Tài liệu Các bài toán dạng lượng giác của số phức (Bài tập và hướng dẫn giải) doc

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 BTVN NGÀY 23-03 Dạng lượng giác của số phức. Bài 1 : Cho số phức z có modul bằng 1 và ϕ là 1 acgument của nó: Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau: 2 2 1 / 2 / (sin 0) 2 3 / ( os 0) 2 a z b z z c z z c ϕ ϕ − − ≠ + ≠ Bài 2 : Tính: ( ) ( ) ( ) 5 10 10 1 3 1 3 i i z i − + = − − Bài 3 : Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng: 1 3z z i − = − và iz có một acgument là π/6. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 Đối với các bài toán về số phức, thông thường cách giải gọi số phức z=a+bi (a, b thực) và coi i như 1 tham số trong bài toán thực sau khi đưa về đơn giản ta lại giải bài toán phức. Đây được coi như phương pháp vạn năng nhất cho mọi bài. Sau này vào Đại học các bạn sẽ làm quen với một môn đi sâu vào nghiên cứu số phức như đạo hàm, nguyên hàm như số thực…là môn hàm số phức. Chúc các bạn học tốt! BTVN NGÀY 21-03 Các phép tính về Số phức và Modul của số phức. Bài 1 : Tìm số phức z nếu: ( ) 2 3 1i z z + = − Giải: Ta có: 1 3 1 1 3 (1 3 ) 1 1 3 10 10 10 i z i z i i − − + = − ⇔ = = = − + + Bài 2 : Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M thõa mãn một trong các điều kiện sau: / 1 2 / 2 2 / 1 1 2 a z i b z z c z i − + = + > − ≤ + − ≤ TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 Giải: a/ Ta thấy : M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A(1;-1) là điểm biểu diễn số phức z= 1-i . Theo giả thiết ta có: MA=2. Vậy tập hợp những điểm M chính là đường tròn tâm A(1;-1) bán kính là R=2. b/ Ta có: 2+z =z - (-2) Ta thấy : M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A(-2;0) là điểm biểu diễn số phức z= -2 , B(2;0) là điểm biểu diễn số phức z= 2. Dựa vào giải thiết ta có: MA>MB => M(nằm bên phải) đường trung trực (x=0) của A và B. Hay x>0. c/ Ta có: 1 ( 1 )z i z i+ − = − − + Ta thấy : M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A(-1;1) là điểm biểu diễn số phức z= -1+i. Ta có: 1 2MA ≤ ≤ . Vậy M thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi 2 đường tròn tâm A(-1;1) bán kính lần lượt là 1 và 2. Bài 3 : Xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thõa mãn một trong các điều kiện sau. ( ) 2 2 / 3 4 / 4 a z z b z z + + = − = TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 Giải: Đặt: z=a+bi a/ Ta có: 1 2 4 2 3 3 2 3 4 7 2 a z z a z z a a  =  + = + ⇔ + + = + = ⇔   = −   Vậy M có thể nằm trên đường thẳng x=1/2 hoặc x=7/2 b/ Ta có: ( ) 2 2 1 4 4 4 1 M xy z z abi ab M xy ∈ =  − = = = ⇔  ∈ = −  Bài 4 : Xác định tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thõa điều kiện sau: 3 z z i = − Giải: Gọi z =a+bi ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( 1) 9 2 1 8 8 18 9 0 9 81 9 9 9 9 3 8 8( ) 0 8 8( ) ( ) 4 64 8 8 8 8 8 a bi a b i a b a b b a b b a b b a b a b + = + − ⇔ + = + − + ⇔ + − + =   ⇔ + − + − = ⇔ + − = ⇔ + − =  ÷   Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z chính là đường tròn tâm I(0;9/8) bán kính R=3/8. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 Bài 5 : Tìm tất cả những điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho: z i z i + + là số thực. Giải: Gọi z =a+bi ta có: [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 0 ( 1) (1 ) ( 1) (1 ) 0 (1 ) ( 1) ( 1) 0 0 ( ; ) (0;1) a b abi ab a b i a b i a b i a b i a b i a b a b a b a b   + − + = + + − −  + +   = = ∈ ⇔  + − ≠ + − + − + −   =    ⇔ =    ≠  ¡ Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z chính là tất cả những điểm nằm trên 2 trục tọa độ bỏ đi điểm (0;1) Bài 6: Tính giá trị của biểu thức: 5 7 9 2009 2 4 6 7 2010 . ( 1) . i i i i P i i i i i + + + + = = − + + + Giải: TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 ( ) ( ) ( ) ( ) 1003 2 5 7 9 2009 5 2 4 2004 2 4 5 6 2010 2 3 4 5 6 2010 2 3 2011 1 . 1 . . 1 . 1 . 1 1 (1 1 ) 1 1 1 1 1 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i P i i − + + + + = + + + + = = − + + + + = + + + + + + − + + − = − − − = + − ⇒ = = + + BTVN NGÀY 23-03 Dạng lượng giác của số phức. Bài 1 : Cho số phức z có modul bằng 1 và ϕ là 1 acgument của nó: Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau: 2 2 1 / 2 / (sin 0) 2 3 / ( os 0) 2 a z b z z c z z c ϕ ϕ − − ≠ + ≠ Giải: Số phức z có thể viết dưới dạng: os isinz c ϕ ϕ = + TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 / os isin os isin 2 os isin 2 2 2 1 os isin 2 a c c c z c acgument ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ π ϕ π − = − = − + = − − =    − + + + ⇒ = +    ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 / os isin os isin 2sin sin 2 os sin 2 2 2 2 3 3 ê'u: sin 0 2sin sin os 2 2 2 2 3 3 3 2sin sin os 2 2 2 2 2 2 2 3 ê'u: sin 0 2sin sin 2 2 2 b z z c c c i N z z ic ic Acgument N z z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ π ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ − = + − + = − +   + > ⇒ − = − +  ÷         = + + + ⇒ = +  ÷  ÷  ÷       + < ⇒ − = − 3 os 2 3 3 3 2sin sin os 2 2 2 2 2 2 2 ic ic Acgument ϕ ϕ ϕ π ϕ π ϕ π   −  ÷         = − − + − ⇒ = −  ÷  ÷  ÷       TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 / os isin os isin 2 os os 2 os sin 2 2 2 2 3 3 ê'u: os 0 2 os os sin 2 2 2 2 2 3 3 ê'u: os 0 2 os os sin 2 2 2 2 2 c z z c c c c c i N c z z c c i Acgument N c z z c c i Acgument ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π ϕ π + = + + − = +   + > ⇒ + = +  ÷   ⇒ =       + < ⇒ + = − + + +  ÷  ÷  ÷       ⇒ = + Bài 2 : Tính: ( ) ( ) ( ) 5 10 10 1 3 1 3 i i z i − + = − − Giải: TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 ( ) 10 5 10 5 10 10 10 10 7 7 2 os sin .2 os sin 4 4 6 6 4 4 2 os sin 3 3 35 35 5 5 2 os sin os sin 2 2 6 6 40 40 2 os sin 3 3 55 55 os sin 3 3 os5 si 40 40 os sin 3 3 c i c i z c i c i c i c i c i c i c i π π π π π π π π π π π π π π π π π     + +  ÷  ÷     =   +  ÷      + +  ÷ ÷    =   +  ÷     +  ÷   = = +   +  ÷   n5 1 π = − Bài 3 : Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng: 1 3z z i − = − và iz có một acgument là π/6. Giải: 2 2 2 2 2 2 ri os sin os( ) isin( ) 2 2 2 6 3 ( os isin ) 1 3 3 3 ( i )= i 1 1 1 2 2 2 2 2 4 3 3 1 3 3 4 2 1 3 1 os isin 3 3 iz c r r c z r c r r r r r iz r r r r z i r r iz z i r z c π π π π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π   = + = − + − ⇒ − = ⇒ =     = +   = + + ⇒ − = − + = − +  ÷     − = + − = − +  ÷   ⇒ − = − ⇔ = ⇒ = + TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 BTVN NGÀY 25-03 Giải phương trình trên tập số phức. Bài 1 : Giải phương trình: 2 ( os isin ) os sin 0z c z ic ϕ ϕ ϕ ϕ − + + = Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( os i sin ) 4 os sin os2 isin 2 2 sin 2 os2 isin 2 os -2 +isin -2 os - +isin - 1 ( os isin ) os - +isin - isin 2 1 ( os isin ) os - +isin - os 2 c ic c i c c c z c c z c c c ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∆ = + − = + − = − = =    = + − =    ⇒     = + + =     Bài 2 : Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6 2 3 6 3 0(*)z z z z z z + + + + + − = Giải: 2 2 2 : 3 6 (*) 2 3 0 ( )( 3 ) 0 3 Coi z z u u z u zu z u z u z u z + + = =  ⇒ ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔  = −  [...]... + 3 z + 6 = −3 z  z + 6z + 6 = 0    z 4 = −3 +  Bài 3: Giải phương trình: z 4 − 4 z 3 + 7 z 2 − 16 z + 12 = 0 Giải: Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ta có: z 4 − 4 z 3 + 7 z 2 − 16 z + 12 = 0 ⇔ ( z − 1)( z − 3)( z 2 + 4) = 0 z = 1 ⇔ z = 3   z = ±2i  Bài 4: Giải hệ phương trình: z − w = i  iz − w = 1 Giải: Coi i như 1 tham số ta có: 5 5 3 3 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày... HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 D= 1 −1 i −1 Dz = i 1 Dw = 1 i = −1 + i D  z= = −1  Dx −1  = −i + 1 ⇒  −1  w = D = −1 − i  Dy  i =2 1 Bài 5: Giải hệ phương trình:  z − w − zw = 8  2 2  z + w = −1 Giải:  z − w − zw = 8 u − 8 = v u = z − w u − v = 8  ⇔ Coi :  ⇒ 2 ⇔ 2 2  v = zw ( z − w ) + 2 zw = −1 u + 2v = −1 u + 2u −... ⇔ ( z; w) =  3 ± 14 ; 3 m 14   ÷  2   v = −5 2 ÷    ………………….Hết………………… TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang . BTVN NGÀY 23-03 Dạng lượng giác của số phức. Bài 1 : Cho số phức z có modul bằng 1 và ϕ là 1 acgument của nó: Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau: 2 2. BTVN NGÀY 23-03 Dạng lượng giác của số phức. Bài 1 : Cho số phức z có modul bằng 1 và ϕ là 1 acgument của nó: Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau: 2 2