Ôn thi THPT quốc gia môn toán_ Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan (đầy đủ dạng)

Ôn thi THPT quốc gia môn toán_ Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan (đầy đủ dạng)Ôn thi THPT quốc gia môn toán_ Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan (đầy đủ dạng)Ôn thi THPT quốc gia môn toán_ Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan (đầy đủ dạng)Ôn thi THPT quốc gia môn toán_ Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan (đầy đủ dạng)

8 DẠNG 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA Xét hàm số bậc ba : 3 3 2 3 3 ′ = + + + ⇒ = + + y ax bx cx d y ax bx c DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  Nếu a = 0 thì 3 0 3 ′ ′ = + → = ⇔ = − c y bx c y x b Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.  Nếu a ≠ 0 : + Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0. + Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt. Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0. Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị. Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số ( ) = + − − − 3 2 1 1 1 3 y x m x mx tùy theo giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Ta có ( ) 2 2 1 . ′ = + − + y x m x m  Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu trên miền xác định (hay hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên miền xác định), điều đó xảy ra khi y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Từ đó ta có điều kiện ( ) 2 2 3 5 3 5 0 1 0 3 1 0 . 2 2 − + ′ ∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m  Hàm số có hai cực trị khi y′ đổi dấu trên miền xác định, điều đó xảy ra khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. 2 3 5 2 0 3 1 0 3 5 2  + >   ⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔  − <   m m m m Kết luận : - Hàm số không có cực trị khi 3 5 3 5 2 2 − + ≤ ≤m - Hàm số có hai cực trị khi 3 5 3 5 ; . 2 2 + − ≥ ≤m m Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số ( ) = + − + + − 3 2 2 2 3y mx m x mx m tùy theo giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Ta có ( ) 2 3 2 2 2 . ′ = + − + y mx m x m TH1 : m = 0. Khi đó 4 ; 0 0 ′ ′ = − = ⇔ =y x y x , trong trường hợp này hàm số có một cực trị. TH2 : m ≠ 0.  Hàm số không có cực trị khi 2 0 2 2 6 2 2 6 0 0 5 5 0 5 4 4 0 2 2 6 2 2 6 5 5 ≠    − +  ≥ − +   ≠  ≠    ≥   ⇔ ⇔ ⇔     ′ ∆ ≤  + − ≥  − −     ≤ − −   ≤      m m m m m m m m m Bài 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 9  Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 6 2 2 6 0 0 5 5 0 5 4 4 0 0  − − − + ≠  ≠  < <   ⇔ ⇔ ⇔    ′ ∆ > + − <     ≠  m m m m m m Kết luận : - Hàm số không có cực trị khi 2 2 6 2 2 6 ; . 5 5 − + − − ≥ ≤m m - Hàm số có một cực trị khi m = 0. - Hàm số có hai cực trị khi 2 2 6 2 2 6 5 5 0  − − − + < <    ≠  m m BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1. Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu: a) ( ) 3 2 2 2 1 2= − + − +y x mx m x b) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 3 2 1= − − + − + − −y x m x m m x m m Bài 2. Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2= + − + − + +y x m x m x m không có cực trị. Bài 3. Biện luận theo m số cực trị của hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 1 3 = + + + − + y m x mx m x DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại và cực tiểu). Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x 1 ; x 2 . Khi đó x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. Theo định lí Vi-ét ta được 1 2 1 2  + = −     =   B x x A C x x A Phương pháp thực hiện : + Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0, (*) + Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn. + Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng. Ta xét một số dạng tính chất điển hình. Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x o  Cách 1 (sử dụng bảng biến thiên) : + Hàm số đạt cực trị tại ( ) 0 . ′ = ⇔ = → o o x x y x m + Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu tại điểm x o hay không.  Cách 2 (sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ ; hay y’’) : + Hàm số đạt cực đại tại ( ) ( ) 0 . 0 ′  =  = ⇔ →  ′′ <   o o o y x x x m y x + Hàm số đạt cực tiểu tại ( ) ( ) 0 . 0 ′  =  = ⇔ →  ′′ >   o o o y x x x m y x Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại ( ) ( ) 0 0 ′  =  = ⇔  ′′ ≠   o o o y x x x y x V í dụ mẫu: Cho hàm số = − + − + 3 2 1 ( 2) 1. 3 y x m x mx a ) Tìm m đ ể hàm s ố có c ực đ ạ i , c ực ti ểu . b ) Tìm m đ ể hàm s ố đ ạ t c ực đ ạ i t ại t ại x = 0. 1 0 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Hướng dẫn giải : Ta có ( ) 2 2( 2) 2 2 2 . ′ ′′ = − + − ⇒ = − +y x m x m y x m a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 1 0 5 4 0 4 > −  ′ ⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔  < −  m m m m b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.    Cách 1: + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì ( ) 0 0 0. ′ = ⇔ =y m + Với m = 0 thì ta có 2 0 4 0 4 =  ′ = − = ⇔  =  x y x x x Ta có bảng biến thiên: x −∞ 0 4 +∞ y’ + 0 − 0 + y CĐ +∞ −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.    Cách 2: Hàm số đạt cực đại tại ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2( 2) 0 0 0 ′  = =   = ⇔ ⇔ ⇔ =   − + < ′′ <    y m x m m y Vậy m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 2.    Cách 1: + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì ( ) 4 2 0 4 4( 2) 0 5 4 . 5 ′ = ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = −y m m m m + Với 2 2 2 4 4 4 12 4 2 2 0 2 5 5 5 5 5 5 =     ′ ′ = − → = − − + ⇔ = − + = ⇔    =     x m y x x y x x x Ta có bảng biến thiên: x −∞ 2 5 2 +∞ y’ + 0 − 0 + y CĐ +∞ −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2. Vậy 4 5 = −m là giá trị cần tìm.    Cách 2: Hàm số đạt cực tiểu tại ( ) ( ) 4 2 0 5 4 0 4 2 . 5 2 0 5 2 0 0  ′  = + = = −    = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −    − > ′′ >     <  y m m x m m y m Vậy 4 5 = −m thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: C ho hàm s ố 3 2 ( 2 1) 2 3.= − + − + −y x m x mx a ) Tìm m đ ể hàm s ố có c ực đ ạ i , c ực ti ểu . b ) Tìm m đ ể hàm s ố đ ạ t c ực ti ểu t ại t ại x = −1. c ) Tìm m đ ể hàm s ố đ ạ t c ực đ ạ i t ại x = 3. 1 1 Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.  Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương. Khi đó ta có 1 2 2 1 1 2 0 0 0 0 0 B S x x A x x P x x C A −  >  = + >   > > → ⇔   = >   >    Hai điểm cực trị cùng có hoành độ âm. Khi đó ta có 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 B S x x A x x P x x C A −  <  = + <   < < → ⇔   = >   >    Hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu. Khi đó ta có 1 2 1 2 0 0 0 C x x P x x A < < ⇔ = < ⇔ <  Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α. Khi đó ta có ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 α α 0 α α 0 α α 0 α 2α 2α 2α C B x x x x x x A A x x B x x B A A  −    − + > − + + >     − − >      > > ⇔ ⇔ ⇔    − + > − >     >     Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α. Khi đó ta có ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 α α 0 α α 0 α α 0 α 2α 2α 2α C B x x x x x x A A x x B x x B A A  −    − + > − + + >     − − >      < < ⇔ ⇔ ⇔    − + < − <     <     Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x 1 < α < x 2 . Khi đó ta có ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 α α α 0 α α 0 α α 0 −   < < ⇔ − − < ⇔ − + + < ⇔ − + <     C B x x x x x x x x A A Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 . Khi đó x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. Theo định lí Vi-ét ta được 1 2 1 2  + = −     =   B x x A C x x A Ví dụ 1: Cho hàm số = + − − + 3 2 ( 1) 3 .y x m x mx m a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 thỏa mãn + = 1 2 1 2 1 1 2 . x x x x c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2. d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1. Hướng dẫn giải: Ta có 2 3 2( 1) 3 ′ = + − − y x m x m a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( ) 2 2 7 3 5 2 0 ( 1) 9 0 7 1 0 * 7 3 5 2  − + >   ′ ⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔  − − <   m m m m m m 1 2 Vậy với 7 3 5 2 7 3 5 2  − + >    − − <   m m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu. b) Gọi x 1 ; x 2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. Theo định lí Vi-ét ta được 1 2 1 2 2(1 ) 3 −  + =    = −  m x x x x m Ta có 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2(1 ) 1 13 2 2 2 3 1 0 . 3 6 + − − ± + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = x x m x x x x m m m m x x x x Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 1 13 6 m − + = là giá trị cần tìm. c) Gọi x 1 ; x 2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. Theo định lí Vi-ét ta được 1 2 1 2 2(1 ) 3 −  + =    = −  m x x x x m Theo bài ta có ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 4 0 4(1 ) 2 2 0 4 0 2 3 2(1 ) 4 4 1 6 3  − + + > −   − − > − − + >    > > ⇔ ⇔ ⇔    − + > >     − >   x x x x m x x m x x m x x m 8 8 0 8 5. 3 5 5 +  > − >   ⇔ ⇔ ⇔ − < < −   < −   < −  m m m m m Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 7 3 5 8 2 m − − − < < là giá trị cần tìm. d) Ta có 1 2 1 2 2 1 6 0 3 2( 1) 3 0 1 6  ′ − − ∆ = =   ′ = ⇔ + − − = ⇔ → <  ′ − + ∆ = =   m x x y x m x x x m x x Bảng biến thiên x −∞ x 1 x 2 +∞ y’ + 0 − 0 + y CĐ +∞ −∞ CT Ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ 1 1 6 ′ − − ∆ = m x Theo bài ta có ( ) 1 2 5 0 1 1 1 6 5 6 5 − − ≥  ′ − − ∆  ′ ′ = > ⇔ − − ∆ > ⇔ ∆ < − − ⇔  ′ ∆ < − −   m m x m m m 2 2 5 5 8 5. 3 24 7 1 10 25 ≤ −  ≤ −   ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −   > − + + < + +    m m m m m m m m Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 7 3 5 8 2 m − − − < < là giá trị cần tìm. V í dụ 2: Cho hàm số = − + + − 3 2 3 ( 1) 9 .y x m x x m T ìm m đ ể hàm s ố đ ạ t c ực đ ạ i , c ực ti ểu t ại x 1 ; x 2 t h ỏa mãn − ≤ 1 2 2 . x x Hư ớ n g d ẫn gi ải : T a có 2 3 6( 1) 9. ′ = − + +y x m x 1 3  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; 0 ′ ⇔ ∆ >x x ( ) 2 1 3 ( 1) 3 0 * 1 3  > − + ⇔ + − > ⇔  < − −   m m m  Theo định lý Vi-et ta có 1 2 1 2 2( 1) 3 + = +   =  x x m x x Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 1 12 4 ( 1) 4 3 1− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤x x x x x x m m m Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 3 1 3 1 3 1  − ≤ < − −  − + < ≤   m m là các giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho hàm số = + − + − + + 3 2 (1 2 ) (2 .) 2y x m x m x m Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 thỏa mãn − > 1 2 1 . 3 x x Hướng dẫn giải: Ta có 2 3 (1 2 .)2 2= − + ′ + − x m x m y  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ( ) 2 2 5 (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 * 4 1  >  ′ ⇔ ∆ = − − − = − − > ⇔  < −  m m m m m m  Theo định lý Vi-et ta có 1 2 1 2 (1 2 ) 3 2 2 . 3 −  + = −    −  =   m x x m x x Khi đ ó ( ) ( ) 2 2 2 1 21 2 2 1 21 1 4 4(1 2 ) 4(2 1 1 93 )⇔− = + − > ⇔ − − − >> − x x x x mx mx x x 2 3 29 8 16 12 5 0 3 29 8  + >   ⇔ − − > ⇔  − <   m m m m Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 3 29 8 1  + >   < −   m m là các giá trị cần tìm. Ví dụ 4: Cho hàm số = − − + − + 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) . 3 3 y x m x m x Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 thỏa mãn + = 1 2 2 1.x x Hướng dẫn giải: Ta có 2 2( 1) 3( 2). ′ = − − + −y x m x m  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 2 5 7 0, ′ ⇔ ∆ = − + > ∀m m m  Khi đó ta có ( )( ) 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2( 1) 1 2 2( 1) 3 2 3( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3 2 1 2 1 3( 2) 3 2 4 3 3 6  + = − − + = − = −      = − ⇔ = − ⇔ = − − = −       + = + = = − ⇒ − − = −    x x m x x m x m x x m x x m x m m x x x x x x m m m m 2 4 34 8 16 9 0 . 4 − ± ⇔ + − = ⇔ =m m m Vậy 4 34 4 − ± =m là các giá trị cần tìm. Ví dụ 5: Cho hàm số = + + + + 3 2 (1 – 2 ) (2 – ) 2.y x m x m x m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Hư ớ n g d ẫn gi ải : T a có 2 3 2(1 2 ) 2 ( ). ′ = + − + − = y x m x m g x D o h ệ s ố a = 3 > 0 nên yêu c ầu bài toán tr ở thành y′ = 0 có hai nghi ệm phân bi ệt x 1 ; x 2 t h ỏa mãn 1 4 2 1 2 4 5 0 5 7 1 (1) 5 7 0 4 5 2 1 1 2 3  ′ ∆ = − − >   < < ⇔ = − + > ⇔ < <  −  = <   m m x x g m m S m Ví dụ 6: Cho hàm số = + 3 2 4 – 3 .y x mx x Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 thỏa mãn = − 1 2 4 . x x Hướng dẫn giải: Ta có 2 2 12 2 3 36 0. ′ ′ = + − ⇒ ∆ = + >y x mx m Khi đó 1 2 1 2 1 2 4 9 . 6 2 1 4   = −   + = − → = ±    = −   x x m x x m x x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số 3 2 ( 2) ( 1) 2.= + + − − +y x m x m x a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3. c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 thỏa mãn 2 2 1 2 10.+ <x x d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1. Bài 2: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 6 5 1 4 1.= − + + + − −y x m x m x m a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2. Bài 3: Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2= + − + − + +y x m x m x m có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2. Bài 4: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 1 4 3 2. 3 = + + + + + + +y x m x m m x m Gọi x 1 , x 2 là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm số. a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1. b) Tìm m sao cho biểu thức ( ) 1 2 1 2 2= − + P x x x x đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Cho hàm số 3 2 1 ( 6) 1. 3 = + + + −y x mx m x Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực trị. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 , x 2 thỏa mãn 1 1 1 2 1 1 . 3 + + = x x x x c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1. d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0. Tính chất 4: Các cực trị nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ. + Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu. + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị với y CĐ .y CT < 0. + Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với y CĐ .y CT > 0. Ví dụ 1: Cho hàm số = + + + 3 2 3 – 2y x x mx m , với m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành. Hư ớ n g d ẫn gi ải : T a có 2 3 6 ′ = + + y x x m , hàm s ố có c ực đ ạ i , c ực ti ểu khi ph ư ơ n g trình y′ = 0 có hai nghi ệm phân bi ệt . T ức là 9 3 0 3. ′ ∆ = − > ⇔ <m m 1 5 Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và Ox: ( ) 3 2 2 1 3 – 2 0 ( ) 2 2 0, 1 = −  + + + = ⇔  = + + − =  x x x mx m g x x x m Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Ta có điều kiện 3 0 3 ( 1) 3 0  ′ ∆ = − > ⇔ <  − = − ≠  m m g m Vậy m < 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho hàm số = − + + − − + − 3 2 2 (2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x , với m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Hướng dẫn giải: Ta có 2 2 3 2(2 1) ( 3 2) ′ = − + + − − +y x m x m m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( ) ( ) 2 2 0 2 1 3 3 2 0 ′ ⇔ ∆ > ⇔ + − − + >m m m 2 13 3 21 2 13 5 0 13 3 21 2  − + >   ⇔ + − > ⇔  − − <   m m m m Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu ( ) 2 3 3 2 0 1 2.− + < ⇔ < <m m m Kết hợp điều kiện ta được 1 < m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3: Cho hàm số = − + − − 3 2 1 (2 1) 3 3 y x mx m x , với m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung. Hướng dẫn giải: Ta có 2 2 2 1 ′ = − + −y x mx m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 0 2 1 0 1 ′ ⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ ≠m m m Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm cùng dấu 1 0 2 1 0 . 2 ⇔ > ⇔ − > ⇔ >ac m m Kết hợp điều kiện ta được 1 1 2 < ≠m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tính chất 5: Các bài toán cực trị khi y′ ′′ ′ = 0 giải được nghiệm ‘đẹp’ Khi phương trình y′ = 0 có ( ) 2 ax b∆ = + thì điều kiện để hàm số có cực trị là ( ) 2 0 0 . b ax b x a ∆ > ⇔ + > ⇔ ≠ − Khi đó, 1 2 0 x x y x x =  ′ = ⇒  =  và sử dụng yêu cầu của đề bài để giải ra tham số. Ví dụ 1: Cho hàm số = − + − − + 3 2 2 3 3 3( 1) .y x mx m x m m Tìm giá trị của m để hàm số có cực trị. Khi đó, tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O. Hướng dẫn giải : Ta có 2 2 2 2 3 6 3( 1) 0 2 1 0 ′ ′ = − + − ⇒ = ⇔ − + − =y x mx m y x mx m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 0, ′ ⇔ ∆ = > ∀m Khi đó ( ) ( ) 1 1;2 2 0 1 1; 2 2  = − ⇒ − − ′ = ⇔  = + ⇒ + − −   x m A m m y x m B m m Do hệ số a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là điểm cực đại và B là điểm cực tiểu của hàm số. Theo bài ta có 2 3 2 2 2 6 1 0 3 2 2  = − + = ⇔ + + = ⇔  = − −   m OA OB m m m V ậy 3 2 2= − ±m là các giá tr ị c ần tìm. 1 6 Ví dụ 2: Cho hàm số ( ) − = − + − + − 2 3 3 1 1 (3 2) 1. 3 2 m x y x m x m Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2. c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x 1 ; x 2 thỏa mãn + > 3 3 1 2 28x x d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x 1 ; x 2 thỏa mãn + = 2 2 1 2 2 12x x Hướng dẫn giải : Ta có ( ) ( ) 2 2 3 1 3 2 0 3 1 3 2 0.y x m x m y x m x m ′ ′ = − − + − ⇒ = ⇔ − − + − = a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Ta có điều kiện ( ) ( ) 2 2 0 3 1 4. 3 2 0 9 18 9 0 1m m m m m∆ > ⇔ − − − > ⇔ − + > ⇔ ≠ b) Với ( ) ( ) 3 1 3 1 1 2 1 0 3 1 3 1 3 1 2 m m x m y m m x m  − − − = =   ′ ≠ ⇒ = ⇔  − + − = = −   Hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu lớn hơn 2 khi 3 1 2 1.m m− > ⇔ > Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu lớn hơn 2. c) Ta có ( ) 3 3 3 1 2 4 28 1 3 1 28 3 1 3 . 3 x x m m m+ > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ > d) Do vai trò bình đẳng của x 1 ; x 2 nên ta có hai trường hợp xảy ra  Với ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 10 1; 3 1 2 12 2 3 1 12 3 1 10 3 x x m x x m m m ± = = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − = ± → = Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được 1 10 . 3 m ± =  Với ( ) 2 2 2 1 2 1 2 22 2 22 3 1; 1 2 12 2 3 1 1 12 3 1 2 6 x m x x x m m m ± = − = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ − = ± → = Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được 2 22 . 6 m ± = Ví dụ 3: Cho hàm số += + 3 2 3y x x m Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho  .= 0 120AOB Hướng dẫn giải : Ta có 2 0 3 6 0 2 4 = ⇒ =  ′ ′ = + ⇒ = ⇔  = − ⇒ = +  x y m y x x y x y m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4). Ta có (0; ), ( 2; 4).= = − +OA m OB m    Để   0 1 120 cos 2 = ⇒ = −AOB AOB ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 0 ( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4) 3 24 44 0 2 4 ( 4) 4 0 12 2 3 2 4 12 2 3 3 3 3 − < < +  ⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔  + + =  + + − < <  − +  ⇔ ⇔ = = − + − ±  =   m m m m m m m m m m m m m m Vậy 2 4 3 = − +m là giá trị cần tìm. Ví dụ 4: Cho hàm số = − + − − 3 2 3 3 1y x mx m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x + 8y − −− − 74 = 0. Hư ớ n g d ẫn gi ải : T a có ( ) 2 0 3 6 3 2 0 2 =  ′ ′ = − + = − − ⇒ = ⇔  =  x y x mx x x m y x m H àm s ố có c ực đ ạ i , c ực ti ểu khi y′ = 0 có hai nghi ệm phân bi ệt ⇒ m ≠ 0 1 7 Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là 3 3 (0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 )− − − − ⇒A m B m m m AB m m   Trung điểm I của AB có toạ độ 3 ( ;2 3 1)− −I m m m Đường thẳng d: ( ) : 8 74 0+ − =d x y có một véc tơ chỉ phương (8; 1)= −  u . A và B đối xứng với nhau qua d ⇔ ( ) 3 8(2 3 1) 74 0 2 . 0  + − − − = ∈   ⇔ ⇔ ⇔ =   ⊥ =      m m m I d d m AB d AB u Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Ví dụ 5: Cho hàm số ( ) = − + − + 3 2 3 3 1 1 2 m y x x m x Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2. c) hàm số đạt cực đại tại x = 0. d) hàm số không có cực đại, cực tiểu. e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1 Hướng dẫn giải : a) Ta có ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 1 1 3 3 3 1 3 1 2 m y x x m x y x mx m x mx m ′ = − + − + ⇒ = − + − = − + − Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Ta có điều kiện ( ) 2 0 2 0 2.m m∆ > ⇔ − > ⇔ ≠ Vậy với m ≠ 2 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu. b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 khi hệ sau có nghiệm (2) 0 , ( ) (2) 0 ′ =   ′′ >  y I y Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó 4 2 1 0 3 ( ) 3 12 3 0 4 m m m I m m m − + − = =   ⇔ ⇔ ⇒ =   − > <   Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm. c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm (0) 0 , ( ) (0) 0 ′ =   ′′ >  y I y Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ 1 0 1 ( ) 1 3 0 0 m m I m m m − = =   ⇔ ⇔ ⇒ =   − < >   Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm. d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2) 2 ≤ 0 Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2. Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị. e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x 2 – mx + m – 1 = 0 ( ) 1 1 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 3 5 4 1 2 2 m m m y x m m m m m m x y −  + −  = = = −    ∆ = − ⇒ ⇒  − + − +   = = =     Gọi A(x 1 , y 1 ) và B(x 2 , y 2 ) là các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó 2 3 8 6 2 ; 2 m m AB m   − + = −      Đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với d : y = 9x + 1 khi ( ) 2 2 2 3 8 6 2 2 / / 2 4 9 3 8 6 27 74 58 0 9 1 d o m m m AB u m m m m m vn − + − ⇔ = ⇔ − = − + ⇔ − + = → −   BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số ( ) 2 3 2 1 1 2(2 1) 3. 3 2 m x y x m x − = − − + + T ìm giá tr ị c ủa m đ ể a ) hàm s ố có c ực đ ạ i , c ực ti ểu . b ) hàm s ố đ ạ t c ực đ ạ i , c ực ti ểu t ại các điểm có hoành âm. [...]... 2m − 1 = 0   Bài 15: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = 1 x 2 Đ/s : m = 1 Bài 16: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx 25 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : x − 2 y − 5 = 0 Đ/s : m = 0 Bài 17: Cho hàm số y = x3 − 3mx + m Tìm m để hàm số có cực đại,... 2 + m 2 x + m 19 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = 1 5 x− 2 2 Đ/s : m = 0 Bài 4: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x Đ/s : m = ± 2 2 Bài 5: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau... tìm BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 1 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng ( d ) : y = x 2 Đ/s: m = 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và đường thẳng qua các điểm đó tạo với đường thẳng ( d ) : x + 4 y − 5 = 0 một góc 450 1 Đ/s: m = − 2 Bài 3: Cho hàm số y... : y = 1 x 2 Đ/s : m = 1 Bài 6: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : x − 2 y − 5 = 0 Đ/s : m = 0 Bài 7: Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : 3 x − y − 7 = 0 Đ/s : m = ± 3 10 2 Bài 8: Cho hàm số y = x3 − 3( m − 1) x... 3m + Hàm số có ba cực trị khi >0⇔ m +1  m < −1 Kết luận : Hàm số có một cực trị khi −1 ≤ m ≤ 0 m > 0 Hàm số có ba cực trị khi   m < −1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Biện luận theo m số cực trị của các hàm số sau : a) y = −2 x 4 − (2m + 1) x 2 + m + 3 + Hàm số có một cực trị khi b) y = (1 − m) x 4 − (3m + 1) x 2 + 2m + 5 c) y = (3m 2 − 2) x 4 − mx 2 + m3 − 1 DẠNG 2 TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TH1: Hàm số có...4 4 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 > 17 2 2 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 x1 + x2 = 12 ( 3m + 1) x 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − − (2m 2 + m) x − 2 3 2 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 2 2 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành... B, C vuông góc với nhau Bài 4 Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – 1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số Bài 5 Cho hàm số y = ( 3m + 1) x − m x+m Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox song song với đường thẳng (d): y = –x –5 2x Bài 6 Cho hàm số y = , có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm... ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu một lần, tức là − b ≤0 2a Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu ba lần, tức là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ − b >0 2a Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 3m − 1 Tìm m để a) hàm số có 1 cực trị b) hàm số có 3 cực trị Hướng dẫn giải : x = 0 Ta có y = 4 x3 − 4mx = 4 x x 2 − m ⇒ y′ = 0 ⇔  2 x = m a) Hàm số có một cực... mãn đề bài là M(0; −3), M(−2; 5) Theo bài ta có ktt k IM = −9 ⇔ 3 2 −3 2 Ví dụ 6: Cho hàm số y = − x 3 + 2 x 2 − 3 Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau Hướng dẫn giải : a) Đường thẳng d qua M(1 ; −2) và có hệ số góc... ta được m = 1; m = ) 5 −1 là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 4mx 2 + 2m + 1 , với m là tham số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác a) có diện tích bằng 3 2  2 b) có trọng tâm là G  0;   3 c) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 Bài 2: Tìm m để hàm số y = x 4 − 2m2 x 2 + 1 có