BÀI GIẢI CHI TIẾT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÚP ÔN THI ĐẠI HỌC doc

www.nguoithay.com BÀI GIẢI CHI TIẾT PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH GIÚP ƠN THI ĐẠI HỌC WWW.NGUOITHAY.COM HOẶC WWW.NGUOITHAY.ORG 2x   x   3x  2x2  5x   16 1/ Giải phƣơng trình: Giải: Đặt t  2x   x  > (2)  x  2/ Giải bất phƣơng trình: 21 x  2x  2x  Giải:  x  1 log 3/ Giải phƣơng trình: 0 ( x  3)  log4 ( x  1)8  3log8(4x) Giải: (1)  ( x  3) x   4x  x = 3; x = 3  4/ Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm x   0;   :  m    x2  2x    x(2  x)  (2) t2  Giải:Đặt t  x  2x  (2)  m  (1  t  2),dox  [0;1  3] t 1 Khảo sát g(t)  t  2t  t2   Vậy g tăng [1,2] với  t  g'(t)  t 1 (t  1)2 t2  Do đó, ycbt  bpt m  có nghiệm t  [1,2]  m  max g(t )  g(2)  t 1 t1;2 5/ Giải hệ phƣơng trình :  x4  4x2  y2  6y     2  x y  x  2y  22   (2) ( x  2)2  ( y  3)   x2   u  Đặt  2 ( x   4)( y   3)  x   20  y   v  Giải: (2)   u  v  Khi (2)   u  u   v  v    u.v  4(u  v)   x   x  2  x   x       ; ; ; y  y  y  y     6/ 1) Giải phƣơng trình: 5.32 x 1  7.3x 1   6.3x  9x 1  (1) 2) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phƣơng trình sau có nghiệm phân biệt: Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com log ( x  1)  log ( x  1)  log3 (a)  3  log2 ( x  2x  5)  mlog( x2 2x5)  ( b)  Giải: 1) Đặt t  3x  (1)  5t  7t  3t 1   x  log3 ; x   log3 log ( x  1)  log ( x  1)  log (a) 2)   log ( x  x  5)  m log ( x2  x 5)   (b)  Giải (a)  < x <  Xét (b): Đặt t  log2 ( x2  x  5) Từ x  (1; 3)  t  (2; 3) (b)  t  5t  m Xét hàm f (t )  t  5t , từ BBT  m     25  ; 6    7/ Giải hệ phƣơng trình: 8 x3 y  27  18 y   2 4 x y  x  y     (2x)3     18   y Giải: (2)   Đặt a = 2x; b = (2)  y 2x  2x       y y   a  b   ab   3   3  ; ;  ,   3   3     1 8/ Giải bất phƣơng trình sau tập số thực: (1)  x   3 x  2x Giải:  Với 2  x  : x    x  0,  2x  , nên (1) 5  Với  x  : (1)  x    x   x   x  2 1  5  Tập nghiệm (1) S   2;    2;  2  2   x   y ( y  x)  y  9/ Giải hệ phƣơng trình:  (x, y  ) ( x  1)( y  x  2)  y  Hệ cho có nghiệm:   x2   y x2   x2   1  x 1  x  2  y  Giải: (2)       y y   y5  x  ( y  x  2)  y  x  1   y  10/ Giải bất phƣơng trình: Giải: BPT  Đặt log x  log x   (log x  3) log x  log x2   5(log x  3) (1) t = log2x (1)  t  2t   5(t  3)  (t  3)(t  1)  5(t  3) Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com t  1  log x  1 t  1  0  x      t      3  t  3  log x   (t  1)(t  3)  5(t  3) 8  x  16  11/Giải phƣơng trình: log2 ( x2  1)  ( x2  5)log( x2  1)  5x2  Giải: Đặt log( x2  1)  y PT  y  ( x2  5) y  5x2   y   y   x2 ; 12/ Giải phƣơng trình: 1  x x 1 Nghiệm: x   99999 ; x = 1 Giải: Đặt 2x  u  0; 2x 1   v x  u   2v  u  v   u   2v PT       2  x  log 1  v   2u (u  v)(u  uv  v  2)  u  2u        x2 y  x2  y   có ba nghiệm phân biệt 2 m  x  y   x y   13/ Tìm m để hệ phƣơng trình:  (m  1) x  2(m  3) x  2m   (1) Giải: Hệ PT   x   y  x 1  2 x    Khi m = 1: Hệ PT   x   y  x 1  (VN )  Khi m ≠ Đặt t = x2 , t  Xét f (t )  (m 1)t  2(m  3)t  2m   (2) Hệ PT có nghiệm phân biệt  (1) có ba nghiệm x phân biệt  (2) có nghiệm t = nghiệm t >   f (0)     m   m  3  0 S  1 m   x  y 1  14/ Tìm m để hệ phƣơng trình có nghiệm:   x x  y y   3m  u  v  u  v   uv  m u  v   3m x 15/ Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: x( x  1)  4( x  1) m x 1 Giải: Đặt u  x , v  y (u  0, v  0) Hệ PT   Giải: Đặt t  ( x  1) 3 x PT có nghiệm t  4t  m  có nghiệm, suy m  4 x 1 Liên hệ www.nguoithay.org để xem giảng video 16/ Giải phƣơng trình: 3x.2x = 3x + 2x + Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com ĐS:  m  www.nguoithay.com Giải: Nhận xét; x =  nghiệm PT PT  3x  2x  2x  Dựa vào tính đơn điệu  PT có nghiệm x =  17/ Giải hệ phƣơng trình: Giải  x  y  xy    2  x 1  y 1   (a) (b) (b)  x2  y  ( x2  1).( y  1)  14  xy  ( xy)2  xy   11 (c) p 3   p  35 3 p  26 p  105     p  11 Đặt xy = p (c)  p  p   11  p   (a)   x  y   3xy   p = xy =   xy   x y x  y   1/ Với  Vậy hệ có hai nghiệm là:  35 (loại)  p = xy =  x  y  2  xy   x y  x  y  2  2/ Với  3;  ,   3;   1 2   18/ Giải bất phƣơng trình: log (4 x  x  1)  x   ( x  2)log   x  1 1   x  x < 2  2  x   y( x  y)  y  (x, y  )  ( x  1)( x  y  2)  y  Giải: BPT  xlog (1  2x)  1   x    19/ Giải hệ phƣơng trình:  x2   x y22   y Giải: y = nghiệm Hệ PT    x  ( x  y  2)   y  x2  Đặt u  , v  x  y  Ta có hệ y  x2  1 u  v    u  v 1   y  uv  x  y    Nghiệm hpt cho (1; 2), (–2; 5) 20/ Tìm m cho phƣơng trình sau có nghiệm nhất: ln(mx)  2ln( x  1) Giải: 1) ĐKXĐ: x  1, mx  Nhƣ trƣớc hết phải có m  Khi đó, PT  mx  ( x  1)2  x2  (2  m) x   (1) Phƣơng trình có:   m  4m  Với m  (0;4)   <  (1) vô nghiệm  Với m  , (1) có nghiệm x  1 <  loại  Với m  , (1) có nghiệm x = thoả ĐKXĐ nên PT cho có nghiệm  Với m  , ĐKXĐ trở thành 1  x  Khi   nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  Mặt khác, f (1)  m  0, f (0)   nên x1  1  x2  , tức có x2 nghiệm phƣơng trình cho Nhƣ vậy, giá trị m  thoả điều kiện toán Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com  Với m  Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  Áp dụng định lý Viet, ta thấy hai nghiệm dƣơng nên giá trị m  bị loại Tóm lại, phƣơng trình cho có nghiệm khi: m  (;0)  4  x  91  y   y (1)    y  91  x   x (2)  21/ Giải hệ phƣơng trình: Giải: Điều kiện: x ≥ y ≥ : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta đƣợc: x2  91  y  91  y   x   y  x  x2  y x  91  y  91 2 yx  ( y  x)( y  x) y2  x2    x y  ( x  y)    x  y   x  91  y  91  x2  y2    x = y (trong ngoặc dƣơng x y lớn 2) x2  91  x   x  x2  91  10  x    x  Vậy từ hệ ta có:  x2  x  91  10      1  1  0  ( x  3)( x  3)  ( x  3)  ( x  3)   x  1 x  1  x  91  10    x=3 x 3 Vậy nghiệm hệ x = y = 22/ Giải bất phƣơng trình: log2 ( 3x   6)   log (7  10  x )   x  10 Giải: Điều kiện: BPT  log 3x   3x    log (7  10  x )   10  x 2  3x    2(7  10  x )  369  ≤ x ≤ 49 (thoả)  23/ Giải phƣơng trình: Giải: Đặt: 3x   10  x   49x2 – 418x + 369 ≤ x   x x2   ( x  1) x  x    v2  u  2x  u  x  2, u    u  x      v2  u  2 v  x  x   x  v  x  x  3, v     v  u    v  u  1 (v  u )  (v  u )   0    (v  u )   v  u     2          PT  Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com (b) (c ) www.nguoithay.com v  u   v  u  x2  2x   x2   x   Do đó: PT  24/ Giải bất phƣơng trình: x  3x   x  3x   x  1   ;   1   2;   2 Giải: Tập xác định: D =   x = nghiệm  x  2: BPT  x   x   x  vô nghiệm 1   x   x   x có nghiệm x  x : BPT  1   ;   1 2  BPT có tập nghiệm S=   25/ Giải phƣơng trình: Giải: Điều kiện: x x2  2( x  1) 3x   2 x2  5x   8x  2 2     PT  ( x  1)  2( x  1) 3x    3x      x    2 x  5x    x     26/ Giải hệ phƣơng trình:  x3  6x2 y  9xy2  4y3     xy  x y 2  Giải:  x3  6x2 y  9xy2  4y3     xy  x y   (1) x  y (2) Ta có: (1)  ( x  y)2 ( x  4y)    x  4y   Với x = y: (2)  x = y =  Với x = 4y: (2)  x  32  15; y   15 27/ Giải phƣơng trình: x2  3x    tan  x2  x2  Giải: PT  x2  3x    x  x2  (1) 2 2 2 Chú ý: x  x   ( x  x  1)( x  x  1) , x  3x   2( x  x  1)  ( x  x  1) Do đó: (1)  2( x2  x  1)  ( x2  x  1)   Chia vế cho x  x     x2  x  ( x2  x  1)( x2  x  1) t đặt Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com x2  x  x2  x  ,t0 www.nguoithay.com  3 0 t   t  2t  t 1   3 Ta đƣợc: (1)      x2  5x  y   28/ Giải hệ phƣơng trình:  2 3x  x y  2xy  6x  18   y   x2  5x    Giải: Hệ PT   x  4x  5x  18x+18    x  1; y   x  3; y  15   x  1  7; y      x  1  7; y   x2  x  x  x 1   x   y   x2  5x   x     x  3   x  1   x   x  12  2x  29/ Giải bất phƣơng trình: Giải: BPT   x   x  2y  xy   30/ Giải hệ phƣơng trình:   x   4y        x y  x 2 y  x 2 y     x  4y      Giải : Hệ PT   x   4y     x   4y     4y   x    y    8x3y3  27  7y3 (1)  31/ Giải hệ phƣơng trình:  4x2y  6x  y2 (2)  Giải: 8x3y3  27  7y3 t  xy  Từ (1)  y  Khi Hệ PT   2  3 4x y  6xy  y 8t  27  4t  6t  t  xy    t   ; t  ; t    Với t   : Từ (1)  y = (loại)  Với t  : Từ (1)  2  Với t    ; y  33  : Từ (1)   x  2   32/ Giải phƣơng trình: 3x.2x  3x  2x  Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com    x  ;y  4   www.nguoithay.com Giải nghiệm (1) 2x  2x  Với x  , ta có: (1)  3x   3x  0 2x  2x  2x  x Đặt f ( x)  3x  Ta có: f  ( x)  3x ln3    2  0, x  2x  2x  (2x  1)  1  1 Do f(x) đồng biến khoảng  ;   ;    Phƣơng trình f(x) = có nhiều  2 2    1  nghiệm khoảng  ;  ,  ;    2   Ta thấy x  1, x  1 nghiệm f(x) = Vậy PT có nghiệm x  1, x  1 PT  3x (2x  1)  2x  (1) Ta thấy x  33/ Giải phƣơng trình: x  x2   x  x2   Giải:  x2    Điều kiện:   x  x  x 1  Khi đó:  VT > x  x2   x  x2   x  x2  CoâSi  x  x2   x  x2   x (do x  1)   x2  x  x2  =  PT vô nghiệm  2xy 1 x  y  x y   x  y  x2  y  34/ Giải hệ phƣơng trình:  2xy 1 x  y  Giải:  x y  x  y  x2  y  (1) Điều kiện: x  y  (2)  (1)  ( x  y)2   2xy     2    ( x  y  1)( x  y  x  y)   x  y   x y (vì x  y  nên x2  y2  x  y  )  Thay x   y vào (2) ta đƣợc:  x2  (1  x)  x2  x     x  ( y  0)  x  2 ( y  3) Vậy hệ có nghiệm: (1; 0), (–2; 3) 35/ Giải hệ phƣơng trình: 23 3x    5x       Giải: Điều kiện: x  Đặt u  3x   u2  3x  v   5x  v   5x  2u  3v    Giải hệ ta đƣợc u  2  3x   2  x  2 v  6  5x  16 5u  3v  Ta có hệ PT:  Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com Thử lại, ta thấy x  2 nghiệm PT Vậy PT có nghiệm x  2  2 y  x  36/ Giải hệ phƣơng trình:  3 2 x  y  y  x  Giải: Ta có: x3  y3   y  x2   y  x   x3  x y  xy  y3  Khi y  hệ VN x x  x Khi y  , chia vế cho y  ta đƣợc:            y  y  y y  x x  Đặt t  , ta có : t  2t  2t    t     x  y  1, x  y  1 y y 1   2y  x  m 37/ Tìm giá trị tham số m cho hệ phƣơng trình  có nghiệm y  xy   2y  x  m Giải:   y  xy  (1) (2) y   Từ (1)  x  2y  m, nên (2)  2y  my  1 y   (vì y  0) m y   y  1 Xét f  y  y    f '  y   1 0 y y2 Dựa vào BTT ta kết luận đƣợc hệ có nghiệm  m  3 x3  y3  4xy  38/ Giải hệ phƣơng trình:  2 x y     Giải: Ta có : x2 y   xy  3  Khi: xy  , ta có: x3  y3  x3   y3   27 Suy ra: x3 ;   y3  nghiệm phƣơng trình: X  X  27   X   31 Vậy nghiệm Hệ PT là: x   31, y    31 x   31, y    31  Khi: xy  3 , ta có: x3  y3  4 x3   y3   27   Suy ra: x3 ;  y nghiệm phƣơng trình: X  X  27  39/ Giải hệ phƣơng trình:  y 2 1  2 x  x  y 1   x2  y2  x  22  y  Giải: Điều kiện: x  0, y  0, x2  y2   Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com ( PTVN ) www.nguoithay.com 3 3 x   (1) Hệ PT trở thành:  u  v   u  v  y u  1 4v  22 u  21 4v (2)   v  3 Thay (2) vào (1) ta đƣợc:    2v2  13v  21    v  21 4v v  2 x  y 1   2  x   x  3  Nếu v = u = 9, ta có Hệ PT:  x   x  y  10    y   y  1  x  3y y   Đặt u  x2  y2  1; v   Nếu v  u = 7, ta có Hệ PT:    x2  y2    x2  y2   y   y  4    53   53   x   x y y   x  14  x  14    53  53   So sánh điều kiện ta đƣợc nghiệm Hệ PT   x  y   xy  40/ Giải hệ phƣơng trình:  2 x  y     x  y   xy  Giải:  2 x  y   (1) Điều kiện : x y  ; x  y (2) Ta có: (1)  3( x  y)2  xy  (3x  y)( x  y)   x  y hay x  y  Với x  y , vào (2) ta đƣợc : y  y    y  ; y   x   x  12 ;  Hệ có nghiệm  y  y  y  Với x  , vào (2) ta đƣợc : y  y  24  Vô nghiệm  x   x  12 ; Kết luận: hệ phƣơng trình có nghiệm là:  y  y  41/ Giải hệ phƣơng trình:  x  y  xy   y  2  y( x  y)  x  y   x2  x y    x  y  xy   y y   Giải: Từ hệ PT  y  Khi ta có:  2  y( x  y)  x  y  ( x  y )  x    y  Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com x  x  3 x 1  4 KL: HPT có nghiệm ( x; y )   1;   5 Với 5y = 4x vào PT(2) ta có Điều kiện: x> ; BPT  24log2 x  x 2log2 x  20  Đặt t  log2 x Khi x  2t BPT trở thành 42t  22t  20  Đặt y = 22 t ; y  BPT trở thành y2 + y - 20   -  y  Đối chiếu điều kiện ta có : 22t   2t   t   -  t  1 Do -  log2 x    x  2 Đề số 237  x  3x( y  1)  y  y ( x  3)  Giải hệ phƣơng trình:  ( x, y  R)  x  xy  y  x 1 x 1 Giải phƣơng trình: (3 x  2) log   3 Giải: x  y  2/ x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) =  (x-y)2 + 3(x-y) - +    x  y  4 2 x  y  * Với x- y = 1, ta có   x = 1; y = x= -1; y = -2  x  xy  y   x  y  4 * Với x - y = -4 ta có  (Hệ PT vơ nghiệm)  x  xy  y  Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) = (-1; -2) 4.Điều kiện: x > Thì Pt  x 1 x2 x  (3  2) log3    (3 x  2)log ( x  1)  log 3   x 1 3 x x x x  (3  2)log ( x  1)  1   2.3  (3  2) log ( x  1)     x  log 3 x    (3  2)log ( x  1)  1     ; Vậy PT có nghiệm x = x  log ( x  1)  1   Đề số 238 x Giải phƣơng trình x2  x  x   x x   4 x  y  Giải hệ phƣơng trình:  log (2 x  y )  log (2 x  y)  Giải: 1/ Đặt u  x   ta có u  x2  Kết hợp với pt cho ta có hệ Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com  (u  x)   (u  x) (u  x)   x(2 x  1)  u (2 x  1)  (2 x  1)(u  x)      (u  x)(u  x)  (u  x)(u  x)  (u  x)(u  x)    a  4 u  x  a (a  b  1)a  a   Đặt  , ta có hệ    3 b u  x  b ab  b    2 a   x   x   x    x   Nếu     x 1 b   x2   x   x2    x    x   x  4 (*)  a  4   Nếu  (I) 3   3 b x 3 x      x   x  x   x  x  x   (*) vô nghiệm  hệ (I) vô nghiệm Vậy, pt cho có nghiệm x  (Các cách khác: Ta có + Đặt t  x  x  + Biến đổi pt thành (2 x  1) x2    x  x2 , đặt đk bình phương hai vế + Biến đổi pt thành (2 x  1)   x   x  , nhân vế với x   x  0, x ) 4 x  y  (1) 2 x  y   4/  (I) Đk:  log (2 x  y )  log (2 x  y)  (2) 2 x  y   (1)  log (4 x2  y )  log 2  log (2 x  y)  log (2 x  y)  (3) (2) (3)  log (2 x  y)  log3 (2 x  y)   log (2 x  y)  log 3.log3 (2 x  y)   log (2 x  y) 1  log 3     log (2 x  y)   x  y  2 x  y  x  2 x  y  Vậy, Hệ (I)    (tm)   2 x  y  4 x  y  y  Vậy nghiệm hệ pt ( x; y)   ;  Đề số 239 Giải bất phƣơng trình Giải phƣơng trình 2 x  x    3x  x.5 x 2 3x.5 x  1 log  x  3  log  x  1  log  x  Giải: Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com  2 www.nguoithay.com Giải phƣơng trình 1 log  x  3  log  x  1  log  x      x  3 x   x Điều kiện:  x  ; Trường hợp 1: x   2  2  x2  x   x  Trường hợp 1:  x   2  x2  x    x   3  Vậy tập nghiệm (2) T  2;  Đề số 240     1/ Giải ph-ơng trình : 3x x   4 x  2   x  x  4 xy  y  y  x    4x   y   2/ Giải hệ ph-ơng trình : Gii: 1/ Ph-ơng trình 3x  x   2 x  1   x  x  f (t )  t 2     3x  (3x)   2 x  1  (2 x  1)  XÐt hµm sè    (t )  cã f ' (t )   (t )    t2 t2 Vậy hàm số đồng biến nªn: f (3x)  f (2 x  1)  3x  2 x   x   Vậy ph-ơng trình có nghiệm x  víi t 2 ( xy  y )  y  x (1)  2/ Hệ ph-ơng trình x  y   6( 2)  tõ(1)  y ( x  y )  ( y  x)( y  xy  x ) 2 4  ( y  x)( y  xy  x  y )  x y vào (2) ta đ-ợc : x   x    x   y  1 VËy hƯ cã nghiƯm ( 1;1) vµ (1;-1) Đề số 241  x  3x( y  1)  y  y ( x  3)  Giải hệ phƣơng trình:  ( x, y  R)  x  xy  y  x 1 x 1 (3 x  2) log   4/ Giải phƣơng trình: 3 Giải: 2/ x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) =  (x-y)2 + 3(x-y) - + Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com x  y   x  y  4  x  y  * Với x- y = 1, ta có   x  xy  y   x = 1; y = x= -1; y = -2  x  y  4 * Với x - y = -4 ta có  (Hệ PT vơ nghiệm)  x  xy  y  Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) = (-1; -2) 4/ Điều kiện: x > x 1 x 1 (3 x  2) log    (3 x  2)log ( x  1)  log 3   x 1 3 x x x x  (3  2)log ( x  1)  1   2.3  (3  2) log ( x  1)     x  log ( loai ) 3 x    (3  2)log ( x  1)  1     x  log ( x  1)  1    Vậy PT có nghiệm x = x Đề số 242 Giải: Giải bất phƣơng trình: Điều kiện: x  x2  x  92  x  x  x   Bất phƣơng trình  x  x  92  10  ( x  x  8)  ( x   1) x2  2x  x2   ( x  2)( x  4)  x 1 1 x  x  92  10   x4  ( x  2)   ( x  4)  0 x   1  x  x  92  10   1  ( x  2) ( x  4)(  1)  0 x   1 x  x  92  10   0, x  x 1  x  x  92  10 Do bất phƣơng trình  x    x  Ta có: ( x  4)(  1)  Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phƣơng trình là:  x  2 x  x    3x  x.5 x 2 3x.5 x  log x log x2 Giải phƣơng trình x   2.3 Đề số 243 Giải bất phƣơng trình sau: Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com log y  log x 1  log x   log y  10  2 Giải hệ phƣơng trình    log 2.log log ( xy)  x y    Giải: 2/ Điều kiện:   x  Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 5x   x  x  1  3x.5x 5x 2 x  x   (3x  2)5x  x  (1) 2  3x  5x 3x  x  ln  Xét hàm số g ( x)  3x  5x , g '( x)   5x.ln 5, g ( x)   x  log       ln   Lâp bảng biến thiên, ta thấy g ( x)  g  log   0     157 22   157  Vậy nghiệm bất phƣơng trình là: T    22 ;3   4/ Điều kiện x  2 61log2 x log x log x2  2log2 x  6log2 x  2.3log2 x  22log2 x   2.32log2 x  x   2.3   x  x  1  3x  ( 5x  )  x  (1)  2log x log x 2 2 2 2  6.2 6 12.3        12    3 3 3 5/ Điều kiện:  x, y  Đặt a  log x; b  log y Khi đó, hệ phƣơng trình trở thành: b  a 1  a   b  10 (*) 10  a  b 1  ab    a  b (1)     (2) 1    a  b   (**) 2  a  b 1  ab   9ab     ab   2log2 x 1log2 x 2log2 x    Lấy phƣơng trình (1) chia vế theo vế (2) ta đƣợc: 5ab   a log 2 x  x  1  b  5a  b2 (3)    a2 b a b   1 a 10  b2 b   b2  b2 b 9 Thay vào (3), ta có:     5   (4)  b b 1 b  10  b  Từ (*), ta suy Đặt t   b2 Phƣơng trình (4) trở thành: t     2t  9t  10   t  2; t  b t 2 Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com x  Với t   b2  2b    b   y    x  b   y  4, x  Với t   2b  5b     b   y  2, x  2    Vậy hệ có nghiệm ( x; y)  (2;4);(2; 2) Đề số244 Giải:   2; ,  4;  8x3 y3  27  18y3 (1) Giải hệ phƣơng trình:  2 4x y  6x  y (2) 8x3 y3  27  18y3 (1) Giải hệ phƣơng trình:  2 4x y  6x  y (2) (1)  y    3 8x3  27  18 (2x)     18  y3    y Hệ     4x  6x  2x  2x       y2   y y y  3 Ta có hệ: a  b  18  a  b  Đặt a = 2x; b =   y ab(a  b)  ab   Hệ cho có nghiệm   ;  ,   ;       3   3  Đề số 245 Giải phƣơng trình: log (3x  1)   log (2 x  1) Giải Giải phƣơng trình: log (3x  1)   log (2 x  1) §iỊu kiƯn x  (*) Với đk trên, pt đà cho log (3x  1)   log (2 x  1)  log 5(3x  1)  log (2 x  1)  5(3x  1)  (2 x  1)  x  33x  36 x    ( x  2) (8 x  1)  §èi chiÕu ®iỊu kiƯn (*), ta cã nghiƯm cđa pt lµ x  x   x   Đề số 246 Giải ( x  1)( y  1)( x  y  2)  Giải hệ phƣơng trình:  2 x  y  2x  y   ( x  1)( y  1)( x  y  2)  Giải hệ phƣơng trình:  2 x  y  2x  y   Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com ( x  1)( y  1)( x   y  1)  uv(u  v)  uv(u  v)  u  x    Hệ   với  2 2 v  y  ( x  1)  ( y  1)   u  v   (u  v)  2uv   P.S  S  S  u  v Đặt:  đƣợc   P   P  u.v S  P   X  x   x   u, v nghiệm phƣơng trình: X2 – 3X + =     X  y 1  y 1  Vậy nghiệm hệ: (3 ; 2), (2 ; 3) Đề số247 Giải phƣơng trình: log3  x  x  1  log3 x  x  x Giải bất phƣơng trình: (log x  log x )log 2x  Giải Giải phƣơng trình: log3  x  x  1  log3 x  x  x x2  x  1  x   x   3x   x   x   x x Đặt:f(x)= 3x 2 x  g(x)= x   (x  0) x Dùng pp kshs =>max f(x)=3; g(x)=3=>PT f(x)= g(x)  max f(x)= g(x)=3 x=1 =>PT có nghiệm x=  log3 4/ Giải bất phƣơng trình: (log x  log x )log 2x  Điều kiện x > , x       1  2log4 x  log2 2x     log2 x   log2 x  1  (1)    log8 x 2  log2 x  3   log2 x   log2 x   (log2 x  3)  0 0 log2 x  log2 x   log2 x  1hayl og2 x    x  hay x  Đề số248 1/ Giải phƣơng trình log3 (x  5x  6)  log3 (x  9x  20)   log3 Giải: Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com  x  5   + Điều kiện :  x  5x    x  3  x  2   4  x  3 , có :  log3  log3 24    x  9x  20    x  5  x  4  x  2      + PT (*)  log3 (x  5x  6)(x  9x  20)   log 24  (x  5x  6)(x  9x  20)  24  2 (x  5)  (4  x  3)  (x  2) (x  5)  (4  x  3)  (x  2)  (x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  24 (*)  (x  5)  (4  x  3)  (x  2) (**) + Đặt t  (x  3)(x  4)  x  7x  12  (x  2)(x  5)  t  , PT (*) trở thành : t(t-2) = 24  (t  1)2  25  t   t  4  t = : x  7x  12   x  7x     x  1 ( thỏa đkiện (**))   x  6 t = - : x  7x  12  4  x  7x  16  : vô nghiệm  + Kết luận : PT có hai nghiệm x = -1 x = - Đề số 249 1.Giải phƣơng trình xlog2  x2 3log2 x  xlog2 3  2 4 xy  4( x  y )  ( x  y )   Giải hệ phƣơng trình sau:  2 x    x y  2 Giải: Giải phƣơng trình xlog2  x2 3log2 x  xlog2 ĐK: x>0 log log x log log x Ta có phƣơng trình x  x2  x   x2  t Đặt log2 x  x  2t t  3  1 Phƣơng trình trở thành           t   x   4  4  xy  4( x  y )  7  ( x  y)2  Giải hệ phƣơng trình sau:  2 x    x y  ĐK: x + y   2 3( x  y )  ( x  y )  ( x  y )   Ta có hệ   x  y   x  y   x y  t t 3u  v  13 ( u  ) ; v = x – y ta đƣợc hệ :  x y u  v  Giải hệ ta đƣợc u = 2, v = ( u  ) Đặt u = x + y + Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com  2 x  y  x  x  y  x y Từ giải hệ    x  y  y  x  y   Đề số250  x1  y 1  Gi¶i hƯ ph-ơng trình: x y Giải ph-ơng trình: log2 x  x   1 log2 x   x2 23 x 1  y 2  3.2 y 3 x  Giải hệ phƣơng trình:   3x   xy  x    x1  y Gii: Giải hệ ph-ơng trình:  x 6  y   §iỊu kiÖn: x  -1, y   x1  x6  y1  y4 10 Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ   x6  x1  y 4  y1  §Ỉt u= x   x  , v = y   y  Ta cã hÖ   u  v 10 u x  v 5  y 5 lµ nghiƯm cđa hƯ 5   2 u v 4/ Tìm a để bất ph-ơng trình sau cã nghiƯm: log §iỊu kiƯn: ax + a > x   a( x  1) Bpt tƣơng đƣơng NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã x2  a x 1 NÕu a0 Đặt 1 log2 x =u,    1  1 log2 x log2 x  x   v ta cã pt  1 log2 x   x2 u +uv2 = + u2 v2  (uv2-1)(u – 1) =   u 2 x =1  uv 1  23 x 1  y 2  3.2 y 3 x  / Giải hệ phƣơng trình:   3x   xy  x     x+1   x  1  x  1   PT      x  3x  y  1   x   y   3x 3x   xy  x   8 Với x = thay vào (1) :  y 2  3.2 y   y  12.2 y  y   y  log 11 11  x  1 Với  thay y = – 3x vào (1) ta đƣợc : 23 x 1  23 x1  3.2  3  y   3x Đặt t  23 x 1 , x  1 nên t   t   2 PT (3) : t    t  6t     t t   2  Đối chiếu điều kiện t   ta chọn t   2 Khi 23 x 1   2  x  log  2  1  3   y   3x   log  2   1  x     x  log  2  1 Vậy HPT cho có nghiệm    y  log 11  y   log  2     Đề số 251 Giải:      x  y  x  y  13  Giải hệ phƣơng trình:  2  x  y  x  y  25       x  y  x  y  13  Giải hệ phƣơng trình:  2  x  y  x  y  25  Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com    x, y    x, y   www.nguoithay.com        x  y  x  y  13 1 x3  xy  x2 y  y3  13 1'      2 2 y  xy  x y  x  25  '   x  y  x  y  25  Lấy (2) - (1) ta : x2 y– xy2 =   x  y  xy  (3) KÕt hỵp víi (1) ta cã :  x  y  x  y  13   I  §Ỉt y = - z ta cã :   x  y  xy       x  z  x2  z  13   x  z   x  z   2xz   13   I       x  z  xz    x  z xz đặt S = x +z vµ P = xz ta cã : S S  2P  13 S  2SP  13 S       P  6 SP  6 SP  6   x  z  x  x  2 Ta cã :  HƯ nµy cã nghiƯm  hc  x.z  6 z  2 z Vậy hệ đà cho có nghiệm : ( ; 2) vµ ( -2 ; -3 ) Đề số252 Giải bất phƣơng trình: log x (log (2 x  4))  Giải: Giải bất phƣơng trình: log x (log (2 x  4))      0  x   log x (log (2  4))  Đk: log (2 x  4)   x  log  x 2   x Do x   PT  log4 (2x  4)  x  2x   4x  4x  2x   với x Do BPT có nghiệm: x  log Đề số 253 2: Giải bất phƣơng trình: x2  35  5x   x  24 2( x  1)  yx y  log 2010 Giải hệ phƣơng trình   y2  x2   x  y  Giải: 2: Giải bất phƣơng trình: BPT tƣơng đƣơng x2  35  5x   x  24 Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com 11 x  35  x  24  x   x  35  x  24  5x   11  (5 x  4)( x  35  x  24) Xét: a)Nếu x  không thỏa mãn BPT b)Nếu x>4/5: Hàm số y  (5x  4)( x  35  x  24) với x>4/5 1 y'= 5( x  35  x  24)  (5 x  4)(  ) >0 x>4/5 2 x  35 x  24 Vậy HSĐB +Nếu 4/51 y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1 x Giải phƣơng trình: 3x 2 x1  Đề số254 x Giải: Giải phƣơng trình: 3x 2 x1  x log3   log3 2x 1 Đƣa phƣơng trình dạng: (x – 1)(2x2 + x – - log ) = Lấy logarit theo số cho hai vế ta đƣợc: x  Từ suy nghiệm x = 1; x  Đề số255 Giải: Giải bất phƣơng trình Giải bất phƣơng trình 1   8log log x  log x   (log x  3) log x  log x   (log x  3) x  ĐK:  2 log x  log x   Bất phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với đặt t = log2x, log x  log x   (log x  3) BPT (1)  t  2t   (t  3)  (t  3)(t  1)  (t  3) t  1  0 x log x  1 t  1    t      3  t  3  log x   (t  1)(t  3)  5(t  3)  x  16   Vậy BPT cho có tập nghiệm là: (0; ]  (8;16) Đề số 256  2 log 1 x ( xy  x  y  2)  log 2 y ( x  x  1)  2, Giải hệ phƣơng trình:  log 1 x ( y  5)  log 2 y ( x  4)   Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com (1) www.nguoithay.com 4, Giải ph-ơng trình: log 2 ( x  3)  log x  1  log x Giải: 2 log 1 x ( xy  x  y  2)  log 2 y ( x  x  1)   2, Gi¶i hệ ph-ơng trình: log x ( y 5)  log 2 y ( x  4)     x  1, x  §K   y  2; y  1 Đ-a ph-ơng trình thứ hệ dạng: log1 x (2  y)  log 2 y 1  x Đặt t log1 x (2 y) , tìm đ-ợc t = 1, kết hợp với ph-ơng trình thứ hai hệ,đối chiếu với điều kiện trên, tìm đ-ợc nghiệm x; y 2;1 1 , Giải ph-ơng trình: log ( x  3)  log x  1  log x §k x > x Đ-a ph-ơng trình dạng log ( x 3) log x   log 4 x Xét hai khả < x < x > 1, đối chiếu với điều kiện ta tìm đ-ợc hai nghiệm ph-ơng trình là: x  3  vµ x = 1 Đề số 257 Giải phƣơng trình: log ( x  3)  log ( x  1)  log (4 x) 1 Giải Giải phƣơng trình: log ( x  3)  log ( x  1)  log (4 x) 1 log ( x  3)  log ( x  1)  log (4 x) Điều kiện:  x  3   x    x  x   Biến đổi theo logarit số thành phƣơng trình i  x  1  loaï  log  x  3 x  1   log  4x   x  2x      x    x3  Đề số 258  Giải hệ phƣơng trình sau: 3y  y2  x2   3x  x   y2  Giải phƣơng trình: 2x   2x   2x   Giải: Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com  y2  3y   Giải hệ phƣơng trình sau:  x2  3x  x   y2  3x y  y   điều kiện x>0, y>0 Khi hệ tƣơng đƣơng  2 3xy  x   Trừ vế theo vế hai phƣơng trình ta đƣợc: (x-y)(3xy+x+y) =  x  y thay lại phƣơng trình Giải tìm đƣợc nghiệm hệ là: (1;1) Giải phƣơng trình: 2x   2x   2x   Tập xác định: D = R Đặt f(x) = Ta có: f ' ( x)  (2 x  1) 2x   2x   2x  3  (2 x  2)  3  0; x   ,1, 2 (2 x  3) Suy hàm số f(x) đồng biến tập M=   ,     ,1    1,     ,           2    2   Ta thấy f(-1)=0  x=-1 nghiệm (1) Ta có: f ( )  3; f ( )  3 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x -∞   f’(x) -1   +∞  +∞ F(x) -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) =  x = -1 Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x = -1 u  x   Cách 2: Học sinh đặt  ta đƣợc hệ v  x    u  v3 0 u  v   v  u   giải hệ tìm đƣợc nghiệm Đề số 259 1  x  x  (1  )   y y  Giải hệ phƣơng trình:  x   x    x3  y2 y y3  Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com www.nguoithay.com Giải 1   x  x  y (1  y )   Giải hệ phƣơng trình:  x x2      x3  y2 y y3  1    x  x  y (1  y )  x   §k y     x x2    x3     x3  y2  y y3   1 x 4 y y ®Ỉt x  (  x)  y3 y y  a  x  y   b  x  y  a  a  2b  a  a   2b a  a  2b a Ta đ-ợc     a  2ab  a  a(a  a  4)   a  4a   b     Đề số 260 Giải phương trình : 3x    5x   (x  R) log (x  y )   log (xy)  Gỉai hệ phương trình :  (x, y  R) 3x xy y  81   Giải 2.Giải phương trình : 3x    5x   (x  R) 3x    5x   , điều kiện :  x   x   5t t 2 Đặt t = 3x   t3 = 3x –  x = – 5x = 3 Phương trình trở thaønh : 2t    5t 8   5t t4   2t   t = -2 Vaäy x = -2 15t  4t  32t  40  log (x  y )   log (xy)  Gỉai hệ phương trình :  (x, y  R) x  xy  y2  81 3  Điều kiện x, y > log (x  y )  log 2  log (xy)  log (2xy)  (x  y)2    x  y  2xy      2  x  xy  y   x  xy  y   xy    x  y x   x  2     hay   xy  y   y  2 …………………………………………………………………………………………………………………  Bài giảng trực tuyến video www.nguoithay.com ... = - 2 Liên hệ www.nguoithay.org để xem giảng video 123/ Giải hệ phƣơng trình Giải: Đặt : t = x + y ; ĐK: t => ; Hệ cho trở thành Vậy hệ dã cho có nghiệm Đề 132 : Giải phƣơng trình: Giải: ĐK: x... 1.Cho hệ ph-ơng trình: t t  x  xy  y  m   2  x y  xy  m 1) Giải hệ ph-ơng trình với m 2) Tìm m để hệ ph-ơng trình cã nghiÖm nhÊt  2 4 xy  4( x  y )  ( x  y )   2 .Giải hệ phƣơng... nghiệm hệ là: (x; y) = (2; 2) 49/ Giải phƣơng trình: 25x – 6.5x + = Giải: Câu 2: 1) 25x – 6.5x + =  (5x )2  6.5x    5x = hay 5x =  x = hay x =  x  y  xy   50/ Giải hệ phƣơng trình: