Các phương pháp giải bất phương trình logarit thường gặp trong đề thi đại học

Bài giảng số 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I.. Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi loga người ta có thể mũ hoá theo cù

Bài giảng số 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

I Phương pháp:

Để chuyển ẩn số khỏi loga người ta có thể mũ hoá theo cùng 1 cơ số cả 2 vế bất phương trình

Chúng ta lưu ý các phép biến đổi cơ bản sau:

Dạng 1: Với bất phương trình: loga f x loga g x 

   

   

 

 

     

1

0 0

0

a a

f x

g x a



Dạng 2: Với bất phương trình:

   

 

1 0 log

b a

b

a

a

 

  



    

 



Dạng 3: Với bất phương trình:

   

 

1

log

0

b a

b

a

a

 

 



    

  



II Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: log 3x x 1 logxx2 1

Giải:

Bất phương trình tương đương với:

2 2

2

2

1 1

3

x x

x

x x













Vậy bất phương trình có nghiệm 1;2 \ 1 

3

x   

 

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: log 5x x28x 32

Giải:

Cách 1:

Bất phương trình tương đương với:

2

2

2

1 1

x x

x

x

 



Vậy bất phương trình có nghiệm 1 3 3

x     

  

Cách 2:

Bất phương trình tương đương với: log 5x x28x3logx x2

2

2

3

2

x

x

x

x

  





Vậy bất phương trình có nghiệm 1 3 3

x     

  

BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LÔGARIT

I Phương pháp:

II Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2 lg 5 x1 lg 5 x1

Giải:

Điều kiện:

x

x x

  

  

Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:

 2    2  

2

Vậy nghiệm của bất phương trình là 3 x 5

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:  

3 3

log 35

3 log 5

x x







Giải:

Điều kiện:

4

x x



Bất phương trình tương đương với:  3

5

log x 35x 3

2 3

3

3 3

3

2

4

35

x x

x

x

 







   



Vậy bất phương trình có nghiệm 2<x<3

1

Giải:

Điều kiện x>0 Biến đổi bất phương trình về dạng:

0 1 1 0

3

    

Đặt t  3x   1 x0 t 1 Khi đó bất phương trình (2) có dạng:

3

0 3

t x

 





Vậy bất phương trình có nghiệm x>9 hoặc 0<x<1

BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 1

I Phương pháp:

Mục đích chính của phương pháp này là chuyển các bài toán đã cho về bất phương trình đại số quen biết đặc biệt là các bất phương trình bậc 2 hoặc các hệ bất phương trình

II Ví dụ minh hoạ:

32

8

x

x





Giải:

Điều kiện x>0 Biến đổi bất phương trình về dạng:

3

2

2

32

8

x

x

Đặt t  log2x ta được:

2 2





Vậy nghiệm của bất phương trình là 1 1;  4; 8

8 4

x  



Chú ý: Trong ví dụ trên các em cần lưu ý khi thực hiện các phép biến đổi cho 2 toán tử:

2

2

x

BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 2

I Phương pháp:

Phương pháp đặt ẩn phụ dạng này đưa về ẩn mới nhưng không làm mất hết ẩn cũ Khi đó ẩn cũ còn lại được xem như tham số và tìm nghiệm theo ẩn cũ

II Ví dụ minh hoạ:

log xlog 8 logx x log x 0 (1)

Giải:

Điều kiện x>0

Biến đổi phương trình tương đương về dạng: 2  

log x 3log x log x3 log x 0

Đặt t  log3x khi đó bất phương trình có dạng:   2  

(2)

      Do đó f(t)=0 có nghiệm:

2

3 log

t

 



 



Do đó (2) tương đương với: t3tlog2x 0 log3x 3 log 3xlog2x0

x

 

Vậy bất phương trình có nghiệm là tập   0;1  27;

BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 3

I Phương pháp:

Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong bất phương trình và biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tích, khi đó lưu ý:

0 0

0 0

A B

A B

A B

 

 



    



và

0 0

0 0

A B

A B

A B

 

 



    



II Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: log3 log2 2 log3 log2

4

x

Giải:

Điều kiện x>0 (*)

Viết lại bất phương trình dưới dạng: log log3x 2x2 log3xlog2x 2 0

2

log

log

 



 

 Khi đó bất phương trình có dạng:

   3

2 3 2

x

thoả mãn (*)

Vậy bất phương trình có nghiệm 3<x<4

BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

I Phương pháp:

II Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2  3

1

1

x

x

   (1)

Giải:

Điều kiện:

2

x

x x

  

  

Ta có nhận xét sau:

+) x   2 4 4 log2 x 2 4log 42  2 VT 2

+)

1

1

VP x



Do đó bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

2

x



Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x=2

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

2

1 1

3 3





Giải:

Điều kiện:

2

0

3 2

x

x

x x





 



1 3

2

1

3

Từ đó ta có bảng xét dấu sau:

+ Với -1<x<0; VT<0; VP>0 Bất phương trình (1) sai

+ Với 0<x<1/2; VT>0; VP<0 Bất phương trình (1) đúng

+Với 1<x<3/2; VT>0; VP<0 Bất phương trình (1) đúng

+ Với x>3/1; VT<0; VP<0 Bất phương trình (1) tương đương với:

2

5

x



Kết hợp với trường hợp đang xét ta được x>5

Vậy bất phương trình có nghiệm: 0;1 1;3 5; 

   

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 1: Đưa về cùng cơ số

Giải các bất phương trình sau:

2 log (x 2x3)log (x3)log (x1) ;

b)

2

6

log log

x

c) 2

2 ( 9)

log x  [(x3) x 4] 1 ;

d) 6 2

3

1

2

x

x x









e) log 2 2 4

16

x

log log

2x x 2 x

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Giải các bất phương trình sau:

a)

3

32

8

x

x

b) log20,5x4log2 x  2(4log16x4);

c) log2 x2 2x24 log (4 x22x25;

d) log (22 x 1)log (22 x1 2) 2

e)

3

 

1

5 log a x1 log a x 

g) log 2log 2log 4x 2x 2 x 1