Các phương pháp giải phương trình logarit ôn thi đại học 2013

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình mũ, logarit ơn thi Đại học Bài giảng số 4: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BÀI TỐN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HỐ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi lơgarit người ta lơgarit hoá theo số vế phương trình, bất phương trình Chúng ta lưu ý phép biến đổi sau: Dạng 1: Phương trình: 0  a    loga f (x )  b    f x   ab    Dạng 2: Phương trình: 0  a   loga f x   loga g x      f x   g x      Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f(x)>0 g(x)>0 tuỳ thuộc vào độ phức tạp f(x) g(x) II Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình: log9 x   log3 x log   2x   Giải  x     Điều kiện: 2x    x  Phương trình viết dạng:     2x       1 2  log x   log x log  2  3  2    log 32 x  log  2x   1  log x  log x log  2x   1   x log  2x   1  log x  log  2x   1 log x    3 3 3 log x  x      log x  log 2x    x  2x   2x    x  x   x 0       2x  1  x  2 2 2x   x   x  x  x   0   x  4x  x    Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=4 Ví dụ 2: Giải phương trình: log x  log x  log5 x Giải Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán –Trường THPT Trần Ân Chiêm, Thanh Hóa http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình mũ, logarit ơn thi Đại học Điều kiện x>0 Ta biến đổi số 3: log4 x  log log3 x log5 x  log5 log3 x phương trình có dạng: log3 x  log4 3.log3 x  log5 3.log3 x  log3 x 1  log4  log5 3   log3 x   x  Vậy phương trình có nghiệm x=1 BÀI TỐN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp đặt ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu ý phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Nếu đặt t  loga x Dạng 2: Ta biết rằng: có chứa a logb x a logb c với x>0 thì: c logb a loga k x  t k ; logx a  đặt , ta thường đặt ẩn phụ dần với t a logb x t với 0x 1 t x logb a Tuy nhiên nhiều toán t  logb x II Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 3: Cho phương trình:     log2 5x  log 2.5x   (1) Giải: Biến đổi phương trình dạng:       1  log 5 log2 5x  log2 2 5x     log2 5x    Điều kiện: Đặt x      5x    5x   x    Khi phương trình có dạng: t 1  t    f t   t  5   t  log 5  1    t 2      log 5  1  2 5   t  2   t  log2 5x  x (2): t x t 2  x x 2 5x  x  log     5x  x  log 5   4  Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán –Trường THPT Trần Ân Chiêm, Thanh Hóa 2 (2) http://baigiangtoanhoc.com phương trình có nghiệm Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học x  log5 3; x  log5 Ví dụ 4: Giải phương trình:     log2 x  x   log x  x    log x  x          Giải x       Điều kiện: x  x    x     x  x      Nhận xét rằng:       1 x  x  1 x  x  1   x  x  1  x  x  1               Khi phương trình viết dạng: 1  1  log x  x  1  log x  x  1     log2 x  x       3 6             log2 x  x  1 log3 x  x  1  log6 x  x               sử dụng phép biến đổi số:     log2 x  x    log log x  x               log x  x    log log x  x           Khi phương trình viết dạng:       log2 log x  x   log log x  x    log x  x               Đặt   t  log x  x   Khi (1) có dạng: t log2 log 6.t  1       (1) t   log log 6.t     x  x     2 Với t=0  log6 x  x  1   x  x      x 1      x  x     + Với log2 log3 6.t   Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn –Trường THPT Trần Ân Chiêm, Thanh Hóa + http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình mũ, logarit ơn thi Đại học     log2 log3 log6 x  x  1   log2 log3 x  x  1            log  log x  x  1  log6  x  x        x  x   3log6  log  log   x  3   log6 x  x       Vậy phương trình có nghiệm x=1 x    log6  log 3 BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩnphụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x Phương pháp thường sử dụng phương trình lựa chọnẩn phụ cho biểu thức biểu thức cịn lại khơng biểu diễn triệt để qua ẩn phụ biểu diễn cơng thức biểu diễn lại q phức tạp Khi thường ta phương trình bậc hai theo ẩn phụ ( theo ẩn x ) có biết số phương II Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 5: Giải phương trình: lg2 x  lg x log2 4x   log2 x  Giải: Điều kiện x>0 Biến đổi phương trình dạng:   lg2 x   lg2 x lg x  lg2 x  Đặt t=lgx, phương trình tương đương với: t  2  log2 x  t  log2 x  Ta có:   2  log2 x   log2 x  2  log2 x  lg x  t  lg x      t  log x  lg x  lg x  lg x      lg  suy phương trình có nghiệm x  100  x   Vậy phương trình có nghiệm x=100 x=1 BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn –Trường THPT Trần Ân Chiêm, Thanh Hóa  số http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học Phương pháp dùng ẩn phụ dạng sử dụng ẩn phụ cho biểu thức lơgarit phương trình biến đổi phương trình thành phương trình tích II Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 6: Giải phương trình: 2  log2 x x  1   log2 x log2 x  x       Giải   x x  1    Điều kiện x   x  Biến đổi phương trình dạng:    x  x     log2  x2  x     log2 x log2 x  x   x      log2 x  x  log2 x log2 x  x    u  log x  x   Đặt   v  log x     Khi phương trình tương đương với: u  2u  v  uv    u  1v  2    v  x  1(L) log x  x  x  x         x  log2 x   x   x    Vậy phương trình có nghiệm x=2 x=4 BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp đặt ẩn phụ dạng việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ Trong hệ k-1 phương trình nhận từ mối liên hệ đại lượng tương ứng II Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 7: Giải phương trình:     log x  x    log x  x            Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán –Trường THPT Trần Ân Chiêm, Thanh Hóa http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học x        Điều kiện x  x    x    x  x          u  log2 x  x         Đặt  v  log x  x        2     Nhận xét rằng:     u  v  log2 x  x    log2 x  x               log2 x  x   x  x    log         Khi phương trình chuyến thành:     log2 x  x    1 u  v  u  v u  1                 u  3v  2v  v  log x  x  1       2             x  x    x     x  x      Vậy phương trình có nghiệm x=5/4 Ví dụ 8: Giải phương trình:      log2 x  4x    log2 x  4x   (1) Giải:  x  4x      2  Điều kiện 3  log2 x  4x    x  4x     4x   5  log x  4x             29  x   29(*)   u   log2 x  x   Đặt   v   log x  x          điều kiện u, v  Khi phương trình chuyển thành: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán –Trường THPT Trần Ân Chiêm, Thanh Hóa http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình mũ, logarit ơn thi Đại học u   2v   u   2v  u  2v  u   2v             v   u  v  6  2v 2  v  5v  24v  28   14           v         log2 x  4x      log x  4x   v  2; u    log2 x  4x               121  14 v  14 ; v    log2 x  4x      log2 x  4x    5   25      log2 x  4x         x  4x   x  4x   x  x      x  121   121    x  4x   25 x  4x   25   121    x   25               Vậy phương trình có nghiệm phân biệt BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp đặt ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với ẩn phụ ẩn x Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu thức phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng: Bước 3: Đặt f x ,  x  =0   y   x  , ta biến đổi phương trình thành hệ: y   x      f x ; y      II Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 9: Giải phương trình: log22 x  log2 x   (1) Giải: Đặt u  log2 x Khi phương trình thành: u  u   (2) u      1  u  Điều kiện:  1  u     Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán –Trường THPT Trần Ân Chiêm, Thanh Hóa http://baigiangtoanhoc.com Đặt v  u 1 điều kiện Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học  v   v2  u  Khi phương trình chuyển thành hệ: u   v u  v    2   u  v   u  v   u  v u  v  1     v   u u  v      Khi đó:  u   1  1 2  log2 x  x 2 + Với v=-u ta được: u  u      u   (1)  u  + Với u-v+1=0 ta được: u  u    u  1   log x   log x  1   x    x   Vậy phương trình có nghiệm BÀI TỐN 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I Phương pháp: Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng ấp dụng sau: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=k (1) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét: + Với x  x  f x   f x   k + Với x  x  f x   f x   k phương trình vơ nghiệm + Với x  x  f x   f x   k phương trình vơ nghiệm x  x0 nghiệm Vậy x=x0 nghiệm phương trình Hướng 2: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=g(x) (2) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) đồng biến hàm số y=g(x) hàm nghịch biến Xác định x0 cho f(x0)=g(x0) Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm x=x0 Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(u)=f(v) (3) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn –Trường THPT Trần Ân Chiêm, Thanh Hóa http://baigiangtoanhoc.com Bước 3: Khi (3)  Khóa học: Phương trình mũ, logarit ơn thi Đại học u v với u, v  Df II Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 10: Giải phương trình:   log2 x   x  log2 8 x  2   Giải: Điều kiện  x      x  Viết lại phương trình dạng:  x       log2 x   log2 x  2   x  log2 x2    x  log2 x  2   x x 2 Nhận xét rằng: + Hàm số y  log2 x  2 hàm đồng biến + Hàm số y=3-x hàm nghịch biến + Vậy phương trình có nghiệm nghiệm + Nhận xét x=3 nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x=3 Ví dụ 11: Giải phương trình: log4 x    2x   log2 x  2x   Giải x  2x     Điều kiện:    x  2x      x    Viết lại phương trình dạng:  x    x  2x  3  log x  2x  4  log x  2x  3  log x  2x  4 (1) log 2 2 Đặt t  x  2x  Đặt y  log t  t  4y (1)  log5 t  1  log t (2) phương trình (2) chuyển thành hệ: t  4y   y  y  y y   1               y 5 5 t           y  y Hàm số f y              5   5    (3) hàm nghịch biến Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán –Trường THPT Trần Ân Chiêm, Thanh Hóa http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình mũ, logarit ơn thi Đại học Ta có: +) Với y=1, f(1)=1 y=1 nghiệm phương trình (3) +) Với y>1, f(y)1, f(y)