Tuyển tập 100 bài hệ phương trình LTĐH 2015

www.VNMATH.com www.VNMATH.com TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015  NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN 1) PHẠM VĂN QUÝ 2) NGUYỄN VIẾT THANH 3) DOÃN TIẾN DŨNG ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC Bài 1 Giải hệ phương trình: 2 3 12 (12 ) 12 (1) 8 1 2 2 (2) x y y x x x y                  (x, y  R) (ĐH khối A – 2014) Giải Điều kiện : 2 2 12 12 0 y x               2 12 2 3 2 3 y x               Cách 1: Đặt 2 12 , 0 12 y a y a a       PT (1) 2 2 (12 )(12 ) 12 xa a x      2 2 2 2 2 12 12 12 12 x a x a xa       2 2 2 2 2 2 2 2 12 12 12 12 12 2.12. xa x a x a xa x a                  2 2 12 12 2.12 12 0 xa x xa a               2 12 ( ) 0 xa x a             Ta có (x – a) 2 = 0  x = 12 y  (*) Thế (*) vào (2) được : (12 ) 12 8 12 1 2 2 y y y y         (4 ) 12 2 2 1 y y y       (3 ) 12 12 3 2 2 2 0 y y y y           3 2(3 ) (3 ) 12 0 12 3 1 2 y y y y y y             3 1 2 12 0(voâ nghieäm) 12 3 1 2 y y y y                 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Vậy 3 3 x y          Cách 2: Ta có     2 2 2 12 (12 ) 12 12 12 x y x y x x y y         Dấu “=” xảy ra 2 12 12 y x y y     2 (12 )(12 ) x y y x     (3) Khi đó (1) tương đương với (3) (3) 2 2 2 2 2 0 0 0 144 12 12 12 144 12 12 (4) x x x x y x y x y y x y x                                          Thế (4) vào (2) ta có 3 2 3 2 (2) 8 1 2 10 8 1 2 10 0 x x x x x x              3 2 8 3 2 1 10 0 x x x            2 2 2 1 (10 ) 3 3 1 2. 0 1 10 x x x x x               2 2 2 9 3 3 1 2. 0 1 10 x x x x x            2 2 2( 3) 3 3 1 0 1 10 x x x x x                    2 2 3 2( 3) 3 1 0 (voâ nghieäm vì x 0) 1 10 x x x x x                  3 3 x y     Vậy 3 3 x y          Cách 3: Đặt       2 ; 12 ; 12 ; a x x b y y       12 a b  (1)     2 2 2 . a b a b      a b   12 x y    (2) 3 2 8 3 2 10 2 x x x       www.VNMATH.com www.VNMATH.com         2 2 3 3 3 3 1 2 10 1 x x x x x x          3 x y          2 2 3 1 10 1 2 3 0 x x x x        Đặt         2 2 3 1 10 1 2 3 f x x x x x          ' 0 0 f x x     phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3) Bài 2 Giải hệ phương trình: 2 (1 ) 2 ( 1) 2 3 6 1 2 2 4 5 3 y x y x x y y y x y x y x y                         (ĐH khối B – 2014) Giải Điều kiện: 0 2 4 5 3 y x y x y                Phương trình thứ nhất viết lại thành (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) 1 (1 )(x y 1) 1 ( 1) 1 1 1 y x y y x y x y y y y y x y x y x y y                               TH1 : 1 y  thay xuống (2) ta có  9 3 2 2 4 8 3( ) x x x x TM        TH2 : 1 x y   thay xuống (2) ta có 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 3 2 1 0 2( 1) ( 1 ) 0 1 ( 1) 2 0 1 5 1 5 1 ( ) 2 2 y y y y y y y y y y y y y y y y x TM                                               Vậy hệ đã cho có nghiệm : 5 1 5 1 ( ; ) (3;1),( ; ) 2 2 x y    . www.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 3 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 ( 2 2) ( 6) ( 1)( 2 7) ( 1)( 1) y x x x y y x x x y                    Giải ĐK: , x y R  Đặt 1 a x b y           , ta có hệ trở thành: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1)( 6) ( 1)( 6) ( 1) (*) ( 1)( 6) ( 1) ( 1)( 6) ( 1)(**) b a a b a b b a b a a b b a a b                                    Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có: ( )( 2 7) 0 2 7 0 a b a b a b ab a b ab                  Trường hợp 1: a b  thay vào phương trình (*) ta có: 2 2 2 2 ( 1)( 6) ( 1) 5 6 0 3 a a a a a a a a                 1 2 x x          hệ có 2 nghiệm (x; y) là:  Trường hợp 2: 2 7 0 a b ab     Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có: 2 2 5 5 1 2 2 2 a b                             Vậy ta có hệ phương trình: 2 2 2 7 0 5 5 1 2 2 2 a b ab a b                                            Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm: 2 3 2 3 ; ; ; 2 3 3 2 a a a a b b b b                                     Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1;2),(2;3),(1;3),(2;2). Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2;3),(1;3),(2;2). Bài 4 Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 2 12 6 16 0 4 2 4 5 4 6 0 x x y y x x y y                     Giải ĐK: 2;2 , 0;4 x y                Ta có 3 3 2 (1) ( 2) 6( 2) 6 PT x x y y       Xét hàm số 3 ( ) 6 , 0;4 f t t t t          ta có 2 '( ) 3 12 3 ( 4) 0, 0; 4 ( ) f t t t t t t f t               nghịch biến trên 0;4       . Mà phương trình (1) có dạng: ( 2) ( ) 2 f x f y y x      thay vào phương trình (2) ta có: 2 2 4 6 3 4 0 x x x      từ đó ta có y = 2. Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2). www.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 5 Giải hệ phương trình: 3 2 2 1 3 4 1 9 8 52 4 x y x x y x y xy                    . Giải §K: 1 y   . 3 2 3 2 1 4 1 4 4 13 8 52 0 x y HPT x x y xy x x y                      2 3 2 1 ( 2 1) 13 8 52 0 3 2 1 2 13 0 3 2 1 1 5 x y x x y x y x y x y x y y y                                                     2 3 2 1 5 11 24 0 3 2 1 7 5 3 3 8 x y y y y x y x y y y y                                                               Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: 7 3 x y          . Bài 6 Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 0 1 0 y x y x xy xy x y                       ĐK: 0; 0; 1 x y xy          1 2 0 2 1 0 y x y x xy y x y x            y x y x     thay vào   2 , ta được: 2 1 0 1 1 x x y       KL: hệ pt có tập nghiệm:     1;1 S  www.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 7 Giải hệ phương trình:       3 3 2 2 2 3 5 8 5 5 1 2 2 x y x y x y xy xy xy x y x y                           ĐK: 1 ;0 2 5 x y    Đặt , 0; , 0 u x y u v xy v      khi đó   2 3 2 2 3 1 2 3 2 0 2 2 1 0 2 2 u u u u u u v uv v u v v v v v                                                         2 2 0 x y xy x y x y         thay vào   2 , ta được:   5 5 1 5 1 5 1 2 3 3 3 1 3 0 5 1 2 2 1 5 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x                                    1 1 5 1 1 3 0 ì 2 5 5 1 2 2 1 x y VN v x x x                    KL: tập nghiệm của hệ pt là:     1;1 S  Bài 8 Giải hệ phương trình:       2 3 2 2 2 3 2 2 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 0 x y x x x x y y x y y y x x y y                                           ĐK: 0 y  Hệ           2 3 2 3 2 2 3 2 2 1 1 0 1 0 1 4 0 1 4 0 x y x y x y x y x y x x y y x x y y                                                    1 1 1 2 y x x x y                      KL:     1;2 S  Bài 9 Giải hệ phương trình:   2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 7 4 5 6 3 2 3 10 34 47 x xy y x xy y x xy y x xy y                     ĐK: 2 2 2 2 3 2 0 4 3 7 0 x xy y x xy y                www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình   1 , ta được:       2 2 2 2 2 2 1 5 6 4 0 6 4 3 7 3 2 x y n x xy y x y n x xy y x xy y                                  Với x y  thay vào   2 , ta được: 2 1 1 1 1 1 x y x x y                Với 6 x y   thay vào   2 , ta được: 2 47 47 6 82 82 82 47 47 47 6 82 82 y x y y x                   KL:     47 47 47 47 1;1 , 1; 1 , ; 6 ; ;6 82 82 82 82 S                                                    www.VNMATH.com Bài 10 Giải hệ phương trình:     2 4 2 2 3 3 0 9 5 0 x xy x y x y x y x                  Hệ   2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 5 0 x y x xy x y x y x                  Thay   1 vào   2 , ta được:   2 2 2 0 0 1 9 15 4 0 1 3 4 4 0 3 x y x y y y x y x x VN                          KL:   1 0;0 ; 1; 3 S                            Bài 11 Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 13 2 2 x y xy x xy y x y x y x y                          ĐK: 0 0 2 0 x y x y x y                  www.VNMATH.com www.VNMATH.com Hệ     2 2 4 4 4 8 5 0 2 2 x xy y x y x y x y x y x y                       Ta có PT         2 2 1 1 2 4 2 5 0 2 5 x y x y x y x y l                  Với 2 1 x y   thay vào   2 , ta được:   3 2 3 1 1 1 3 9 6 13 0 0 1 y y y y y y y x             thỏa mãn KL:     1;0 S  Bài 12 Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 2 5 2 3 2 2 1 3 6 x x y x y x y x y                   ĐK: 2 x y  Ta có   2 2 6 3 x y    thay vào   1 ta được:   1 5 6 5 5 9 1 3 y y y y x         thỏa mãn KL:       3;1 ; 3;1 S   Bài 13 Giải hệ phương trình:         2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 4 1 6 5 1 1 1 1 x y y x y x y x x x y                                     ĐK: 2 1 1 1 1 1 0 x x y x y                       Đặt: 2 1, 0 1, 0 a x a b y b                , ta được:   2 3 2 2 2 4 5 6 b a b a ab a b               Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm:       10;2 ; 10;2 S   Bài 14 Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 20 3 3 0 3 1 y y xy x y x y y                   www.VNMATH.com www.VNMATH.com Hệ     3 2 2 20 3 1 3 1 0 3 1 y y y x y x y y                    . Thế   2 vào   1 , ta được phương trình thuần nhất bậc 3 KL: 3 1 3 1 ; ; ; 2 2 5 5 S                                        Bài 15 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 3 3 0 2 1 2 3 1 0 x y x y y x y x                    ĐK: 1 2 y  Ta có PT     2 2 2 3 3 0 1 3 3 6 6 0 y x y x y l x y y x y xy x y                                       Với x y  thay vào   2 , ta được:   2 4 3 2 1 1 2 1 3 1 6 11 8 2 0 2 2 2 2 2 2 y x y y y y y y y y l y x                               KL:       1;1 ; 2 2;2 2 S    Bài 16 Giải hệ phương trình:     4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 4 8 x y x y x y y x x y xy y x                      ĐK: . 0 x y  Ta có PT       4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 x y x x y y x y x y x y x y x y                                      Với x y  thay vào   2 , ta được: 1 1 x y     Với x y   thay vào   2 , ta được: 1 1 y x     KL:       1;1 ; 1; 1 S   www.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 17 Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 2 10 5 2 38 6 41 0 6 1 2 x y xy x y x xy y y x                      ĐK: 3 3 2 6 0 1 0 x xy y y x                Ta có PT     2 2 1 10 2 19 5 6 41 0 x x y y y        . Tính   Δ 2 ' 49 1 0 1 x y y       thay vào   1 được 2 x  thỏa hệ phương trình KL:     2;1 S  Bài 18 Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 3 2 2 0 2 2 x y x y xy xy x y x y x x y                      ĐK: x y  Ta có PT       2 2 2 2 1 1 1 0 0 y x x y x y x y x y x y                     1 y x   thay vào   2 , ta được: 3 2 0 1 2 0 1 0 x y x x x x y                  2 2 0 0 x y x y x y          ì 0 v x y   thay vào hệ không thỏa KL:       1;0 ; 0; 1 S  Bài 19 Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 8 3 1 3 1 1 4 3 1 2 1 12 1 4 y x y y y y x y x                         ĐK: 1 1 2 2 x    Đặt: 2 3 2 1 1 4 , 0 a y b x b               , ta có: 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 0 3 2 0 a a a b b a b b a a a b                      thay vào   1 , ta được:       3 2 2 2 2 2 3 2 3 0 0 0 b b b b b b b b b a             . Khi đó ta có: 2 2 3 1 1 4 0 2 1 0 1 x x y y                              [...]... [0;  ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả  2  x  y 2  1  5 Bài 37 Giải hệ phương trình:    2 4x  3x  57  y(3x  1)   25   (1) (2) Giải ĐK: x , y  R Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có: 25x 2  25y 2  5  Hệ phương trình    200x 2  150x  114  50y(3x  1)    Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có: 225x 2  25y... www.VNMATH.com 1 3 www.VNMATH.com Với 3 xy  2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại) Với 3 xy  4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x   2 3 x 3  y 3  4x  2y  Bài 29 Giải hệ phương trình sau:  2  x  3y 2  4    Giải 3 3 Phương trình (1)  2(x  y )  4(2 x  y) Từ phương trình (2) thay 4  x 2  3y 2 vào phương trình trên và rút gọn ta được: y  0  x 2y  6xy 2... 2y   3    x  y  1  0 Phương trình ( *) tương đương 2y 2  4y  2  3xy  x 2  3x  0   x  2y  2  0  Với y = 1 – x thay vào phương trình ( 2 ) ta được x  1 2  x  1  x  x 2 ( VN ) Với x = 2 – 2y thay vào phương trình (2) ta được phương trình đơn giản ẩn y Từ đó có nghiệm của hệ  2 2  2x  x  x  2  2y  y  2y  1 ( 1 )  Bài 46 Giải hệ phương trình:  2 x  2y 2  2x ...      2  2   hệ vô nghiệm 2 2 25x  25y  5 25x  17  15x   5 x              x  2 x  11     5;  25 Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là:    1  y  y  2    5  25      x  y  3x  2y  1 (1)   Bài 38 Giải hệ phương trình:    x y x y  0 (2)    Giải x  y  0  Điều kiện :    3x  2y  0  Hệ Phương trình tương đương   ... Vậy hệ có nghiệm x ; y    ; ,  ;       8 8  8 8   www.VNMATH.com www.VNMATH.com    x 2  y 2 x  y  1  25 y  1       Bài 41 Giải hệ phương trình:  2 2 x  xy  2y  x  8y  9    Giải Hệ phương trình tương đương    x 2  y 2 x  y  1  25 y  1         2 x  y 2  x y  1  y  12  10 y  1  0    Nhận xét y  1  0 không là nghiệm hệ phương trình. .. (tmđk)   x  1  2 vậy hệ pt có nghiệm là    1 y    2   27x 3y 3  7y 3  8  Bài 28 Giải hệ phương trình sau:  2  2  9x y  y  6x   Giải Nhận xét y  0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được (3xy )3  7(3xy )2  14(3xy )  8  0 Từ đó tìm được hoặc 3 xy  1 hoặc 3 xy  2 hoặc 3 xy  4 Với 3 xy  1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do... phuong trình hai ta có   x 2  x 2  2x  1  3x  3 x  1  1  0  x  1 1 y  2 2 Với y  1  x thay vào phương trình hai ta có   x 2  x 2  2x  1  3x  3 1  x   1  0 x  3 1 y  4 4 2x 2 4x  1  2y 2 2y  1  y  32   Bài 52 Giải hệ phương trình:  2  x  y 2  x  y  1   2   Giải 1 2 2 Phương trình có nghiệm khi   1  4y  4y  2  3  4y  4y 2  0 Xét phương trình. ..  1 là nghiệm duy 3  nhất của (*) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  2;0  ,  1; 3  2 2  x  y  x  y  12  Bài 63 Giải hệ phương trình  x, y    y x 2  y 2  12    Giải Điều kiện: | x |  | y |  u  x 2  y 2 ; u  0 1 u2    ; x  y không thỏa hệ nên xét x  y ta có y  v   Đặt       v  x  y 2 v     Hệ phương trình đã cho có dạng: u  v  12    u... 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2 Hệ có 3 nghiệm (0; 0), (1; 2), (2; 2)  2 x  5y  3  6 y 2  7x  4  0  Bài 65 Giải hệ phương trình  (x , y  R) x , y      y(y  x  2)  3x  3   Giải Phương trình thứ (2)  y  (2  x )y  3x  3  0 được xem là phương trình bậc hai theo ẩn y có 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2   (x  4)  y  x  2  x  4  3  2 Phương trình có hai nghiệm:  Thay...   y  8    Vậy hệ có nghiệm là (7,3) www.VNMATH.com 5x 2y  4xy 2  3y 3  2 x  y   0   Bài 54 Giải hệ phương trình:  x, y     2 xy x 2  y 2  2  x  y       Giải Biến đổi phương trình thứ hai của hệ ta có xy(x  y )2  2x 2y 2  2  (x  y )2  (x  y )2 (xy  1)  2(xy  1)(xy  1)  0  (xy  1)(x 2  y 2  2)  0 +) xy  1 , thay vào phương trình thứ nhất và rút gọn . thấy 1 x  là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện) Suy ra phương trình có nghiệm 1 x  là nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm   1;1 Bài 36 Giải hệ phương trình : 3 2 2 2. 1 3 1. b               Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm:       10;2 ; 10;2 S   Bài 14 Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 20 3 3 0 3 1 y y xy x y x. do đó 2 3 x   Bài 29 Giải hệ phương trình sau: 3 3 2 2 4 2 3 4 x y x y x y               Giải Phương trình 3 3 (1) 2(x y ) 4(2 x y)     Từ phương trình (2) thay 2