Tài liệu Các bài toán về sự tương giao giữa conic với các đường khác (Bài tập và hướng dẫn giải) docx

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 04 năm 2010 BTVN NGÀY 29-04 Bài toán về sự tương giao giữa cônic với các đường khác. Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Hypebol: 2 2 ( ) : 1 2 3 x y H − = và điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (H) tại A và B sao cho m là trung điểm của AB Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho: 2 2 2 2 ( ) : 1 à ( ) : 1 9 1 1 4 x y x y Elip E v Hypebol H + = − = Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H). Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) và đường thẳng d có phương trình: 2 ( ) : 2 ; : 2 2 1 0P y x d my x = − + = a) CMR: Với mọi m, d luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại 2 điểm M, N phân biệt. b) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 27-04 Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip: 2 2 ( ) : 1 8 4 x y E + = F 1 ; F 2 lần lượt là tiêu điểm phải và trái của (E). Tìm điểm M trên (E) sao cho MF 1 - MF 2 =2 HDG: Gọi M(x 0 ;y 0 ) Vì MF 1 - MF 2 =2 nên: 0 0 0 2 2 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 4(1 ) 4(1 ) 3 3 8 4 ( 2; 3); ( 2; 3) cx cx a a a x a a c x y y M M     + − − = ⇔ = = =  ÷  ÷     ⇒ = − = − = ⇒ = ± ⇒ − Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy hãy lập phương trình chính tắc cuả Elip (E) có độ dài trục lớn là 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm cùng nằm trên một đường tròn. HDG: Do 2 2 4 2 2 2 8a a a = ⇒ = ⇒ = Ví các đỉnh của trục nhỏ và 2 tiêu điểm cùng nằm trên một đường tròn nên : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 ( ) : 1 8 4 b c x y b b E a b c  =  ⇒ = ⇒ = ⇒ + =  = +   Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) có phương trình: y 2 = x và điểm I(0;2). Tìm tọa độ 2 điểm M,N trên (P) sao cho: 4IM IN = uuur uur HDG: Gọi: Page 2 of 5 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 2 2 2 2 2 2 ( ; 2) ( ; ) 4 ( ) ( ; 2) 2 4 8 ( ; ) 4 2 6 (36;6) 4 6 3 (9;3) 2 2 (4; 2) 4 6 1 (1;1) IM m m M m m m n P IN m m m n N n n IM IN m n m M m n n N m n m M m n n N  −    =   ∈ ⇒ − ⇒    − = −     =    = = −    ⇔ ⇔     = − =     ⇔  = − = − −     ⇔ ⇔    = − =      uuur uur uuur uur • BTVN NGÀY 29-04 Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Hypebol: 2 2 ( ) : 1 2 3 x y H − = và điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (H) tại A và B sao cho M là trung điểm của AB. HDG: Xét đường thẳng đi qua M song song với Oy là d: x=2 thì: 1,2 ( ) (2; 3)d H M ∩ = ± nên trung điểm I (2;0) khác M (loại ) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: y=k(x-2)+1 hay y= kx+1-2k Hoành độ giao điểm của đường thẳng này với (H) là nghiệm của phương trình: 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2( 1 2 ) 6 (3 2 ) 4 (2 1) 2(2 1) 6 0( 0) 4 (2 1) à 4 3 2 3 3 5 3 5 0 x kx k x k k k x k k k M l trung diem x x k k y x hay x y − + − = ⇔ − + − − − − = ∆ > − ⇒ + = = ⇔ = − ⇒ = − − − = Bài 5: Page 3 of 5 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho: 2 2 2 2 ( ) : 1 à ( ) : 1 9 1 1 4 x y x y Elip E v Hypebol H + = − = Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H). HDG: Đặt: 2 2 2 2 45 1 77 37 9 32 37 1 37 4 77 ( ) 37 a a b x a a b b y b b a x y C   = + =    =    ⇒ ⇔ ⇒ + =    =     = − =     ⇒ + = Vậy quỹ tích giao điểm của (E) và (H) chính là đường tròn (C). Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) và đường thẳng d có phương trình: 2 ( ) : 2 ; : 2 2 1 0P y x d my x = − + = c) CMR: Với mọi m, d luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại 2 điểm M, N phân biệt. d) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi. HDG: a) Vì: 2 1 1 4 ( ;0) 2 2 y px p F = ⇒ = ⇒ . Thay vào ta có: 1 2 .0 2. 1 0 2 m F d− + = ⇒ ∈ Tung độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình: 2 2 2 2 1 2 1 0 ' 1 1 0 ( ) , ( ) y my y my m P d M N M N = + ⇔ − − = ∆ = + ≥ > ⇒ ∩ = ≠ b) Vì M,N thuộc d nên trung điểm I của chúng cũng thuộc d nên: 2 2 1 0 I I my x − + = Page 4 of 5 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Nhưng: 2 1 2 1 1 2 2 2 I I I I I I x my y y y m x y m y  = + +  = = ⇒ ⇒ = +   =  Vậy quỹ tích trung điểm I là parabol có phương trình: 2 1 2 x y = + • BTVN NGÀY 03-05 Bài 1: Cho đường tròn: 2 2 ( ) : ( 2) 36C x y + + = và điểm F 2 (2;0). Xét các đường tròn tâm M đi qua F 2 và tiếp xúc với (C). Tìm quỹ tích tâm M HDG: Trước hết ta xét vị trí tương đối giữa F 2 và (C), ta có: 2 IF 4 6R = < = nên F 2 nằm bên trong đường tròn và sự tiếp xúc nói đến ở đây chính là tiếp xúc trong.Ta có: 2 6MF MI MI MK IK R + = + = = = Vậy quỹ tích điểm M chính là Elip có 2 tiêu điểm là I và K ( K là điểm tiếp xúc của 2 đường tròn). Trục thực có độ dài: 2a=6 nên a=3. Nhưng: F 2 (2;0) nên c=2. Và ta có: b 2 =5 hay Elip có PT là: 2 2 1 9 5 x y + = ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 5 of 5 . NGÀY 29-04 Bài toán về sự tương giao giữa cônic với các đường khác. Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Hypebol: 2 2 ( ) : 1 2 3 x y H − = và điểm M(2;1) H + = − = Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H). Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) và đường thẳng d có phương trình: