Phương pháp tích phân từng phần trong các bài toán ôn thi đại học

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A. PHƯƠNG PHÁP: Ta có công thức tính tích phân từng phần: b b b a a a udv uv vdu     . Dưới đây là phương pháp giải một số dạng cụ thể: Loại 1.  ( )sin ( ) ( cos ) ( )cos x '( ).(cos ) b b b b a a a a u dv f x xdx f x d x f x f x x dx         Loại 2.  ( )cos ( ) (sin ) ( )sinx '( ).(sin ) b b b b a a a a u dv f x xdx f x d x f x f x x dx        Loại 3.   ( ) ( ) ( ) ( ) '( ). b b b b x x x x a a a a u dv f x e dx f x d e f x e f x e dx       Loại 4.  2 1 ( ) ( ) (tan) ( )tan '( ).tan cos b b b b a a a a u dv f x dx f x d f x f x dx x        Loại 5.  2 1 ( ) ( ) ( cot) ( )cot '( ).cot sin b b b b a a a a u dv f x dx f x d f x f x dx x          Loại 6.  1 ( )ln ln ( ( )) ( )ln ( ). b b b b a u a a a dv f x xdx xd F x F x x F x dx x        Loại 7:  1 1 cos cos ( ) cos sin b b b b x x x x a u a a a dv b e bxdx bx d e e bx e bxdx               Loại 8:  1 1 sin sin ( ) sin os b b b b x x x x a u a a a dv b e bxdx bxd e e bx e c bxdx               Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a. I = 4 2 0 (2cos 1) x x dx    b. I =   2 2 0 1 sin x xdx    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà c. I = xdx3sin)x2( 6 0    = 9 5 d. I = dx x x  3 4 2 cos   e. I = 4 0 xdx 1 cos2x    Bài giải: a. I = 4 0 cos2 x xdx   Đặt 1 cos2 sin 2 2 du dx u x dv xdx v x              4 4 4 0 0 0 1 1 1 1 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 cos2 2 4 2 4 8 I x x xd x x x x                   b. I = 2 2 0 ( 1)sin x xdx    Đặt 2 2 1 cos sin du xdx u x v x dv xdx              2 2 2 2 0 0 0 ( 1)cos 2 cos 1 2 cos I x x x xdx x xdx             (1) Xét tích phân J = 2 0 cos x xdx   , đặt cos sin u x du dx dv xdx v x            2 2 2 0 0 0 sin sin cos 1 2 2 J x x xdx x              (2) Thay (2) vào (1) ta được I = 1 + 2( 1 2   ) = 1   c. I = 6 0 (2 )sin3 x xdx    Đặt 2 1 sin3 cos3 3 du dx u x dv xdx v x                 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 6 6 6 0 0 0 1 1 1 1 5 (2 )cos3 cos3 (2 )cos3 sin3 3 3 3 9 9 I x x xdx x x x                     d. I = 3 2 4 cos x dx x    Đặt 2 1 tanx cos u x du dx v dv dx x              3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 sinx (cos ) tan tanx tan tan cos cos d x I x x dx x x dx x x x x                         3 4 3 tan ln cos ln 2 3 4 x x x          e. I = 4 0 1 cos2 xdx x    4 2 0 2cos xdx x    4 2 0 1 2 cos xdx x    Đặt 2 tanx os u x du dx dx v dv c x              Theo câu d.   4 0 1 1 2 tan ln cos ln 2 8 2 2 I x x x        Chú ý: Với tích phân dạng ( )sin b a I P x xdx    ( hoặc ( )cos b a I P x xdx    ), trong đó P là một đa thức   , R x R     . Khi sử dụng tích phân từng phần ta đặt: ( ) sin u P x dv xdx       ( hoặc ( ) cos u P x dv xdx       ) Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: a. I = 1 0 x xe dx  c. I =   1 2 x 0 x 2x e dx    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà b. I =   1 2 2 0 1 x x e dx   d. I = dxe)1x( 1 0 x22   Bài giải: a. I = 1 0 x xe dx  Đặt x x u x du dx dv e dx v e            1 1 1 0 0 0 ( 1) 1 x x x I xe e dx e x        b. I =   1 2 2 0 1 x x e dx   Đặt 2 2 2 2( 1) ( 1) 1 2 x x du x dx u x v e dv e dx                  1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 2 x x x I e x x e dx e x e dx            (1) Xét tich phân J = 1 2 0 ( 1) x x e dx   Đặt 2 2 1 1 2 x x du dx u x v e dv e dx               1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 3 1 ( 1) ( 1) 2 2 2 4 4 x x x x e J e x e dx e x e                 (2) Thay (2) vào (1) được I = 2 5 1 4 e  c. I = 1 2 0 ( 2 ) x x x e dx    Đặt 2 2( 1) 2 x x du x dx u x x v e dv e dx                   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 1 1 1 2 0 0 0 3 ( 2 ) 2 ( 1) 2 ( 1) x x x I x x e x e dx x e dx e                Xét J = 1 0 ( 1) x x e dx    Đặt 1 x x u x du dx dv e dx v e                1 1 1 0 0 0 2 ( 1) ( 2 ) 1 x x x J x e e dx x e e               7 2I e    d. I = 1 2 2 0 ( 1) x x e dx   Đặt 2 2 2 2 1 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx                 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( 1) 2 2 x x x I x e xe dx e xe dx          Xét J = 1 2 0 x xe dx  Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x v e dv e dx              1 2 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 x x x x e J xe e dx xe e         2 3 3 2 e I    Chú ý: Với tích phân dạng ( ) b x a I P x e dx    , trong đó P là một đa thức   , R x R     . Khi sử dụng tích phân từng phần ta đặt: ( ) x u P x dv e dx       Ví dụ 3: Tính các tích phân sau: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a. xdxcose 2 0 x   = 2 1e 2   b. I = 2 2 0 sin x e xdx   c. I = 2 2 0 sin3 x e xdx   Bài giải: a. I = 2 0 cos x e xdx   Đặt cos sinx x x u x du dx dv e dx v e             1 1 2 0 0 0 cos sin 1 sin x x x I e x e xdx e xdx          (1) Xét J = 1 0 sin x e xdx  Đặt sin cos x x u x du xdx dv e dx v e            1 2 2 0 0 sin cos x x J e x e xdx e I         (2) Thay (2) vào (1) được I = -1 + 2 e I   2 1 2 e I      b. I = 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 sin (1 cos2 ) cos2 2 2 x x x x e xdx e x dx e dx e xdx                   (1) Xét 2 1 0 x I e dx    = 2 2 0 1 1 2 2 2 x e e     (2) Xét 2 2 0 cos2 x I e xdx    Đặt 2 2 2sin 2 cos2 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx               2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 cos2 sin 2 sin 2 2 2 2 x x x e I e x e xdx e xdx             (3) Xét J = 2 0 sin 2 x e xdx   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Đặt 2 2 2cos2 sin 2 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx              2 2 2 0 0 1 sin 2 cos2 2 x x J e x e xdx I         (4) Thay (4) vào (3) 2 2 1 4 e I     (5) Thay (2) và (5) vào (1)   2 1 1 8 I e     c. I = 2 2 0 sin3 x e xdx   Đặt 2 2 3cos3 sin3 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx              2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 3 1 3 sin3 cos3 cos3 2 2 2 2 x x x I e x e xdx e e xdx             (1) Xét J = 2 2 0 cos3 x e xdx   Đặt 2 2 3sin3 cos3 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx               2 2 2 2 0 0 1 3 1 3 cos3 cos3 2 2 2 2 x x J e x e xdx I          (2) Thay (2) vào (1) được I = 3 2 13 e   Chú ý: 1) Với tích phân dạng I = x cos b a e bxdx   ( hoặc I = x sin b a e bxdx   ), trong đó , 0 a b  . Khi sử dụng tích phân từng phần ta đặt: cos x u bx dv e dx       ( hoăc sin x u bx dv e dx       ) 2) Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân dạng 2 sin b x a J e xdx    hoặc ( 2 cos b x a J e xdx    ) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: a. I =   1 2 0 ln 1 x x dx   c. I = 2 1 ( .ln ) e x x dx  b. I = 2 0 cos .ln(1 cos ) x x dx    d. dx x x  3 6 2 cos )ln(sin   Bài giải: a. I = 1 2 0 ln( 1) x x dx   Đặt 2 2 2 2 ln( 1) 1 1 2 x du dx u x x dv xdx v x                  1 1 1 2 3 2 2 2 0 0 0 1 ln( 1) ln2 ( ) 2 1 2 1 x x x I x dx x dx x x            = 1 2 2 0 1 1 1 1 ln2 ln(1 ) ln 2 2 2 2 2 x x            b. I = 2 0 cos ln(1 cos ) x x dx    Đặt sin ln(1 cos ) 1 cos cos sinx x u x du dx x dv xdx v                 2 2 2 2 2 0 0 0 0 sin sinx ln(1 cos ) (1 cos ) ( sinx) 1 1 cos 2 x I x dx x x x                   c. I = 2 1 ( ln ) e x x dx  Đặt 2 2 3 ln ln 1 3 x du dx u x x dv x dx v x                  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 ln ln ln 3 3 3 3 e e e x e I x x xdx x xdx        (1) Xét J = 2 1 ln e x xdx  Đặt 2 3 1 ln 1 3 du dx u x x dv x dx v x                3 3 3 3 2 1 1 1 1 2 1 ln ln 3 3 3 9 9 e e e x x x e I x x dx x               (2) Thay (2) vào (1) được I = 3 7 1 27 e  d. I =   3 2 6 ln sinx cos dx x    Đặt 2 ln(sin ) cot 1 t anx cos u x du dx v dv dx x                3 3 3 6 6 6 tanln(sin ) tan ln(sinx)-x I x dx            3 1 1 3ln ln 2 3 2 6 3        6 4 3 ln3 3   Ví dụ 5: Tính các tích phân sau a. I = 2 2 1 ln(1 ) x dx x   b. I = 1 9 3 2 5 0 1 5 sin (2 1) 4 1 x x dx x x            Bài giải: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a. Đặt 2 1 ln(1 ) 1 1 1 u x du dx x dv dx v x x                     2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln(1 ) ln3 ln 2 ( 1) 2 1 I x dx dx x x x x x                       2 1 1 3 ln3 ln 2 ln ln 1 ln3 3ln2 2 2 x x         b. I = 1 1 1 9 9 9 3 2 5 0 0 0 5 sin (2 1) 4 1 x xdx dx dx x x        Xét 1 9 3 1 0 5 x I dx   1 1 3 3 9 0 5 5 1 3ln5 3ln5 x    Xét 1 9 2 2 0 sin (2 1) xdx I x    Đặt 2 1 1 cot(2 1) sin (2 1) 2 u x du dx dv dx v x x                   1 1 9 9 2 0 0 1 cot(2 1) cot(2 1) 2 2 x I x x dx        = 1 9 0 1 cot(2 1) ln sin(2 1) 2 4 x x x           11 sin 1 11 1 9 cot ln 18 9 4 sin1    Xét 1 1 1 1 4 9 9 9 5 5 3 5 0 0 0 5 5 (4 1) (4 1) 16 36 4 1 dx I x dx x x           Vậy 1 2 3 I I I I     1 3 5 1 3ln5  11 sin 1 11 1 5 9 cot ln 18 9 4 sin1 36    Chú ý: Với những dạng không mẫu mực. Khi đó để sử dụng tích phân từng phần, ta cần tuân theo 2 nguyên tắc: [...]...http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 1) Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng b 2) Tích phân  vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I a B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính các tích phân sau:  2 a d)  x sin xdx  3 g) 2  4 2 e x 2 x h) e dx  0 1 ln x x dx 2 2 i)  ln xdx k)...  4 3  ln 36 2 2 5 ln 5  2 ln 2  3 k) 2 Bài 2: Tính các tích phân sau  2e 3 1 d) 9 4 c) 2 2e  5 g) e   2 e) 24 ln 2  h) 4  2 c)  e 2 x cos 3 xdx b)  ( 2 x  1) ln xdx 0 0 1 0  x e 2x 2  3 1 ĐS: a)   1  2 2 x 1 e)  ln xdx x  x  1 dx f) 1 2 c)  3e   2 13 d) e) 2 Bài 3:* Tính các tích phân sau 2 4 2 a)  x  1dx 0 b)  sin x dx 0 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com... 1)dx 0 0 1 5 1 d)  xe 3x dx c)  ( x  1) cosxdx  x ln xdx 0 e)  2 e e 3 4 f) 1 1 e 2    2 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 2 2 2 c)  ln( 1  x  x )dx d)  cos(ln x )dx 0 ĐS: a) 1 1 2  2  ln   2 1 b) 2 c) 2 ln( 5  2)  5  1 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà d) sin(ln 2)  cos(ln 2)  . Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. ý: Với những dạng không mẫu mực. Khi đó để sử dụng tích phân từng phần, ta cần tuân theo 2 nguyên tắc: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung. dx       ) 2) Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân dạng 2 sin b x a J e xdx    hoặc ( 2 cos b x a J e xdx    ) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013