Bài 3:Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

ếu tia Om xuất phát từ tia Ox quay theo chiều d ơng hay chiều âm đến trùng với OM thì ta nói Om quét một góc l ợng giác tia đầu Ox tia cuối Om... Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu

Câu 1: Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức

z = 4 ; z=-3 ; z=-2i ; z=3i ; z = 2 + 2i

Câu 3: Nêu khái niệm góc lượng giác ( Ox; OM )

Câu 2:Cho điểm M(a;b) biểu diễn cho số phức z

Hãy biểu diễn các điểm A , B ,C , D biểu diễn cho số phức –z ; z ; -z ; 1/2z lên mặt phẳng phức.

Câu 1: Gọi A,B,C,D,E lần lượt biểu diễn cho các số phức z=4 ; z=-4 ; z=-2i ; z=3i ; z=2+2i

C(-2i)

B(-4)

2

E(2+2i)

A(4) 3

D(3i)

-2 2

D

Câu 2:Cho điểm M(a;b) biểu diễn cho số phức z

Hãy biểu diễn các điểm A , B ,C , D biểu diễn cho số phức –z ; z ; -z ; 1/2z lên mặt phẳng phức.

C(-z)

âu 2: ; ếu tia Om xuất phát từ tia Ox quay theo chiều d ơng

(hay chiều âm) đến trùng với OM thì ta nói Om quét một góc l ợng giác tia đầu

Ox tia cuối Om.

- Nếu ( ) là số đo một góc l ợng

rad



0

giác thì mọi góc l ợng giác (Ox; OM ) có số đo + k2 ( )

- Nếu a là số đo một góc l ợng giác thì mọi góc l ợng giác (Ox; OM ) có số đo

360 ( )

k Z

1 Số phức dưới dạng lượng giác

a) Acgumen của số phức z khác 0

Cho số phức z khác 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z

Số đo(radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM

Định nghĩa 1

Một số phức z khác

0 có bao nhiêu acgumen, và các acgumen có mối liên

hệ gì ?

O

M(z)

x

y

Mặt phẳng phức



Cho một số phức z khác 0 Làm thế nào tìm được acgumen

của z ?

Chú ý: Õu lµ mét acgumen cña z 0 th× mäi acgumen cña z cã

N 

 





Z

Z

Tìm một acgumen của:

a) z = 4

b) z = -4

c) z = -2i

d) z = 3i

e) z = 2 + 2i

Tìm một acgumen của

số thực dương?

Tìm một acgumen của

số thực âm?

a)Mét agumen cña số phức z = 4 lµ 0

b)Mét Acgumen cña số phức z= -4 lµ

c) Mét Acgumen cña z = - 2i lµ -

2 2

d) Một acgumen của z=3i là









e) Một acgumen của z=2+2i là

C(-2i)

B(-4)

2

E(2+2i)

A(4) 3

D(3i)

-2 2

Nhận xét gì về hai acgumen của hai số phức z và l.z( l > 0)

è phøc z vµ lz ( z 0, l > 0, l R) cã acgumen sai kh¸c k2 ( k )

Nhận xét:

4

2

-2

5

y

x O

M(lz) M(z)

H1:Biết số phức có một acgumen là

Hãy tìm một acgumen của:

0



z z

z ; ; 

C(-z)



0



z

1

Nếu một acgumen của số phức là thì

số phức có một acgumen là:

z

1

Nếu một acgumen của số phức là thì

số phức có một acgumen là:

è phøc z = a + bi 0 (a,b R) a) TÝnh m«®un cña z

b) Gäi lµ acgumen cña z Chøng minh r»ng cã thÓ viÕt

z = r (cos + i sin ) ( §Æt r = z )

Cho s



2 2

2 2

) ã z

) §Æt r = ¶ sö µ mét acgumen cña z

a = r cos

b = r sin















O

M(z)

x

y

a

b

r



b) Dạng lượng giỏc của số phức

Định nghĩa 2

dạng l ợng giác của số p

ạng z = r (cos + isin ), trong đó r > 0, đ ợc gọi là z 0 Còn dạng z =a + bi (a,b R) đ

hức dạng đại số

ợc gọi là của s ố p hức z



Để tỡm dạng lượng giỏc của số phức z = a + bi ( a,b thuộc R) ta

làm thế nào ?

Nhận xột:

1 Số phức dưới dạng lượng giỏc

a) Acgumen của số phức z khỏc 0

Để tỡm dạng lượng giỏc của số phức z=a+bi

khỏc 0, ta cần:

) sin (cos  i 

r

z   (a ;b R)

1) Tỡm r : r  a2  b2

r

a





cos

r

b





sin 2) Tỡm :

Viết dưới dạng lượng giác các số phức a) z = 1 b) z = - 4 c) z = 2 + 2i d) z  1 3i

z = 1 ) è phøc z = 1 cã ¹ng l îng gi¸c cña sè phøc lµ: z = 1(cos0 + isin0)

mét acgumen = 0

z 4 b) Sè phøc z = -4 cã ¹ng l îng gi¸c cña sè phøc lµ z = 4(cos + isin )

ét acgumen = c)Sè phøc

D m



 









 







2 2

z 2 2

z = 2 + 2i cã ¹ng l îng gi¸c cña sè phøc lµ z = 2 2( os sin )

ét acgumen =

4 ) è phøc z = 1 + 3 ã 1 ( 3) 2

m





 









Để tìm một acgumen của z

ta làm như thế

nào ?

äi lµ mét acgumen cña z Ta cã

1 cos =

2

Êy =

3 3

sin

2

Ëy d¹ng l îng gi¸c cña sè phøc z = 1 + 3 µ:

z = 2 ( cos +i sin )

G

L











 









 



Chỳ ý:

ả lời: trên là sai vì trong công thức z = r ( cos + i sin ) thì r > 0

ó thể suy luận nh sau

Số phức z = -1 - 3 2( os sin ) 2( os( + ) sin( ))

2( os sin )

Tr Suy

Ta c

i c i c i

c i





ột học sinh ó ý kiến nh sau :

Biết dạng l ợng giác của z = 1 + 3 à z = 2(cos sin ).

ừ đó suy ra z = -1 - 3 ó dạng l ợng giác là

i





Theo em cú đỳng khụng?Vỡ sao?



cos

1) 2) Khi z=0 thỡ ,nhưng acgumen của z khụng xỏc định

(đụi khi coi acgumen của 0 là một số thực tựy ý và viết 0  0 (cos   i sin  )

0



 r z

3)Trong dạng lượng giỏc của số phức cần chỳ ý r > 0

) sin

Qua bài học ta cần ghi nhớ :

- Khái niệm acgumen của số phức z khác 0 Cách tìm acgumen của số phức.

-Dạng lượng giác của số phức , cách tìm dạng lượng giác của số phức khi cho dạng đại số của số phức

 cos

3)



 sin

2)

) sin

1)

Mệnh đề sau đúng hay sai:

Đ S

Đ S

Đ S

) sin (cos  i 

r

S S S

H2: Cho (r>0), tìm môđun và một acgumen của

1

z

1

) sin (cos  i 

r

Viết dạng lượng giác của số phức sau:

5

tan

8

5 tan 



















5

sin(

) 5

cos(

5 cos

1 5

tan





i i





















8

7 sin 8

7 cos 8

5 cos

1 8

5





i i

B.