vuông và

A có kích thước bằng số chiều của U

(ii) Ký hiệu W là không gian thương của V theo U Khi đó f cảmsinh một ánh xạ fW trên W bởi công thức:

fW(¯v) := f (v)

ở đây ¯v ký hiệu lớp ghép v + U trong W

(iii) Ký hiệu fU là hạn chế của f lên U Khi đó đa thức đa thứcđặc trưng của f là tích các đa thức đặc trưng của fU và W:

2, , −w→

s).Theo giả thiết f (−→u

i) ∈ U nên có thể biểu diễn được theo các vectơ −→ujbởi một ma trận A Vì (u, w) là một cơ sở của V nên các vectơ f (−w→k) cóthể biểu diễn theo cơ sở đó bởi một ma trận dạng



BD

2) cũng xác định một phần tử trong W.(iii) Xét cơ sở của V như trong (i) Khi đó ma trận của fU theo cơ

sở (u) là A và:

Pf

U(t) = det(A − t)

Mặt khác,( ¯w) = ( ¯w1, ¯w2, , ¯ws) là cơ sở của W Từ (i) dễ thấy

ma trận của fU theo cơ sở này là D Do đó :

Vế trái chính là Pf(t) Định nghĩa 1.15 Giả thiết λ là một giá trị riêng của f Vectơ −→

v ∈ Vđược gọi là vectơ nghiệm (vectơ riêng suy rộng) của f nếu tồn tại r > 0sao cho (f − λ)r(−→v ) = 0 Tập hợp các vectơ nghiệm lập thành một khônggian con của V, gọi là không gian nghiệm ứng với giá trị riêng λ, ký hiệu

là V(λ)

Định lý 1.8 Giả thiết đa thức đặc trưng của tự đồng cấu tuyến tính f

có đủ nghiệm thực λi (có thể có nghiệm bội) Với mỗi λi, ký hiệu V(λi)

là không gian nghiệm của f ứng với λi Khi đó V là tổng trực tiếp củacác không gian con V(λi):

V =M

ra tổng các không gian V(λi) là một tổng trực tiếp

Giả sử U là tổng các không gian V(λi) suy ra U là không gian conbất biến W là không gian thương của V U Theo mệnh đề 1.3 (iii), đathức đặc trưng của ánh xạ cảm sinh fW là ước của đa thức Pf(t) và do

đó cũng có các nghiệm là λi với một số i nào đó Giả sử λ1 là nghiệm

của fW(t) và w là vectơ riêng của fW ứng với λ1, w ∈ W,−→w ∈ V Vì

(fW− λi)di(w) 6= 0, theo (2) Tuy nhiên điều này mâu thuẫn

vì vế phải của (4) nằm trong V(λ1) dẫn tới −w→

1 cũng nằm trong V(λ1)theo định nghĩa của V(λ1)

Suy ra W = 0 nghĩa là U = V  Như vậy bằng cách chọn một

cơ sở của V bao gồm các cơ sở của các không gian nghiệm V(λi) ta thuđược một ma trận biểu diễn của f có dạng đường chéo khối:

(theo Mệnh đề 1.3 (iii)), ta thấy rằng đa thức đặc trưng của fV(λi) códạng:

Pf

V(λi)(t) = (λi − t)si

với si là bội của λi trong đa thức Pf(t) Từ đó ta cũng có ngay tính chất:

dimV(λi) = siBài tập

Bài tập 1 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa các không gianvectơ Chứng minh rằng:

1, , −→α

n) > rank (f (−→α1), , f (−→α

n))Bài tập 2 Với số nguyên dương n, xét cơ sở εn = (1, x, , xn) của Rkhông gian vectơ Vn các đa thức một biến x với hệ số hữu tỷ bậc nhỏ n.a) Chứng minh rằng phép lấy đạo hàm:

b) Ma trận B là duy nhất khi và chỉ khi A khả nghịch

Bài tập 4 Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận:

Bài tập 5 Giả sử ϕ khả nghịch Chứng tỏ rằng nếu λ là giá trị riêng của

ϕ thì 1/λ là giá trị riêng của ϕ−1 Hơn nữa nếu −→v là vectơ riêng của ϕứng với λ thì nó cũng là vectơ riêng của ϕ−1 ứng với 1/λ

Bài tập 6 a) Cho U ⊆ V là không gian con bất biến của ϕ và W ⊆ U.Chứng tỏ rằng W là không gian con bất biến củaϕ/U khi và chỉ khi nó

là không gian con bất biến của ϕ

b) ϕ(U), ϕ−1(U) là các không gian con bất biến của ϕ

Bài tập 7 Cho vi1, , vimi là các vectơ độc lập tuyến tính và là các vectơriêng của tự đồng cấu ϕ ứng với giá trị riêng λi, i = 1, r Giả sử λ1, , λrđôi một khác nhau Chứng minh rằng hệ vectơ

r

[

i=1

{vi1, , vimi} độc lậptuyến tính Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để ϕ chéo hóa được là