chuyên đề 2 số phức

Chuyênđềluyệnthiđạihọc  LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   1 CHUYÊNĐỀ2. KIẾNTHỨCCƠBẢN: 1. Dạngđạisố (, )zabiab=+ Î  +Phầnthực: Re( )za=  +Phầnảo: Im( )zb=  2. Sốphứcliênhợp: +Cho (, )zabiab=+ Î .Khiđósốphứczabi=-đglsốphứcliênhợpvới z  +Tínhchất: zz=  12 12 zz zz+=+  12 12 zz zz=  11 2 2 zz z z æö ÷ ç ÷ ç = ÷ ç ÷ ÷ ç èø  22 2 Re( ); 2 Im( ); . Re ( ) Im ( )zz zzz zzz z z+= -= = +  3. Môđunsốphức +Cho (, )zabiab=+ Î .Môđuncủa z là 22 zab=+  +Tínhchất: 2 .zzz=  zz=  1 1 12 1 1 2 2 2 2 ,:. .; z z zz C zz z z z z "Î = =  12 1 2 1 2 1 2 1 2 ,: ;zz C z z z z z z z z"Î +£+ -£- 4. Dạnglượnggiáccủasốphức 22 (cos sin )zr i r z a bjj=+ ==+  Chuyênđềluyệnthiđạihọc  LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   2 +Tínhchất:Với 11 1 122 2 2 (cos sin ); (cos sin ); (cos sin ) zr i z r i z r i jj j j j j =+ = + = +  Tacó: 1212 12 12 (cos( ) sin( )) zz rr i jj jj =+++  () 11 12 12 2 22 cos( ) sin( ) ( 0) zr iz zr jj jj=-+-¹  (cos( ) sin( )) nn zr n injj=+  MỘTSỐDẠNGTOÁNTHƯỜNGGẶP Dạng1.Tìmphầnthựcphầnảosốphức Bàitập1.Tìmphầnthực,phầnảocácsốphứcsau: a) (1 3 )(1 )zi i=- +  b) 13 1 i z i - = +  c) 1 22 z i = +   d) 50 49 (1 ) (3 ) i z i + = +  e) () 12 9 (1 ) 3 i z i + = +  f) () 3 cos sin 1 3 33 ziii pp æö ÷ ç ÷ =- + ç ÷ ç ÷ ç èø Bàitập2.Chosốphức 7 43 m i z i æö + ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç - èø .Tìm m nguyêndươngđể z làsốthuầnthực,thuần ảo. Hướngdẫn Tacó:  () 2cos sin 44 m m zi pp æö ÷ ç ÷ =+ ç ÷ ç ÷ ç èø  Khiđótacó: + z thuầnthực sin 0 4 4 m mk p ==với 1,2, k =  + z thuầnảo cos 0 4 2 4 m mk p ==+với 1, 2, . . .k =    Chuyênđềluyệnthiđạihọc  LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   3 Bàitập3.(TN_2010) a) Cho hai sốphức 12 25; 34 zizi=+ =- . Xác định phần thực, phần ảo của số phức 12 . zz  b) Cho hai số phức 12 12; 23 zizi=+ =- . Xác định phần thực, phần ảo của số phức 12 zz-  Bàitập4.(ĐHB_2011).Tìmphầnthực,phầnảocủasốphức 3 13 1 i z i æö +÷ ç ÷ ç = ÷ ç ÷ ç + ÷ ç èø  Hướngdẫn:Tacó 8 cos sin 2 2 44 22 zii pp æö ÷ ç ÷ =+=+ ç ÷ ç ÷ ç èø  Bàitập5.(ĐHA_2010).Tìmphầnthực,phầnảocủasốphức ()() 2 212zii=+ -  Bàitập6.(CĐ_A,B_2009).Tìmphầnthực,phầnảocủasốphức z biết: 2 (1 ) (2 ) 8 (1 2 )iiz i iz+-=+++  Hướngdẫn:Tacó 8 23 21 i zi i + ==- +  Dạng2.Giảiphươngtrìnhtrêntậpsốphức Bàitập7.Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức a) 2 2100zz++=  b) 2 (2 1) 1 5 0ziz i+++-=  c) 437 2 zi zi zi =- -  d) 2 (2 3 ) (4 3) 1 0iz i z i-+-+-=  e) 2 (1 ) 2(1 2 ) 2 0iz iz +-=  f) 22 2 ()4()120zz zz++ +-=  g) 43 2 1 10 2 zz zz-+ ++= h) 5432 10zzzzz+++++= Hướngdẫn a. Tacó 9D=- nênphươngtrìnhcóhainghiệmlà 12 13; 13 zizi=- - =- +  b. Tacó 22 (2 1) 4(1 5 ) 7 24 (3 4 )iiiiD= + - - =- + = +  (3 4 ) i + làmộtcănbậchaicủa D  Vậyphươngtrìnhcóhainghiệmlà 12 1; 23 ziz i=+ =  c. Điềukiệnzi¹ .Khiđóphươngtrìnhtươngđươngvới: 2 (4 3 ) 1 7 0zizi-+ ++=  Ta có 22 (4 3 ) 4(1 7 ) 3 4 (2 )iiiiD= + - + = - = - . Nên phương trình có hai nghiệm là 12 3; 12 ziz i=+ =+ (thỏamãnđiềukiện) Chuyênđềluyệnthiđạihọc  LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   4 d. Tacó (2 3 ) (4 3) (1 ) 0 ii i -+-+-= nênphươngtrìnhcómộtnghiệm 1 1 z = vàmột nghiệmlà 2 115 23 13 ci i z ai -+ == =- -  f. Đặt 2 tz z=+ ,tacó 2 6 4120 2 t tt t é =- ê +-= ê = ê ë  Vậyphươngtrìnhđãchotươngđươngvới 2 2 123 60 2 20 1; 2 i zz z zz zz é - é ê ++= = ê ê  ê ê +-= ê ê ==- ë ë  g. Vì 0z = khôngphảilànghiệmcủaphươngtrìnhnêntacó: 2 43 2 1115 10 0 22 zz zz z z zz æöæö ÷÷ çç ÷÷ -+ ++=- += çç ÷÷ çç ÷÷ çç èøèø  (1) Đặt 1 tz z =-thìpt(1)códạng 22 13 5 2 02 230 13 2 2 i t tt t t i t é + ê = ê -+= -+= ê - ê = ê ë  Bàitập8.(TN_2011).Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức a) (1 ) (2 ) 4 5 iz i i -+-=-  b) 2 ()40zi-+=  Bàitập9.(TN_2009).Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức a) 2 8410zz-+=  b) 2 210ziz-+=   Dạng3.Tìmsốphứcthỏamãnmộtđiềukiệnchotrước Bàitập10.Tìmsốphức z saocho 5z = vàphầnthựccủa z bằng2lầnphầnảo Hướngdẫn +Giảsử (, ) zabiab =+ Î   +Theogiảthiếttacó: 22 2; 1 5 2; 1 2 ab ab ab ab ì é ï =- =- += ï ï ê  í ê ï == = ê ï ë ï î    Chuyênđềluyệnthiđạihọc  LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   5 Bàitập11.Tìmsốphức z thỏamãn: a) 2 1 ziz zi z ì ï -= ï ï í ï -= - ï ï î    b) (2 ) 10 .25 zi zz ì ï -+= ï ï í ï = ï ï î  c) 2 844zz z++ =   d) () 2 1 2 (1) 5 z zi zzi ì ï + ï = ï ï ï + í ï ï +-= ï ï ï î  Hướngdẫn a) Gọi (, ) zabiab =+ Î  ,tacó: () ()() 2 222 22 22 21 1 1 11 ab ab a zi b ab a b ì ï ì ï ï +- = + = ï ï =+ íí ïï = +- = - + ïï î ï î  b) Gọi (, ) zabiab =+ Î  ,tacó: ()() 22 22 3; 4 3 4 2110 5; 0 5 25 ab z i ab ab z ab ì ï éé == =+ ï -+-= ï êê  í êê ï == = += êê ï ëë ï î  c) Gọi (, ) zabiab =+ Î  ,tacó: 22 22 22 22 844 844 4 280 0 ab a ab ab a ab a ab b b ì ï -+ + + = ï ì ï ï -+ + + = ï ï ïï é  = íí ê ïï -= ïï ê ï î ï = ï ê ë ï î  Giảihệtađược4sốphứcthỏamãnlà: 9 257 11; ; 4 3 2 zz zi -+ =- = =   d) Gọi (, ) zabiab =+ Î  ,tacó: 2 122 2 z zziab zi + = += + = +  Mặtkhác: () () () 22 22 (1) 5 1 . 1 5zzi a bab+-=++ ++=  Do ab= nêntacó () 2 2 222 15 11 azi aa azi éé =- =- - êê ++=  êê ==+ êê ëë    Chuyờnluynthiihc LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 6 Bitp12.(A_2011)Tỡmsphc z thamón: 2 2 zzz=+ Hngdn:Gi (, ) zabiab =+ ẻ ,tacú: 22 2 2 2 22222 2 2 ab aba zzzababiababi ab b ỡ ù -= ++ ù ù =+-+ =++- ớ ù =- ù ù ợ Giihtactútaccỏcsphcsauthamón: 11 0; 22 zz i==- Bitp13.(B_2011)Tỡmsphc z thamón: 53 10 i z z + = Hngdn:Gi (, ) zabiab =+ ẻ ,tacú: () () 22 1 53 2 10 5 3 0 3 a i a zababi z b ỡ ộ ù =- ù ờ ù + ù ờ ù = =+ += ớ ờ ở ù ù ù =- ù ù ợ Bitp14.Tỡmsphc z thamón: 12 5 83 4 1 8 z zi z z ỡ ù - ù = ù ù - ù ù ớ ù - ù = ù ù + ù ù ợ ỏps: 68; 617 ziz i =+ =+ Bitp15.Tỡmsphc z saocho 1 3 zi zi - = + v 1z + cúmtacgumenbng 6 p - Hngdn:Gi (, ) zabiab =+ ẻ ,tacú: +T () () 22 22 13 3 1(1) 1 3 a zi ab ab zaiz a i b zi ỡ ù ẻ - ù = + - = + + =-+= + - ớ ù =- + ù ợ +Vỡ 1z + cúmtacgumenbng 6 p - nờn 1z + luụncúdnglnggiỏc: 3 1cos sin 6622 rr zr i i pp ộự ổử ổử ữữ ỗỗ ờỳ ữữ += - + - = - ỗỗ ữữ ờỳ ỗỗ ữữ ỗỗ ốứ ốứ ờỳ ởỷ Chuyờnluynthiihc LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 7 +Doútacú 3 1 2 2 23 1 23 1 1 2 r a r zi rx ỡ ù ù ỡ ù ù += = ù ù ùù = ớớ ùù =- ùù ù ợ -=- ù ù ù ợ Dng4.Tỡmtphpimbiudinsphctrờnmtphngta Bitp16.Tỡmtphpimtrongmtphngphcbiudincỏcsphc z thamón: a) 35zz++ = b) 12zz i-+-= c) () () 2 zi z-+ lsthctựyý d) () () 2 zi z-+ lsotựyý e) 22zi zz i-= -+ f) 2 2 4zz-= Hngdn:t (, )zxyixy zxyi=+ ẻ =- ,tacú: a) 1 35 2 35 4 x zz x x ộ = ờ ++ = + = ờ =- ờ ở TphpcỏcimthamónYCBTnmtrờnhaingthng 1; 4 xx ==- b) () 2 12 121213 2 zz i y y -+-= + - = = c) () () () ()()() 22121zi z xx y y i x y xy ộự -+=-+-+ ờỳ ởỷ () () ()() 1 22101 2 zi z x y xy y x- +ẻ- ==- + d) () () () () () 2 2 15 22101 24 zi z i xx y y x y ổử ữ ỗ ữ - +ẻ - - -=- +- = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ Tphpimlngtrũntõm 1 1; 2 I ổử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ ,bỏnkớnh 5 2 R = . e) () 2 22 1 2211 4 zi zz i x y y y x-= -+ + - = - = f) 2 2 1 44 4 1 1 y x zz ixy xy y x ộ ờ = ờ -= = = ờ ờ =- ờ ở Bitp17.(D_2009)Tỡmtphpcỏcimbiudinsphc z bitrng: () 34 2zi = Hngdn:t (, ) zxyixy =+ ẻ ,tacú: Chuyênđềluyệnthiđạihọc  LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   8 () ()() ()() 22 34 2 3 4 2 3 4 4zi xyi x y = -++ = - ++ =  Tậphợpđiểmlàđườngtròntâm () 3; 4I - ,bánkính 2R =  Bàitập18.Tìmtậphợpcácđiểmbiểudiễnsốphức z biếtrằng: a) 2ziz+=-    b) 4410zizi-++=  Hướngdẫn:Đặt (, ) zxyixy =+ Î  ,tacó: a) () () 22 22 214230zizxyyxy xy+=- ++= +-++=  b) 22 4410 1 925 xy zizi-++= + =  Bàit ập19.Tìmtậphợpcácđiểmbiểudiễnsốphức z saocho 2 2 z z - + cómộtacgument bằng 3 p . Hướngdẫn:Đặt (, ) zxyixy =+ Î  ,tacó: () () () () 22 22 22 2 244 2 2 22 xyi zxyy i z xyi xyxy -+ -+- == + + ++ -+ -+  Để 2 2 z z - + cómộtacgumentbằng 3 p thì: () () () () 22 22 22 22 2 2 22 2 2 44 cos sin 33 22 4 0 2 2 4 3 43 4 2 2 xy y ir i xyxy xy r y xy y y r xy xy pp æö +- ÷ ç ÷ +=+ ç ÷ ç ÷ ç èø -+ -+ ì ï +- ï = ï ì ï ï > ï ï -+ ï ï ïï  íí ïï = ïï = ïï +- ï î ï ï -+ ï ï î   22 22 2 424 4 333 y xy x y æöæö ÷÷ çç ÷÷ +-= +- = çç ÷÷ çç ÷÷ çç èøèø   Tậphợpđiểmlàđườngtròntâm 2 0; 3 I æö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç èø ,bánkính 4 3 R = nằmphíatrêntrục thực(Trục Ox )  . Î  ,tacó: () () () () 22 22 22 2 244 2 2 22 xyi zxyy i z xyi xyxy -+ -+- == + + ++ -+ -+  Để 2 2 z z - + cómộtacgumentbằng 3 p thì: () () () () 22 22 22 22 2 2 22 2 2 44 cos sin 33 22 4 0 2 2 4 3 43 4 2 2 xy.  êê ==+ êê ëë    Chuyờnluynthiihc LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 6 Bitp 12. (A _20 11)Tỡmsphc z thamón: 2 2 zzz=+ Hngdn:Gi (, ) zabiab =+ ẻ ,tacú: 22 2 2 2 222 22 2 2 ab aba zzzababiababi ab b ỡ ù -= ++ ù ù =+-+ =++- ớ ù =- ù ù ợ Giihtactútaccỏcsphcsauthamón: 11 0; 22 zz. () 2 12 121 213 2 zz i y y -+-= + - = = c) () () () ()()() 22 121 zi z xx y y i x y xy ộự -+=-+-+ ờỳ ởỷ () () ()() 1 22 101 2 zi z x y xy y x- +ẻ- ==- + d) () () () () () 2 2 15 22 101 24 zi