Người soạn: Thầy Lâm Phong
Trang 1Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 1
Bài Toán 1 Giải hệ phương trình sau: x4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 = 0 (1)
x2y + x2 + 2y - 22 = 0 (2) (I) (Chuyên Vĩnh Phúc)
⇒⇒⇒ HD giải:
Từ (1) ⇔ x4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 = 0
⇔ (x4 - 4x2 + 4) + (y2 - 6y + 9) = 4
⇔ (x2 - 2)2 + (y - 3)2 = 4
Từ (2) ⇔ (x2 + 2)y + x2 - 22 = 0
⇔ (x 2 - 2 + 4)(y - 3 + 3) + (x2
- 2) - 20 = 0 ■ Đặt u = x
2
- 2
v = y - 3 thì hệ (I) thành
u2 + v2 = 4 (3) (u + 4)(v + 3) + u - 20 = 0 (4) (II)
Từ (4) ⇔ uv + 4v + 3u + u + 12 - 20 = 0
⇔ uv + 4v + 4u - 8 = 0
⇔ uv + 4(u + v) - 8 = 0
■ Đặt S = u + v
P = uv thì hệ (II) thành
S2 - 2P = 4 (5)
P + 4S - 8 = 0 (6)
Từ (6) ⇔ P = 8 - 4S thay vào (5) ta ñược: S2 - 2(8 - 4S) = 4 ⇔ S2 + 8S - 20 = 0 ⇔
S = 2⇒ P = 0
S = -10 ⇒ P = 48 ►Khi ñó u, v là hai nghiệm của phương trình X2 - 2X = 0 hay X2 + 10X + 48 = 0 ⇔ X = 0 X = 2
Vậy hệ (II) có nghiệm là u = 0
v = 2 hay
u = 2
v = 0 ⇔
x2 - 2 = 0
y - 3 = 2 hay
x2 - 2 = 2
y - 3 = 0
x = ± 2
y = 5 hay
x = ± 2
y = 3
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3) (-2;3), ( 2;5), (- 2;5)
⇒⇒ HD giải: (Cách khác)
☺Ý tưởng: HPT trên có bậc khá cao nhưng có thể giảm bậc bằng cách ñặt t = x 2
Vậy cách tự nhiên nhất chính là ta ñưa về PT bậc 2 Để ñảm bảo ∆ chính phương ta sẽ dùng hệ số bất ñịnh như sau:
⇒⇒ HD giải:
Ta có (1) + k.(2) ⇔ x4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 + k(x2y + x2 + 2y - 22) = 0
⇔ x4 + (k + ky - 4)x2 + y2 - 6y + 9 + 22ky - 22k = 0
Xem ñây là PT bậc hai theo ẩn là x2, ta có
∆ = (k 2 - 4)y2 + (2k 2 - 16k + 24)y + k2 + 80k - 20
Để ∆ là một bình phương thì trước hết hệ số của y 2 phải là số chính phương, nghĩa là ta phải giải PT nghiệm
nguyên k 2 - 4 = αα2 ( với ααα ∈∈∈ Z)
Khi α = 0 ⇒ k = 2 ⇒
2k 2 - 16k + 24 = 0
k2 + 80k - 20 = 144
Và như vậy ta chọn k = 2
Lấy (1) + 2.(2) ta có: x4 + (2 + 2y - 4)x2 + y2 - 6y + 9 + 4y - 44 = 0
Trang 2Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 2
⇔ x4 + 2(y - 1)x2 + y2 - 2y - 35 = 0
Xét ∆' = (y - 1)2 - (y2 - 2y - 35) = 36 ≥ 0
Khi ñó x
2 = - y - 5
x2 = 7 - y ■ Với y = - x 2 - 5 thay vào (2) ta ñược: x2
(- x 2 - 5) + x2
+ 2(- x 2 - 5) - 22 = 0
⇔ - x4 - 6x2 - 32 = 0 (PT vô nghiệm)
■ Với y = 7 - x 2 thay vào (2) ta ñược: x2
(7 - x 2 ) + x2
+ 2(7 - x 2 ) - 22 = 0
⇔ - x4 + 6x2 - 8 = 0 ⇔ x
2 = 4
x2 = 2 (Việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc !)
Như vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3), (-2;3); (- 2;5), ( 2; 5)
Bài Toán 2 Giải hệ phương trình sau: x (x + y) + y2 = 4x - 1 (1)
x (x + y)2 - 2y2 = 7x + 2 (2) (I)
⇒⇒⇒ HD giải:
Từ (1) ⇔ x(x + y) + y2 + 1= 4x (Nhận xét x = 0 không là nghiệm của pt (1) nên ta chia 2 vế PT cho x)
⇔ (x + y) + y 2 + 1
x = 4
Từ (2) ⇔ x(x + y)2 - 2y2 = 7x + 2
⇔ x(x + y)2 - 2y2 - 2 = 7x
⇔ x(x + y)2 -2(y2 + 1) = 7x (Nhận xét x = 0 cũng không là nghiệm của PT (2))
⇔ (x + y)2 - 2y 2 + 1
x = 7
■ Đặt
u = x + y
v = y 2 + 1
x thì hệ (I) thành
u + v = 4 (3)
u2 - 2v = 7 (4) (II)
Từ (3) ⇔ v = 4 - u thay vào (4) ta ñược:
u2 - 2(4 - u) = 7 ⇔ u2 + 2u - 15 = 0 ⇔
u = 3 ⇒ v = 1
u = -5 ⇒ v = 9 ►Với u = 3
v = 1⇔
x + y = 3
y2 + 1
x = 1 ⇔ x = 3 - y
y2 + 1 = 3 - y ⇔
x = 3 - y
y2 + y - 2 = 0 ⇔
x = 2
y = 1 hay
x = 5
y = -2
►Với u = -5 v = 9 ⇔
x + y = -5
y2 + 1
x = 9
(hệ vô nghiệm)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;1), (5;-2)
Bài Toán 3 Giải hệ phương trình sau:
2 x2 + 3y - y2 + 8x - 1 = 0 (1)
x (x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0 (2) (I)
⇒⇒⇒ HD giải: Điều kiện x2
+ 3y ≥ 0, y2 + 8x ≥ 0 (1;1) (-5;-7)
Từ (2) ⇔ x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0
⇔ (x 2 + 3y) + (y 2 + 8x) = 13
■
u = x2 + 3y
v = y2 + 8x (u,v ≥ 0) thì hệ (I) thành
2u - v = 1 (3)
u2 + v2 = 13 (4)
Từ (3) ⇔ v = 2u - 1 thay vào (4), ta ñược
(4) ⇔ u2 + (2u - 1)2 = 13 ⇔ 5u2 - 4u - 12 = 0 ⇔
u = 2 (nhận)
u = -6
5 (loại)
Trang 3Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 3
►Với u = 2 ⇒ v = 3 vậy x
2 + 3y = 4
y2 + 8x = 9⇔
y = 4 - x
2
3
4 - x2
3
2 + 8x = 9
⇔
y = 4 - x2 3
x4 - 8x2 + 72x - 65 = 0
y = 4 - x2 3 (x - 1)(x3 + x - 7x + 65) = 0
⇔
y = 4 - x
2
3
x = 1
x = -5
⇔
x = 1⇒ y = 1
x = -5 ⇒ y = -7
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (-5;-7)
Bài Toán 4 Giải hệ phương trình sau:
x - 1 + y + 1 = 4 (1)
x4 + (y + 1)2 = x3(y + 2) + xy + 1 (2) (I)
⇒⇒⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1, y ≥ -1
Từ (2) ⇔ x4 + (y + 1)2 = x3(y + 2) + xy + 1
⇔ x4 + y2 + 2y + 1 = x3y + 2x3 + xy + 1
⇔ y2
+ (2 - x - x 3 )y + x 4 - 2x 3 = 0
Xét ∆ = (2 - x - x 3)2 - 4(x 4 - 2x 3) = (4 + x2 + x6 - 4x - 4x 3 + 2x 4 ) - 4x 4 + 8x 3
= (4 + x2 + x6 - 4x + 4x 3 - 2x 4) = (x3 - x + 2)2 ≥ 0 Vậy PT (2) ⇔ y = x - 2 y = x3
►Với y = x - 2 thay vào (1), ta ñược: (1) ⇔ x - 1 + x - 1 = 4 ⇔ x - 1 = 2 ⇔ x = 5⇒ y = 3
►Với y = x3 thay vào (1), ta ñược: (1) ⇔ x - 1 + x3 + 1 = 4
⇔ x - 1 - 1 + x3 + 1 - 3 = 0
⇔ x - 2
x - 1 + 1 + x 3 - 8
x3 + 1 + 3 = 0 ⇔ (x - 2) 1
x - 1 + 1 +
x2 + 2x + 4
x3 + 1 + 3 = 0
x - 1 + 1 +
x2 + 2x + 4
x3 + 1 + 3 = 0 (vô nghiệm)
Do ñó x = 2 ⇒ y = 8
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;8), (5;3)
Bài Toán 5 Giải hệ phương trình sau:
8(x + 1)3 = 8y3 - 12y2 + 2y - 3 + 12x2 + 10x + 3 (1) 2y - 4(x2 + 2) + 2y - 6x + 3 = 0 (2) (I)
⇒⇒ HD giải: Điều kiện y ≥ 3
2, 2y - 4(x
2 + 2) ≥ 0
Từ (1) ⇔ 8(x + 1)3 - 12x2 - 10x - 3 = 8y3 - 12y2 + 2y - 3
⇔ 8x3 + 12x2 + 14x + 5 = 4y2(2y - 3) + 2y - 3
■ Xét VP = 2|y| 2y - 3 + 2y - 3 (do y ≥ 3
2)
= (2y + 1) 2y - 3 = (2y - 3 + 4) 2y - 3 = (2y - 3) 2y - 3 + 4 2y - 3
■ Xét (2x + b)3 + 4(2x + b) = 8x3 + 12x2 + 14x + 5
⇔ 8x3 + 12bx2 + (6b + 8)x + 4b + b 3 = 8x3 + 12x2 + 14x + 5
⇔
12b = 12 6b + 8 = 14
b3 + 4b = 5
⇔ b = 1
Trang 4Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 4
Vậy từ (1) ⇔ (2x + 1)3 + 4(2x + 1) = ( 2y - 3)3 + 4 2y - 3
⇔ f (2x + 1) = f ( 2y - 3) (3)
■ Xét hàm ñặc trưng: f (t) = t3 + 4t (t ∈ R) có f '(t) = 3t2 + 4 > 0 ∀t ∈ R
Do ñó (3) tương ñương 2x + 1 = 2y - 3 ⇔
2x + 1 ≥ 0 4x2 + 4x + 1 = 2y - 3⇔
x ≥ -1 2 2y = 4x2 + 4x + 4
Thay vào (2) ta ñược: 4x 2 + 4x + 4 - 4(x2
+ 2) + x2 + x + 1 - 6x + 3 = 0 (với x ≥ -1
2) ⇔ 4x - 4 + x2 - 5x + 4 = 0
⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 4) = 0 (x ≥≥≥ 1)
⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 1 - 3) = 0
⇔ 2 x - 1 + (x - 1)2 - 3(x - 1) = 0 (4)
► Đặt t = x - 1 ≥ 0 thì (4) ⇔ 2t + t4 - 3t = 0 ⇔ t(t3 - 3t + 2) = 0 ⇔
t = 0 (nhận)
t = 1 (nhận)
t = -2 (loại) Với t = 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 6
Với t = 1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 14
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;14), (1;6)
Bài Toán 6 Giải hệ phương trình sau:
(x + x2 + 4)(y + y2 + 1) = 2 (1)
12y2 - 10y + 2 = 23x3 + 1 (2) (TTL1 - 2014 - Amsterdam)
⇒⇒ HD giải:
■ Ta có y2 + 1 > y2 = ± y ⇒ y2 + 1 + y > 0
Xét (y + y2 + 1)( y2 + 1 - y) = 1 ⇔ y2 + 1 - 1= 1
y + y2 + 1
Từ (1) ⇔ (x + x2 + 4)(y + y2 + 1) = 2
⇔ x + x2
+ 4 = 2 1
y + y2 + 1 ⇔ x + x2 + 4 = 2( y2 + 1 - y)
⇔ x + x2 + 4 = (-2y)2 + 4 + (-2y)
⇔ f (x) = f(-2y) (3)
■ Xét hàm ñặc trưng: f (t) = t + t2 + 4 (t ∈ R) có f '(t) = 1 + t
t2 + 4 =
t2 + 4 + t
t2 + 4 >
|t| + t
t2 + 4 ≥ 0 ∀t
Do ñó (3) tương ñương với x = - 2y
► Thay 2y = -x vào (2) ta ñược: 3x2 + 5x + 2 = 23x3 + 1
⇔ x 3 + 1 + (3x2
+ 5x + 2) = 23x3 + 1 + x 3 + 1
Xét VT = x3 + 3x2 + 5x + 3 = (x + b)3 + 2(x + b)
⇔ x3 + 3x2 + 5x + 3 = x3 + 3bx2 + (3b2 + 2)x + b3 + 2b
⇔
3 = 3b
5 = 3b2 + 2
3 = b3 + 2b
⇔ b = 1
Vậy (2) ⇔ (x + 1)3 + 2(x + 1) = x 3 + 1 + 23
x3 + 1 ⇔ g(x + 1) = g(3 x 3 + 1) (4)
■ Xét hàm ñặc trưng: g(u) = u3 + 2u (u ∈ R) có g '(u) = 3u2 + 2 > 0 ∀u ∈ R
Do ñó (4) tương ñương với x + 1 = 3 x 3 + 1
Trang 5Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 5
⇔ x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 1
x = 0 ⇒ y = 0
x = -1 ⇒ y = 1
2
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;0), (-1; 1
2 )
Bài Toán 7 Giải hệ phương trình sau: x4 - x3y + x2y2 = 1 (1)
x3y - x2 + xy = - 1 (2) (I)
⇒⇒⇒ HD giải:
Cộng vế theo vế hai phương trình (1) và (2) ta ñược: x4 + x2y2 - x2 + xy = 0 (không ñi tiếp ñược → "kẹt")
Trừ vế theo vế hai PT (1) và (2), ta ñược: x4 - 2x3y + x2y2 + x2 - xy - 2 = 0
⇔ (x 4 - 2x 3 y + x 2y2) + (x2 - xy) - 2 = 0
⇔ x2(x 2 - 2xy + y 2
) + x(x - y) - 2 = 0
+ x(x - y) - 2 = 0 ( ñặt t = x(x - y))
Thì PT thành t2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 t = -2 ⇔ x
2
- xy = 1
x2 - xy = -2
■ TH1: với x2 - xy = 1 ⇔ xy = x2 - 1 Thay vào pt (2) ta ñược:
(2) ⇔ x3y - x2 + xy = - 1
⇔ x2(xy) - x2 + xy + 1 = 0
⇔ x2(x2 - 1) - x2 + x2 - 1 + 1 = 0
⇔ x
2 = 0
x2 = 1 Với x = 0 ⇒ vô nghiệm
Với x = 1 ⇒ y = 0, x = -1 ⇒ y = 0
■ TH2: với x2 - xy = -2 ⇔ xy = x2 + 2 Thay vào pt (2) ta ñược:
(2) ⇔ x2(xy) - x2 + xy + 1 = 0
⇔ x2(x2 + 2) - x2 + x2 + 2 + 1 = 0
⇔ x4 + 2x2 + 3 = 0 (vô nghiệm)
Kết luận, từ hai trường hợp thì hệ phương trình có hai nghiệm là x = 0
y = 1 hay (x;y) = (0;-1) ⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách thử rút thế)
Ta có phương trình (2)⇒ (x3 + x)y = x2 - 1
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình (2) nên ta có y = x 2 - 1
x(x 2 + 1)
Thay vào (1) ta ñược: x4 - 1 - x3 x 2 - 1
x(x 2 + 1) + x2
x 2 - 1 x(x 2 + 1)
2
= 0
⇔ (x 2 - 1)(x2
+ 1) - (x 2 - 1) x2
x2 + 1 + (x
2 - 1)
x2
- 1
x2 + 1
2 = 0
⇔ (x 2 - 1)
(x2 + 1) - x
2
x2 + 1 +
x2
- 1
x2 + 1
2
= 0
⇔ x 2 = 1 hay (x2
+ 1) - x
2
x2 + 1 + x2 - 1
(x2 + 1)2 = 0
■ TH1: x 2 = 1 ⇒⇒⇒ x = 1 ⇒x = - 1 ⇒⇒⇒⇒ y = 0 y = 0
■ TH2: (x 2 + 1) 3 - x 2 (x 2 + 1) + (x 2 - 1) = 0 (Đặt t = x 2 > 0)
Trang 6Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 6
⇔ (t + 1)3 - t2 - t + t - 1 = 0
⇔ (t + 1)3 - t2 - 1 = 0
⇔ t3 + 3t2 + 3t + 1 - t2 - 1 = 0
⇔ t3 + 2t2 + 3t = 0 ( loại vì t > 0)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;1), (0; -1)
Bài Toán 8 Giải hệ phương trình sau:
x + 1 + y - 1 = 4 (1)
x + 6 + y + 4 = 6 (2) (I)
⇒⇒ HD giải: ( Giải bổ sung!!!! ^^^)
Điều kiện x ≥ -1, y ≥ -1
Cộng trừ hai PT (1) và (2) vế theo vế ta ñược:
(I) ⇔
x + 1 + x + 6 + y + 4 + y - 1 = 10
x + 6 - x + 1 + y + 4 - y - 1 = 2 (II) Đặt
u = x + 6 + x + 1
v = y + 4 + y - 1 ⇔
x + 6 - x + 1 = 1
u
y + 4 - y - 1 = 1
v
Do ñó (II) thành:
u + v = 10 5
u +
5
v = 2
(Đây là hệ Đối xứng loại 1 - việc giải hệ này xin dành cho bạn ñọc !)
⇔ u = 5
v = 5 ⇔
x + 6 + x + 1 = 5
y + 4 + y - 1 = 5 (Việc giải các PT căn này cũng xin dành cho bạn ñọc!) ⇔ x = 3
y = 5(Nhận)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (3;5)
Bài Toán 9 Giải hệ phương trình sau: x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 (1)
x2 + 2xy = 6x + 6 (2) (I) (ĐH Khối B - 2008)
⇒⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách rút thế )
Nhận xét, không hẳn trong một bài hệ PT ta sẽ rút x theo y (hoặc y theo x) mà cũng có thể rút "một cụm" - một
nhóm của PT này sao cho nó có mối liên hệ với PT kia
Từ PT (2) ⇔ xy = 3x + 3 - x 2
2 thay vào (1) ta ñược:
(1) ⇔ x4 + 2x2(3x + 3 - x 2
2 ) +
3x + 3 - x 2 2
2 = 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta ñược)
⇔ x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = 0 ⇔ x = 0 x = -4
Với x = 0 thì (2) vô nghiệm
Với x = -4 thì (2) ⇒ y = 17
4 Vậy hệ PT có một nghiệm là (x;y) = (0;
17
4 )
⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách rút thế )
Nhận xét x = 0 không nghiệm của (2) nên từ (2) ⇔ y = 6x + 6 - x
2
2x (với x ≠ 0) Thay vào (1) ta ñược: x4 + 2x3 6x + 6 - x
2
2x + x
2
6x + 6 - x2 2x
2
= 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta ñược)
⇔ x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = 0 ⇔ x = 0 x = -4 (tương tự như cách làm trên)
Bài Toán 10 Giải hệ phương trình sau:
x2 + 1 + y2 + yx = 4y (1)
x+ y - 2 = y
x2 + 1 (2) (I)
Trang 7Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 7
⇒⇒ HD giải:
Từ (1) ⇔ x2 + 1 = - y2 - yx + 4y = y(4 - x - y) thay vào (2), ta ñược
(2)⇔ x + y - 2 = y
y(4 - x - y) ( nhận y = 0 không là nghiệm của PT (2)) ⇔ (x + y) - 2 = 1
4 - (x + y) (3) Đặt t = x + y thì (3) ⇔ 6t - t
2
- 9 = 0 ⇔ t = 3 = x + y
(Việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc !)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1; 2), (-2 ; 5)
Bài Toán 11 Giải hệ phương trình sau: x2 - 4y2 - 8x + 4y + 15 = 0 (1)
x2 + 2y2 - 2xy = 5 (2) (I)
⇒⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách xét delta )
(1) ⇔ x2 - 8x - 4y2 + 4y + 15 = 0 (xem x là ẩn, y là tham số)
Xét ∆' = 16 - (- 4y2 + 4y + 15) = 4y2 - 4y2 + 1 = (2y - 1)2 ≥ 0
Vậy x = -b' ± ∆'
a ⇔ x = 5 - 2y x = 3 + 2y
■ TH1: với x = 5 - 2y thay vào (2), ta ñược:
(2) ⇔ (5 - 2y)2 + 2y2 - 2y(5 - 2y) = 5
⇔ 10y2 - 30y + 20 = 0
⇔ y = 1 ⇒ x = 3 y = 2 ⇒ x = 1
■ TH2: với x = 3 + 2y thay vào (2), ta ñược:
(2) ⇔ (3 + 2y)2 + 2y2 - 2y(3 + 2y) = 5
⇔ 2y2
+ 6y + 4 = 0 ⇔
y = -1 ⇒ x = 1
y = -2 ⇒ x = -1
Kết luận: hệ phương trình (I) có 4 nghiệm là (1;-1), (-1;-2), (3;1), (1;2)
Bài Toán 12 Giải hệ phương trình sau:
2x2 + y2 - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0 (1) 4x2 - y2 + x + 4 = 2x + y + x + 4y (2) (I) (ĐH khối B - 2013)
⇒⇒ HD giải: ( Giải bằng cách xét delta )
Điều kiện: 2x + y ≥ 0, x + 4y ≥ 0
(1) ⇔ 2x2 + 3(1 - y)x + y2 - 2y + 1 = 0
Xét ∆ = 9(1 - y)2 - 4.2.(y2 - 2y + 1) = y2 - 2y + 1 = (y - 1)2 ≥ 0
Khi ñó
x = y - 1
x = y - 1 2 ■ TH1: thay y = x + 1 vào (2) ta ñược: 3x2 - x + 3 = 3x + 1 + 5x + 4 (Việc giải này xin dành cho bạn ñọc)
⇔ x = 0 ⇒ y = 1 x = 1⇒ y = 2 ■ TH2: thay y = 2x + 1 vào (2) ta ñược: 3 - 3x = 4x + 1 + 9x + 4 (HSTL) ⇔ x = 0 ⇒⇒ y = 1
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (0;1), (1;2)
Bài Toán 13 Giải hệ phương trình sau: y + xy2 = 6x2
1 + x2y2 = 5x2 (I)
⇒⇒ HD giải:
Khi x = 0 thì hệ phương trình (I) thành y = 0
1 = 0 (vô nghiệm) ⇒ x = 0 là không là nghiệm của (I)
Trang 8Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 8
Khi x ≠ 0 nên chia hai vế của hệ phương trình cho x2 ta ñược:
(I) ⇔
y
x2 +
y2
x = 6 1
x2 + y 2 = 5
⇔
y
x(1 x + y) = 6 1
x2 + y 2 = 5 (II)
Đặt
u = 1
x + y
v = y x
thì hệ (II) thành: uv = 6
u2 - 2v = 5 ⇔
v = u2 - 5
2 (1)
uv = 6 (2) Thay (1) vào (2), ta ñược (2) ⇔ (u2 - 5)u = 12 ⇔ u3 - 5u - 12 = 0 ⇔ u = 3 ⇒ v = 2
Với u = 3
v = 2⇔
1
x + y = 3 y
x = 2
⇔ y = 2x 2x2 - 3x + 1 = 0 ⇔
y = 2x
x = 1 v x = 1
2 ⇔ x = 1
y = 2 hay
x = 1 2
y = 1 Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1;2), ( 1
2 ;1)
Bài Toán 14 Giải hệ phương trình sau: x y + x + 1 = 7y (1)
x2y2 + xy + 1 = 13y2 (2) (I) (ĐH Khối B - 2009)
⇒⇒ HD giải:
Khi y = 0 thì (2) vô nghiệm
Khi y ≠ 0 thì hệ (I) ⇔
x + x
y +
1
y = 7
x2 + x
y +
1
y2 = 13
⇔
x + 1 y + x
y = 7
x + 1
y
2
- x
y = 13 (II)
Đặt S = x + 1
y và P =
x
y thì hệ (II) thành
S + P = 7
S2 - P = 13 ⇔
P = 7 - S
S2 + S - 20 = 0 ⇔
S = -5
P = 4 hay
S = 4
P = 5
Khi ñó x và 1
y là 2 nghiệm của phương trình X 2 + 5X + 4 = 0 hay X 2 - 4X + 5 = 0 (Đối xứng loại 1) ⇔ X = -1 X = -4
x = -1 1
y = -4 hay
x = -4 1
y = -1
x = -1
y = -1 4 hay x = -4
y = -1
Kết luận vậy hệ (I) có 2 nghiệm là (-1; -1 4 ) hay (-4;-1)
Bài Toán 15 Giải hệ phương trình sau:
x + 1 + 4x - 1 - 4 y4 + 2 = y (1)
x2 + 2x(y - 1) + y2 - 6y + 1 = 0 (2) (I) (ĐH Khối A - 2013)
⇒⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1
Đặt u = 4x - 1 suy ra u ≥ 0 PT (1) trở thành: u 4 + 2 + u = y 4 + 2 + y (3)
(Như bạn thấy u ≥ 0, nhưng liệu y ≥≥≥ 0 ??? cái khó của bài toán nằm ở ñây ! Vì nếu các em học sinh xét hàm
ñặc trưng thì sẽ không chỉ rõ ñược tập xác ñịnh cho cả 2 biến u và y)
Từ (2) ta ñược x 2 + 2xy + y 2 - 2x - 2y + 1 = 4y ⇔ 4y = (x + y - 1) 2 ⇒⇒⇒ y ≥≥≥≥ 0
Trang 9Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 9
Xét f(t) = t4 + 2 + t với t ≥ 0 Ta có f '(t) = 2t
3
t4 + 2 + 1 > 0 ∀t > 0
Do ñó PT (3) tương ñương với y = u, nghĩa là x = y4 + 1
Thay vào PT (2) ta ñược y(y7 + 2y4 + y - 4) = 0 ⇔ y = 0 y7
+ 2y4 + y - 4 = 0 Với y = 0 ⇒ x = 1
Với y7 + 2y4 + y - 4 = 0 (4) Xét hàm g(y) = y7 + 2y4 + y - 4 (y ≥ 0)
g'(y) = 7y6 + 8y3 + 1 > 0 ∀y ≥ 0
Mà g(1) = 0 nên (4) có nghiệm không âm là y = 1⇒ x = 2
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0) và (2;1)
Bài Toán 16 Giải hệ phương trình sau:
(8x - 3) 2x - 1 - y - 4y3 = 0 (1)
4x2 - 8x + 2y3 + y2 - 2y + 3 = 0 (2) (I)
⇒⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1
2
Từ PT (1) ⇔ (8x - 3) 2x - 1 = 4y3 + y (Do VP có dạng f(t) = 4t 3 + t nên ta sẽ biến ñổi VT có dạng như VP)
Đặt u = 2x - 1 ≥ 0 ⇒ u2 = 2x - 1 ⇒ 2x = u2 + 1 thay vào PT (1) ta ñược:
(1) ⇔ (4u2 + 4 - 3)u = 4y3 + y
⇔ 4u3 + u = 4y3 + y (3)
Xét hàm f(t) = 4t3 + t (t ∈ R) thì có f '(t) = 12t2 + 1 > 0 ∀∀∀t ∈∈∈ R
Do ñó PT (3) ⇔ u = y ⇔ 2x - 1 = y ⇔ y2 = 2x - 1 (Do u ≥ 0 ⇒ y ≥ 0)
■ Cách 1: thay vào PT (2) ta ñược: 4x2 - 8x + 2y(y2 - 1) + y2 + 3 = 0
⇔ 4x2 - 8x + 2 2x - 1(2x - 2) + 2x + 2 = 0
⇔ 2x 2 - 3x + 1 + 2 2x - 1(x - 1) = 0
⇔ 2(x - 1)(x - 1
2) + 2 2x - 1(x - 1) = 0 ⇔ (x - 1) 2x - 1 + 2 2x - 1 = 0 ⇔
x = 1 2x - 1 + 2 2x - 1 = 0 (4) Với x = 1⇒⇒ y 2 = 1 ⇒⇒y = 1 (nhận)
y = -1 (loại)
Với PT (4), ñặt t = 2x - 1 ≥ 0 nên (4) ⇔ t2 + 2t = 0 ⇔ t = 0 ⇔ x = 1
2 ⇒⇒ y = 0 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là ( 1 2 ; 0), (1;1)
■ Cách 2: PT (2) ⇔ 4x 2 - 8x + 2y3
+ y2 - 2y + 3 = 0
⇔ (4x2 - 4x + 1) - 4x + 2 + 2y3 + y2 - 2y = 0
⇔ (2x - 1)2 - 2(2x - 1) + 2y3 + y2 - 2y = 0
Thay 2x - 1 = y2 ≥ 0 vào PT (2) ta ñược: y4 + 2y3 - y2 - 2y = 0
y = 0 ⇒ x = 1
2
y = 1⇒ x = 1
y = -1 (loại)
y = -2 (loại)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là ( 1
2 ; 0), (1;1)
Trang 10Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý 10
Bài Tốn 17 Giải hệ phương trình sau:
x5 + xy4 = y10 + y6 (1)
4x + 5 + y2 + 8 = 6 (2) (I)
☺Nhận xét: nhìn vào hệ trên ta thấy rằng khơng thể dùng "PP rút thế " PT (1) cĩ 2 ẩn độc lập với nhau nên ta nghĩ
tới việc thử nhĩm lại và phân tích nhận tử, lại cĩ x - y 2 là một nhân tử chung, tuy vậy việc phân tích ra là tương đối
phức tạp khi dùng hằng đẳng thức liên quan tới A 5 - B 5 Ta cùng xét cách khác đơn giản hơn, với dự đốn x = y 2 là mối quan hệ duy nhất của x, y ⇒ ta nghĩ tới dùng tính đơn điệu của hàm số Thử nhé !
⇒⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ -5
4
Dễ thấy y = 0 khơng là nghiệm của hệ (I) Với y ≠ 0, chia cả 2 vế của PT (1) cho y5, ta được:
(1) ⇔ x
5
y5 +
x
y = y 5 + y (3)
Xét hàm đặc trưng f (t) = t5 + t (t ∈ R) cĩ f '(t) = 5t4 + 1 > 0 ∀t ∈ R
Do đĩ PT (3) ⇔ x
y = y ⇔ x = y
2 ≥ 0 Thay x = y2 vào (2) ta được 4x + 5 + x + 8 = 6 (việc giải PT vơ tỉ này xin dành cho bạn đọc !)
⇔ ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 y = -1
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (1;-1)
Bài Tốn 18 Giải hệ phương trình sau: 4x4 + y4 = 4x + y (1)
x3 + y3 = xy2 + 1 (2) (I) ☺Nhận xét: Giả sử kí hiệu DEG là bậc của PT ta cĩ Deg(VTPT1) = 4 > Deg(VPPT1) = 1
PT (2) ⇔ x 3 + y 3 - xy 2 = 1 cĩ Deg(VTPT2) = 3 > Deg(VPPT2) = 0
Như vậy để PT (1) trở thành PT ĐẲNG CẤP, ta sẽ nhân thêm một lượng để VPPT(1) cĩ Deg = 4
⇒⇒ HD giải: Ta cĩ 4x4
+ y4 = (4x + y).1 = (4x + y)(x 3 + y 3 - xy 2
) ⇔ 4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 - xy2)
⇔ 3xy3 - 4x2y2 + yx3 = 0
⇔ xy(3y2 - 4xy + x2) = 0
⇔ x = 0 hay y = 0 hay 3y 2 - 4xy + x 2 = 0
■ Với x = 0, thay vào (2) ta được y = 1
■ Với y = 0, thay vào (2) ta được x = 1
■ Với 3y2 - 4xy + x2 = 0 (3)
+ Xét x = 0 ⇒ y = 0 khơng là nghiệm của hệ (I) + Xét x ≠ 0 thì (3) ⇔ 3 y2
x2 - 4
y
x + 1 = 0 ⇔
y = x
y = x 3 Thay y = x vào (2) ta được x = 1 = y
Thay y = x
3 vào (2) ta được x = 1⇒ y =
1 3
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0), (0;1), (1;1), (1; 1
3 )
Bài Tốn 19 Giải hệ phương trình sau:
x3 - 8x = y3 + 2y (1)
x2 - 3y2 = 6 (2) (I)
⇒⇒ HD giải:
Hệ (I) cĩ thể viết lại x
3
- y3 = 2(4x + y)
x2 - 3y2 = 6
Ta nghĩ đến cách đồng bậc PT (1) bằng phép thế từ PT (2) Nhưng trước đĩ ta phải làm xuất hiện số 6 ở PT(1)
nên ta làm như sau