Tuyển tập 50 bài hệ phương trình và đặc sắc Đặng Việt Hùng

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 50 BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUÀ TẶNG HỌC SINH NHÂN DỊP 7/3/3016 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN  − x y − x y + x (1 − x ) = y  Câu 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau  3 1 + + ( x − y ) = x ( x − x + y ) 1 − x y =  HD: Lấy pt(1) trừ pt(2) đánh giá  x − y = ⇒ ( x; y ) = (1;1)  x − y = Lời giải Điều kiện: − x y − x y ≥  − x y − x y = y + x − x Hệ cho tương đương với   x − x = + + ( x − y ) − x y Cộng vế với vế phương trình rút gọn ta ( ) − x2 y + ( = x − x3 y + y + + + ( x − y ) ) = (x ⇔ − x2 y + Ta có ( ) − x2 y + 2 − y2 ) ( ≤ = ≤ + + ( x − y ) + x3 − y + + + ( x − y )2 (1) )  x2 y + =  Dấu “=” xảy  x − y = ⇔ x = y = −1  x3 − y =  Nên (1) ⇔ x = y = −1 Thử lại thấy thỏa mãn Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y ) = (−1; −1)  x − − y − = Câu 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau   x + x + y = Đ/s: Đánh giá pt(1) x ≥  → ( x; y ) = ( 3;1) Lời giải x ≥ Điều kiện  y ≥1 Phương trình (1) tương đương với x − = + y −1 ⇒ x − ≥ ⇒ x ≥ Nên x + x + y ≥ + 8.3 + = x = Đẳng thức xảy  y =1 Thử lại thấy thỏa mãn Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y ) = (3;1) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  y 3x − + =  2x − y Câu 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau  3x  3  x + y − xy + 11 = Đ/s: ( x; y ) = ( 4;5) Lời giải 2 y  − 3x ≥   3x ≥ Điều kiện  2x − y  x ≠  2 x − y ≠ Phương trình (1) tương đương với y − + 3x y − 3x = Đặt t = 2 y − (t ≥ 0) ta 3x t = t + = ⇔ 2t − 5t + = ⇔ (2t − 1)(t − 2) = ⇔  t = t  Với t = ⇔ y − = ⇔ y = −10 x thay vào (2) ta được: 3x −1199 x = −11 ⇔ x = Với t = 1 −10 ⇔x=3 ⇒y= (thỏa mãn điều kiện) 109 109 109 y 11 ⇔ − = ⇔ y = x thay vào (2) ta x = 11 ⇔ x = ⇒ y = 3x 4 64 −10   Thỏa mãn điều kiện Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y ) = (4;5),  ;3   109 109   x − = y y + Câu 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau  2 22 ( y − 1) = ( x + )( x + y ) Đ/s: ( x; y ) = {( − )( 2;0 , 0; )} Lời giải Điều kiện: y ≥ −1 Phương trình (2) tương đương với 22 y − 125 y + 22 = x + x ( y + 1) ⇔ (2 y − 11)(11 y − 2) = x + x [ (11 y − 2) + (11 − y ) ] ⇔ x + x [ (11 y − 2) + (11 − y ) ] + (11 y − 2)(11 − y ) =  x = − 11 y ⇔ ( x + 11 y − 2)( x + 11 − y ) = ⇔   x = y − 11 2 Xét x = − 11y ⇒ y y + = (2 − 11y ) − = −11y ⇒ y (4 y + + 11) = ⇔ y = ⇒ x = ± Xét x = y − 11 ⇒ y y + = (2 y − 11) − = y − 13 Đặt t = y + ≥ ⇒ y = t − Thay vào ta 4t (t − 1) = 2(t − 1) − 13 ⇔ 4t − 2t − 4t + 15 = ⇔ 4t (t − 1)2 + 4(t − 1)2 + 2t + 11 = (vô nghiệm) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y ) = ( )( Facebook: Lyhung95 ) 2; , − 2; ( x + y + 3) xy + y = y ( y + 3x + ) Câu 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau   − x + x − 24 y + 417 = ( y + 3) y − + y + 17 HD: Đặt a = x + 3; b = pt (1) y  → a = 2b ⇒ ( x; y ) = (1;1) Lời giải Điều kiện: y ≥ 1, y ( x + 3) ≥ Đặt a = x + 3, b = y (b ≥ 1, a ≥ 0) Phương trình (1) trở thành  b  15b  ab(a + 6b ) = b (8b + 3a ) ⇔ b(a − 2b)   a −  +  = ⇔ a = 2b ⇔ x + = y     Thay vào (2) ta −(4 y − 3)2 + 8(4 y − 3) − 24 y + 417 = ( y + 3) y − + y + 17 ⇔ −16 y + 32 y + 384 = ( y + 3) y − + y + 17 ⇔ 400 − 16 ( x − 1) = 17 + y + ( y + 3) y − Ta thấy VT ≤ 20 ≤ VP (Do y ≥ ) nên phương trình tương đương với y = ⇒ x = Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y ) = (1;1)  x − y x + y = y − Câu 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau   x ( x + y − ) + x = y + a = x2 + HD: Đặt a = ;b = x + y ⇒  y b = Lời giải Điều kiện: x + y ≥ +) Nếu y = , thay vào (1) ta x = −1 vô nghiệm  x2 + − x + y =1  x +1  − x + y =1   y ⇔ +) Nếu y ≠ , hệ cho tương đương với  y ( x + 1)( x + y − 2) = y  x + ( x + y − 2) =   y Đặt a = x2 + , b = x + y (b ≥ 0) y a − b = a = b + Hệ trở thành  ⇔ ⇒ (b + 1)(b − 2) − = a ( b − 2) = a ( b − 2) =    x2 + =3  ⇔ b3 + b − 2b − = ⇔ b = ⇒ a = ⇒  y  x + y =  −3 + 53 11 − 53 ⇒y= x = 2 ⇒ x + = 3(4 − x) ⇒ x + x − 11 = ⇔   −3 − 53 11 + 53 ⇒y= x = 2  Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  −3 + 53 11 − 53   −3 − 53 11 + 53  Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) =  ; ;  ,    2 2     2 x + x + 13 = x + y + y y − 1, Câu 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình  17 ( x + 3) x − + x + y + y = ( y + 1) ( x; y ∈ ℝ ) Lời giải Điều kiện y ≥ 1; x ≥ Phương trình thứ hệ biến đổi thành x − x + x + 13 = y + y y − ⇒ y + y y − = x3 − x + x − + 14 = ( x − 1) ( x − 1) + 14 ≥ 14 ⇔ y − + y y −1 − ≥ ⇔ ( y − 2) ( y + y + 4) + 3 ( y3 − y2 − 4) ≥0 y y −1 +  3( y + y + 2)   ≥0⇒ y−2≥0⇔ y ≥ ⇔ ( y − 2)  y + y + + y y − +   Phương trình thứ hai hệ tương đương với 17 ( x + 3) x − + x + y + y = ( y + 1) ⇔ 17 ( x + 3) x − + x + y + y − y = ⇔ f ( x ) + g ( y ) = Xét hàm số f ( x ) = 17 ( x + 3) x − + x ≥ f (1) = Xét hàm số g ( y ) = y + y − y; y ≥ ta có g ′ ( y ) = y + y − > 0, ∀y ≥ nên hàm số đồng biến, liên tục Suy g ( y ) ≥ g ( ) = −4 ⇒ f ( x ) + g ( y ) ≥ − = Dấu đẳng thức xảy y = 2; x = Thử lại ta thu nghiệm hệ ( x + 3)3 + ( y − 1) y − + y = x + 8,  Câu 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 ( x + y ) ( y + ) + y ( x + y + ) = x ( x − ) ( x; y ∈ ℝ ) Lời giải Điều kiện y ≥ Phương trình thứ hai hệ cho tương đương với ( x + y ) ( y + ) + y ( x + y ) + ( x + y ) + y + = x3 − 3x + 2 ⇔ ( x + y ) ( y + ) + ( x + y )( y + ) + y + = x − x + 2 ⇔ ( x + y + 1) ( y + ) = x − x + 2 Dễ thấy ( x + y + 1) x =1  x ≥ −2 ( y + ) > 0, ∀y ≥ ⇒ x3 − 3x + ≥ ⇔ ( x − 1) ( x + ) ≥ ⇔  Xét x = ( y − 1) y − = −53 (Vô nghiệm) Xét x ≥ −2 phương trình thứ hệ trở thành x3 + x + 24 x + 19 + y + ( y − 1) y − = ⇔ ( x + ) ( x + ) + ( y − 1) y − + y − = (1) Để ý ( x + ) ( x + ) + ( y − 1) y − + y − ≥ 0, ∀x ≥ −2; ∀y ≥ nên (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa x = −2; y = Cặp số x = −2; y = thỏa mãn hệ nên nghiệm toán Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ) (  y4 x2 − x + x − = y2 + + y ,  Câu 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình   x y + y + = xy ( x; y ∈ ℝ ) Lời giải Điều kiện x ≥ không thỏa mãn hệ cho Ngoài khả đó, phương trình thứ hệ biến đổi Nhận xét trường hợp y = ∨ x = 1 1+ y4 x ( x − 1) + x − = + y y y4   1 + +   y  y  t +1 +1 ; t > ⇒ f ′(t ) = + > 0, ∀t > 2 t + t ( ) ⇔ 2x −1 Xét hàm số f ( t ) = t ( ( ) 2x + = ( ∗) ) Hàm số liên tục, đồng biến với t > nên ( ∗) ⇔ f ( )   2x −1 = f   ⇔ 2x −1 = y  y2  Khi phương trình thứ hai hệ trở thành y ( x − x + 1) + = ⇔ x − 3x + + = ⇔ x − + x − 3x + = 2x −1 ⇔ x − + x − 12 x + = ⇔ x − x + = ( x − 1) − x − +  x = 2x −1 2 ⇔ ( x − 1) = 2 x − − ⇔  1 − x = x − Xét hai trường hợp sau ( • ) (1) ( 2)  x ≥ ⇔ ⇔ x =1  2 ( x − 1) = x − 2x +1 = x ≥ (1) ⇔  1  ≤ x ≤1 • ( 2) ⇔  ⇔ x = − ⇒ y2 = +1 ⇒ y ∈  x2 − x + = x −  Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có bốn cặp nghiệm ( x; y ) = (1;1) , (1; −1) , (2 − 2; )( + , − 2; − { + 1; − } +1 ) +1  x3 − x − y + 20 + = y+2  x y + Câu 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình   13 x − + + y + = 16 y + Lời giải Điều kiện x ≥ 1, y > −2 Phương trình thứ hệ tương đương với ( y + 2) + x3 − x − 8 = y +2− ⇔ x2 − 6x − = y + − y + − x x y+2 y+2 ( ∗) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 t − 3t + ( t − ) ( t + 1) Xét hàm số f ( t ) = t − 6t − ; t > ⇒ f ′ ( t ) = t − + = = ≥ 0, ∀t > t t t2 t2 Rõ ràng hàm số liên tục đồng biến toàn tia Ox thực nên thu 2 ( ∗) ⇔ f ( x ) = f ( ) y+2 ⇔ x = y+2 Phương trình thứ hai hệ trở thành 13 x − + x + = 16 x ⇔ 16 x − 13 x − − x + = 1  9  ⇔ 13  x − − x − +  +  x + − x + +  = 4  4   x −1 =  1 3    ⇔ 13  x − −  +  x + −  = ⇔  ⇔x= 2 2    x +1 =  2 7 5 Kết luận hệ cho có nghiệm ( x; y ) =  ; −   16  3x +  x + 3y +1 = y − y + x +1 Câu 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình    y − + 7x + y + = y + Lời giải Điều kiện y ≥ ; x > −1 Phương trình thứ hệ cho tương đương với ( x + 1) + 3x + 1 x +1− = y2 − 3y − ⇔ x +1− = y2 − 3y − y y x +1 x +1 1 ⇔ x +1− x +1 − = y2 − y − ( ∗) y x +1 Vì y ≥ ; x > −1 nên ta xét hàm số 1 2t − 3t + ( 2t + 1)( t − 1) f ( t ) = t − 3t − ; t > ⇒ f ′ ( t ) = 2t − + = = ≥ 0, ∀t > t t t2 t2 Hàm số liên tục đồng biến miền t dương nên thu 2 ( ∗) ⇔ f ( ) x + = f ( y ) ⇔ x + = y ⇔ x = y − Phương trình thứ hai hệ trở thành y − + y + y − = y + ⇔  y − − ( y + )  +  y + y − − ( y + 1)  =   Đặt (1) ⇔ ⇔ (1) y + y − = a; y + = b ⇒ a + ab + b > a = b = ⇔ y ∈∅ Cho nên y − − ( y2 + y + 4) 9y − + y + + y + y − − ( y + y + y + 1) a + ab + b =0 ( y + 1) ( y − y + ) y2 − y + + =0 a + ab + b 9y − + y +  y +1  ⇔ ( y − y + 6)  + =0 2  y − + y + a + ab + b  ( 2) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vì Facebook: Lyhung95 y +1 + > 0, ∀y ≥ nên 9 y − + y + a + ab + b ( ) ⇔ ( y − )( y − 3) = ⇔ y ∈ {2;3} ⇒ ( x; y ) = ( 8;3) , ( 3; ) Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể Câu 12: [ĐVH] Giải phương trình ( x − 1) = (x − x − 2) + − x2 + x + 2 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ Phương trình tương đương x − x − − ( x − x − ) + = − x + x Ta có Đặt ( − x2 + x ) = + x − x2 ≥ ⇒ − x2 + x ≥ t = x − x − = t thu t − t + ≥ ⇔ t ( t − 1) ≥ ⇔  t ≥ { } t = ⇔ x − x − = ⇔ x ∈ + 3;1 − x ≥ ⇒ x = −1 t ≥ ⇒ t ≥ ⇔ x − x − ≥ ⇔ ( x − 3)( x + 1) ≥ ⇔   x ≤ −1 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm x = −1  x2 + y + + x + = y + + y +  Câu 13: [ĐVH] Giải hệ phương trình  3x3 + y − + 2x − y −1  2x −1 + y − =  Lời giải Điều kiện x ≥ ; y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x + − y + + x2 + y + − y + = ⇔ ( x − y )( x + y ) x− y + x+2 + y+2 x2 + y2 + + y2 +   ( x + y) ⇔ ( x − y)  +  =0⇒ x= y x + y + + y +   x + + y + Phương trình thứ hai hệ trở thành x − + 3x3 − = 3x3 + x − + x −1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x − + 3x3 − ≤ x − + 3x − + 3x + x − 3x3 + x − + = ≤ + x −1 2 2 Do phương trình ẩn x có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức x − = x − = ⇔ x = 2x x + 3y  + =3  2 2 x − xy + y x − xy + y Câu 14: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2  x − y − x + x + y =4  ( ) ( ) Lời giải Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ≥ x ≥  Điều kiện  ⇒ 2 y ≥ x 2 y ≥ x  y ≥  2 2 2  5 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y )  x − xy + y ≥ x + y = x + y Nhận xét  ⇒ 2 2 6 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y )  x − xy + y ≥ x + y = x + y Dẫn đến 2x x − xy + y + x + 3y x − xy + y 2 ≤ 2x x + y 3( x + y ) + = = x+ y x+ y x+ y Đẳng thức xảy x = y Phương trình thứ hai trở thành ( )(  x + x =  x − =4⇔ ⇔  x ≥  x ≥ Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = y = ( x+x ) ) x +2 =0 ⇔ x = ⇔ x = Câu 15: [ĐVH] Giải bất phương trình x + + 2 x + ≤ ( x − 1) ( x − ) Lời giải: ĐK: x ≥ −1 (*) Khi (1) ⇔ x + + 2 x + ≤ x3 − x − x + ⇔4 ⇔ ⇔ ( ) ( x +1 − + ( x + − 4) x +1 + ( x − 3) + x +1 + + ) x + − ≤ x3 − x − x − 12 ( x + − 9) 2x + + ( x − 3) + 2x + ≤ ( x − 3) ( x + x + ) − ( x − 3) ( x + x + ) ≤ 4   ⇔ ( x − 3)  + − ( x + 1) −  ≤  + x +1 + 2x +  Nhận thấy x = −1 thỏa mãn bất phương trình cho 4 4 Xét với x ≥ −1 ⇒ + − ( x + 1) − < + − − = + + −2 + + x + + 2x + (2) Khi (2) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với (*) ta x ≥ thỏa mãn Đ/s: x = −1 x ≥  x + y + + x − y = y + Câu 16: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 12 xy + x = x + y + 15 Lời giải  x + y + ≥ 0; x − y ≥ x ≥ Điều kiện  ⇔ x ≥ y 2 y + ≥ 0; xy + x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x− y x + y +1 − y +1 + x − y = ⇔ + x− y =0 x + y +1 + y +1 ⇔ x − y   x− y + x− y =0⇔ x− y + 1 =  x + y +1 + y +1  x + y +1 + y +1   x− y Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x− y Ta có x + y +1 + y +1 Facebook: Lyhung95 +1 > ⇒ x − y = ⇔ x = y Phương trình thứ hai hệ tương đương 12 x3 + x = x + x + 15 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực không âm ta có x ( x + ) = 8.8 x ( x + ) ≤ + x + x + x + x + 15 = ⇒ 12 x3 + x ≤ x + x + 15 3 Do phương trình ẩn x có nghiệm x = x + = ⇔ x = Kết luận hệ có nghiệm x = y =  y − x3 = ( x + − x ) x + y  Câu 17: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2  x − x + ( x − 3) x + x − y = Lời giải: ĐK: x + y ≥ 0; x + x − y ≥ 2 Cách 1: Đặt t = x + y ( t ≥ ) ta có: t − x = y Khi PT (1) ⇒ t − x − x3 = ( x + − x ) t ⇔ t + x 2t − x − t = x3 + xt t = x = ⇔ x = y = ( ko t / m ( ) ) ⇔ ( x + t ) ( t − 1) = x ( x + t ) ⇔ ( x + t ) ( t − x − 1) = ⇔  t = x + ⇔ x + y = x + x + y = x + ta biến đổi sau: Cách 2: Sử dụng CASIO nhận thấy PT (1) ⇔ y − x − ( x + − x ) ( x + 1) = ( x + − x ) ⇔ y − 3x − x − = ( x + − x ) ⇔ ( )( ( ) ( ) x2 + y − x − x + y − x − ⇔ ( x + y ) − ( x + 1)  = ( x + − x )   ) ( ) x2 + y − x − x2 + y − x −1 x2 + x2 + y = Thế y = x + x + vào PT(2) ta có: PT ( ) ⇔ x − x + ( x − 3) x − x − = ⇔ x − x − 10 + ( x − 3) ( )   x−3 x − x − − = ⇔ ( x − x − 10 ) 1 + =0 x − x −1 +    ± 41 69 ± 41  x − x − 10 = x= ⇒ y=  ⇔ ⇔ (t / m) 2   x − x − = − x  x = −1 ⇒ y = Hướng 2: Đặt ẩn phụ không hoàng toàn: Đặt u = x − x − ta ( u + x )( u − 3) =  ± 41 69 ± 41    Vậy nghiệm HPT ( x; y ) = ( −1; ) ;  ;       ( x + y + ) x − y + x + y + 12 = Câu 18: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 ( x − y ) ( x + ) + x − y − = y + ( x, y ∈ ℝ ) Lời giải: Điều kiện: x − y ≥ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Phương trình hệ tương đương với: ( x + y + ) x − y + ( x + y + ) − ( x − y ) + = ( x − y + 2) − ( x − y ) − 4 = ⇔ ( x + y + 4) ( x − y + 2) − ( x − y − )( x − y + 2) = ⇔ ( x − y + )( x + y + − x − y ) = ⇔ x + y + − x − y = ⇔ = x − y − x − y Thế xuống phương trình thứ hai hệ, ta được: ( x − y ) ( x + x − y − x − y ) + x − y − = y + ⇔ ( x + y + 4) 2 ⇔ x2 ( x − y ) + ( x − y ) x − y − x2 + y + x − y − = y + ⇔ x ( x − y − 1) + ( x − y ) x − y − + x − y − = )( ( x − y − 1) ( x − y + ( x − y − 1) + ⇔ x ( x − y − 1) + ⇔ x2 ( ) x − y −1 x − y + x − y +1 + x − y −1 = )+ x − y +1 x − y +1 x − y −1 = ⇔ x − y −1 = ⇔ x − y = 6 = x − y − x − y  x + y = −5  x = −2 Khi hệ phương trình cho ⇔  ⇔ ⇔ x − y =  y = −3  x − y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( −2; −3)  + =  2 y −1 2x + y Câu 19: [ĐVH] Giải hệ phương trình  x +   y − x + ( y − ) ( x − ) = Lời giải: y >1 ĐK:  Đặt a = x + 1; b = x + y > y − ta có 1 2 + = a b a + b2 1 1 2 a + b ≥ a + b ⇒ + ≥ Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b > Mặt khác với a; b > ⇒  2 a b a + b 2  2a + 2b ≥ ( a + b )  ( ) Khi đó: x = y − vào PT(2) ta có x − x + x x − = 2, (1) Do x = nghiệm nên ta có: (1) ⇔ x − + x − (1) ⇒ t + t − = ⇔ t = ⇒ x − 2 = Đặt t = x − ta có: x x x  x = −1 ⇒ y = =1⇔  x x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ phương tình ( x; y ) = {( −1;3) ; ( 2; )} ( )  xy + x − y ( ) xy − + x = y + y  Câu 20: [ĐVH] Giải hệ phương trình  ( x + 1) y + xy + x (1 − x ) =  ( ĐK: x ≥ 0, y ≥ 0, xy + ( x − y ) Khi (1) ⇔ xy + ( x − y ) ( ( ) xy − ≥ ) ) ( x, y ∈ R ) Lời giải: (*) xy − − y + x − y = (3) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • Với y = (3) trở thành Facebook: Lyhung95 −2 x + x = ⇔ −2 x = x = ⇔ x = Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại ( xy − 2) + y > B = xy + ( x − y ) ( xy − ) − y x− y Khi (3) ⇔ + =0 • Với y > ⇒ T = xy + ( x − y ) x + y > T ⇔ y ( x − y) + ( x − y) ( B xy − T ) + x − y = ⇔ ( x − y )  y +   B xy −  + =0 T B  (4) + ( x + 1) ( x − x − ) 4 Từ (2) ⇒ y + xy + x − x = ⇒ y + xy − = + x −x−2= x +1 x +1 x +1 x − x + ( x − 1) ( x + ) ⇒ y + xy − = = ≥ 0, ∀x ≥ x +1 x +1 Kết hợp với T , B > ⇒ y + xy − + > nên (4) ⇔ x = y T B Thế vào (2) ta ( x + 1) ( x + x + x − x ) = ⇔ ( x + 1) ( x − x ) + = x = ⇔ x − x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) = ⇔   x = ± 17  2 x = 1⇒ y = Kết hợp với (*) ta   x = + 17 ⇒ y = + 17  2  Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ,   + 17 + 17   ;      8 x + y = y + x +  Câu 21: [ĐVH] Giải hệ phương trình  y + 1+ y2 =  x + + x )( ( ) Lời giải Điều kiện: y + x + ≥ ( Phương trình (2) ⇔ x + + x )( y + ⇔ 3x + + x = ( − y ) + + ( − y ) ) + y = ⇔ 3x + + x = y + 1+ y2 Xét hàm số f ( t ) = t + + t ⇒ f ' ( t ) = t t +1 + > ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến Tập xác định ⇒ f ( 3x ) = f ( − y ) ⇔ 3x = − y Thay vào phương trình (2) ta có x − x = x + (Điều kiện : x ≥ −1 ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ x3 − x = x + − x ⇔ x ( x − 1) (1 − x )( x + ) ⇔ = 2x + + 2x     4x + ( x − 1)  x +  = ⇔ x =1 2x + + 2x   >0   Kết hợp điều kiện nghiệm hệ (1; −3)  x3 + y = x − x − y + Câu 22: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2  x + y − x + y − 10 = y + − x + y Lời giải 4 x + y ≥ Điều kiện:   y ≥ −5 Phương trình (1) ⇔ x3 + y = x − x − y + ⇔ y + y = (1 − x ) + (1 − x ) Xét hàm số f ( t ) = t − 3t ( t ≥ −5 ) ⇒ f ' ( t ) = 3t − > ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến Tập xác định ⇒ f (1 − x ) = f ( y ) ⇔ − x = y ) ( x − 5) Thay vào phương trình (2) ta có x − x − 10 = − x − x + ( Điều kiện x ≥ ⇔ x − x − = − x − + − x + ⇔ ( x − )( x + 1) + x−5 + =0 − x + + 3x +     ⇔ ( x − 5)  x + + + =0⇔ x=5 − x + + x +   >0   Kết hợp điều kiện nghiệm hệ ( 5; −4 )  x3 − y + 3x + x − y + = Câu 23: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 2 x − x − 3 + y − y − 3x + = Giải: 4 x − x ≥ Điều kiện:  ( *) 3 + y − y ≥ +) Xét phương trình (1): (1) ⇔ x + 3x + x + = y + y ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = y + y ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) Xét hàm số f (t ) = t + 3t∀t ∈ R Có f '(t ) = 3t + > 0∀t ∈ R nên f (t ) hàm đồng biến R ⇒ x + = y vào (2) ta có: ( ) ⇔ x − x − − x − 3x + = Do ≤ x ≤ ⇔ x − + − x = ⇔ x = 2; x = (T/M) ) ( ( ) +) Với x − + − x ≠ ⇔ x ≠ 2; x ≠ có: ( ) ⇔ 2 − x − x + x − − − x = ⇔ ( x − 2) 2 + x − x2 + 6x ( x − 2) x − + − x2 =0⇔ ( x − 2) + x − x2 + 6x x − + − x2 = ⇒ VN Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Do ( x − 2) + x − x2 + 6x Facebook: Lyhung95 > 0, ∀0 < x < x − + − x2 +) Với x = ⇒ y = ( t / m ) +) Với x = ⇒ y = 1( L) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3)  y + x + y + = x + ( x + 1) − y  Câu 24: [ĐVH] Giải hệ phương trình  ( x − 1) y + − ( y − ) x + = Lời giải ( x + 1) ĐK: x ≥ −3, y ≥ −2, x + y + ≥ 0, ≥ y2 (*) Khi (1) ⇔ x − y + x + y + x − y + − x + y + = a = x + y + ≥ Đặt  ⇒ x − y = b − ⇒ b − + ab − a = ⇔ ( b − 1)( b + 1) + a ( b − 1) = b = x − y + ≥ ⇔ ( b − 1)( a + b + 1) = ⇔ b = ⇒ x − y + = ⇔ x − y + = ⇔ x = y Thế vào (2) có ( x − 1) x + − ( x − ) x + = ⇔ ( x − 1) ( ) x + − − ( x − 2) ( ) x+3−2 ⇔ ( x − 1)( x + − ) − ( x − )( x + − ) = x+2 +2 x+3+2 x =  1   ⇔ ( x − 1)( x − )  −  = ⇔ x =  2+ x+2 2+ x+3   2 + x + = + x + x =1 x = 1⇒ y =1 ⇔  x = ⇔ ⇒ ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; )} thỏa mãn (*) x = 2⇒ y =2   x + = x + Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; )} 2x − y +   1− x + x − y +1 = 1− x Câu 25: [ĐVH] Giải hệ phương trình   2  x − 4x + + 5x − y + = y + Lời giải ĐK: x < 1, x + ≥ y (*) Đặt a = − x > 0, b = x − y + ≥ 2b ⇒ (1) thành a + b = ⇔ a + ab − 2b = ⇔ ( a − b )( a + 2b ) = a (3) Với a > 0, b ≥ ⇒ a + 2b > nên ( 3) ⇔ a = b ⇒ − x = x − y + ⇒ 1− x = x − y +1 ⇔ x = y Thế vào (2) có x2 − x + + 5x2 − x + = x + ⇔ x2 − x + − = x − 5x2 − x + (4) 2  11  2 Ta có x − x + =  x −  + 20 > 0, xét T = x + x x − x + + ( x − x + 3) 5  Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  5x2 − x +  3 ⇒T =x+ x − x + ) >  + (     Do ( ) ⇔ x2 − x + − x2 − 4x + + = x − ( x − x + 3) T = ( x − 1) ( x − x + 3) T (1 − x ) ( x − x + 3)  1− x  = ⇔ ( x − x + 3)  +  T T  + x2 − x +  + x − 4x + 1− x Với x ≤ T > ⇒ + > T + x2 − x + ⇔ x2 − 4x + + (5) x =1⇒ y =1 Khi ( ) ⇔ x − x + = ⇔  ⇒ ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3)} thỏa mãn (*) x = ⇒ y = Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3)} 5 x − y + x + y − = + ( x + y )( x − y ) + x − Câu 26: [ĐVH] Giải hệ phương trình   y + − x = Lời giải  y ≥ 0; − x ≥ Điều kiện   x + y − ≥ 0;3x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với ( x + y )( x − y ) − x + y + + 3x − − x + y − = 2x − y −1 =0 3x − + x + y − ⇔ ( x + y − )( x − y − 1) +   ⇔ ( x − y − 1)  x + y − + =0  x − + x + y −   Vì x + y − + > ⇒ y = x − Phương trình thứ hai hệ trở thành 3x − + x + y − Khi phương trình thứ hai hệ trở thành 2x −1 + − x2 = (1) Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có + x −1 + − x2 + x − x2 x − + − x = 1( x − 1) + 1( − x ) ≤ + = 2 2 + x − x − ( x − 1) = ≤ = ⇒ x − + − x2 ≤ 2 2 2 x − = Do phương trình (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức  ⇔ x =1 2 − x = Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm 4  x + y + y − x + = Câu 27: [ĐVH] Giải hệ phương trình  3 5 x − x y − x y = xy − x + y ( x, y ∈ R ) Lời giải: Ta có (2) ⇔ ( x + x ) − ( x y + xy ) − ( x y + y ) = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ x ( x + 1) − xy ( x + 1) − y ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x − xy − y ) = ⇔ x − xy − y = ⇔ y − x = −4 xy Thế vào (1) ta x + y − xy + = ⇔ x + y + = xy Áp dụng BĐT Côsi ta có x + y + = x + y + + ≥ 4 x y 1.1 = xy ≥ xy  x4 = y =  x = y = Dấu " = " xảy ⇔  ⇔  x = y = −1  xy ≥ Thử lại ta x = y = thỏa mãn Đ/s: ( x; y ) = (1;1) Câu 28: [ĐVH] Giải phương trình 3x − + x − x − x x + = (7x 2 − x + 4) Lời giải: x ≥1 3 x ≥  ĐK:  ⇔ x ≤ −  x ≥ x  • (*) Xét với x ≥ ⇒ ( x − x ) − x ( x + 1) = − x − x < ⇒ x ( x + 1) > x − x ≥ ⇒ x x + > x − x ⇒ x − x − x x + < ⇒ VT (1) < 3x − (2) Áp dụng BĐT Côsi ta có 2 x − ≤ + ( x − 1) = x + Mặt khác x − x + − ( x + 1) = x − x + = x + x ( x − 1) + > 0, ∀x ≥ ⇒ x + < x − x + ⇒ 2 x − < x − x + ⇒ x − < (7 x 2 − x + ) = VP (1) Kết hợp với (2) ⇒ VT (1) < VP (1) ⇒ ∀x ≥ không thỏa mãn (1) 1 ta đặt x = −t ⇒ −t ≤ − ⇒t≥ 3 Phương trình (1) trở thành 3t − + t + t + t t + = 7t + t + ) ( 2 • Xét với x ≤ − ⇔ 6t − + 2t + 2t + 2t 2t + = 7t + t + ⇔ 2t ( ) ( ) ( 2t + − t − + 2t + 2t − 3t − + ) 6t − − 3t + = 5t − 10t + 2 2t  2t + − ( t + 1)  ( 2t + 2t ) − ( 3t + 1) 2 6t − − ( 3t − 1)      = t −1 ⇔ + + ( ) 2 2t + + t + 2t + 2t + 3t + 6t − + 3t − ⇔ 2t ( t − 2t + 1) t + + 2t + + −t + 2t − 3t + + 2t + 2t + ( −3t + 6t − 3) 3t − + 6t − = ( t − 1)  2t 2 ⇔ ( t − 1)  − − − 5 = 2  t + + 2t + 3t + + 2t + 2t 3t − + 6t −  2t Đặt T = − − − 2 t + + 2t + 3t + + 2t + 2t 3t − + 6t − (2) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Với t ≥ Facebook: Lyhung95 1 2t −5 − 3t − 2t + > ⇒T < +0+0−5 = < 3 t + + 2t + t + + 2t + Khi (2) ⇔ ( t − 1) = ⇔ t = ⇒ − x = ⇒ x = −1 thỏa mãn (*) Đ/s: x = −1  x + + x − − y + = y, Câu 29: [ĐVH] Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ ) 2 x + x y − + y − y + = ( )  Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình thứ hai hệ tương đương với x + x ( y − 1) + y − y + = y ⇔ ( x − y + 1) = y ⇒ y ≥ ⇔ y ≥ Khi phương trình thứ trở thành x + + x −1 = y4 + + y4 ⇔ x + + x −1 = y4 + +1 + y4 +1 −1 Xét hàm số f ( t ) = t + + t − 1, t ≥ f ′ ( t ) = [∗] 1 + > 0, ∀t > Hàm số đồng biến với t + 4 ( t − 1)3 t ≥ Dễ thấy [∗] ⇔ f ( x ) = f ( y + 1) ⇔ x = y + Thay vào phương trình thứ hai thu y = + y ) = y ⇔ y ( y7 + y + y − 4) = ⇔  g ( y) = y + 2y + y − = Để ý g ′ ( y ) = y + y + > 0, ∀y ≥ ⇒ g ( y ) đồng biến, liên tục với y ≥ Hơn (y g (1) = ⇒ y = Từ ta thu hai nghiệm ( x; y ) = {(1;0 ) , ( 2;1)} Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! [...]... hệ phương trình  2  y + 2 − x = 2 Lời giải  y ≥ 0; 2 − x 2 ≥ 0 Điều kiện   x + y − 3 ≥ 0;3x ≥ 4 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( x + y )( 2 x − y ) − 5 x + y + 2 + 3x − 4 − x + y − 3 = 0 2x − y −1 =0 3x − 4 + x + y − 3 ⇔ ( x + y − 2 )( 2 x − y − 1) +   1 ⇔ ( 2 x − y − 1)  x + y − 2 + =0  3 x − 4 + x + y − 3   Vì x + y − 2 + 1 > 0 ⇒ y = 2 x − 1 Phương trình thứ hai của hệ. .. GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Với t ≥ Facebook: Lyhung95 1 1 2t −5 − 3t − 5 2t 2 + 2 > ⇒T < +0+0−5 = < 0 3 3 t + 1 + 2t 2 + 2 t + 1 + 2t 2 + 2 Khi đó (2) ⇔ ( t − 1) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ − x = 1 ⇒ x = −1 thỏa mãn (*) 2 Đ/s: x = −1  x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y, Câu 29: [ĐVH] Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ ) 2 2 x + 2 x y − 1 + y − 6 y + 1 = 0 ( )  Lời giải Điều kiện x ≥ 1 Phương trình. .. THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ 8 x3 − 8 x = 2 x + 2 − 2 x ⇔ 8 x ( x − 1) (1 − x )( 4 x + 2 ) ⇔ = 2x + 2 + 2x     4x + 2 ( x − 1)  8 x +  = 0 ⇔ x =1 2x + 2 + 2x   >0   Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là (1; −3)  x3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4 Câu 22: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 2  x + y − 6 x + y − 10 = y + 5... kết luận hệ vô nghiệm 4 4  x + y + y − 5 x + 2 = 0 Câu 27: [ĐVH] Giải hệ phương trình  3 3 2 5 x − 4 x y − x y = 4 xy − 5 x + y ( x, y ∈ R ) Lời giải: Ta có (2) ⇔ ( 5 x 3 + 5 x ) − ( 4 x 3 y + 4 xy ) − ( x 2 y + y ) = 0 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook:... nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Do 2 ( x − 2) 2 + 4 x − x2 + 6x Facebook: Lyhung95 > 0, ∀0 < x < 2 x − 2 + 4 − x2 +) Với x = 2 ⇒ y = 3 ( t / m ) +) Với x = 0 ⇒ y = 1( L) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3)  y + x + y + 1 = x + ( x + 1) 2 − y 2  Câu 24: [ĐVH] Giải hệ phương trình  ( x − 1) y + 2 − ( y − 2 ) x + 3 = 2 Lời giải ( x +... x + 1 + 9 x )( ( ) Lời giải Điều kiện: y + 5 x + 2 ≥ 0 ( Phương trình (2) ⇔ 3 x + 1 + 9 x 2 )( y + ⇔ 3x + 1 + 9 x 2 = ( − y ) + 1 + ( − y ) ) 1 + y 2 = 1 ⇔ 3x + 1 + 9 x 2 = 1 y + 1+ y2 2 Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 1 + t ⇒ f ' ( t ) = t t +1 2 + 1 > 0 ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến trên Tập xác định ⇒ f ( 3x ) = f ( − y ) ⇔ 3x = − y Thay vào phương trình (2) ta có 8 x 3 − 6 x = 2 x + 2 (Điều kiện : x ≥ −1...Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • Với y = 0 khi đó (3) trở thành Facebook: Lyhung95 −2 x + x = 0 ⇔ −2 x = x = 0 ⇔ x = 0 Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại ( xy − 2) + y > 0 và B = xy + ( x − y ) ( xy − 2 ) − y x− y Khi đó (3) ⇔ + =0 • Với y > 0 ⇒ T = xy + ( x − y ) x + y > 0 2 T ⇔... của hệ trở thành 3x − 4 + x + y − 3 Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành 2x −1 + 2 − x2 = 2 (1) Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có 1 + 2 x −1 1 + 2 − x2 3 + 2 x − x2 2 x − 1 + 2 − x = 1( 2 x − 1) + 1( 2 − x ) ≤ + = 2 2 2 2 2 3 + 2 x − x 2 4 − ( x − 1) 4 = ≤ = 2 ⇒ 2 x − 1 + 2 − x2 ≤ 2 2 2 2 2 2 x − 1 = 1 Do đó phương trình (1) có nghiệm khi các dấu đẳng thức... 10 = y + 5 − 4 x + y Lời giải 4 x + y ≥ 0 Điều kiện:   y ≥ −5 Phương trình (1) ⇔ x3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4 ⇔ y 3 + 3 y = (1 − x ) + 3 (1 − x ) 3 Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 3t ( t ≥ −5 ) ⇒ f ' ( t ) = 3t 2 − 1 > 0 ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến trên Tập xác định ⇒ f (1 − x ) = f ( y ) ⇔ 1 − x = y 1 ) 5 3 ( x − 5) Thay vào phương trình (2) ta có 2 x 2 − 7 x − 10 = 6 − x − 3 x + 1 ( Điều kiện x... x − 5)  2 x + 1 + + =0⇔ x=5 6 − x + 1 4 + 3 x + 1   >0   Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là ( 5; −4 )  x3 − y 3 + 3x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0 Câu 23: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 2 2 4 x − x − 3 3 + 2 y − y − 3x + 2 = 0 Giải: 4 x − x 2 ≥ 0 Điều kiện:  ( *) 2 3 + 2 y − y ≥ 0 +) Xét phương trình (1): (1) ⇔ x 3 + 3x 2 + 6 x + 4 = y 3 + 3 y ⇔ ( x + 1) + 3 ( x + 1) = y 3 + 3 y ⇔ f ( x + ... điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • Với y = (3) trở thành Facebook: Lyhung95 −2 x + x = ⇔ −2 x = x = ⇔ x = Thay vào (2) ta thấy... khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ) (  y4 x2 − x + x − = y2... khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 t − 3t + ( t − ) ( t + 1)