Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân Bài giảng số 09: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Tính chất 1: Giả sử hàm số ( ) y f x là đơn điệu trên khoảng ( , ) a b và , ( , ) x y a b thì ( ) ( ) f x f y x y . Tính chất 2: Giả sử ( ) f x là hàm số đồng biến trên khoảng ( , ) a b và ( ) g x là hàm số nghịch biến trên khoảng ( , ) a b , khi đó nếu phương trình ( ) ( ) f x g x có nghiệm trên khoảng ( , ) a b thì nghiệm đó là duy nhất. Nhận xét: Nếu ( ) f x là hàm số đơn điệu trên khoảng ( , ) a b thì phương trình ( ) f x c nếu có nghiệm trên khoảng ( , ) a b thì nghiệm đó là duy nhất. Tính chất 3: Cho hàm số ( ) y f x trên khoảng ( , ) a b . Nếu phương trình '( ) 0 f x có 1 n ( ) n N nghiệm thuộc ( , ) a b thì phương trình ( ) 0 f x có nhiều nhất n nghiệm thuộc ( , ) a b . B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 8 1 2 4 2 x x x (1) Lời giải Điều kiện: 1. x Xét hàm số ( ) 1 2 4 f x x x trên 1; ) , ta có 1 1 '( ) 0 2 1 4 f x x x . Vậy ( ) f x đồng biến trên miền xác định. Mặt khác xét hàm số 8 5 8 ( ) 2 2 x x g x , ta có 8 '( ) 2 .ln 2 0 x g x nên ( ) g x nghịch biến trên miền xác định. Theo tính chất 2, phương trình (1) có nghiệm duy nhất 5 x , thật vậy: Nếu 1 5 x thì ( ) (5) (5) ( ) f x f g g x nên phương trình (1) vô nghiệm. Nếu 5 x thì ( ) (5) (5) ( ) f x f g g x nên phương trình (1) vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2 2 2 1 log 3 2 2 4 3 x x x x x x (2) Lời giải Điều kiện: x R . Phương trình (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log ( 1) log (2 4 3) (2 4 3) ( 1) log ( 1) ( 1) log (2 4 3) (2 4 3) x x x x x x x x x x x x x x x x Xét hàm số 2 ( ) log ( 0) f t t t t , khi đó phương trình (2) có dạng 2 2 ( 1) (2 4 3) f x x f x x (2’) Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân Vì 1 '( ) 1 0 ln 2 f t t nên ( ) f t là hàm đồng biến trên (0, ). Vậy theo tính chất 1, phương trình (2’) 2 2 1 2 4 3 x x x x 2 1 3 2 0 2 x x x x . Ví dụ 3*: Giải phương trình: 3 5 6 2 x x x (3) Lời giải Phương trình (3) 3 5 6 2 0. x x x Xét hàm số ( ) 3 5 6 2 x x f x x , ta có '( ) 3 ln3 5 ln5 6 x x f x . Dễ thấy '( ) f x là hàm số đồng biến và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện (0) (1) 0 f f nên phương trình '( ) 0 f x có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (0,1). Vậy theo tính chất 3 phương trình (3) có nhiều nhất hai nghiệm. Dễ thấy 0, 1 x x là nghiệm của (3). Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2( 1) (4) 1 (5) x y x y x y e e x e x y Lời giải Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương đương với 1 (4') 1 (5') x y x y e x y e x y Lấy (4’)-(5’) theo vế, ta được ( ) ( ). x y x y e x y e x y (6) Xét hàm số ( ) ( ) t f t e t t R , ta có '( ) 1 0 t f t e nên ( ) f t là hàm số đồng biến trên R Theo tính chất 1, phương trình (6) ( ) ( ) 0. f x y f x y x y x y y Với 0 y thay vào (4), ta có : 1 0 x e x (7) Xét hàm số ( ) 1, x g x e x với '( ) 1 x g x e thì '( ) 0 0. g x x Lập bảng biến thiên Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân x 0 '( ) g x - 0 + ( ) g x Từ bảng biến thiên, ta suy ra ( ) 0 g x , dấu xảy ra khi và chỉ khi 0. x Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0; 0) . Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 1 2 2 (1 4 )5 1 3 (6) 1 3 1 2 (7) x y x y x y x y y y x Lời giải Biến đổi phương trình (6) về dạng: 1 4 5[ ] 1 9.3 5 5 x y x y x y Đặt t x y , khi đó phương trình trên có dạng: 1 4 5 1 9.3 5 5 t t t Dễ thấy vế trái l à hàm số nghịch biến và vế phải là hàm số đồng biến nên theo tính chất 2 phương trình có nghiệm duy nhất 0 t . Vậy y x , thay vào (7), ta có: 2 1 3 1 2 x x x x x Chia cả hai vế cho x ta được 1 1 3 2 0 x x x x (8) Đặt 1 ( 0) u x u x , thì 2 1 (8) 3 2 0 2 u u u u Với 1 5 2 1 1 5 2 x u x . Với 2 5 2 2 5 x u x Vậy hệ có 4 nghiệm 1 5 1 5 1 5 1 5 ( ; ), ( ; ), (2 5; 2 5), (2 5; 2 5) 2 2 2 2 0 Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 2 3 2 3 log (1 3cos ) log (sin ) 2 (8) log (1 3sin ) log (cos ) 2 (9) x y y x Lời giải Điều kiện: cos 0 sin 0 x y Lấy phương trình (8) trừ (9) theo vế, ta có: 2 3 2 3 log (1 3cos ) log cos log (1 3sin ) log sin x x y y (10) Xét hàm số 3 3 ( ) log (1 3 ) log ( 0) f t t t t , ta có: ' 3 1 ( ) 0 ( 0) (1 3 )ln2 ln3 f t t t t Vậy theo tính chất 1, phương trình (cos ) (sin ) cos sin f x f y x y . Thay sin cos y x vào (8), ta có: 2 3 2 3 log (1 3cos ) log (cos ) 2 log (1 3cos ) log (9cos ) (11) x x x x . Đặt 2 3 3cos 2 1 3cos 2 1 log (1 3cos ) log 9cos 9cos 3 t t t x x x t x t x . Vậy phương trình (11) tương đương với 1 3(2 1) 3 3 2 1 0 t t t t (12) Xét 1 ( ) 3 2 1 t t g t , ta có ' 1 ( ) 3 ln3 2 ln2. t t g t Khi đó 3 2 3 3ln 2 3ln 2 '( ) 0 log ( ) 2 ln3 ln3 t g t t . Theo tính chất 3, phương trình (12) có nhiều nhất hai nghiệm. Dễ thấy (12) có hai nghiệm là 1 2 t t . +) Nếu 1 t thì 2 1 log (1 3cos ) 1 cos 3 x x , từ đó 1 sin 3 y . Trong trường hợp này hệ có 4 nghiệm 1 1 1 1 (arccos 2 , arcsin 2 ), (arccos 2 , arcsin 2 ) ( , 3 3 3 3 k m k m k m ) 1 1 1 1 ( arccos 2 , arcsin 2 ), ( arccos 2 , arcsin 2 ) ( , ) 3 3 3 3 k m k m m k +) Nếu 2 t thì 2 log (1 3cos ) 2 cos 1, x x từ đó sin 1 y . Trong trường hợp này hệ có nghiệm ( 2 , 2 ) ( , ). 2 k m k m Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau a) 04x3 x Đs: 1. x b) 3 3 log log 4 2 2 x x x , Đs: 1, 3. x x c) 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x Đs: 1. x d) 0)21(2x)23(x xx2 Đs: 0; 2 x x Bài 2: Giải các phương trình sau e) 2 5 log log (2 1) 2 x x Đs: 2. x f) 7 3 log log ( 2). x x Đs: 49 x g) 2 3 3 ( 2)log ( 1) 4( 1)log ( 1) 16 0. x x x x Đs: 80 2; 81 x x h) 2 2 1 5 1 10 1 6 x x x x x Đs: 1. x i) 2 1 1 1 1 3 2 1 1 ln(1 ) ln(1 ) 1 . x x x x x x x Đs: 1 x Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: a) sin sin cos2 3sin 1 0 x y x y x y Đs: ( 2 , 2 ) 6 6 k k , 5 5 ( 2 , 2 ) 6 6 k k b) 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y Đs: (1,1) c) 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 1 0 x y y x x x y y Đs: (1, 2), (1, 0), ( 1, 2), ( 1, 0). d) 2 2 2 (4 1) ( 3) 5 2 0 ( , ) 4 2 3 4 7 x x y y x y R x y x . Đs: 1 ( ; 2) 2 Bài 4: Giải các hệ phương trình sau: a) 2 2 1 2 2 x y x x y y x x y Đs: ( 1, 1), (1, 0) Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân b) 2 2 ln 1 ln 1 . 2 5 0 x y x y x xy y Đs: 0;0 . c) 1 ln ln . 2 .3 36 x x y y x y x y Đs: (1,1) d) 3 2 2 . log log 4 10 2 x y e e x y x y Đs: 2;2 . e) 3 2 3 2 3 2 3 5 1 4 3 5 1 4 . 3 5 1 4 x x x y y y y z z z z x Đs: 1;1;1 , 1 2;1 2;1 2 . . ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Tính chất 1: Giả sử hàm số ( ) y f x là đơn điệu trên khoảng ( , ) a b và , ( , ) x y a b . của (3). Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2( 1) (4) 1 (5) x y x y x y e e x e x y Lời giải Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương. theo tính chất 1, phương trình (2’) 2 2 1 2 4 3 x x x x 2 1 3 2 0 2 x x x x . Ví dụ 3*: Giải phương trình: 3 5 6 2 x x x (3) Lời giải Phương trình