1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Tuyển tập 28 bài hệ phương trình hay ôn thi đại học năm 2014

15 2,1K 9

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 15
Dung lượng 657,52 KB

Nội dung

Người soạn: Thầy Lâm Phong

Trang 1

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 1

Bài Toán 1 Giải hệ phương trình sau:   x4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 = 0 (1)

x2y + x2 + 2y - 22 = 0 (2) (I) (Chuyên Vĩnh Phúc)

⇒⇒⇒ HD giải:

Từ (1) ⇔ x4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 = 0

⇔ (x4 - 4x2 + 4) + (y2 - 6y + 9) = 4

⇔ (x2 - 2)2 + (y - 3)2 = 4

Từ (2) ⇔ (x2 + 2)y + x2 - 22 = 0

⇔ (x 2 - 2 + 4)(y - 3 + 3) + (x2

- 2) - 20 = 0 ■ Đặt u = x

2

- 2

v = y - 3 thì hệ (I) thành 

u2 + v2 = 4 (3) (u + 4)(v + 3) + u - 20 = 0 (4) (II)

Từ (4) ⇔ uv + 4v + 3u + u + 12 - 20 = 0

⇔ uv + 4v + 4u - 8 = 0

⇔ uv + 4(u + v) - 8 = 0

■ Đặt S = u + v

P = uv thì hệ (II) thành 

S2 - 2P = 4 (5)

P + 4S - 8 = 0 (6)

Từ (6) ⇔ P = 8 - 4S thay vào (5) ta ñược: S2 - 2(8 - 4S) = 4 ⇔ S2 + 8S - 20 = 0 ⇔ 

S = 2⇒ P = 0

S = -10 ⇒ P = 48 ►Khi ñó u, v là hai nghiệm của phương trình X2 - 2X = 0 hay X2 + 10X + 48 = 0 ⇔ X = 0 X = 2

Vậy hệ (II) có nghiệm là u = 0

v = 2 hay 

u = 2

v = 0 ⇔ 

x2 - 2 = 0

y - 3 = 2 hay 

x2 - 2 = 2

y - 3 = 0

x = ± 2

y = 5 hay 

x = ± 2

y = 3

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3) (-2;3), ( 2;5), (- 2;5)

⇒⇒ HD giải: (Cách khác)

☺Ý tưởng: HPT trên có bậc khá cao nhưng có thể giảm bậc bằng cách ñặt t = x 2

Vậy cách tự nhiên nhất chính là ta ñưa về PT bậc 2 Để ñảm bảo chính phương ta sẽ dùng hệ số bất ñịnh như sau:

⇒⇒ HD giải:

Ta có (1) + k.(2) ⇔ x4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 + k(x2y + x2 + 2y - 22) = 0

⇔ x4 + (k + ky - 4)x2 + y2 - 6y + 9 + 22ky - 22k = 0

Xem ñây là PT bậc hai theo ẩn là x2, ta có

∆ = (k 2 - 4)y2 + (2k 2 - 16k + 24)y + k2 + 80k - 20

Để ∆ là một bình phương thì trước hết hệ số của y 2 phải là số chính phương, nghĩa là ta phải giải PT nghiệm

nguyên k 2 - 4 = αα2 ( với ααα ∈∈ Z)

Khi α = 0 ⇒ k = 2 ⇒

2k 2 - 16k + 24 = 0

k2 + 80k - 20 = 144

Và như vậy ta chọn k = 2

Lấy (1) + 2.(2) ta có: x4 + (2 + 2y - 4)x2 + y2 - 6y + 9 + 4y - 44 = 0

Trang 2

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 2

⇔ x4 + 2(y - 1)x2 + y2 - 2y - 35 = 0

Xét ∆' = (y - 1)2 - (y2 - 2y - 35) = 36 ≥ 0

Khi ñó x

2 = - y - 5

x2 = 7 - y ■ Với y = - x 2 - 5 thay vào (2) ta ñược: x2

(- x 2 - 5) + x2

+ 2(- x 2 - 5) - 22 = 0

⇔ - x4 - 6x2 - 32 = 0 (PT vô nghiệm)

■ Với y = 7 - x 2 thay vào (2) ta ñược: x2

(7 - x 2 ) + x2

+ 2(7 - x 2 ) - 22 = 0

⇔ - x4 + 6x2 - 8 = 0 ⇔ x

2 = 4

x2 = 2 (Việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc !)

Như vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3), (-2;3); (- 2;5), ( 2; 5)

Bài Toán 2 Giải hệ phương trình sau:   x (x + y) + y2 = 4x - 1 (1)

x (x + y)2 - 2y2 = 7x + 2 (2) (I)

⇒⇒⇒ HD giải:

Từ (1) ⇔ x(x + y) + y2 + 1= 4x (Nhận xét x = 0 không là nghiệm của pt (1) nên ta chia 2 vế PT cho x)

⇔ (x + y) + y 2 + 1

x = 4

Từ (2) ⇔ x(x + y)2 - 2y2 = 7x + 2

⇔ x(x + y)2 - 2y2 - 2 = 7x

⇔ x(x + y)2 -2(y2 + 1) = 7x (Nhận xét x = 0 cũng không là nghiệm của PT (2))

⇔ (x + y)2 - 2y 2 + 1

x = 7

■ Đặt



u = x + y

v = y 2 + 1

x thì hệ (I) thành 

u + v = 4 (3)

u2 - 2v = 7 (4) (II)

Từ (3) ⇔ v = 4 - u thay vào (4) ta ñược:

u2 - 2(4 - u) = 7 ⇔ u2 + 2u - 15 = 0 ⇔ 

u = 3 ⇒ v = 1

u = -5 ⇒ v = 9 ►Với u = 3

v = 1⇔ 

x + y = 3

y2 + 1

x = 1 ⇔ x = 3 - y

y2 + 1 = 3 - y ⇔ 

x = 3 - y

y2 + y - 2 = 0 ⇔  



x = 2

y = 1 hay   



x = 5

y = -2

►Với u = -5 v = 9 ⇔



x + y = -5

y2 + 1

x = 9

(hệ vô nghiệm)

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;1), (5;-2)

Bài Toán 3 Giải hệ phương trình sau:







2 x2 + 3y - y2 + 8x - 1 = 0 (1)

x (x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0 (2) (I)

⇒⇒⇒ HD giải: Điều kiện x2

+ 3y ≥ 0, y2 + 8x ≥ 0 (1;1) (-5;-7)

Từ (2) ⇔ x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0

⇔ (x 2 + 3y) + (y 2 + 8x) = 13



u = x2 + 3y

v = y2 + 8x (u,v ≥ 0) thì hệ (I) thành 

2u - v = 1 (3)

u2 + v2 = 13 (4)

Từ (3) ⇔ v = 2u - 1 thay vào (4), ta ñược

(4) ⇔ u2 + (2u - 1)2 = 13 ⇔ 5u2 - 4u - 12 = 0 ⇔

u = 2 (nhận)

u = -6

5 (loại)

Trang 3

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 3

►Với u = 2 ⇒ v = 3 vậy x

2 + 3y = 4

y2 + 8x = 9⇔



y = 4 - x

2

3

4 - x2

3 

2 + 8x = 9



y = 4 - x2 3

x4 - 8x2 + 72x - 65 = 0



y = 4 - x2 3 (x - 1)(x3 + x - 7x + 65) = 0

y = 4 - x

2

3

x = 1

x = -5

x = 1⇒ y = 1

x = -5 ⇒ y = -7

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (-5;-7)

Bài Toán 4 Giải hệ phương trình sau:









x - 1 + y + 1 = 4 (1)

x4 + (y + 1)2 = x3(y + 2) + xy + 1 (2) (I)

⇒⇒⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1, y ≥ -1

Từ (2) ⇔ x4 + (y + 1)2 = x3(y + 2) + xy + 1

⇔ x4 + y2 + 2y + 1 = x3y + 2x3 + xy + 1

⇔ y2

+ (2 - x - x 3 )y + x 4 - 2x 3 = 0

Xét ∆ = (2 - x - x 3)2 - 4(x 4 - 2x 3) = (4 + x2 + x6 - 4x - 4x 3 + 2x 4 ) - 4x 4 + 8x 3

= (4 + x2 + x6 - 4x + 4x 3 - 2x 4) = (x3 - x + 2)2 ≥ 0 Vậy PT (2) ⇔ y = x - 2 y = x3

►Với y = x - 2 thay vào (1), ta ñược: (1) ⇔ x - 1 + x - 1 = 4 ⇔ x - 1 = 2 ⇔ x = 5⇒ y = 3

►Với y = x3 thay vào (1), ta ñược: (1) ⇔ x - 1 + x3 + 1 = 4

⇔ x - 1 - 1 + x3 + 1 - 3 = 0

x - 2

x - 1 + 1 + x 3 - 8

x3 + 1 + 3 = 0 ⇔ (x - 2)  1

x - 1 + 1 +

x2 + 2x + 4

x3 + 1 + 3 = 0

x - 1 + 1 +

x2 + 2x + 4

x3 + 1 + 3 = 0 (vô nghiệm)

Do ñó x = 2 ⇒ y = 8

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;8), (5;3)

Bài Toán 5 Giải hệ phương trình sau:











8(x + 1)3 = 8y3 - 12y2 + 2y - 3 + 12x2 + 10x + 3 (1) 2y - 4(x2 + 2) + 2y - 6x + 3 = 0 (2) (I)

⇒⇒ HD giải: Điều kiện y ≥ 3

2, 2y - 4(x

2 + 2) ≥ 0

Từ (1) ⇔ 8(x + 1)3 - 12x2 - 10x - 3 = 8y3 - 12y2 + 2y - 3

⇔ 8x3 + 12x2 + 14x + 5 = 4y2(2y - 3) + 2y - 3

■ Xét VP = 2|y| 2y - 3 + 2y - 3 (do y ≥ 3

2)

= (2y + 1) 2y - 3 = (2y - 3 + 4) 2y - 3 = (2y - 3) 2y - 3 + 4 2y - 3

■ Xét (2x + b)3 + 4(2x + b) = 8x3 + 12x2 + 14x + 5

⇔ 8x3 + 12bx2 + (6b + 8)x + 4b + b 3 = 8x3 + 12x2 + 14x + 5

12b = 12 6b + 8 = 14

b3 + 4b = 5

⇔ b = 1

Trang 4

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 4

Vậy từ (1) ⇔ (2x + 1)3 + 4(2x + 1) = ( 2y - 3)3 + 4 2y - 3

⇔ f (2x + 1) = f ( 2y - 3) (3)

■ Xét hàm ñặc trưng: f (t) = t3 + 4t (t ∈ R) có f '(t) = 3t2 + 4 > 0 ∀t ∈ R

Do ñó (3) tương ñương 2x + 1 = 2y - 3 ⇔

2x + 1 ≥ 0 4x2 + 4x + 1 = 2y - 3⇔ 

x ≥ -1 2 2y = 4x2 + 4x + 4

Thay vào (2) ta ñược: 4x 2 + 4x + 4 - 4(x2

+ 2) + x2 + x + 1 - 6x + 3 = 0 (với x ≥ -1

2) ⇔ 4x - 4 + x2 - 5x + 4 = 0

⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 4) = 0 (x ≥≥ 1)

⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 1 - 3) = 0

⇔ 2 x - 1 + (x - 1)2 - 3(x - 1) = 0 (4)

► Đặt t = x - 1 ≥ 0 thì (4) ⇔ 2t + t4 - 3t = 0 ⇔ t(t3 - 3t + 2) = 0 ⇔

t = 0 (nhận)

t = 1 (nhận)

t = -2 (loại) Với t = 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 6

Với t = 1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 14

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;14), (1;6)

Bài Toán 6 Giải hệ phương trình sau:







(x + x2 + 4)(y + y2 + 1) = 2 (1)

12y2 - 10y + 2 = 23x3 + 1 (2) (TTL1 - 2014 - Amsterdam)

⇒⇒ HD giải:

■ Ta có y2 + 1 > y2 = ± y ⇒ y2 + 1 + y > 0

Xét (y + y2 + 1)( y2 + 1 - y) = 1 ⇔ y2 + 1 - 1= 1

y + y2 + 1

Từ (1) ⇔ (x + x2 + 4)(y + y2 + 1) = 2

⇔ x + x2

+ 4 = 2 1

y + y2 + 1 ⇔ x + x2 + 4 = 2( y2 + 1 - y)

⇔ x + x2 + 4 = (-2y)2 + 4 + (-2y)

⇔ f (x) = f(-2y) (3)

■ Xét hàm ñặc trưng: f (t) = t + t2 + 4 (t ∈ R) có f '(t) = 1 + t

t2 + 4 =

t2 + 4 + t

t2 + 4 >

|t| + t

t2 + 4 ≥ 0 ∀t

Do ñó (3) tương ñương với x = - 2y

► Thay 2y = -x vào (2) ta ñược: 3x2 + 5x + 2 = 23x3 + 1

⇔ x 3 + 1 + (3x2

+ 5x + 2) = 23x3 + 1 + x 3 + 1

Xét VT = x3 + 3x2 + 5x + 3 = (x + b)3 + 2(x + b)

⇔ x3 + 3x2 + 5x + 3 = x3 + 3bx2 + (3b2 + 2)x + b3 + 2b

3 = 3b

5 = 3b2 + 2

3 = b3 + 2b

⇔ b = 1

Vậy (2) ⇔ (x + 1)3 + 2(x + 1) = x 3 + 1 + 23

x3 + 1 ⇔ g(x + 1) = g(3 x 3 + 1) (4)

■ Xét hàm ñặc trưng: g(u) = u3 + 2u (u ∈ R) có g '(u) = 3u2 + 2 > 0 ∀u ∈ R

Do ñó (4) tương ñương với x + 1 = 3 x 3 + 1

Trang 5

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 5

⇔ x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 1

x = 0 ⇒ y = 0

x = -1 ⇒ y = 1

2

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;0), (-1; 1

2 )

Bài Toán 7 Giải hệ phương trình sau:   x4 - x3y + x2y2 = 1 (1)

x3y - x2 + xy = - 1 (2) (I)

⇒⇒⇒ HD giải:

Cộng vế theo vế hai phương trình (1) và (2) ta ñược: x4 + x2y2 - x2 + xy = 0 (không ñi tiếp ñược "kẹt")

Trừ vế theo vế hai PT (1) và (2), ta ñược: x4 - 2x3y + x2y2 + x2 - xy - 2 = 0

⇔ (x 4 - 2x 3 y + x 2y2) + (x2 - xy) - 2 = 0

⇔ x2(x 2 - 2xy + y 2

) + x(x - y) - 2 = 0

+ x(x - y) - 2 = 0 ( ñặt t = x(x - y))

Thì PT thành t2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 t = -2 ⇔ x

2

- xy = 1

x2 - xy = -2

■ TH1: với x2 - xy = 1 ⇔ xy = x2 - 1 Thay vào pt (2) ta ñược:

(2) ⇔ x3y - x2 + xy = - 1

⇔ x2(xy) - x2 + xy + 1 = 0

⇔ x2(x2 - 1) - x2 + x2 - 1 + 1 = 0

⇔ x

2 = 0

x2 = 1 Với x = 0 ⇒ vô nghiệm

Với x = 1 ⇒ y = 0, x = -1 ⇒ y = 0

■ TH2: với x2 - xy = -2 ⇔ xy = x2 + 2 Thay vào pt (2) ta ñược:

(2) ⇔ x2(xy) - x2 + xy + 1 = 0

⇔ x2(x2 + 2) - x2 + x2 + 2 + 1 = 0

⇔ x4 + 2x2 + 3 = 0 (vô nghiệm)

Kết luận, từ hai trường hợp thì hệ phương trình có hai nghiệm là x = 0

y = 1 hay (x;y) = (0;-1) ⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách thử rút thế)

Ta có phương trình (2)⇒ (x3 + x)y = x2 - 1

Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình (2) nên ta có y = x 2 - 1

x(x 2 + 1)

Thay vào (1) ta ñược: x4 - 1 - x3 x 2 - 1

x(x 2 + 1) + x2

x 2 - 1 x(x 2 + 1)

2

= 0

⇔ (x 2 - 1)(x2

+ 1) - (x 2 - 1) x2

x2 + 1 + (x

2 - 1)

x2

- 1

x2 + 1

2 = 0

⇔ (x 2 - 1)







(x2 + 1) - x

2

x2 + 1 +

x2

- 1

x2 + 1

2







= 0

⇔ x 2 = 1 hay (x2

+ 1) - x

2

x2 + 1 + x2 - 1

(x2 + 1)2 = 0

■ TH1: x 2 = 1 ⇒x = 1 ⇒x = - 1 ⇒⇒⇒⇒ y = 0 y = 0

■ TH2: (x 2 + 1) 3 - x 2 (x 2 + 1) + (x 2 - 1) = 0 (Đặt t = x 2 > 0)

Trang 6

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 6

⇔ (t + 1)3 - t2 - t + t - 1 = 0

⇔ (t + 1)3 - t2 - 1 = 0

⇔ t3 + 3t2 + 3t + 1 - t2 - 1 = 0

⇔ t3 + 2t2 + 3t = 0 ( loại vì t > 0)

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;1), (0; -1)

Bài Toán 8 Giải hệ phương trình sau:







 x + 1 + y - 1 = 4 (1)

x + 6 + y + 4 = 6 (2) (I)

⇒⇒ HD giải: ( Giải bổ sung!!!! ^^^)

Điều kiện x ≥ -1, y ≥ -1

Cộng trừ hai PT (1) và (2) vế theo vế ta ñược:

(I) ⇔



x + 1 + x + 6 + y + 4 + y - 1 = 10

x + 6 - x + 1 + y + 4 - y - 1 = 2 (II) Đặt 

u = x + 6 + x + 1

v = y + 4 + y - 1 ⇔

x + 6 - x + 1 = 1

u

y + 4 - y - 1 = 1

v

Do ñó (II) thành:



u + v = 10 5

u +

5

v = 2

(Đây là hệ Đối xứng loại 1 - việc giải hệ này xin dành cho bạn ñọc !)

⇔ u = 5

v = 5 ⇔ 

 x + 6 + x + 1 = 5

y + 4 + y - 1 = 5 (Việc giải các PT căn này cũng xin dành cho bạn ñọc!) ⇔ x = 3

y = 5(Nhận)

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (3;5)

Bài Toán 9 Giải hệ phương trình sau:   x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 (1)

x2 + 2xy = 6x + 6 (2) (I) (ĐH Khối B - 2008)

⇒⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách rút thế )

Nhận xét, không hẳn trong một bài hệ PT ta sẽ rút x theo y (hoặc y theo x) mà cũng có thể rút "một cụm" - một

nhóm của PT này sao cho nó có mối liên hệ với PT kia

Từ PT (2) ⇔ xy = 3x + 3 - x 2

2 thay vào (1) ta ñược:

(1) ⇔ x4 + 2x2(3x + 3 - x 2

2 ) + 

3x + 3 - x 2 2

2 = 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta ñược)

⇔ x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = 0 ⇔ x = 0 x = -4

Với x = 0 thì (2) vô nghiệm

Với x = -4 thì (2) ⇒ y = 17

4 Vậy hệ PT có một nghiệm là (x;y) = (0;

17

4 )

⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách rút thế )

Nhận xét x = 0 không nghiệm của (2) nên từ (2) ⇔ y = 6x + 6 - x

2

2x (với x ≠ 0) Thay vào (1) ta ñược: x4 + 2x3 6x + 6 - x

2

2x + x

2

6x + 6 - x2 2x 

2

= 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta ñược)

⇔ x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = 0 ⇔ x = 0 x = -4 (tương tự như cách làm trên)

Bài Toán 10 Giải hệ phương trình sau:







 x2 + 1 + y2 + yx = 4y (1)

x+ y - 2 = y

x2 + 1 (2) (I)

Trang 7

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 7

⇒⇒ HD giải:

Từ (1) ⇔ x2 + 1 = - y2 - yx + 4y = y(4 - x - y) thay vào (2), ta ñược

(2)⇔ x + y - 2 = y

y(4 - x - y) ( nhận y = 0 không là nghiệm của PT (2)) ⇔ (x + y) - 2 = 1

4 - (x + y) (3) Đặt t = x + y thì (3) ⇔ 6t - t

2

- 9 = 0 ⇔ t = 3 = x + y

(Việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc !)

Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1; 2), (-2 ; 5)

Bài Toán 11 Giải hệ phương trình sau:   x2 - 4y2 - 8x + 4y + 15 = 0 (1)

x2 + 2y2 - 2xy = 5 (2) (I)

⇒⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách xét delta )

(1) ⇔ x2 - 8x - 4y2 + 4y + 15 = 0 (xem x là ẩn, y là tham số)

Xét ∆' = 16 - (- 4y2 + 4y + 15) = 4y2 - 4y2 + 1 = (2y - 1)2 ≥ 0

Vậy x = -b' ± ∆'

a ⇔ x = 5 - 2y x = 3 + 2y

■ TH1: với x = 5 - 2y thay vào (2), ta ñược:

(2) ⇔ (5 - 2y)2 + 2y2 - 2y(5 - 2y) = 5

⇔ 10y2 - 30y + 20 = 0

⇔ y = 1 ⇒ x = 3 y = 2 ⇒ x = 1

■ TH2: với x = 3 + 2y thay vào (2), ta ñược:

(2) ⇔ (3 + 2y)2 + 2y2 - 2y(3 + 2y) = 5

⇔ 2y2

+ 6y + 4 = 0 ⇔ 

y = -1 ⇒ x = 1

y = -2 ⇒ x = -1

Kết luận: hệ phương trình (I) có 4 nghiệm là (1;-1), (-1;-2), (3;1), (1;2)

Bài Toán 12 Giải hệ phương trình sau:







2x2 + y2 - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0 (1) 4x2 - y2 + x + 4 = 2x + y + x + 4y (2) (I) (ĐH khối B - 2013)

⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách xét delta )

Điều kiện: 2x + y ≥ 0, x + 4y ≥ 0

(1) ⇔ 2x2 + 3(1 - y)x + y2 - 2y + 1 = 0

Xét ∆ = 9(1 - y)2 - 4.2.(y2 - 2y + 1) = y2 - 2y + 1 = (y - 1)2 ≥ 0

Khi ñó

x = y - 1

x = y - 1 2 ■ TH1: thay y = x + 1 vào (2) ta ñược: 3x2 - x + 3 = 3x + 1 + 5x + 4 (Việc giải này xin dành cho bạn ñọc)

⇔ x = 0 ⇒ y = 1 x = 1⇒ y = 2 ■ TH2: thay y = 2x + 1 vào (2) ta ñược: 3 - 3x = 4x + 1 + 9x + 4 (HSTL) ⇔ x = 0 ⇒ y = 1

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (0;1), (1;2)

Bài Toán 13 Giải hệ phương trình sau:   y + xy2 = 6x2

1 + x2y2 = 5x2 (I)

⇒⇒ HD giải:

Khi x = 0 thì hệ phương trình (I) thành y = 0

1 = 0 (vô nghiệm) ⇒ x = 0 là không là nghiệm của (I)

Trang 8

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 8

Khi x ≠ 0 nên chia hai vế của hệ phương trình cho x2 ta ñược:

(I) ⇔

y

x2 +

y2

x = 6 1

x2 + y 2 = 5

y

x(1 x + y) = 6 1

x2 + y 2 = 5 (II)

Đặt

u = 1

x + y

v = y x

thì hệ (II) thành: uv = 6

u2 - 2v = 5 ⇔ 

v = u2 - 5

2 (1)

uv = 6 (2) Thay (1) vào (2), ta ñược (2) ⇔ (u2 - 5)u = 12 ⇔ u3 - 5u - 12 = 0 ⇔ u = 3 ⇒ v = 2

Với u = 3

v = 2⇔

1

x + y = 3 y

x = 2

⇔ y = 2x 2x2 - 3x + 1 = 0 ⇔ 

y = 2x

x = 1 v x = 1

2 ⇔  x = 1

y = 2 hay 



x = 1 2

y = 1 Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1;2), ( 1

2 ;1)

Bài Toán 14 Giải hệ phương trình sau:   x y + x + 1 = 7y (1)

x2y2 + xy + 1 = 13y2 (2) (I) (ĐH Khối B - 2009)

⇒⇒ HD giải:

Khi y = 0 thì (2) vô nghiệm

Khi y ≠ 0 thì hệ (I) ⇔

x + x

y +

1

y = 7

x2 + x

y +

1

y2 = 13



x + 1 y + x

y = 7

x + 1

y

2

- x

y = 13 (II)

Đặt S = x + 1

y và P =

x

y thì hệ (II) thành 

S + P = 7

S2 - P = 13 ⇔ 

P = 7 - S

S2 + S - 20 = 0 ⇔   



S = -5

P = 4 hay 

S = 4

P = 5

Khi ñó x và 1

y là 2 nghiệm của phương trình X 2 + 5X + 4 = 0 hay X 2 - 4X + 5 = 0 (Đối xứng loại 1) ⇔ X = -1 X = -4



x = -1 1

y = -4 hay 

x = -4 1

y = -1



x = -1

y = -1 4 hay x = -4

y = -1

Kết luận vậy hệ (I) có 2 nghiệm là (-1; -1 4 ) hay (-4;-1)

Bài Toán 15 Giải hệ phương trình sau:







x + 1 + 4x - 1 - 4 y4 + 2 = y (1)

x2 + 2x(y - 1) + y2 - 6y + 1 = 0 (2) (I) (ĐH Khối A - 2013)

⇒⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1

Đặt u = 4x - 1 suy ra u ≥ 0 PT (1) trở thành: u 4 + 2 + u = y 4 + 2 + y (3)

(Như bạn thấy u ≥ 0, nhưng liệu y ≥≥ 0 ??? cái khó của bài toán nằm ở ñây ! Vì nếu các em học sinh xét hàm

ñặc trưng thì sẽ không chỉ rõ ñược tập xác ñịnh cho cả 2 biến u và y)

Từ (2) ta ñược x 2 + 2xy + y 2 - 2x - 2y + 1 = 4y ⇔ 4y = (x + y - 1) 2 ⇒⇒ y ≥≥≥≥ 0

Trang 9

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 9

Xét f(t) = t4 + 2 + t với t ≥ 0 Ta có f '(t) = 2t

3

t4 + 2 + 1 > 0 ∀t > 0

Do ñó PT (3) tương ñương với y = u, nghĩa là x = y4 + 1

Thay vào PT (2) ta ñược y(y7 + 2y4 + y - 4) = 0 ⇔ y = 0 y7

+ 2y4 + y - 4 = 0 Với y = 0 ⇒ x = 1

Với y7 + 2y4 + y - 4 = 0 (4) Xét hàm g(y) = y7 + 2y4 + y - 4 (y ≥ 0)

g'(y) = 7y6 + 8y3 + 1 > 0 ∀y ≥ 0

Mà g(1) = 0 nên (4) có nghiệm không âm là y = 1⇒ x = 2

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0) và (2;1)

Bài Toán 16 Giải hệ phương trình sau:







(8x - 3) 2x - 1 - y - 4y3 = 0 (1)

4x2 - 8x + 2y3 + y2 - 2y + 3 = 0 (2) (I)

⇒⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1

2

Từ PT (1) ⇔ (8x - 3) 2x - 1 = 4y3 + y (Do VP có dạng f(t) = 4t 3 + t nên ta sẽ biến ñổi VT có dạng như VP)

Đặt u = 2x - 1 ≥ 0 ⇒ u2 = 2x - 1 ⇒ 2x = u2 + 1 thay vào PT (1) ta ñược:

(1) ⇔ (4u2 + 4 - 3)u = 4y3 + y

⇔ 4u3 + u = 4y3 + y (3)

Xét hàm f(t) = 4t3 + t (t ∈ R) thì có f '(t) = 12t2 + 1 > 0 ∀∀t ∈∈ R

Do ñó PT (3) ⇔ u = y ⇔ 2x - 1 = y ⇔ y2 = 2x - 1 (Do u ≥ 0 ⇒ y ≥ 0)

■ Cách 1: thay vào PT (2) ta ñược: 4x2 - 8x + 2y(y2 - 1) + y2 + 3 = 0

⇔ 4x2 - 8x + 2 2x - 1(2x - 2) + 2x + 2 = 0

⇔ 2x 2 - 3x + 1 + 2 2x - 1(x - 1) = 0

⇔ 2(x - 1)(x - 1

2) + 2 2x - 1(x - 1) = 0 ⇔ (x - 1) 2x - 1 + 2 2x - 1 = 0 ⇔ 

x = 1 2x - 1 + 2 2x - 1 = 0 (4) Với x = 1⇒ y 2 = 1 ⇒⇒y = 1 (nhận)

y = -1 (loại)

Với PT (4), ñặt t = 2x - 1 ≥ 0 nên (4) ⇔ t2 + 2t = 0 ⇔ t = 0 ⇔ x = 1

2 ⇒ y = 0 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là ( 1 2 ; 0), (1;1)

■ Cách 2: PT (2) ⇔ 4x 2 - 8x + 2y3

+ y2 - 2y + 3 = 0

⇔ (4x2 - 4x + 1) - 4x + 2 + 2y3 + y2 - 2y = 0

⇔ (2x - 1)2 - 2(2x - 1) + 2y3 + y2 - 2y = 0

Thay 2x - 1 = y2 ≥ 0 vào PT (2) ta ñược: y4 + 2y3 - y2 - 2y = 0

y = 0 ⇒ x = 1

2

y = 1⇒ x = 1

y = -1 (loại)

y = -2 (loại)

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là ( 1

2 ; 0), (1;1)

Trang 10

Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 10

Bài Tốn 17 Giải hệ phương trình sau:







x5 + xy4 = y10 + y6 (1)

4x + 5 + y2 + 8 = 6 (2) (I)

☺Nhận xét: nhìn vào hệ trên ta thấy rằng khơng thể dùng "PP rút thế " PT (1) cĩ 2 ẩn độc lập với nhau nên ta nghĩ

tới việc thử nhĩm lại và phân tích nhận tử, lại cĩ x - y 2 là một nhân tử chung, tuy vậy việc phân tích ra là tương đối

phức tạp khi dùng hằng đẳng thức liên quan tới A 5 - B 5 Ta cùng xét cách khác đơn giản hơn, với dự đốn x = y 2 là mối quan hệ duy nhất của x, y ta nghĩ tới dùng tính đơn điệu của hàm số Thử nhé !

⇒⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ -5

4

Dễ thấy y = 0 khơng là nghiệm của hệ (I) Với y ≠ 0, chia cả 2 vế của PT (1) cho y5, ta được:

(1) ⇔ x

5

y5 +

x

y = y 5 + y (3)

Xét hàm đặc trưng f (t) = t5 + t (t ∈ R) cĩ f '(t) = 5t4 + 1 > 0 ∀t ∈ R

Do đĩ PT (3) ⇔ x

y = y ⇔ x = y

2 ≥ 0 Thay x = y2 vào (2) ta được 4x + 5 + x + 8 = 6 (việc giải PT vơ tỉ này xin dành cho bạn đọc !)

⇔ ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 y = -1

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (1;-1)

Bài Tốn 18 Giải hệ phương trình sau:   4x4 + y4 = 4x + y (1)

x3 + y3 = xy2 + 1 (2) (I) ☺Nhận xét: Giả sử kí hiệu DEG là bậc của PT ta cĩ Deg(VTPT1) = 4 > Deg(VPPT1) = 1

PT (2) x 3 + y 3 - xy 2 = 1 cĩ Deg(VTPT2) = 3 > Deg(VPPT2) = 0

Như vậy để PT (1) trở thành PT ĐẲNG CẤP, ta sẽ nhân thêm một lượng để VPPT(1) cĩ Deg = 4

⇒⇒ HD giải: Ta cĩ 4x4

+ y4 = (4x + y).1 = (4x + y)(x 3 + y 3 - xy 2

) ⇔ 4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 - xy2)

⇔ 3xy3 - 4x2y2 + yx3 = 0

⇔ xy(3y2 - 4xy + x2) = 0

⇔ x = 0 hay y = 0 hay 3y 2 - 4xy + x 2 = 0

■ Với x = 0, thay vào (2) ta được y = 1

■ Với y = 0, thay vào (2) ta được x = 1

■ Với 3y2 - 4xy + x2 = 0 (3)

+ Xét x = 0 ⇒ y = 0 khơng là nghiệm của hệ (I) + Xét x ≠ 0 thì (3) ⇔ 3 y2

x2 - 4

y

x + 1 = 0 ⇔ 

y = x

y = x 3 Thay y = x vào (2) ta được x = 1 = y

Thay y = x

3 vào (2) ta được x = 1⇒ y =

1 3

Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0), (0;1), (1;1), (1; 1

3 )

Bài Tốn 19 Giải hệ phương trình sau:







x3 - 8x = y3 + 2y (1)

x2 - 3y2 = 6 (2) (I)

⇒⇒ HD giải:

Hệ (I) cĩ thể viết lại x

3

- y3 = 2(4x + y)

x2 - 3y2 = 6

Ta nghĩ đến cách đồng bậc PT (1) bằng phép thế từ PT (2) Nhưng trước đĩ ta phải làm xuất hiện số 6 ở PT(1)

nên ta làm như sau

Ngày đăng: 05/06/2014, 12:52

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w