Bài giảng số 4. Dạng lượng giác của số phức và một vài ứng dụng

BÀI GIẢNG SỐ 04: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG A.. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z.. Số đo radian của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là

BÀI GIẢNG SỐ 04: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Số phức dưới dạng lượng giác

Acgumen của số phức z 0: Cho số phức z 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z

Số đo ( radian ) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

Chú ý:

1 Nếu  là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng k2 , kZ

2 Hai số phức z và lz (z 0và l là số thực dương ) có cùng acgumen

Dạng lượng giác của số phức: Dạng zrcosisin , trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z 0 Còn dạng za bi a b  , R được gọi là dạng đại số của số phức z

Nhận xét: Để tìm dạng lượng giác rcosisin của số phứcza bi a b  , Rkhác 0 cho trước, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm r: đó là môđun của z, 2 2

r a b ; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức

Bước 2: Tìm  : đó là acgumen của z,  là số thực sao cho cos a, sin b

   ; số  đó cũng là số đo

một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM

Chú ý:

1 z  1 zcosisin   R

2 Khi z = 0 thì z  r 0, nhưng acgumen của z không xác định ( đôi khi coi acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 00 cos isin )

3 Cần để ý đồi hỏi r > 0 trong dạng lượng giác rcosisin  của số phức z 0

2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu zrcosisin  và z'r' cos ' is   in ' với r r , ' 0thì:

 zz'rr' cos( + ') is (    in   ')

 cos ' +i sin  '

' '

z  r      , r’ > 0

Chú ý: Nếu các điểm M M’ biểu diễn theo thứ tự các số phức z, z’ khác 0 thì acgumen của

'

z

z là số đo lượng giác tia đầu OM’, tia cuối OM

3 Công thức Moivre và ứng dụng

a Công thức Moivre: Với mọi số nguyên dương n, ta có:

r(cosisin )n r ncosni sinn 

Khi r = 1, ta được: (cosisin )n cosni sinn 

b Ứng dụng vào lượng giác:

Ta có: (cosisin )3 cos3i sin 3

Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta được:

(cosisin ) cos3cos  isin 3cos i sin sin 

Từ đó, suy ra:

sin 3 3cos sin sin 3sin 4sin

c Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức zrcosisin , r > 0 có hai căn bậc hai là:

cos sin

r  i 



B CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 Dạng 1: Agumen của số phức

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa về acgumen của số phức

Ví dụ: Tìm acgumen của số phức z, biết:

a z = - 1 + i

b zcosisin  c z sinicos

Bài giải:

a Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta biến đổi:

1 2 2 2 2 cos3 sin3

3

4





   acgumen của z bằng 3 2 ,





1 cos =

3 2

sin

2



















 acgumen của -1 + i bằng 3 2 ,





b Ta biến đổi: zcosisin  cos(- ) is (  in )

 acgumen của z bằng   k2 , kZ

c Ta biến đổi: z sinicos cos - - is

 acgumen của z bằng

2



   k2 , kZ

Dạng 2: Dạng lượng giác của số phúc

Phương pháp: Sử dụng kiến thức được trình bày trong nhận xét của phần 1

Tuy nhiên, trong thực tế để tìm dạng lượng giác của số phức za bi chúng ta sử dụng phép biến đổi:

Ví dụ 1:

a Giả sử số phức z 0 có dạng lượng giác zrcosisin  Hãy tìm dạng lượng giác của các số

phức z; z; ;1 kz k R 

z



b Xét riêng trường hợp z 1 i 3

Bài giải:

a Ta lần lượt có:

 Số phức z có môdun r và acgumen bằng  nên có dạng:

zrcos(- ) is (  in )rcosisin 

 Số phức –z có môdun r và acgumen bằng   nên có dạng:

 z r(cos(  ) is ( in   ) rcosi sin

 Số phức 1 1 .z

z  zz có môdun 2

.r

r r và acgumen bằng  nên có dạng:

1 1cos isin 

r

 Số phức kz có môdun kz  k r và acgumen bằng  (k > 0) và là   (k < 0) nên có dạng:

kz



 



b Với z 1 i 3, ta có:

Môdun r  1 3  2

Acgumen  thỏa mãn cos =1,sin 3

3



 

2 cos is

Lưu ý: Ta có thể sử dụng ngay phép biến đổi:

Ví dụ 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

a 2i 3i b 1

22i c zsin icos

Bài giải:

a Ta có: 2  3  2 2 3 4 1 3 4 cos is

i

i

Ví dụ 3: Cho số phức 4 4

  Tìm số phức x sao cho x3 = z

Bài giải:

Đặt xr(cosi sin ) khi đó ta có

(cos 3 sin 3 ) 3(cos sin )

k



3 4 4

Dạng 3: Các ứng dụng

Ví dụ 1: Tính sin 4 và cos4 theo các lũy thừa của sin và cos

Bài giải:

Ta có: (cosisin )4 cos4i sin 4

Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc bốn ta được:

(cosisin ) cos4cos isin 6cos i sin 4cos ( sin ) i  sin 

Từ đó, suy ra:

sin 4 4cos sin 4 os sinc

Ví dụ 2: Tính

a  3 i 6 b

2004

1

i i



  c

21

5 3 3

1 2 3

i i

Bài giải:

         

6 6

              

cos sin

i

2004 2004 2004

1002

i

i



1 2 3

i

i



     

     

5 3 3

1 2 3

i

i

              

Ví dụ 3: a Tìm phần thực, phần ảo của 1 i 2010

b Khai triển 1 i 2010 theo nhị thức Newton

c Tính C2010o C22010C42010 C20102010

Bài giải:

Phần thực: 0

Phần ảo: 21005sin1005

2



1i Co C iC i C i C i  C

2010 2010 2010 2010 2010 2010

o

2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010

o

i

c So sánh phần thực và phần ảo của 1 i 2010, ta có:

2010 2010 2010 2010

o

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm acgumen của mỗi số phức sau:

a 2 2 3i  b cos sin

 c sin cos

 

ĐS: a 2 2 ,





  b 2 ,





   c 5 2 ,





  

Bài 2: Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức z z; ; z;1

z

 , biết:

a z 1 i c z 3 i

ĐS: a 2 cos is

 ,z 2 cos4- isin4

 , z 2 cos4- isin4

1 1 cos + is

z

b 2 cos is

 ,z 2 cos6- isin6

 , z 2 cos6- isin6

1 1 cos + is

z

Bài 3: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z22 3iz  Viết dạng lượng giác của z4 0 1

và z2 ĐS: 1 2 cos is

z   in  

2 2 cos2 is 2

Bài 4: Viết các số sau dưới dạng lượng giác

3 ; 1i 3;  3i1i 3 ; 3 ;

i i





3

i i





z     in  

     

, 2 cos5 is 5

4 cos is

 ,zcosisin ,zcosisin 

Bài 5: Cho z 6 2 i 6 2

a Viết z2 dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác

b Từ câu a hãy suy ra dạng lượng giác của z

ĐS: a z2 8 3 8 i, 2 16 cos is

b 4 cos is

Bài 6: Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 1 i 19 và công thức Moivre để tính

19o 19 19 19 19

C C C  C C ĐS: 216

Bài 7: Tính

a  3i6 b

2000

1

i i



  c

3

5 3 3

1 2 3

i i

ĐS: a 26 , b

2000 1 2

c 8