Người soạn: Thầy Lâm Phong
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 1 Bài Toán 1. Giải hệ phương trình sau: x 4 - 4x 2 + y 2 - 6y + 9 = 0 (1) x 2 y + x 2 + 2y - 22 = 0 (2) (I) (Chuyên Vĩnh Phúc) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Từ (1) ⇔ x 4 - 4x 2 + y 2 - 6y + 9 = 0 ⇔ (x 4 - 4x 2 + 4 ) + (y 2 - 6y + 9) = 4 ⇔ (x 2 - 2) 2 + (y - 3) 2 = 4 Từ (2) ⇔ (x 2 + 2)y + x 2 - 22 = 0 ⇔ (x 2 - 2 + 4)(y - 3 + 3) + (x 2 - 2) - 20 = 0 ■ Đặt u = x 2 - 2 v = y - 3 thì hệ (I) thành u 2 + v 2 = 4 (3) (u + 4)(v + 3) + u - 20 = 0 (4) (II) Từ (4) ⇔ uv + 4v + 3u + u + 12 - 20 = 0 ⇔ uv + 4v + 4u - 8 = 0 ⇔ uv + 4(u + v) - 8 = 0 ■ Đặt S = u + v P = uv thì hệ (II) thành S 2 - 2P = 4 (5) P + 4S - 8 = 0 (6) Từ (6) ⇔ P = 8 - 4S thay vào (5) ta ñược: S 2 - 2(8 - 4S) = 4 ⇔ S 2 + 8S - 20 = 0 ⇔ S = 2⇒ P = 0 S = -10 ⇒ P = 48 ►Khi ñó u, v là hai nghiệm của phương trình X 2 - 2X = 0 hay X 2 + 10X + 48 = 0 ⇔ X = 0 X = 2 Vậy hệ (II) có nghiệm là u = 0 v = 2 hay u = 2 v = 0 ⇔ x 2 - 2 = 0 y - 3 = 2 hay x 2 - 2 = 2 y - 3 = 0 ⇔ x = ± 2 y = 5 hay x = ± 2 y = 3 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3) (-2;3), ( 2;5), (- 2;5) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: (Cách khác) ☺Ý tưởng: HPT trên có bậc khá cao nhưng có thể giảm bậc bằng cách ñặt t = x 2 . Vậy cách tự nhiên nhất chính là ta ñưa về PT bậc 2. Để ñảm bảo ∆ chính phương ta sẽ dùng hệ số bất ñịnh như sau: ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Ta có (1) + k.(2) ⇔ x 4 - 4x 2 + y 2 - 6y + 9 + k(x 2 y + x 2 + 2y - 22) = 0 ⇔ x 4 + (k + ky - 4)x 2 + y 2 - 6y + 9 + 22ky - 22k = 0 Xem ñây là PT bậc hai theo ẩn là x 2 , ta có ∆ = (k 2 - 4)y 2 + (2k 2 - 16k + 24)y + k 2 + 80k - 20 Để ∆ là một bình phương thì trước hết hệ số của y 2 phải là số chính phương, nghĩa là ta ph ải giải PT nghiệm nguyên k 2 - 4 = α αα α 2 ( với α αα α ∈ ∈∈ ∈ Z) . Khi α = 0 ⇒ k = 2 ⇒ 2k 2 - 16k + 24 = 0 k 2 + 80k - 20 = 144 Và như vậy ta chọn k = 2 Lấy (1) + 2.(2) ta có: x 4 + (2 + 2y - 4)x 2 + y 2 - 6y + 9 + 4y - 44 = 0 Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 2 ⇔ x 4 + 2(y - 1)x 2 + y 2 - 2y - 35 = 0 Xét ∆ ' = (y - 1) 2 - (y 2 - 2y - 35) = 36 ≥ 0 Khi ñó x 2 = - y - 5 x 2 = 7 - y ■ Với y = - x 2 - 5 thay vào (2) ta ñược: x 2 (- x 2 - 5) + x 2 + 2(- x 2 - 5) - 22 = 0 ⇔ - x 4 - 6x 2 - 32 = 0 (PT vô nghiệm) ■ Với y = 7 - x 2 thay vào (2) ta ñược: x 2 (7 - x 2 ) + x 2 + 2(7 - x 2 ) - 22 = 0 ⇔ - x 4 + 6x 2 - 8 = 0 ⇔ x 2 = 4 x 2 = 2 (Việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc !) Như vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3), (-2;3); (- 2;5), ( 2; 5). Bài Toán 2 Giải hệ phương trình sau: x(x + y) + y 2 = 4x - 1 (1) x(x + y) 2 - 2y 2 = 7x + 2 (2) (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Từ (1) ⇔ x(x + y) + y 2 + 1= 4x (Nhận xét x = 0 không là nghiệm của pt (1) nên ta chia 2 vế PT cho x) ⇔ (x + y) + y 2 + 1 x = 4. Từ (2) ⇔ x(x + y) 2 - 2y 2 = 7x + 2 ⇔ x(x + y) 2 - 2y 2 - 2 = 7x ⇔ x(x + y) 2 -2(y 2 + 1) = 7x (Nhận xét x = 0 cũng không là nghiệm của PT (2)) ⇔ (x + y) 2 - 2 y 2 + 1 x = 7. ■ Đặt u = x + y v = y 2 + 1 x thì hệ (I) thành u + v = 4 (3) u 2 - 2v = 7 (4) (II) Từ (3) ⇔ v = 4 - u thay vào (4) ta ñược: u 2 - 2(4 - u) = 7 ⇔ u 2 + 2u - 15 = 0 ⇔ u = 3 ⇒ v = 1 u = -5 ⇒ v = 9 ►Với u = 3 v = 1 ⇔ x + y = 3 y 2 + 1 x = 1 ⇔ x = 3 - y y 2 + 1 = 3 - y ⇔ x = 3 - y y 2 + y - 2 = 0 ⇔ x = 2 y = 1 hay x = 5 y = -2 ►Với u = -5 v = 9 ⇔ x + y = -5 y 2 + 1 x = 9 (hệ vô nghiệm) Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;1), (5;-2) Bài Toán 3. Giải hệ phương trình sau: 2 x 2 + 3y - y 2 + 8x - 1 = 0 (1) x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0 (2) (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Điều kiện x 2 + 3y ≥ 0, y 2 + 8x ≥ 0 (1;1) (-5;-7) Từ (2) ⇔ x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0 ⇔ (x 2 + 3y) + (y 2 + 8x) = 13. ■ u = x 2 + 3y v = y 2 + 8x (u,v ≥ 0) thì hệ (I) thành 2u - v = 1 (3) u 2 + v 2 = 13 (4) Từ (3) ⇔ v = 2u - 1 thay vào (4), ta ñược (4) ⇔ u 2 + (2u - 1) 2 = 13 ⇔ 5u 2 - 4u - 12 = 0 ⇔ u = 2 (nhận) u = -6 5 (loại) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 3 ►Với u = 2 ⇒ v = 3. vậy x 2 + 3y = 4 y 2 + 8x = 9 ⇔ y = 4 - x 2 3 4 - x 2 3 2 + 8x = 9 ⇔ y = 4 - x 2 3 x 4 - 8x 2 + 72x - 65 = 0 ⇔ y = 4 - x 2 3 (x - 1)(x 3 + x - 7x + 65) = 0 ⇔ y = 4 - x 2 3 x = 1 x = -5 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 x = -5 ⇒ y = -7 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (-5;-7) Bài Toán 4. Giải hệ phương trình sau: x - 1 + y + 1 = 4 (1) x 4 + (y + 1) 2 = x 3 (y + 2) + xy + 1 (2) (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1, y ≥ -1 Từ (2) ⇔ x 4 + (y + 1) 2 = x 3 (y + 2) + xy + 1 ⇔ x 4 + y 2 + 2y + 1 = x 3 y + 2x 3 + xy + 1 ⇔ y 2 + (2 - x - x 3 )y + x 4 - 2x 3 = 0. Xét ∆ = (2 - x - x 3 ) 2 - 4(x 4 - 2x 3 ) = (4 + x 2 + x 6 - 4x - 4x 3 + 2x 4 ) - 4x 4 + 8x 3 = (4 + x 2 + x 6 - 4x + 4x 3 - 2x 4 ) = (x 3 - x + 2) 2 ≥ 0 Vậy PT (2) ⇔ y = x - 2 y = x 3 ►Với y = x - 2 thay vào (1), ta ñược: (1) ⇔ x - 1 + x - 1 = 4 ⇔ x - 1 = 2 ⇔ x = 5 ⇒ y = 3 ►Với y = x 3 thay vào (1), ta ñược: (1) ⇔ x - 1 + x 3 + 1 = 4 ⇔ x - 1 - 1 + x 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ x - 2 x - 1 + 1 + x 3 - 8 x 3 + 1 + 3 = 0 ⇔ (x - 2) 1 x - 1 + 1 + x 2 + 2x + 4 x 3 + 1 + 3 = 0 ⇔ x = 2 hay 1 x - 1 + 1 + x 2 + 2x + 4 x 3 + 1 + 3 = 0 (vô nghiệm) Do ñó x = 2 ⇒ y = 8. Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;8), (5;3) Bài Toán 5. Giải hệ phương trình sau: 8(x + 1) 3 = 8y 3 - 12y 2 + 2y - 3 + 12x 2 + 10x + 3 (1) 2y - 4(x 2 + 2) + y 2 - 6x + 3 = 0 (2) (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Điều kiện y ≥ 3 2 , 2y - 4(x 2 + 2) ≥ 0. Từ (1) ⇔ 8(x + 1) 3 - 12x 2 - 10x - 3 = 8y 3 - 12y 2 + 2y - 3 ⇔ 8x 3 + 12x 2 + 14x + 5 = 4y 2 (2y - 3) + 2y - 3 ■ Xét VP = 2|y| 2y - 3 + 2y - 3 (do y ≥ 3 2 ) = (2y + 1) 2y - 3 = (2y - 3 + 4) 2y - 3 = (2y - 3) 2y - 3 + 4 2y - 3 ■ Xét (2x + b) 3 + 4(2x + b) = 8x 3 + 12x 2 + 14x + 5 ⇔ 8x 3 + 12bx 2 + (6b + 8)x + 4b + b 3 = 8x 3 + 12x 2 + 14x + 5 ⇔ 12b = 12 6b + 8 = 14 b 3 + 4b = 5 ⇔ b = 1 Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 4 Vậy từ (1) ⇔ (2x + 1) 3 + 4(2x + 1) = ( 2y - 3) 3 + 4 2y - 3 ⇔ f (2x + 1) = f ( 2y - 3) (3) ■ Xét hàm ñặc trưng: f (t) = t 3 + 4t (t ∈ R) có f '(t) = 3t 2 + 4 > 0 ∀t ∈ R. Do ñó (3) tương ñương 2x + 1 = 2y - 3 ⇔ 2x + 1 ≥ 0 4x 2 + 4x + 1 = 2y - 3 ⇔ x ≥ -1 2 2y = 4x 2 + 4x + 4 Thay vào (2) ta ñược: 4x 2 + 4x + 4 - 4(x 2 + 2) + x 2 + x + 1 - 6x + 3 = 0 (với x ≥ -1 2 ) ⇔ 4x - 4 + x 2 - 5x + 4 = 0 ⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 4) = 0 (x ≥ ≥≥ ≥ 1) ⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 1 - 3) = 0 ⇔ 2 x - 1 + (x - 1) 2 - 3(x - 1) = 0 (4) ► Đặt t = x - 1 ≥ 0 thì (4) ⇔ 2t + t 4 - 3t = 0 ⇔ t(t 3 - 3t + 2) = 0 ⇔ t = 0 (nhận) t = 1 (nhận) t = -2 (loại) Với t = 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 6 Với t = 1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 14 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;14), (1;6) Bài Toán 6. Giải hệ phương trình sau: (x + x 2 + 4)(y + y 2 + 1) = 2 (1) 12y 2 - 10y + 2 = 2 3 x 3 + 1 (2) (TTL1 - 2014 - Amsterdam) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: ■ Ta có y 2 + 1 > y 2 = ± y ⇒ y 2 + 1 + y > 0. Xét (y + y 2 + 1)( y 2 + 1 - y) = 1 ⇔ y 2 + 1 - 1= 1 y + y 2 + 1 Từ (1) ⇔ (x + x 2 + 4)(y + y 2 + 1) = 2 ⇔ x + x 2 + 4 = 2 1 y + y 2 + 1 ⇔ x + x 2 + 4 = 2( y 2 + 1 - y) ⇔ x + x 2 + 4 = (-2y) 2 + 4 + (-2y) ⇔ f (x) = f(-2y) (3). ■ Xét hàm ñặc trưng: f (t) = t + t 2 + 4 (t ∈ R) có f '(t) = 1 + t t 2 + 4 = t 2 + 4 + t t 2 + 4 > |t| + t t 2 + 4 ≥ 0 ∀t Do ñó (3) tương ñương với x = - 2y. ► Thay 2y = -x vào (2) ta ñược: 3x 2 + 5x + 2 = 2 3 x 3 + 1 ⇔ x 3 + 1 + (3x 2 + 5x + 2) = 2 3 x 3 + 1 + x 3 + 1 Xét VT = x 3 + 3x 2 + 5x + 3 = (x + b) 3 + 2(x + b) ⇔ x 3 + 3x 2 + 5x + 3 = x 3 + 3bx 2 + (3b 2 + 2)x + b 3 + 2b ⇔ 3 = 3b 5 = 3b 2 + 2 3 = b 3 + 2b ⇔ b = 1 Vậy (2) ⇔ (x + 1) 3 + 2(x + 1) = x 3 + 1 + 2 3 x 3 + 1 ⇔ g(x + 1) = g( 3 x 3 + 1) (4). ■ Xét hàm ñặc trưng: g(u) = u 3 + 2u (u ∈ R) có g '(u) = 3u 2 + 2 > 0 ∀u ∈ R. Do ñó (4) tương ñương với x + 1 = 3 x 3 + 1 Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 5 ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = x 3 + 1 ⇔ 3x 2 + 3x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 x = -1 ⇒ y = 1 2 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;0), (-1; 1 2 ) Bài Toán 7. Giải hệ phương trình sau: x 4 - x 3 y + x 2 y 2 = 1 (1) x 3 y - x 2 + xy = - 1 (2) (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Cộng vế theo vế hai phương trình (1) và (2) ta ñược: x 4 + x 2 y 2 - x 2 + xy = 0 (không ñi tiếp ñược → "kẹt") Trừ vế theo vế hai PT (1) và (2), ta ñược: x 4 - 2x 3 y + x 2 y 2 + x 2 - xy - 2 = 0 ⇔ (x 4 - 2x 3 y + x 2 y 2 ) + (x 2 - xy) - 2 = 0 ⇔ x 2 (x 2 - 2xy + y 2 ) + x(x - y) - 2 = 0 ⇔ x 2 (x - y) 2 + x(x - y) - 2 = 0. ( ñặt t = x(x - y)) Thì PT thành t 2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 t = -2 ⇔ x 2 - xy = 1 x 2 - xy = -2 ■ TH1: với x 2 - xy = 1 ⇔ xy = x 2 - 1. Thay vào pt (2) ta ñược: (2) ⇔ x 3 y - x 2 + xy = - 1 ⇔ x 2 (xy) - x 2 + xy + 1 = 0 ⇔ x 2 (x 2 - 1) - x 2 + x 2 - 1 + 1 = 0 ⇔ x 2 = 0 x 2 = 1 Với x = 0 ⇒ vô nghiệm Với x = 1 ⇒ y = 0, x = -1 ⇒ y = 0. ■ TH2: với x 2 - xy = -2 ⇔ xy = x 2 + 2. Thay vào pt (2) ta ñược: (2) ⇔ x 2 (xy) - x 2 + xy + 1 = 0 ⇔ x 2 (x 2 + 2) - x 2 + x 2 + 2 + 1 = 0 ⇔ x 4 + 2x 2 + 3 = 0 (vô nghiệm). Kết luận, từ hai trường hợp thì hệ phương trình có hai nghiệm là x = 0 y = 1 hay (x;y) = (0;-1). ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách thử rút thế) Ta có phương trình (2)⇒ (x 3 + x)y = x 2 - 1. Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình (2) nên ta có y = x 2 - 1 x(x 2 + 1) Thay vào (1) ta ñược: x 4 - 1 - x 3 x 2 - 1 x(x 2 + 1) + x 2 x 2 - 1 x(x 2 + 1) 2 = 0 ⇔ (x 2 - 1)(x 2 + 1) - (x 2 - 1) x 2 x 2 + 1 + (x 2 - 1) x 2 - 1 x 2 + 1 2 = 0 ⇔ (x 2 - 1) (x 2 + 1) - x 2 x 2 + 1 + x 2 - 1 x 2 + 1 2 = 0 ⇔ x 2 = 1 hay (x 2 + 1) - x 2 x 2 + 1 + x 2 - 1 (x 2 + 1) 2 = 0 ■ TH1: x 2 = 1 ⇒ ⇒⇒ ⇒ x = 1 ⇒ ⇒⇒ ⇒ y = 0 x = - 1 ⇒ ⇒⇒ ⇒ y = 0 ■ TH2: (x 2 + 1) 3 - x 2 (x 2 + 1) + (x 2 - 1) = 0 (Đặt t = x 2 > 0) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 6 ⇔ (t + 1) 3 - t 2 - t + t - 1 = 0 ⇔ (t + 1) 3 - t 2 - 1 = 0 ⇔ t 3 + 3t 2 + 3t + 1 - t 2 - 1 = 0 ⇔ t 3 + 2t 2 + 3t = 0 ( loại vì t > 0) Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;1), (0; -1) Bài Toán 8. Giải hệ phương trình sau: x + 1 + y - 1 = 4 (1) x + 6 + y + 4 = 6 (2) (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: ( Giải bổ sung!!!! ^^^) Điều kiện x ≥ -1, y ≥ -1. Cộng trừ hai PT (1) và (2) vế theo vế ta ñược: (I) ⇔ x + 1 + x + 6 + y + 4 + y - 1 = 10 x + 6 - x + 1 + y + 4 - y - 1 = 2 (II). Đặt u = x + 6 + x + 1 v = y + 4 + y - 1 ⇔ x + 6 - x + 1 = 1 u y + 4 - y - 1 = 1 v Do ñó (II) thành: u + v = 10 5 u + 5 v = 2 (Đây là hệ Đối xứng loại 1 - việc giải hệ này xin dành cho bạn ñọc !) ⇔ u = 5 v = 5 ⇔ x + 6 + x + 1 = 5 y + 4 + y - 1 = 5 (Việc giải các PT căn này cũng xin dành cho bạn ñọc!) ⇔ x = 3 y = 5 (Nhận) Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (3;5) Bài Toán 9. Giải hệ phương trình sau: x 4 + 2x 3 y + x 2 y 2 = 2x + 9 (1) x 2 + 2 xy = 6 x + 6 (2) (I) (ĐH Khối B - 2008) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách rút thế ) Nhận xét, không hẳn trong một bài hệ PT ta sẽ rút x theo y (hoặc y theo x) mà cũng có thể rút "một cụm" - một nhóm của PT này sao cho nó có mối liên hệ với PT kia. Từ PT (2) ⇔ xy = 3x + 3 - x 2 2 thay vào (1) ta ñược: (1) ⇔ x 4 + 2x 2 (3x + 3 - x 2 2 ) + 3x + 3 - x 2 2 2 = 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta ñược) ⇔ x(x 3 + 12x 2 + 48x + 64) = 0 ⇔ x = 0 x = -4 Với x = 0 thì (2) vô nghiệm Với x = -4 thì (2) ⇒ y = 17 4 . Vậy hệ PT có một nghiệm là (x;y) = (0; 17 4 ) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách rút thế ) Nhận xét x = 0 không nghiệm của (2) nên từ (2) ⇔ y = 6x + 6 - x 2 2x (với x ≠ 0) Thay vào (1) ta ñược: x 4 + 2x 3 . 6x + 6 - x 2 2x + x 2 6x + 6 - x 2 2x 2 = 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta ñược) ⇔ x(x 3 + 12x 2 + 48x + 64) = 0 ⇔ x = 0 x = -4 (tương tự như cách làm trên). Bài Toán 10. Giải hệ phương trình sau: x 2 + 1 + y 2 + yx = 4y (1) x+ y - 2 = y x 2 + 1 (2) (I) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 7 ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Từ (1) ⇔ x 2 + 1 = - y 2 - yx + 4y = y(4 - x - y) thay vào (2), ta ñược (2) ⇔ x + y - 2 = y y(4 - x - y) ( nhận y = 0 không là nghiệm của PT (2)) ⇔ (x + y) - 2 = 1 4 - (x + y) (3). Đặt t = x + y thì (3) ⇔ 6t - t 2 - 9 = 0 ⇔ t = 3 = x + y (Việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc !) Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1; 2), (-2 ; 5) Bài Toán 11. Giải hệ phương trình sau: x 2 - 4y 2 - 8x + 4y + 15 = 0 (1) x 2 + 2y 2 - 2xy = 5 (2) (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách xét delta ) (1) ⇔ x 2 - 8x - 4y 2 + 4y + 15 = 0. (xem x là ẩn, y là tham số). Xét ∆' = 16 - (- 4y 2 + 4y + 15) = 4y 2 - 4y 2 + 1 = (2y - 1) 2 ≥ 0 Vậy x = -b' ± ∆ ' a ⇔ x = 5 - 2y x = 3 + 2y ■ TH1: với x = 5 - 2y thay vào (2), ta ñược: (2) ⇔ (5 - 2y) 2 + 2y 2 - 2y(5 - 2y) = 5 ⇔ 10y 2 - 30y + 20 = 0 ⇔ y = 1 ⇒ x = 3 y = 2 ⇒ x = 1 ■ TH2: với x = 3 + 2y thay vào (2), ta ñược: (2) ⇔ (3 + 2y) 2 + 2y 2 - 2y(3 + 2y) = 5 ⇔ 2y 2 + 6y + 4 = 0 ⇔ y = -1 ⇒ x = 1 y = -2 ⇒ x = -1 Kết luận: hệ phương trình (I) có 4 nghiệm là (1;-1), (-1;-2), (3;1), (1;2) Bài Toán 12. Giải hệ phương trình sau: 2 x 2 + y 2 - 3 xy + 3 x - 2 y + 1 = 0 (1) 4x 2 - y 2 + x + 4 = 2x + y + x + 4y (2) (I) (ĐH khối B - 2013 ) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách xét delta ) Điều kiện: 2x + y ≥ 0, x + 4y ≥ 0. (1) ⇔ 2x 2 + 3(1 - y)x + y 2 - 2y + 1 = 0 Xét ∆ = 9(1 - y) 2 - 4.2.(y 2 - 2y + 1) = y 2 - 2y + 1 = (y - 1) 2 ≥ 0 Khi ñó x = y - 1 x = y - 1 2 ■ TH1: thay y = x + 1 vào (2) ta ñược: 3x 2 - x + 3 = 3x + 1 + 5x + 4 (Việc giải này xin dành cho bạn ñọc) ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 x = 1 ⇒ y = 2 ■ TH2: thay y = 2x + 1 vào (2) ta ñược: 3 - 3x = 4x + 1 + 9x + 4 (HSTL) ⇔ x = 0 ⇒ ⇒⇒ ⇒ y = 1 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (0;1), (1;2). Bài Toán 13. Giải hệ phương trình sau: y + xy 2 = 6x 2 1 + x 2 y 2 = 5x 2 (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Khi x = 0 thì hệ phương trình (I) thành y = 0 1 = 0 (vô nghiệm) ⇒ x = 0 là không là nghiệm của (I) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 8 Khi x ≠ 0 nên chia hai vế của hệ phương trình cho x 2 ta ñược: (I) ⇔ y x 2 + y 2 x = 6 1 x 2 + y 2 = 5 ⇔ y x ( 1 x + y ) = 6 1 x 2 + y 2 = 5 (II) Đặt u = 1 x + y v = y x thì hệ (II) thành: uv = 6 u 2 - 2v = 5 ⇔ v = u 2 - 5 2 (1) uv = 6 (2) Thay (1) vào (2), ta ñược (2) ⇔ (u 2 - 5)u = 12 ⇔ u 3 - 5u - 12 = 0 ⇔ u = 3 ⇒ v = 2 Với u = 3 v = 2 ⇔ 1 x + y = 3 y x = 2 ⇔ y = 2x 2x 2 - 3x + 1 = 0 ⇔ y = 2x x = 1 v x = 1 2 ⇔ x = 1 y = 2 hay x = 1 2 y = 1 Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1;2), ( 1 2 ;1). Bài Toán 14. Giải hệ phương trình sau: xy + x + 1 = 7y (1) x 2 y 2 + xy + 1 = 13y 2 (2) (I) (ĐH Khối B - 2009) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Khi y = 0 thì (2) vô nghiệm. Khi y ≠ 0 thì hệ (I) ⇔ x + x y + 1 y = 7 x 2 + x y + 1 y 2 = 13 ⇔ x + 1 y + x y = 7 x + 1 y 2 - x y = 13 (II) Đặt S = x + 1 y và P = x y thì hệ (II) thành S + P = 7 S 2 - P = 13 ⇔ P = 7 - S S 2 + S - 20 = 0 ⇔ S = -5 P = 4 hay S = 4 P = 5 Khi ñó x và 1 y là 2 nghiệm của phương trình X 2 + 5X + 4 = 0 hay X 2 - 4X + 5 = 0 (Đối xứng loại 1) ⇔ X = -1 X = -4 ⇔ x = -1 1 y = -4 hay x = -4 1 y = -1 ⇔ x = -1 y = -1 4 hay x = -4 y = -1 Kết luận vậy hệ (I) có 2 nghiệm là (-1; -1 4 ) hay (-4;-1) Bài Toán 15. Giải hệ phương trình sau: x + 1 + 4 x - 1 - 4 y 4 + 2 = y (1) x 2 + 2x(y - 1) + y 2 - 6y + 1 = 0 (2) (I) (ĐH Khối A - 2013 ) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1. Đặt u = 4 x - 1 suy ra u ≥ 0. PT (1) trở thành: u 4 + 2 + u = y 4 + 2 + y (3). (Như bạn thấy u ≥ 0, nhưng liệu y ≥ ≥≥ ≥ 0 ??? cái khó của bài toán nằm ở ñây ! Vì nếu các em học sinh xét hàm ñặc trưng thì sẽ không chỉ rõ ñược tập xác ñịnh cho cả 2 biến u và y). Từ (2) ta ñược x 2 + 2xy + y 2 - 2x - 2y + 1 = 4y ⇔ 4y = (x + y - 1) 2 ⇒ ⇒⇒ ⇒ y ≥ ≥≥ ≥ 0. Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 9 Xét f(t) = t 4 + 2 + t với t ≥ 0. Ta có f '(t) = 2t 3 t 4 + 2 + 1 > 0 ∀ t > 0. Do ñó PT (3) tương ñương với y = u, nghĩa là x = y 4 + 1. Thay vào PT (2) ta ñược y(y 7 + 2y 4 + y - 4) = 0 ⇔ y = 0 y 7 + 2y 4 + y - 4 = 0 Với y = 0 ⇒ x = 1 Với y 7 + 2y 4 + y - 4 = 0 (4). Xét hàm g(y) = y 7 + 2y 4 + y - 4 (y ≥ 0) g'(y) = 7y 6 + 8y 3 + 1 > 0 ∀y ≥ 0 Mà g(1) = 0 nên (4) có nghiệm không âm là y = 1 ⇒ x = 2 . Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0) và (2;1) Bài Toán 16. Giải hệ phương trình sau: (8x - 3) 2x - 1 - y - 4y 3 = 0 (1) 4x 2 - 8x + 2y 3 + y 2 - 2y + 3 = 0 (2) (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1 2 Từ PT (1) ⇔ (8x - 3) 2x - 1 = 4y 3 + y. (Do VP có dạng f(t) = 4t 3 + t nên ta sẽ biến ñổi VT có dạng như VP). Đặt u = 2x - 1 ≥ 0 ⇒ u 2 = 2x - 1 ⇒ 2x = u 2 + 1 thay vào PT (1) ta ñược: (1) ⇔ (4u 2 + 4 - 3)u = 4y 3 + y ⇔ 4u 3 + u = 4y 3 + y (3). Xét hàm f(t) = 4t 3 + t (t ∈ R) thì có f '(t) = 12t 2 + 1 > 0 ∀ ∀∀ ∀ t ∈ ∈∈ ∈ R. Do ñó PT (3) ⇔ u = y ⇔ 2x - 1 = y ⇔ y 2 = 2x - 1 (Do u ≥ 0 ⇒ y ≥ 0) ■ Cách 1: thay vào PT (2) ta ñược: 4x 2 - 8x + 2y(y 2 - 1) + y 2 + 3 = 0 ⇔ 4x 2 - 8x + 2 2x - 1(2x - 2) + 2x + 2 = 0 ⇔ 2x 2 - 3x + 1 + 2 2x - 1(x - 1) = 0 ⇔ 2(x - 1)(x - 1 2 ) + 2 2x - 1(x - 1) = 0 ⇔ (x - 1) 2x - 1 + 2 2x - 1 = 0 ⇔ x = 1 2x - 1 + 2 2x - 1 = 0 (4) Với x = 1 ⇒ ⇒⇒ ⇒ y 2 = 1 ⇒ ⇒⇒ ⇒ y = 1 (nhận) y = -1 (loại) Với PT (4), ñặt t = 2x - 1 ≥ 0 nên (4) ⇔ t 2 + 2t = 0 ⇔ t = 0 ⇔ x = 1 2 ⇒ ⇒⇒ ⇒ y = 0 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là ( 1 2 ; 0), (1;1). ■ Cách 2: PT (2) ⇔ 4x 2 - 8x + 2y 3 + y 2 - 2y + 3 = 0 ⇔ (4x 2 - 4x + 1) - 4x + 2 + 2y 3 + y 2 - 2y = 0 ⇔ (2x - 1) 2 - 2(2x - 1) + 2y 3 + y 2 - 2y = 0 Thay 2x - 1 = y 2 ≥ 0 vào PT (2) ta ñược: y 4 + 2y 3 - y 2 - 2y = 0 ⇔ y(y 3 + 2y 2 - y - 2) = 0 ⇔ y = 0 ⇒ x = 1 2 y = 1⇒ x = 1 y = -1 (loại) y = -2 (loại) Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là ( 1 2 ; 0), (1;1). Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 ) 10 Bài Toán 17. Giải hệ phương trình sau: x 5 + xy 4 = y 10 + y 6 (1) 4x + 5 + y 2 + 8 = 6 (2) (I) ☺Nhận xét: nhìn vào hệ trên ta thấy rằng không thể dùng "PP rút thế ". PT (1) có 2 ẩn ñộc lập với nhau nên ta nghĩ tới việc thử nhóm lại và phân tích nhận tử, lại có x - y 2 là một nhân tử chung, tuy vậy việc phân tích ra là tương ñối phức tạp khi dùng hằng ñẳng thức liên quan tới A 5 - B 5 . Ta cùng xét cách khác ñơn giản hơn, với dự ñoán x = y 2 là mối quan hệ duy nhất của x, y ⇒ ta nghĩ tới dùng tính ñơn ñiệu của hàm số. Thử nhé ! ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ -5 4 Dễ thấy y = 0 không là nghiệm của hệ (I). Với y ≠ 0, chia cả 2 vế của PT (1) cho y 5 , ta ñược: (1) ⇔ x 5 y 5 + x y = y 5 + y (3). Xét hàm ñặc trưng f (t) = t 5 + t (t ∈ R) có f '(t) = 5t 4 + 1 > 0 ∀ t ∈ R. Do ñó PT (3) ⇔ x y = y ⇔ x = y 2 ≥ 0 Thay x = y 2 vào (2) ta ñược 4x + 5 + x + 8 = 6 (việc giải PT vô tỉ này xin dành cho bạn ñọc !) ⇔ ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 y = -1 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (1;-1) Bài Toán 18. Giải hệ phương trình sau: 4x 4 + y 4 = 4x + y (1) x 3 + y 3 = xy 2 + 1 (2) (I) ☺Nhận xét: Giả sử kí hiệu DEG là bậc của PT. ta có Deg(VTPT1) = 4 > Deg(VPPT1) = 1 PT (2) ⇔ x 3 + y 3 - xy 2 = 1 có Deg(VTPT2) = 3 > Deg(VPPT2) = 0. Như vậy ñể PT (1) trở thành PT ĐẲNG CẤP, ta sẽ nhân thêm một lượng ñể VPPT(1) có Deg = 4. ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Ta có 4x 4 + y 4 = (4x + y).1 = (4x + y)(x 3 + y 3 - xy 2 ) ⇔ 4x 4 + y 4 = (4x + y)(x 3 + y 3 - xy 2 ) ⇔ 3xy 3 - 4x 2 y 2 + yx 3 = 0 ⇔ xy(3y 2 - 4xy + x 2 ) = 0 ⇔ x = 0 hay y = 0 hay 3y 2 - 4xy + x 2 = 0 ■ Với x = 0, thay vào (2) ta ñược y = 1. ■ Với y = 0, thay vào (2) ta ñược x = 1. ■ Với 3y 2 - 4xy + x 2 = 0 (3). + Xét x = 0 ⇒ y = 0 không là nghiệm của hệ (I) + Xét x ≠ 0 thì (3) ⇔ 3 y 2 x 2 - 4 y x + 1 = 0 ⇔ y = x y = x 3 Thay y = x vào (2) ta ñược x = 1 = y Thay y = x 3 vào (2) ta ñược x = 1 ⇒ y = 1 3 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0), (0;1), (1;1), (1; 1 3 ). Bài Toán 19. Giải hệ phương trình sau: x 3 - 8x = y 3 + 2y (1) x 2 - 3y 2 = 6 (2) (I) ⇒ ⇒⇒ ⇒ HD giải: Hệ (I) có thể viết lại x 3 - y 3 = 2(4x + y) x 2 - 3y 2 = 6 Ta nghĩ ñến cách ñồng bậc PT (1) bằng phép thế từ PT (2). Nhưng trước ñó ta phải làm xuất hiện số 6 ở PT(1) nên ta làm như sau. [...]... không làm nên s cao quý c a con ngư i mà chính con ngư i làm nên s cao quý 13 c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích ñ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m 3 2 x - 3xy = - 1 (1) (I) Bài Toán 25 Gi i h phương trình sau: 3 2 y - 3x y= - 3 (2) ☺Nh n xét: Đây là h ñ ng c p b c 3, tuy nhiên n u gi i b ng phương pháp thông thư ng s ñi ñ n phương. .. (16;3) Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a con ngư i mà chính con ngư i làm nên s cao quý 11 c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích ñ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m 4 2 2 2 x + 2(3y + 1)x + (5y + 4y + 11)x - y + 10y + 2 = 0 (1) Bài Toán 22 Gi i h phương trình sau: y3 + (x - 2)y + x2 + x + 2 = 0 (2) (I) ☺Ý tư ng: Đ gi i bài toán trên ta... -3 + 17 ; ), ( ; ) 14 14 4 4 Thay cho l i k t, th y tin là chuyên ñ v n không d ng l i nh ng d ng trên V n s có nh ng phương pháp m i m hơn, sáng t o hơn t ng ngày t ng ngày ñư c nhi u ngư i yêu toán tìm ra Hy v ng chuyên ñ ñã mang ñ n cho các b n m t s k năng b ích trong vi c ti p c n h phương trình Dù ñã dành r t nhi u tâm huy t cho chuyên ñ , song khó tránh kh i nh ng thi u sót Kính mong b n ñ c b... nên s cao quý 14 c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích ñ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m Th y Lâm Phong (Vi c gi i ti p xin dành cho b n ñ c!) 24 4 V y nghi m (x;y) c a h là (12; -2), ( ; ) 9 9 + 1 + x2)(y + 1 + y2) = 1 (1) (I) x 3x - 2xy + 1 = 4xy + 3x + 1 (2) (x Bài Toán 28 Gi i h phương trình sau: ⇒ HD gi i: 1 + y2 > y2 = |y| = ± y ⇒ 1 + y2... D th y y = -x Bư c 3: thay vào h và phân tích thành nhân t ? ta thay x b i y (ho c y b i x) tùy trư ng h p xem cách nào phù h p và có l i hơn V i bài này ta thay y = -x vào 2 PT c a h và thu ñư c: 2 4 2 2 2 (x + 1) (x - 1)(x - 2) = 0 x + 2(-3x + 1)x + (5x - 4x + 11)x - x - 10x + 2 = 0 3 ⇔ (x + 1)2(x - 2) = 0 2 - x - (x - 2)x + x + x + 2 = 0 Vi c phân tích trên là không khó vì ta ñã nh m ñư... u ki n x2 + y2 ≠ 0 (cách khác) 3xy - y2 xy + 2 = 3y x + y2 3 1 H (I) ⇔ L y v c ng v 2 PT ta ñư c 2xy - 1 = 3y ⇒ x = 2 x + 3yx 2 2y xy - 2 =0 x + y2 Thay vào m t trong hai PT c a h , gi i (x;y) = (2;1), (1;-1) ⇔ x + iy + Bài Toán 24 Gi i h phương trình sau: 1 ) = 2 (1) x+y (I) 1 7y(1 ) = 4 2 (2) x+y 3x( 1 + ⇒ HD gi i: Đi u ki n x + y ≠ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 Đ a = t b = 1 a(1 + a + b ) =... 3y2)(4x + y) ⇔ x3 + x2y - 12xy2 = 0 ⇔ x(x2 + xy - 12y2) = 0 ( gi i tương t như bài toán 6.1) x = 0 ⇔ x = 3y (vi c gi i ti p xin dành cho b n ñ c) x = -4y 6 ; 13 V y nghi m (x;y) c a h (I) là (3;1), (1;3), ( -4 6 ), (4 13 6 ;13 6 ) 13 x + 1 + x + 2 + x + 5 = y - 1 + y - 3 + y - 5 (1) (I) Bài Toán 20 Gi i h phương trình sau: 2 2 x + y + x + y = 80 (2) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x ≥ -1, y ≥ 5 ►N... -3), ( 2 3 5 ;4 3 25 ) 16 2 + 6y = x - x - 2y (1) y Bài Toán 27 Gi i h phương trình sau: (I) x + x - 2y = x + 3y - 2 (2) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x - 2y ≥ 0, y ≠ 0, x + x - 2y ≥ 0 x (1) ⇔ - 2 - x - 2y - 6y = 0 y x - 2y - x - 2y - 6y = 0 ⇔ y ⇔ t=3 x - 2y x - 2y x - 2y - 6 = 0 (3) Đ t t = thì (3) ⇔ t2 - t - 6 = 0 ⇔ t = -2 y y y2 Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a con ngư i mà chính con ngư... y - 3 + y - 5 ⇒ PT(1) vô nghi m ►Do ñó t (1) ta suy ra x + 1 = y - 5 ⇔ x = y - 6 Thay vào (2) ta ñư c: y - 6 + y + (y - 6)2 + y2 = 80 ⇔ ⇔ y = 5 - 2125 (lo i) y = 5 + 125 (nh n) ⇒ x = y - 6 = 2 V y nghi m (x;y) c a h là ( 125 - 7 2 125 - 7 5 + 125 ; ) 2 2 4 x + 32 - x - y2 = - 3 (1) Bài Toán 21 Gi i h phương trình sau: 4 (I) x + 32 - x + 6y = 24 (2) ⇒ HD gi i: C ng v theo v hai PT (1)... = -1 ■ V i x = y - 2 thay vào PT (2) ta ñư c: y3 + (y - 2 - 2)y + (y - 2)2 + y - 2 + 2 = 0 y=-4⇒x=-6 ⇔ y3 + 2y2 - 7y + 4 = 0 ⇔ y = 1⇒ x = - 1 ⇒ 9 7 3 ■ V i x2 - 2x + y2 + 3y + 5 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) + y2 + 2 y + + = 0 4 4 2 3 7 ⇔ (x - 1)2 + (y + )2 + = 0 (vô nghi m) 2 4 V y nghi m (x;y) c a h (I) là (-1;1), (2;-2), (-6;-4) Bài Toán 23 Gi i h y x + x3x+- y2 = 3 (1) 2 phương trình sau: x+ 3y y . hay x = -4 1 y = -1 ⇔ x = -1 y = -1 4 hay x = -4 y = -1 Kết luận vậy hệ (I) có 2 nghiệm là (-1; -1 4 ) hay (-4;-1) Bài Toán 15. Giải hệ phương trình. 3x = 4x + 1 + 9x + 4 (HSTL) ⇔ x = 0 ⇒ ⇒⇒ ⇒ y = 1 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (0;1), (1;2). Bài Toán 13. Giải hệ phương trình sau: y + xy 2 = 6x 2 1. y = -1 ⇒ x = 1 y = -2 ⇒ x = -1 Kết luận: hệ phương trình (I) có 4 nghiệm là (1;-1), (-1;-2), (3;1), (1;2) Bài Toán 12. Giải hệ phương trình sau: 2 x 2 + y 2