Dạng Jordan phức và ứng dụng

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN **************** TR±NH TH± HONG NHUNG DANG JORDAN PHÚC VÀ ÚNG DUNG TĨM TAT KHỐ LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Chun ngành: Hình hoc Ngưòi hưóng dan khoa hoc Pham Thanh Tâm Hà N®i - 2013 LèI Mé ĐAU Lý chon đe tài Đai so tuyen tính m®t mơn hoc bán cna Tốn cao cap, đưoc úng dung vào hàng loat lĩnh vnc khác nhau, tù Giái tích tói Hình hoc vi phân, tù Cơ hoc, V¾t lý tói Ky thu¾t Nhung kien thúc bán cna Đai so tuyen tính ánh xa tuyen tính, cau trúc cna tn đong cau nhung kien thúc quan trong, khơng the thieu Hơn nua, vi¾c tìm cho moi tn đong cau (trong trưòng hop có the) m®t só cna khơng gian cho só tn đong cau có ma tr¾n đơn gián, cu the gan ma tr¾n chéo tot l tỡm dang Jordan cna ma trắn l mđt búc bán toán Thay đưoc tam quan cna nên ta nghiên cúu van đe ta khơng dùng lai nghiên cúu trưòng so thnc mà mó r®ng trưòng so phúc thơng qua vi¾c phúc hóa khơng gian vectơ tìm hieu úng dung cna Thay đưoc tam quan cna van đe, vói sn hưóng dan nhi¾t tình cna thay Pham Thanh Tâm chon đe tài ” Dang Jordan phNc Nng dnng ” Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài Nghiên cúu ve dang Jordan phúc úng dung Đoi tưang pham vi nghiên cNu cúa đe tài Dang Jordan phúc nhung úng dung quan cna Giái han pham vi nghiên cNu cúa đe tài Nghiên cúu ve dang Jordan phúc úng dung cna pham vi cna mơn đai so tuyen tính Nhi¾m nghiên cNu cúa đe tài Nghiên cúu m®t so kien thúc chuan b% liên quan đen dang Jordan phúc Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo theo phương pháp : h¾ thong lai kien thúc có liên quan, phân tích, tong hop Ket cau cúa khóa lu¾n Ngồi phan mó đau, ket lu¾n danh muc tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n gom chương: Chương 1: Kien thúc só Chương 2: Dang Jordan phúc úng dung Do thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n khơng nhieu, kien thúc han che nên làm khóa lu¾n khơng tránh khói nhung han che sai sót Tác giá mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phán bi¾n cna q thay ban đoc Xin chân thành cám ơn! Hà N®i, ngày 15 tháng năm 2013 Sinh viên Tr%nh Th% Hong Nhung Chương Kien thNc sá 1.1 1.1.1 Ánh xa tuyen tính Đ%nh nghĩa, tính chat cúa ánh xa tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.1 Cho V, W hai không gian vectơ trưòng K Ánh xa f : V → W đưoc goi m®t ánh xa tuyen tính neu: →− →− f (→−α + β ) = f (→−α ) + f ( β) f (k →−α ) = kf (→−α ) vói moi →−α , →−β ∈ V moi k ∈ K Ánh xa tuyen tính đưoc goi đong cau tuyen tính, hay m®t cách van tat đong cau Kí hi¾u: Hom(V, W) t¾p ánh xa tuyen tính tù V vào W Tính chat 1.1 Ánh xa tuyen tính có m®t so tính chat bán: Giá sú f : V → W ánh xa tuyen tính.Khi đó: →− →− 1) f ( 0)= 2) f (−→−α ) = −f (→−α ), ∀→−α ∈ V 3) f (λ1 −α→1 ) + λ2 −α→2 + · · · + λm −α→m ) = λ1 f (−α→1 ) + λ2 f (−α→2 ) + · · · + λm f (−α→m ) Ví dn 1.1 1) Ánh xa đao hàm d x d d x : R [x] → R [x]; R[x] khơng gian đa thúc m®t an x cho bói: d (anxn + · · · + a1x + a0) = nanxn−1 + · · · + a1 ánh xa tuyen tính 2) Coi C m®t R - không gian vectơ Phép lay liên hop: ϕ: C →C z ›→ z ánh xa tuyen tính 3) C h o A = ( a i j ) m ×n ∈ Math(m × n, K) Ánh xa f : K →K cho bói: f + gn : V n→ W →−α ›→ (f + g)  1 x .    x  (→−α ) + g(→−α ) Vói λ ∈ K f : V → W ánh xa   tính,  ta goi tích cúa ánh xa tuyen f vói vơ hưóng λ m®t ánh xa, ký hi¾u λ.f, xác đ%nh bói:   → A   xn xn m®t ánh xa tuyen tính neu coi moi vectơ (x1, , xn) ∈ Kn m®t ánh x  a c  ® t:  x (→−α ) = f  1 x  n Đ%nh nghĩa 1.2 Giá sú V, W K không gian vectơ f, g : V →W hai ánh xa tuyen tính Ta goi tong cúa f g l mđt ỏnh xa, kớ hiắu l f + g, xác đ%nh bói: λ.f : V → W →−α ›→ (λ.f ) (→−α ) = λ.f (→−α ) Nh¾n xét 1.1 Các ánh xa f + g λ.f nhung ánh xa tuyen tính tù V vào W Đ%nh lý 1.1 Giá sú V m®t khơng gian vectơ n - chieu Khi đó, moi ánh xa tuyen tính tù V đen W đưoc hồn xác đ%nh →− bói ánh cúa →−εtồn →− m®t só Túc là, neu (ε) = { , ε , , εn } m®t só cúa V cò → , , n vectơ cúa W Khi có m®t chs m®t n , − → β −→ β 1− n β ánh xa tuyen tính f : V → W cho f (→−εi , i = 1, n →− )= βi Chúng minh a) Sn ton tai: Vói moi →−α = x1 →−ε1 +x2 →−ε2 +· · · +xn →−εn ∈ V, ta đ¾t: − → f (→−α ) + → + β ∈ W →− x2 xn = x1 β1 − n β Khi f : V → W m®t ánh xa tuyen tính thóa mãn f (→−εi ) , 1, n →− = βi b) Sn nhat: Giá sú g : V W ánh xa tuyen tính thóa mãn đ%nh n →− →− →− lý f ( εi ) = g( εi ), i = 1, n vói moi α = x (→−ε ) ∈ V ta đeu có: i → i i=1 n f (→−α ) = f ( n i=1 n xi →−εi ) = i=1 n xi f (→−εi ) →− = xi g( εi ) = g( xi →−εi ) = g(→−α ) i=1 i=1 ⇒ g = f V¾y ton tai cna f nhat Q Đ%nh nghĩa 1.3 Cho f : V → W ánh xa tuyen tính trưòng K Khi đó: a) f m®t đơn cau neu f đơn ánh b) f m®t tồn cau neu f tồn ánh c) f m®t cau neu f song ánh Neu có m®t cau f : V → W ta nói rang V cau vói W viet V ∼= W Nh¾n xét 1.2 Quan h¾ cau giua nhung khơng gian vectơ l mđt quan hắ tng ng %nh lý 1.2 Cho V W hai không gian vectơ huu han chieu trưòng K Khi V cau vói W chs dim V =dim W Chúng minh: Đieu ki¾n can: Giá sú V cau vói W, có m®t cau f : V → W Túc là, neu {→−ε1 , →−ε2 , , →−εn } m®t só cna V h¾ {f (→−ε1 ), f (→−ε2 ), , f (→−εn )} m®t só cna W Th¾t v¾y: →− →− Giá sú β m®t vectơ bat kì W, ton tai α ∈ W đe n →− β = f (→−α ) Túc là, neu có →−α = (ai →−εi ) thì: i=1 n n →− →− β =f( α ) = f ( (ai εi ) = →− ( εi ) →− i=1 f i=1 Khi →− β bieu th% tuyen tính qua h¾ {f (→−ε1 ), f (→−ε2 ), , f (→−εn )} n →− →− Neu β bieu th% tuyen tính β = bi f (→−εi ) thì: i=1 →−α = f −1 (→−β ) = b −α→ + · · · + b −α→ 1 n n Vì (−α→1 , , −α→n ) m®t só cna V a1 = b1 , , →− an = bn Như v¾y moi vectơ β bieu th% tuyen tính nhat qua h¾ {f (→−ε1 ), Đ%nh lý 2.3 Cho ánh xa f : V → V lũy linh Khi ton tai m®t só cúa V đe ma tr¾n cúa f theo só có dang Jordan →−v k , Chúng minh Goi l cỏc vect đc lắp tuyen tớnh , →−v k rk Fk\Fk−1 só cna m®t khơng gian bù vói Fk−1 Fk Tác đ®ng f lên vectơ ta thu đưoc vectơ: →−v k−1 →− k = f ( v i ) i k−1 Khi vectơ {→− } nam i v −1 không nam trong Fk k−1 →− Fk−1 Hơn nua, vectơ { vi } l đc lắp tuyen tớnh v moi to hop →− tuyen tính khác cna đeu khơng thu®c Fk−2 Do đó: rk−1 = dimFk−1 − dimFk−2 ≥ rk Vì v¾y ta có the bo sung vào vectơ vectơ →−v k−1 , rk →−v , +1 k−1 rk−1 đe chúng só cna m®t khơng gian bù vói Fk−2 Tương tn, xét ánh cna chúng Fk−2, ta đưoc: (*) → , →−v k : só cna phan bù F F −, k − rk →−v k−1 , →− k−1 k , →− →− v : só cna phan bù Fk v v , k−1 k−1 , , F r rk − rk−1 +1 k−1 k →−v → → 1, →− −, , −v v1, , r bù F1 F2 k rk +1 r k → : só cna phan , →−v , −1 , −v , r2+ r Vói só gom tat cá vectơ ta đưoc m®t só cna khơng gian vectơ V mà ma tr¾n cna f theo só se ma tr¾n dang Jordan, moi Jordan se úng vói vectơ m®t c®t ó Theo cách xây dnng, vect ú hng thỳ nhat l đc lắp tuyen tớnh Ngồi neu bo sung vào chúng m®t só cna Fk−1 ta se đưoc m®t só cna Fk = V Đieu có nghĩa, khơng có m®t to hop tuyen tính khác cna vectơ Fk−1 Tù suy vectơ: →−v k−1 →−v →−v k−1 k−1 , 2, , r k ó hàng thú thóa mãn tính chat tương tn, nghĩa khơng có to hop tuyen tính khác cna chúng nam Fk−2 Th¾t v¾y, neu : k−1 a1 →− v + a nghĩa là: →− k−1 v ·+a f (a1 →−v k + a2 →−v k thì: + · · rk →−v k−1 ∈ F k rk →− rk +··· +a f k −1 (a1 →−v k k f ( v rk ) ∈ Fk−2 rk →− k →− k + a v + · · · + v rk ) = a →− k mâu thuan vói giá thiet ve i v Tiep tuc v¾y ta có cỏc vect ú bỏng trờn l đc lắp tuyen tính M¾t khác, tù cách xây dnng ta thay so phan tú báng (*) bang n: rk + rk−1 + · · · + r1 = dimFk − dimFk−1 + · · · + dimF1 = n V¾y chúng l¾p thành sơ cna V Q M¾nh đe 2.1 Ngưoc lai, neu V có m®t só đe ma tr¾n cúa f só có dang Jordan f lũy linh Đ%nh lý 2.4 Giá sú f : V → V m®t tn đong cau cúa K - không gian vectơ n chieu V có đa thúc đ¾c trưng Pf (X) phân tích đưoc thành tích cúa nhung nhân tú tuyen tính: Pf (X) = (λ1 − X)s1 (λ2 − X)s2 (λm − X)sm λ1, , λm nhung vơ hưóng đơi m®t khác K Khi đó, V phân tích đưoc thành tong trnc tiep khơng gian riêng suy r®ng úng vói nhung giá tr% riêng λ1, , λm: V = V(λ1) ⊕ V(λ2) ⊕ · · · ⊕ V(λm) dim V(λk) = sk, k = 1, m Hơn nua V có m®t só đe ma tr¾n cúa f só tong trnc tiep cúa nhung khoi Jordan cap s có dang: λ k 0 0     λk 0    λk 0   Js,λ     k  =      0 λk     0 λk So khoi Jordan cap s vói phan tú λk đưòng chéo bang: rank(f − λk.idV)s−1 − 2rank(f − λk.idV)s + rank(f − λk.idV)s+1 Ma tr¾n đưoc xác đ%nh nhat bói f sai khác sn sap xep khoi Jordan đưòng chéo goi ma tr¾n dang chuan tac Jordan cúa f Chúng minh Do đa thúc Pf (X) có b¾c bang dim nên dimV = s1 + s2 + · · · + sm mà dimV(λk) = sk nên V = V(λ1) ⊕ V(λ2) ⊕ · · · ⊕ V(λm) Vì: (f − λ.idV)|V(λj ) : V(λj ) → V(λj ) λj ƒ= λk m®t cau tuyen tính nên: rank(f − λk.idV)s−1 − 2rank(f − λk.idV)s + rank(f − λk.idV)s+1 bang thu hep V(λj ), thu hep Vλk , (f − λ.idV)|V(λj ) lũy linh, nên bang so khoi Jordan nói đ %nh lý Vì so đoi vói moi ma tr¾n dang chuan tac Jordan cna f , hai ma tr¾n v¾y chí khác thú tn cna Q khoi Jordan đưòng chéo Đ%nh lý 2.5 Giá thiet f : V → V m®t tn đong cau tuyen tính vói đa thúc đ¾c trưng có đú nghiắm thnc Khi ú ton tai mđt c sú m theo ma tr¾n cúa f có dang đưòng chéo khoi chính.Trong moi ma tr¾n đưòng chéo khoi m®t Jordan: λ   λ             1  λ vói λ m®t giá tr% riêng cúa f Ví dn 2.2 Tìm dang chuan Jordan trưòng so thnc cúa ma tr¾n 3    4 A = 0 4 Giái: Ta có: det(A−X.E4) = −X −4 −4 2    −5 −2   −2 −1 −5 − X −2 0 3−X −2 0 2 −1 − X = (X 1) (X +1) − 2 Đa thúc có đn nghi¾m thnc λ1 = λ2 = 1; λ3 = λ4 = −1 Vói λ1 = λ2 = ta có: rank(A  4  =3   −2 −2 2 −4 4 −6 −2 1.E ) = rank   0 −  0 2 −4 2 4 4   −  =2 rank(A − 1.E4) = rank 0 −2    0 −2 Như v¾y, so khoi Jordan cap cna ma tr¾n Jordan J can tìm vói phan tú đưòng chéo bang là: rank(A − 1.E4)0 − 2rank(A − 1.E4)1 + rank(A − 1.E4)2 = − 2.3 +2=0 Ket hop đieu vói đieu λ = nghi¾m kép cna đa thúc đ¾c trưng cna A ta suy rang J chúa m®t khoi Jordan cap vói phan tú đưòng chéo bang -1 Do đó, dang chuan tac Jordan cna ma tr¾n A là: 1 0   1  0 −1   0 0 0   0   −1 Đ%nh nghĩa 2.2 Đa thúc có b¾c nhó nhat so đa thúc P (t) vói h¾ so cao nhat bang thóa mãn P (f ) = đưoc goi đa thúc cnc tieu cúa ánh xa f, ký hi¾u mf (t) 2.2 PhNc hóa khơng gian Nng dnng Đ%nh nghĩa 2.3 Cho V m®t khơng gian vectơ thnc Khơng gian phúc hóa VC cúa V đưoc đ%nh nghĩa sau Phan tú cúa VC c¾p (u, v), u, v ∈ V đưoc viet m®t cách hình thúc (u + iv) vói i đơn v % áo, i2 = −1, vói phép tốn đưoc đ%nh nghĩa sau: (+) Phép c®ng: (u + iv) + (x + iy) = (u + x) + i(v + y) (+) Phép nhân: (a + ib)(u + iv) = (au − bv) + i(av + bu) Moi ánh xa tuyen tính thnc f : V → W xác đ%nh m®t ánh xa tuyen tính phúc fC bang cơng thúc : f (u + iv) = f (u) + if (v) Ví dn 2.3 (i) Khơng gian phúc hóa cúa Rn Cn ii) Khơng gian phúc hóa cúa khơng gian đa thúc vói h¾ so thnc khơng gian đa thúc vói h¾ so phúc Bo đe 2.3 Đa thúc đ¾c trưng cúa tn đong cau f trùng vói đa thúc đ¾c trưng cúa ánh xa phúc hóa fC cúa Chúng minh Hien nhiên, m®t só (thnc) cna V se só (phúc) cna VC ma tr¾n cna f fC trùng Q Nh¾n xét 2.1 M®t ánh xa thnc có the khơng có dang Jordan theo nghĩa cna đ%nh lý 2.5 đa thúc đ¾c trưng cna có the khơng có nghi¾m thnc Tuy nhiên ánh xa phúc hóa cna ln có dang Jordan đa thúc đ¾c trưng trưòng so phúc ln có đn nghi¾m phúc Ví dn 2.4 Cho f : R2 → R2 m®t phép quay vói góc θ Ma tr¾n cúa f theo só tn nhiên cúa R2 :   cosθ −sinθ sinθ cosθ  Đa thúc đ¾c trưng cúa f , Pf (t ) = t2 − 2cosθ.t + nghi¾m thnc neu < θ < π Tuy nhiên Pf (t) có hai nghi¾m phúc là: λ± = cosθ ± isinθ Vói giá thiet < θ < π hai nghi¾m phân bi¾t đó, theo đ%nh lý 1.6, ánh xa fC : C → C chéo hóa đưoc Ta có the tính đưoc cn the vectơ riêng cúa fC là:   v± =   ±i Đ%nh lý 2.6 Giá sú f : V → V m®t ánh xa thnc Khi ton tai m®t só cúa V đe ma tr¾n cúa f đưòng chéo khoi, moi khoi l mđt khoi Jordan hoắc l mđt khoi Jordan "suy r®ng" theo nghĩa sau:      a −b      b a 0 1             a −b         b a                  0 1          a −b     b a  Chúng minh Xét ánh xa fC VC Giỏ thiet l mđt nghiắm cna PfC (t ) Neu λ thnc nghi¾m phúc cna h¾ phương trình: (f − λ)r(x) = nh¾n đưoc tù nghi¾m thnc bang cách phúc hóa Do ô Jordan cna fC se sinh ô Jordan tương úng cna fC Xét trưòng hop λ khơng thnc Vì Pf (t) có h¾ so thnc nên λ¯ nghi¾m cnaPf (t) Vói moi vectơ z := u + iv VC ký hi¾u: z¯ := u − iv goi vectơ liên hop phúc vói z De thay, neu z ∈ Ker(f − λ)r thì: z¯ ∈ Ker(f − λ¯ )r Giá sú z1, z2, , zk m®t phan cna só Jordan đoi vói fC, úng vói m®t Jordan đó.Nghĩa là: f (z1) = λz1, f (z2) = λz2 + z1, , f (zk) = λzk + zk−1 Giá sú zj := uj + ivj Khi đó: zj − z¯j zj + z¯j uj = , vj = 2i Tù de dàng tính đưoc, vói λ = a + ib, f (uj ) = auj − bvj + uj−1 f (vj ) = buj + avj + vj−1 Tù giá thiet z1 , z2 , , zk , z¯1 , , z¯k đ®c l¾p tuyen tính C ta suy t¾p vectơ u1, v1, , uk, vk V l đc lắp tuyen tớnh Mắt khỏc chỳng sinh m®t khơng gian bat bien đoi vói f Ma tr¾n cna f theo só dang Jordan suy r®ng mơ tá ó Q Bài t¾p Bài t¾p Chúng minh rang ma tr¾n vng cap n: A = (aij ) (trên trưòng K) có aij = vói moi i ≤ j An = Bài t¾p Chúng minh rang neu ϕ m®t tn đong cau cna khơng gian vectơ phúc huu han chieu mà ϕ có moi giá tr% riêng bang ϕ lũy linh Bài t¾p Cho ϕ ψ hai tn đong cau giao hốn đưoc cna K - khơng gian vectơ huu han chieu V Chúng minh rang: a) Neu ϕ ψ lũy linh ϕ + ψ lũy linh b) Neu ϕ ψ chéo hóa đưoc ϕ + ψ ϕ.ψ đeu chéo hóa đưoc Bài t¾p Đưa ma tr¾n sau (trên trưòng so thnc) ve dang chuan tac Jordan (thnc) 4 −5 2 a) A = 5 −7 3    −9  n 0   n−1 n   b) B = n − n − n        0  0     n Bài t¾p Chúng minh rang hai ma tr¾n vng cap n sau đong dang    vói nhau:            −1   −1 0 0 −1 0 0 0 1  0    1   0  , 0      0 0   1        Bài t¾p Hãy mơ tá dang chuan tac Jordan cna ma tr¾n cap có đa thúc cnc tieu (t + 1)2(t2 + 2) trên: a) R b) C Bài t¾p Chúng minh rang neu ϕ tn đong cau cna không gian vectơ phúc huu han chieu mà moi giá tr% riêng đeu bang ϕ lũy linh Bài t¾p Giá sú V không gian vectơ phúc huu han chieu f ∈ End(V) mà có so N nguyên dương đe f N = id Chúng minh rang V có nhung só gom nhung vectơ riêng cna f Bài t¾p Chúng minh rang hai ma tr¾n vng cap đong dang vói chí chúng có đa thúc cnc tieu đa thúc đ¾c trưng Neu chí trùng đa thúc cnc tieu ho¾c đa thúc đ¾c trưng có khơng ? KET LU¾N Trong q trình tìm hieu nghiên cúu khóa lu¾n, tơi bưóc đau làm quen vói cách thúc làm vi¾c khoa hoc, hi¾u q Qua đó, tơi trình bày dang Jordan suy r®ng cna tn đong cau khơng gian phúc hóa cna khơng gian vectơ thnc kien thúc só dang Jordan cna tn đong cau khơng gian vectơ Tù đó, ta ln tìm đưoc dang chuan Jordan cna m®t tn đong cau cá đa thúc đ¾c trưng cna tn đong cau khơng có đn nghi¾m thnc Cuoi chương nhung bi cnng co õy cú the xem nh mđt tài li¾u tham kháo cho nhung ngưòi quan tâm đen dang Jordan cna m®t tn đong cau đai so tuyen tính, đong thòi thay đưoc sn logic cna tốn hoc, nhò tốn hoc có the phát trien tư duy, khỏ nng suy luắn cho ngũi hoc H Nđi, thỏng năm 2013 Sinh Viên Tr%nh Th% Hong Nhung Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u Tieng Vi¾t [1] Phùng Ho Hái (2010), Bài giáng Trưòng hè cho sinh viên, Vi¾n tốn hoc [2] Lê Tuan Hoa (2005), Đai so tuyen tính qua ví dn t¾p, NXB Đai hoc Quoc Gia Hà N®i [3] Đồn Quỳnh (1998), Đai so tuyen tính hình hoc giái tích, NXB Đai hoc Quoc Gia Hà N®i [4] Phan Hong Trưòng (2001), Đai so tuyen tính, NXB Đai hoc Quoc Gia H Nđi [B] Ti liắu Tieng Anh [5] I M Gelfand (1997), Bài giáng đai so tuyen tính (tieng Nga), Nauka, Moskva ... Thanh Tâm chon đe tài ” Dang Jordan phNc Nng dnng ” Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài Nghiên cúu ve dang Jordan phúc úng dung Đoi tưang pham vi nghiên cNu cúa đe tài Dang Jordan phúc nhung úng dung... đe tài Nghiên cúu ve dang Jordan phúc úng dung cna pham vi cna mơn đai so tuyen tính Nhi¾m nghiên cNu cúa đe tài Nghiên cúu m®t so kien thúc chuan b% liên quan đen dang Jordan phúc Phương pháp...LèI Mé ĐAU Lý chon đe tài Đai so tuyen tính m®t mơn hoc bán cna Toán cao cap, đưoc úng dung vào hàng loat lĩnh vnc khác nhau, tù Giái tích tói Hình hoc vi phân, tù Cơ hoc, V¾t lý tói Ky thu¾t