Căn bậc hai của số phức và giải phương trình trên tập số phức

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 03: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Căn bậc hai của số phức a. Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 = w được gọi là một căn bậc hai của w. Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình: z 2 – w = 0 (với ẩn z ) Chú ý: Để tìm căn bậc hai của số phức w, ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu w là số thực ( tức là w = a):  Với a > 0 thì w có hai căn bậc hai là a   Với a < 0 thì w có hai căn bậc hai là i a   Trường hợp 2: Nếu w = a + bi   , , 0 a b R b   thì z = x +yi   , x y R  là căn bậc hai của w     2 2 2 2 2 2 w 2 2 x y a z x yi a bi x y xyi a bi xy b                   Ghi nhớ:  w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0  w 0  có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau ( khác 0) Đặc biệt:  Số thực dương a có hai căn bậc hai là a   Số thực âm a có hai căn bậc hai là i a   2. Phương trình bậc hai Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0, với a, b, c là những số phức và 0 a  Xét biệt thức 2 4 , b ac    ta có các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu 0   thì phương trình có hai nghiệm: 1;2 2 b z a     , trong đó  là một căn bậc hai của  Đặc biệt:  Nếu  là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm: 1;2 2 b z a      Nếu  là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm: 1;2 2 b i z a     Trường hợp 2: Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 2 b z z a    Chú ý: 1. Mọi phương trình bậc hai ( với hệ số phức) có hai nghiệm phức ( có thể trùng nhau) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 2. Mọi phương trình bậc n: 1 0 1 1 0 n n n n a z a z a z a        , trong đó 0 1 , , , n a a a là n + 1 số phức cho trước, 0 0 a  và n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm phức ( không nhất thiết phân biệt ) B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Căn bậc hai của số phức Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý tới các trường đặc biệt Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: a) z = i; b) z = 1 4 3 i  Bài giải: a. Giả sử số   , z x yi x y R    là căn bậc hai của i, tức là ta có:   2 2 2 2 i x yi x y xyi      2 2 2 0 2 2 1 2 1 2 2 x y x y x y xy xy x y                          Vậy số i có hai căn bậc hai là   2 1 2 i   b. Giả sử số   , z x yi x y R    là căn bậc hai của 1 4 3 i  , tức là ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 4 3 2 2 3 2 4 3 1 y x x y i x yi x y xyi xy x x                                      4 2 2 2 2 3 2 3 3 2 12 0 4 3 x y y y x x x x x x y                                            Vậy số 1 4 3 i  có hai căn bậc hai là   2 3 i  Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì w z  Bài giải: Giả sử   , z x yi x y R    . Theo giả thiết có: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 w 2 w 4 x yi x y xyi a b a b a b            2 2 w a b z     Dạng 2: Giải phương trình bậc hai của số phức: Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a. 1 1 z z   b. 3 1 0 z   c. 4 4 0 z   Bài giải: a. Ta có: 2 1 1 1 0 z z z z       2 1 4 3 3 3 i i          Vậy nghiệm của phương trình là: 1;2 1 3 2 i z   b. Ta có:     3 2 2 1 1 0 1 0 1 1 0 1 3 1 0 2 z z z z z z i z z z                           c. Ta có:    2 4 2 2 2 2 0 2 4 0 2 2 2 0 2 z z z z z z z i                       Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a. z 4 + 4 = 0 b.     2 3 6 3 13 0 z i z i        c. 2 3 3 3 4 0 2 2 iz iz z i z i              Bài giải: a. Ta có: 2 4 4 2 2 4 0 4 2 z i z z z i              Giả sử   , z x yi x y R    là căn bậc hai của 2i, tức là ta có:   2 2 2 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 x y x y x y i x yi x y xyi xy x y xy                              phương trình z 2 = 2i có hai nghiệm là:   1;2 1 z i     Giả sử   , z x yi x y R    là căn bậc hai của - 2i, tức là ta có: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà   2 2 2 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 x y x y x y i x yi x y xyi xy x y xy                                  phương trình z 2 = - 2i có hai nghiệm là:   3;4 1 z i    Vậy phương trình có 4 nghiệm:   1;2 1 z i    ,   3;4 1 z i    b. Đặt 3 t z i    . Khi đó phương trình có dạng: 2 3 2 3 3 2 6 13 0 3 2 3 3 2 3 t i z i i z i t t t i z i i z i                               Vậy phương trình có hai nghiệm: , 3 z i z i    c. Đặt 3 2 iz t z i    . Khi đó phương trình có dạng: 2 1 3 4 0 4 t t t t           Khi đó:  Với t = - 1, ta có:   3 3 2 1 5 1 1 3 2 2 1 2 iz i i i z i z z i i                   Với t = 4, ta có:   3 3 8 4 35 4 4 3 8 2 4 17 iz i i i z i z z i i              Vậy phương trình có hai nghiệm 1 5 4 35 , 2 17 i i z z      Ví dụ 3: a. Giải phương trình:     2 2 2 1 0 z i z iz     (1) b. Tìm số phức B để phương trình bậc hai 2 3 0 z Bz i    có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 Bài giải: a. Phương trình (1)      2 2 2 2 2 0 1 2 2 1 0 0 z i z i z i z iz z i z i                            b. Giả sử hai nghiệm của phương trình là z 1 , z 2 , suy ra:   1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 . 3 2 6 8 z z B z z i z z z z B i z z                   2 2 8 6 3 B i i        3 B i     Ví dụ 4: Giải phương trình       4 3 2 4 6 10 15 8 6 10 4 0 z i z i z i z         Bài giải: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Nhận xét rằng z = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 0 z  , ta được:       2 2 1 4 4 6 10 15 8 6 10 0 z i z i i z z            2 2 1 1 4 6 10 15 8 0 z i z i z z                    Đặt 2 2 2 1 1 2 t z z t z z       . Khi đó, phương trình có dạng:     2 6 10 15 8 0 4 6 10 15 0 i t i t i t i          Ta có:     2 2 ' 3 5 4.15 16 30 3 5 i i i i          1 2 3 2 5 2 t i t          Với 1 2 1 2 2 3 1 3 2 3 2 0 1 2 2 2 z t z z z z z                 Với 2 2 5 1 5 2 5 2 0 2 2 i i t z z iz z         3 4 2 2 z i i z        Vậy phương trình có 4 nghiệm: 1 2 3 4 1 2, , 2 , 2 2 i z z z i z      Chú ý: 1. Để giải phương trình phản hồi quy dạng:   4 3 2 0 0 az bz cz bz a a       (1) ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Nhận xét rằng z = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 0 z  , ta được: 2 2 1 1 0 a z b z c z z                  (2) Bước 2: Đặt 2 2 2 1 1 2 t z z t z z       . Khi đó phương trình (2) có dạng: 2 2 0 at bt c a     (3) Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, từ đó suy ra giá trị của z 2. Để giải phương trình trùng phương dạng: 4 2 0 az bz c    được giải bằng việc đặt ẩn phụ 2 t z  Ví dụ 5: Giải phương trình:       1 2 3 10 z z z z     (1) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bài giải:       2 2 1 2 2 3 10 z z z z      Đặt 2 2 t z z   . Khi đó phương trình có dạng:   2 2 3 10 3 10 0 5 t t t t t t              Với t = - 2, ta được: 2 2 1;2 2 2 2 2 0 1 z z z z z i            Với t = 5, ta được: 2 2 3;4 2 5 2 5 0 1 6 z z z z z          Chú ý: Để giải phương trình với hệ số thực dạng:         z a z b z c z d m      (1) với a b c d    ta thực hiện các bước: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng:     2 2 z a b z ab z c d z cd m                (2) Bước 2: Đặt   2 t z a b z ab       2 z c d z cd t ab cd        Khi đó phương trình (2) có dạng:     2 0 t t ab cd m t ab cd t m         (3) Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, từ đó suy ra giá trị của z  Mở rộng dạng phương trình trên với nghiệm phức và hệ số là những số phức Ví dụ 6: Giải phương trình:     4 4 4 6 82 z z     Bài giải: Đặt 4 6 5 2 t z z      4 1 6 1 z t z t           . Khi đó phương trình được chuyển về dạng:     4 4 4 2 4 2 1 1 82 2 12 2 82 6 40 0 t t t t t t             2 2 2 4 10 10 t t t i t               Với 2 3 t z     Với 2 7 t z      Với 10 5 10 t i z i      Vậy phương trình có 4 nghiệm: 1 2 3;4 3, 7, 5 10 z z z i       Chú ý: Chúng ta đã biết cách giải phương trình với hệ số thực dạng:     2 2 z a z b c     ta thực hiện theo các bước: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bước 1: 2 2 2 a b x a t a b t x a b x b t                    . Khi đó phương trình có dạng: 2 2 4 2 2 12 2 2 2 a b a b t t c                  (2) Bước 2: Đặt 2 u t  , phương trình có dạng: 2 2 2 2 12 2 2 2 a b a b u u c                  (3) Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, suy ra giá trị của z  Mở rộng dạng phương trình trên với nghiệm phức và hệ số là những số phức C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: 2i; -9; 1+ i ĐS:   1 , i   3 i  , 1 2 2 2 2 2 2 2 i       Bài 2: Tính căn bậc hai của số phức a. z = 5 + 12i b. 1 3 i  ĐS: a. 3 2 i   b. 3 1 2 2 2 i  Bài 3: Tính căn bậc ba của số phức 2 ( 3 ) z i   Bài 4: Giải phương trình: 1)   2 3 3 0 i z iz i      ĐS:   1;2 39 2 3 i z i    2) 2 2 1 0 z iz    ĐS: 1;2 2 z i i   3)   2 3 2 6 0 z i z i     ĐS: 3 2 i   4) 4 2 1 0 z z    ĐS: 1;2 3;4 3 3 ; 2 2 i i z z       5) 4 1 1 2 z z i          HD: Chia làm 2 trường hợp: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà TH1: 4 0 1 2 4 2 5 5 z z i z i z i             TH2: 4 1 1 1 1 1 2 3 3 z i z z i z i               6)   3 2 3 2 2 2 0 z i z z i      ĐS:   1 2 1 2 i   Bài 5: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức _ _ 3(2 ) 19 3 z z z z i      ĐS: 4 5 z i z i        Bài 6: Giải phương trình:   2 3 1 5 0 z i z i     trên tập hợp các số phức ĐS: 1 2 2 z i z i          . DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Căn bậc hai của số phức Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý tới các trường đặc biệt Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:. đúng một căn bậc hai là z = 0  w 0  có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau ( khác 0) Đặc biệt:  Số thực dương a có hai căn bậc hai là a   Số thực âm a có hai căn bậc hai là i. SỐ PHỨC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Căn bậc hai của số phức a. Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 = w được gọi là một căn bậc hai của w. Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của