Bài tập theo chuyên đề. Hàm số và các bài toán liên quan - hocmai

Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BÀI TẬP VỀ NHÀ (Chuyên đề khảo sát hàm số) Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C) I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận. I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân. Câu II: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. II.2. Tiếp tuyến tại   m M C  cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB II.3. Cho điểm   0 0 M x , y    3 C . Tiếp tuyến của   3 C tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận. Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất. Câu III: Cho hàm số 2 2 2 1 3 x mx m y x m      . Tìm tham số m để hàm số có: 1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. 2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O 3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng. 4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng 10 m . 5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX. 6. Cực trị và thỏa mãn: 2 3 CD CT y y  . TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 2 of 16 Câu IV: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng   : 2 1 m d y mx m    tại 2 điểm phân biệt A, B: a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau c. Thỏa mãn điều kiện 4 . 5 OAOB    Câu V: Cho hàm số   2 3 3 2 1 x x y x      (1) a. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2 b. Tìm m để đường thẳng d:   2 3 y m x    và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB. Câu VI: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a. 2 2 3 1 log 3 x m x     b. 2 3 2 1 0 3 x m x      Câu VII: Cho hàm số   2 3 3 2 1 x x y x      (1) a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min. b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ. Câu VIII: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 3 of 16 b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 4 of 16 HDG CÁC BTVN Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C) I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận. I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân. HDG Tập xác định: 1 \ 2 D R         . Ta có:   2 3 ' 0, 2 1 y x D x       Bài 1: Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua M (2; 3) có hệ số góc k có dạng:   2 3 y k x    tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:     2 1 2 3 2 1 3 2 1 x k x x k x                 có nghiệm Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:     2 2 1 3 2 3 7 4 4 0 2 1 2 1 x x x x x x             : Vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C) Bài 2: Hàm số có: TCĐ: 1 2 x   ; TCN: 1 2 y   1 1 ; 2 2 I          Vì đường thẳng 1 2 x   không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua 1 1 ; 2 2 I         có hệ số góc k có dạng: 1 1 2 2 y k x          tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ: TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 5 of 16   2 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 x k x x k x                      có nghiệm Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:     2 1 3 1 1 3 3 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x                    :Vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C) Bài 3: Gọi   0 0 1 3 1 ; 2 4 2 M x C x          . Tiếp tuyến tại M có dạng:   0 2 2 0 0 0 0 3 3 1 3 3 1 : 4 4 2 4 2 2 d y x x x x x x x          Giả sử Ox; A d B d Oy     suy ra:   0 0 0 0 2 3 3 ;0 ; 0; 3 x x x A B x              OAB  vuông tạo O   2 0 1 2 . 3 1 2 3 OAB S OAOB x       0 0 6 6 6 3 2 2 x x        Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 3 4 6 20 40 12 6 y x      hay 3 4 6 20 40 12 6 y x      Bài 4: Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 k   . Gọi     0 0 ; M x y C  là tiếp điểm - Nếu   0 0 2 0 3 1 3 1 1 2 1 3 2 2 1 k x x x                Với 0 0 1 3 1 3 2 2 x y         tiếp tuyến là: 1 3 y x    TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 6 of 16 Với 0 0 1 3 1 3 2 2 x y         tiếp tuyến là: 1 3 y x    - Nếu     2 0 2 0 3 1 1 2 1 3 2 1 k x x           : Vô nghiệm Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: 1 3 y x    và 1 3 y x    Câu II: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. II.2. Tiếp tuyến tại   m M C  cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB II.3. Cho điểm   0 0 M x , y    3 C . Tiếp tuyến của   3 C tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận. Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất. HDG Bài 1: Gọi   0 0 ; M x y là điểm cố định của hàm số   0 0 0 1 ; m x m y m x m           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 1 0 0 0 1 m x y x x y m x y x x x y y                        Với   0; 1 M  , tiếp tuyến tại M là:   ' 0 1 1 y y x x      Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định 1 y x    tại   0; 1 M  . Bài 2: Ta có: 2 1 m y m x m      TCĐ: x m  và TCN: 1 y m   Gọi   2 ; 1 , 0 m m M a m m C a a            . Tiếp tuyến tại M có dạng:      2 2 2 2 : ' 1 1 m m m d y y a m x a m m x a m m a a a               TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 7 of 16 Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:   2 2 2 ; 1 ; ; 1 m A a m m B m m a           Nhận thấy 2 2 A B M A B M x x x y y y         M là trung điểm của AB (đpcm) Bài 3: Điểm   3 9 9 : 2 3 ;2 3 M C y M x                Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: 2 2 9 18 27 : 2y x          Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:   18 2 3;2 ; 3;2A B a          Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên   3;2 I + IAB  vuông tại I nên: 1 1 18 . . . 2 . 18 2 2 IAB S IA IB       (đvdt) + Chu vi tam giác IAB là: 2 2 18 18 2 4p IA IB AB                  2 2 18 18 2 2 2 4 12 2.2.18 12 6 2                  Dấu = xảy ra 18 2 3           6;5 M hoặc   0; 1 M  Câu III: HDG: Tập xác định:   \ D R m  TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 8 of 16 Ta có:     2 2 2 2 1 1 2 1 3 ' 1 x xm m y x m y x m x m x m              1: Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung  y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu 2 2 ( ) 2 1 g x x xm m      có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m 2 1 0 1 1 ( ) 0 m m g m            Vậy   1;1 m  2: Có: 1 2 1 ' 0 1 x x m y x x m            Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại 1 2 ; x x . Ta có:     1 1 2 2 4 2; 4 2 y y x m y y x m       Gọi 2 điểm cực trị là     1;4 2 ; 1;4 2 A m m B m m     OAB  vuông tại O . 0 OA OB OAOB               2 1 1 4 2 4 2 0 85 17 5 0 17 m m m m m m              Vậy 85 17 m   là giá trị cần tìm. 3:. Ta có:     1;4 2 ; 1;4 MA m m MB m m        A, M, B thẳng hàng       || 4 1 1 4 2 MA MB m m m m         1 6 2 3 m m     Đáp số: 1 3 m  4: TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 9 of 16 Ta có: 2 10 4 4 10 2 AB m m m      5: Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị. Vì   1 lim 3 lim 0 3 x x y x m y x m x m              là TCX của hàm số. Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là:     1 4 2 3 1 2 2 m m m h       6: Ta có: 3 4 2 3 8 2 3 3 4 CD CT m y my m               Đáp số: 3 3 ; ; 4 4 m                      Câu IV: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng   : 2 1 m d y mx m    tại 2 điểm phân biệt A, B: a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau c. Thỏa mãn điều kiện 4 . 5 OAOB    HDG: Xét phương trình hoành độ giao điểm: TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 10 of 16     2 1 2 1 5 1 2 2 0 2 1 x mx m f x mx m x m x              với 1 2 x     C cắt   m d tại 2 điểm phân biệt A, B   0 f x   có 2 nghiệm phân biệt khác 1 2  2 0 0 17 2 9 0 6 1 1 3 0 2 4 2 m m m m m f m                                   (*) a. Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị   0 f x   có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x mà 1 2 1 2 x x    0 1 1 3 0 6 2 4 2 m mf m m m                          b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là:         2 2 3 3 ' ; ' 2 1 2 1 A A B B A B k y x k y x x x             2 2 3 3 . . 0 2 1 2 1 A B A B k k x x      nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán. c. Gọi 1 2 ; x x là 2 nghiệm của f(x). Giả sử     1 1 2 2 ; 2 1 ; ; 2 1 A x mx m B x mx m     Theo viet ta có: 1 2 1 2 5 1 2 2 m x x m m x x m              Có: 5 4 . 5 . 0 4 OAOB OAOB         [...]... Câu VI: Cho hàm số y   m  1 x  m  C  m xm Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a 2x  3  1  log 2 m x3 Page 12 of 16 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 TRUNG TÂM HOCMAI. ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094 )-2 22 2-4 08 b 2x  3  2m  1  0 x3 HDG Số nghiệm của phương trình f  x   g  m  là số giao điểm của đường cong y  f  x  và đường thẳng... 2  b Vẽ đồ thị hàm số  C '  : y  2x  3 như sau: x 3   - Giữ nguyên nhánh phải của  C3  - kí hiệu là C p - Lấy  C 'p  đối xứng nhánh trái của  C3  qua trục hoành Ox   C    C 'p    C p  (Các bạn tự vẽ hình) Kết luận: m 1 phương trình vô nghiệm 2 Page 13 of 16 TRUNG TÂM HOCMAI. ONLINE Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094 )-2 22 2-4 08 1 3   m ... Vậy  5 2 5 2 2  5 2 5 2 2     b Hàm số có TCX:  : y  1 x 1 2 Gọi A    Ox  A  2; 0  ; B    Oy  B  0;1 Page 14 of 16 TRUNG TÂM HOCMAI. ONLINE Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094 )-2 22 2-4 08 Nên S OAB  Câu VIII: Cho hàm số y 1 OA.OB  1 (đvdt) 2 x 1 (C) 2x 1 a Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN b... thẳng y  g  m  song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa độ Oxy a Vẽ đồ thị hàm số  C  : y  2x  3 như sau: x 3 - Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của  C3  - kí hiệu là  Ct  - Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu   C    Ct'    Ct  Kết luận: m C  ' t (Các bạn tự vẽ hình) 1 2 phương trình vô nghiệm 1  m   ; 2  phương trình có nghiệm... 2  x  1 c Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2 d Tìm m để đường thẳng d: y  m  x  2   3 và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB a HDG Xét phương trình hoành độ giao điểm:  x 2  3x  3  m  f  x   x 2   2m  3 x  3  2m  0 ; với 2  x  1 x 1 Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt ... biệt 2  x 2  3x  3 Câu VII: Cho hàm số y  (1) 2  x  1 a Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min b Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ HDG a Ta có: y   x 2  3 x  3 1 1  x 1 2  x  1 2 2  x  1  1 1    1 1    thuộc nhánh trái, B    1;    thuộc 2 2 2  2 2 2   nhánh phải của đồ thị hàm số với   0     Gọi A   ... TÂM HOCMAI. ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094 )-2 22 2-4 08  x1 x2   mx1  2m  1 mx2  2m  1  5 0 4 2   m 2  1 x1 x2  m  2m  1 x1  x2    2m  1  5 0 4 2   m 2  1  2m  2   m  2m  1 5m  1  m  2m  1  5 0 4 3 0 4 3 2   2m  1  m    0 4  1 3 m m 2 4  4m3  m 2  2m   1 3   2 4  Đáp số: m   ;  x 2  3x  3 Câu V: Cho hàm số. .. là nghiệm của f  x   0 Theo viet có:  x1  x2  3  2m   x1 x2  3  2m Tọa độ A, B là: A  x1; m  ; B  x2 ; m  Ta có: Page 11 of 16 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 TRUNG TÂM HOCMAI. ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094 )-2 22 2-4 08 2 2 AB 2  2   x1  x2   2   x1  x2   4 x1 x2  2 2   3  2m   4  3  2m   2  4m2  4m  5  0  m  Đáp số: m  b 1 6 2 1 6 2 Xét... min  3  1 b Khoảng cách tứ M đến TCN, TCĐ làn lượt là: d1  x0 ; d 2   d  d1  d 2  x0  3 4 x0 3 3 3  2 x0  3 , dấu = xảy ra khi x0   4 x0 4 x0 2  3  1 3 1    3 1  3 1  Kết luận: M   2 ; 2  hoặc M  2 ; 2  là các điểm cần tìm        Page 15 of 16 TRUNG TÂM HOCMAI. ONLINE Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094 )-2 22 2-4 08 1 3 1 1 3 1 ... 2x 1 a Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN b Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN c Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min HDG  1 3 1     C  ; x0  0 Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ a Gọi M  x0  ; 2 4 x0 2   là: d  x0  Với x0  0  d  1 3 1   2 4 x0 2 1 1  1 2 2 1  3 . của đồ thị hàm số sao cho AB min. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai. vn Trịnh Hào Quang TRUNG TÂM HOCMAI. ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094 )-2 22 2-4 08 Hà Nội,.     5: Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị. Vì   1 lim 3 lim 0 3 x x y x m y x m x m              là TCX của hàm số. Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1. Khoảng. Câu VI: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a. 2 2 3 1 log 3 x m x     TRUNG TÂM HOCMAI. ONLINE