http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 03: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Căn bậc hai của số phức a. Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 = w được gọi là một căn bậc hai của w. Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình: z 2 – w = 0 (với ẩn z ) Chú ý: Để tìm căn bậc hai của số phức w, ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu w là số thực ( tức là w = a): Với a > 0 thì w có hai căn bậc hai là a Với a < 0 thì w có hai căn bậc hai là i a Trường hợp 2: Nếu w = a + bi , , 0 a b R b thì z = x +yi , x y R là căn bậc hai của w 2 2 2 2 2 2 w 2 2 x y a z x yi a bi x y xyi a bi xy b Ghi nhớ: w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0 w 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau ( khác 0) Đặc biệt: Số thực dương a có hai căn bậc hai là a Số thực âm a có hai căn bậc hai là i a 2. Phương trình bậc hai Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0, với a, b, c là những số phức và 0 a Xét biệt thức 2 4 , b ac ta có các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm: 1;2 2 b z a , trong đó là một căn bậc hai của Đặc biệt: Nếu là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm: 1;2 2 b z a Nếu là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm: 1;2 2 b i z a Trường hợp 2: Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 2 b z z a Chú ý: 1. Mọi phương trình bậc hai ( với hệ số phức) có hai nghiệm phức ( có thể trùng nhau) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 2. Mọi phương trình bậc n: 1 0 1 1 0 n n n n a z a z a z a , trong đó 0 1 , , , n a a a là n + 1 số phức cho trước, 0 0 a và n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm phức ( không nhất thiết phân biệt ) B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Căn bậc hai của số phức Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý tới các trường đặc biệt Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: a) z = i; b) z = 1 4 3 i Bài giải: a. Giả sử số , z x yi x y R là căn bậc hai của i, tức là ta có: 2 2 2 2 i x yi x y xyi 2 2 2 0 2 2 1 2 1 2 2 x y x y x y xy xy x y Vậy số i có hai căn bậc hai là 2 1 2 i b. Giả sử số , z x yi x y R là căn bậc hai của 1 4 3 i , tức là ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 4 3 2 2 3 2 4 3 1 y x x y i x yi x y xyi xy x x 4 2 2 2 2 3 2 3 3 2 12 0 4 3 x y y y x x x x x x y Vậy số 1 4 3 i có hai căn bậc hai là 2 3 i Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì w z Bài giải: Giả sử , z x yi x y R . Theo giả thiết có: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 w 2 w 4 x yi x y xyi a b a b a b 2 2 w a b z Dạng 2: Giải phương trình bậc hai của số phức: Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a. 1 1 z z b. 3 1 0 z c. 4 4 0 z Bài giải: a. Ta có: 2 1 1 1 0 z z z z 2 1 4 3 3 3 i i Vậy nghiệm của phương trình là: 1;2 1 3 2 i z b. Ta có: 3 2 2 1 1 0 1 0 1 1 0 1 3 1 0 2 z z z z z z i z z z c. Ta có: 2 4 2 2 2 2 0 2 4 0 2 2 2 0 2 z z z z z z z i Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a. z 4 + 4 = 0 b. 2 3 6 3 13 0 z i z i c. 2 3 3 3 4 0 2 2 iz iz z i z i Bài giải: a. Ta có: 2 4 4 2 2 4 0 4 2 z i z z z i Giả sử , z x yi x y R là căn bậc hai của 2i, tức là ta có: 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 x y x y x y i x yi x y xyi xy x y xy phương trình z 2 = 2i có hai nghiệm là: 1;2 1 z i Giả sử , z x yi x y R là căn bậc hai của - 2i, tức là ta có: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 x y x y x y i x yi x y xyi xy x y xy phương trình z 2 = - 2i có hai nghiệm là: 3;4 1 z i Vậy phương trình có 4 nghiệm: 1;2 1 z i , 3;4 1 z i b. Đặt 3 t z i . Khi đó phương trình có dạng: 2 3 2 3 3 2 6 13 0 3 2 3 3 2 3 t i z i i z i t t t i z i i z i Vậy phương trình có hai nghiệm: , 3 z i z i c. Đặt 3 2 iz t z i . Khi đó phương trình có dạng: 2 1 3 4 0 4 t t t t Khi đó: Với t = - 1, ta có: 3 3 2 1 5 1 1 3 2 2 1 2 iz i i i z i z z i i Với t = 4, ta có: 3 3 8 4 35 4 4 3 8 2 4 17 iz i i i z i z z i i Vậy phương trình có hai nghiệm 1 5 4 35 , 2 17 i i z z Ví dụ 3: a. Giải phương trình: 2 2 2 1 0 z i z iz (1) b. Tìm số phức B để phương trình bậc hai 2 3 0 z Bz i có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 Bài giải: a. Phương trình (1) 2 2 2 2 2 0 1 2 2 1 0 0 z i z i z i z iz z i z i b. Giả sử hai nghiệm của phương trình là z 1 , z 2 , suy ra: 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 . 3 2 6 8 z z B z z i z z z z B i z z 2 2 8 6 3 B i i 3 B i Ví dụ 4: Giải phương trình 4 3 2 4 6 10 15 8 6 10 4 0 z i z i z i z Bài giải: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Nhận xét rằng z = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 0 z , ta được: 2 2 1 4 4 6 10 15 8 6 10 0 z i z i i z z 2 2 1 1 4 6 10 15 8 0 z i z i z z Đặt 2 2 2 1 1 2 t z z t z z . Khi đó, phương trình có dạng: 2 6 10 15 8 0 4 6 10 15 0 i t i t i t i Ta có: 2 2 ' 3 5 4.15 16 30 3 5 i i i i 1 2 3 2 5 2 t i t Với 1 2 1 2 2 3 1 3 2 3 2 0 1 2 2 2 z t z z z z z Với 2 2 5 1 5 2 5 2 0 2 2 i i t z z iz z 3 4 2 2 z i i z Vậy phương trình có 4 nghiệm: 1 2 3 4 1 2, , 2 , 2 2 i z z z i z Chú ý: 1. Để giải phương trình phản hồi quy dạng: 4 3 2 0 0 az bz cz bz a a (1) ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Nhận xét rằng z = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 0 z , ta được: 2 2 1 1 0 a z b z c z z (2) Bước 2: Đặt 2 2 2 1 1 2 t z z t z z . Khi đó phương trình (2) có dạng: 2 2 0 at bt c a (3) Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, từ đó suy ra giá trị của z 2. Để giải phương trình trùng phương dạng: 4 2 0 az bz c được giải bằng việc đặt ẩn phụ 2 t z Ví dụ 5: Giải phương trình: 1 2 3 10 z z z z (1) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bài giải: 2 2 1 2 2 3 10 z z z z Đặt 2 2 t z z . Khi đó phương trình có dạng: 2 2 3 10 3 10 0 5 t t t t t t Với t = - 2, ta được: 2 2 1;2 2 2 2 2 0 1 z z z z z i Với t = 5, ta được: 2 2 3;4 2 5 2 5 0 1 6 z z z z z Chú ý: Để giải phương trình với hệ số thực dạng: z a z b z c z d m (1) với a b c d ta thực hiện các bước: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: 2 2 z a b z ab z c d z cd m (2) Bước 2: Đặt 2 t z a b z ab 2 z c d z cd t ab cd Khi đó phương trình (2) có dạng: 2 0 t t ab cd m t ab cd t m (3) Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, từ đó suy ra giá trị của z Mở rộng dạng phương trình trên với nghiệm phức và hệ số là những số phức Ví dụ 6: Giải phương trình: 4 4 4 6 82 z z Bài giải: Đặt 4 6 5 2 t z z 4 1 6 1 z t z t . Khi đó phương trình được chuyển về dạng: 4 4 4 2 4 2 1 1 82 2 12 2 82 6 40 0 t t t t t t 2 2 2 4 10 10 t t t i t Với 2 3 t z Với 2 7 t z Với 10 5 10 t i z i Vậy phương trình có 4 nghiệm: 1 2 3;4 3, 7, 5 10 z z z i Chú ý: Chúng ta đã biết cách giải phương trình với hệ số thực dạng: 2 2 z a z b c ta thực hiện theo các bước: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bước 1: 2 2 2 a b x a t a b t x a b x b t . Khi đó phương trình có dạng: 2 2 4 2 2 12 2 2 2 a b a b t t c (2) Bước 2: Đặt 2 u t , phương trình có dạng: 2 2 2 2 12 2 2 2 a b a b u u c (3) Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, suy ra giá trị của z Mở rộng dạng phương trình trên với nghiệm phức và hệ số là những số phức C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: 2i; -9; 1+ i ĐS: 1 , i 3 i , 1 2 2 2 2 2 2 2 i Bài 2: Tính căn bậc hai của số phức a. z = 5 + 12i b. 1 3 i ĐS: a. 3 2 i b. 3 1 2 2 2 i Bài 3: Tính căn bậc ba của số phức 2 ( 3 ) z i Bài 4: Giải phương trình: 1) 2 3 3 0 i z iz i ĐS: 1;2 39 2 3 i z i 2) 2 2 1 0 z iz ĐS: 1;2 2 z i i 3) 2 3 2 6 0 z i z i ĐS: 3 2 i 4) 4 2 1 0 z z ĐS: 1;2 3;4 3 3 ; 2 2 i i z z 5) 4 1 1 2 z z i HD: Chia làm 2 trường hợp: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà TH1: 4 0 1 2 4 2 5 5 z z i z i z i TH2: 4 1 1 1 1 1 2 3 3 z i z z i z i 6) 3 2 3 2 2 2 0 z i z z i ĐS: 1 2 1 2 i Bài 5: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức _ _ 3(2 ) 19 3 z z z z i ĐS: 4 5 z i z i Bài 6: Giải phương trình: 2 3 1 5 0 z i z i trên tập hợp các số phức ĐS: 1 2 2 z i z i . DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Căn bậc hai của số phức Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý tới các trường đặc biệt Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:. đúng một căn bậc hai là z = 0 w 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau ( khác 0) Đặc biệt: Số thực dương a có hai căn bậc hai là a Số thực âm a có hai căn bậc hai là i. SỐ PHỨC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Căn bậc hai của số phức a. Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 = w được gọi là một căn bậc hai của w. Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của