Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới . Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như ( khối hộp chữ nhật , khối lập phương , khối lăng trụ , khối chóp , ….gọi chung là khối đa diện ) học sinh đều được học công thức tính thể tích . Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu , đặc biệt là tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá .Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8 , 9 , 10 , 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân , trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu .Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn .Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay . Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
Trang 1LỜI GIỚI THIỆU
Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác,… gọi chung là đa giáchọc sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khốinhư ( khối hộp chữ nhật , khối lập phương , khối lăng trụ , khối chóp , ….gọi chung là khối đa diện ) học sinhđều được học công thức tính thể tích Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giảnđối với các học sinh có tư duy hình học yếu , đặc biệt là tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá Việc dạy và học cácvấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8 , 9 , 10 , 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân ,trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu
Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể trònxoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác
“sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay Khi học vấn đềnày nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực
tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình
vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo córất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khókhăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế
Tài liệu “ GIÚP HỌC SINH 12 HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” nhằm giúp chohọc sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồthị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng nhưtính thể tích của vật thể tròn xoay Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà họcsinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học ,học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học
tốt vấn đề ứng dụng của tích phân Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên đểluyện thi và ôn tập thi TN THPT , ôn thi ĐH , CĐ
Tài liệu này gồm các phần :
- Phần một :
Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân hiện nay
1/ Những khó khăn và sai làm mà học sinh thường mắc phải
2/ Hướng khắc phục
- Phần hai
Diện tích của hình phẳng
I.Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành
2/ Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
3/ Các bài toán minh họa và bài tập tương tự
4/ Diện tích của hình tròn và hình elip
II Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
1/ Cách tìm giao điểm của hai đồ thị
2/ Một vài ví dụ về cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
3/ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
- Phân ba: Thể tích của vật thể tròn xoay.hoctoancapba.com
I Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay
1/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành
2/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một vật thể quanh trục tung
II Thể tích của khối cầu , khối trụ
1/ Thể tích khối cầu
2/ Thể tích khối trụ
Dù tác giả đã rất cố gắng , song bài viết này cũng khó tránh khỏi những thiếu sót,rất
mong nhận được sự góp ý của học sinh và quý bạn đồng nghiệp
Trang 2
Xin chân thành cám ơn
Trang 3PHẦN MỘT
Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân hiện nay
1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân , đặc biệt là tính diệntích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay mộthình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , ,
đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh
(kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :
- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay )
Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diệntích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn
có của mình khi nghiên cứu vấn đề này
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tưduy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng ,vật tròn xoay đang học
-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giácnặng nề ,khó hiểu
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc ,khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức , kỹ năng “ chianhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích ; cộng , trừ thể tích Đây là một khó khăn rất lớn màhọc sinh thường gặp phải
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : = ∫ = ∫
x f
+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối
+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối
+ Hoặc dùng công thức sau :
x f
Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b)
Trang 4- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán Giúp học có hình ảnh trựcquan về các hình phẳng Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn
- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải ,hoctoancapba com số còn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên
PHẦN HAI
DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b
Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ ]a ;b
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b
có diện tích là S và được tính theo công thức :
∫
= b
a
dx x f
dx x f dx x f
• Nếu f(x)≤ ,∀x∈[ ]a ;b thì =∫ =∫b(− )
a
b a
dx x f dx
x f
Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) Thường có hai cách làm như sau :
-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu
thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn [ ]a ;b
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn [ ]a ;b để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì f(x)≥ ,∀x∈[ ]a ;b
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì
f(x)≤ ,∀x∈[ ]a ;b
-Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : =∫ = ∫b
a
b a
dx x f dx x f
Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4
x -∞ -2 0 +∞
f(x)=2x + 4 - 0 + +
Suy ra 2x+4≥0 ,∀x∈[-2;0]
Trang 5Do đó 0 [( 2) 4( 2)] 4
2
0)4()42(4
−
−
=
−+
=+
=+
−
−
x x dx x
dx x I
()22(2
3
0 2 3
270.203
03.23
0 2 2
0
x K
1
2)22
33
(0
1)22
6
16
5)
23()
23(2
3
2
1 2 1
0 2 2
0
K
3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.
Bài toán 1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 , trục hoành , các đường thẳng
Trang 6Diện tích S của hình phẳng trên là S ∫ x dx
Từ hình vẽ , suy ra 2x+4≥0 ,∀x∈[-2;0]
2
0)4()42(4
−
−
=
−+
=+
=+
−
−
x x dx x dx
Hình 2Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x – 4 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 2 , x = 0 Diện tích S của hình phẳng trên là S ∫ x dx
Từ hình vẽ , suy ra −2x−4≥0 ,∀x∈[-2;0]
2
0)4()42(4
−
−
=
−+
=+
-2 O A 1 B
Hình 3Giải : Hình phẳng trên được giới hạn bởi bốn đường y = x ,trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3.Diện tích S của hình phẳng trên là S =∫3 x dx
0
Vì x≥0 ,∀x∈[ ]0;3
2
92
02
30
3)2
Trang 7x
f x( ) = x 2
3 4
-2 O A 1 B
Hình 4Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 , trục hoành và hai đường thẳng
x = 0 , x = 2
Diện tích S của hình phẳng trên là S =∫2 x dx
0 2
Vì x2 ≥0 ,∀x∈[ ]0;2
3
83
03
20
2)3
2
0 2 2
B
Hình 5Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là S ∫ x dx
−
−
= 2
1 2
Từ hình vẽ , suy ra x2 ≤0 ,∀x∈[ ]-1;2
33
13
83
)1(3
21
2)3
2
1 2 2
x
Bài toán 6
Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0 , x = 0 và x = 3
Hãy tính diện tích hình thang đó
Trang 8-2 O
1 A
B
Hình 6Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là S =∫3 −x− dx
90.22
03.22
30
3)22()2(
=+
=+
-2 O A 1 B
Hình 7Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x2 +2x - 2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 3 Diện tích S của hình phẳng trên là S =∫3 −x + x− dx
()22(2
0 2 3
270.203
03
−
Bài toán 8 Hãy tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây:
Trang 9x
f x( ) = x 2 +2⋅x+2
3 6
2 -1
4
-2 A O 1 B
Hình 8Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 +2x +2 , trục hoành và các đường thẳng x = -1 , x = 1 Diện tích S của hình phẳng trên là S ∫ x x dx
−
++
()22(2
1 2 1
1
2
−++
=++
=++
−
−
x x
x dx x x dx x
x
S
3
1413
133
1)213
1(33
12)1(3
)1(1
=
−+
−
−+
2 -1
4
-2 A O 1 B
Hình 9Giải : Diện tích S của hình phẳng trên là S ∫ x x dx
2
3 4 2
1
2 3 2
1
2
3
−+
−
=+
−
=+
x dx x
x
S
12
85 2 3
1 4
1 4 3
8 4 ) 2 3
1 4
1 ( 4 3
8 4
16 ) 2 3
) 1 ( 4
) 1 ( ( 2
−
− +
−
=
− +
− +
y , trục hoành và các đường thẳng x = -1 ; x = 0
Trang 10x
f x( ) = -x-2 x-1
3
-4
2 -1
-2 A O B 1
Hình 10Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là dx
1 0
1 0
1
) 1
3 1 ( ) 1
3 ) 1 ( )
1
2 ( 1
2
dx x
dx x
x dx
x
x dx
x
x
S
12ln32ln311ln.30)2ln31()1ln30(1
0) 1ln
4
-2 A O 1 B
Hình 11Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là S ∫ x dx
−
= 2
3
1 3
Từ hình vẽ , suy ra x3 ≤ 0 , ∀ x ∈[ ]- 1;0 và ≥ ∀ ∈ 2
3 0;
x , 0
3
x
0 2
3 ) 4
( 1
0 ) 4 (
4 4
2 3
0 3 0
1 3 0
1
2 3
0
3 3
2 3
−
= +
814
1064
81)4
10(4
04
)2
3()4
)1(4
0(
4 4 4
4
=+
=
−+
−
−
=
−+
−
−
−
Trang 11Bài toán 12 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C ) (Hình 12)
4
Hình 12 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = 0 , x = 2 được tính bởi công thức :
3 2
−
−
−+
−
=+
−
−+
−
4
1(2.224
20214
11
2)24
(0
1)24
2
5214
148
−+
−+
0
2 3 2
0
2
x S
2
54
54
54
54
5 1
2)24
( 0
1)24
( 4 − 3+ + 4 − 3+ = + − = + =
Bài toán 13 Cho hàm số y = x4 - 3x2 + 2 có đồ thị ( C ) (Hình 13 )
Ghi nhớ :
Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , …, x k thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ;
x 1 ) , (x 1 ; x 2 ) , …, (x k ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi
Khi đó để tính tích phân $latex S=\int\limits_{a}^{b}{{\left| {f(x)} \right|dx}}$ ta có thể tính như sau :
$latex S=\int\limits_{a}^{b}{{\left| {f(x)} \right|dx}}=\left| {\int\limits_{a}^{{{{x}_{1}}}}{{f(x)dx}}} \right|
+\left| {\int\limits_{{{{x}_{1}}}}^{{{{x}_{2}}}}{{f(x)dx}}} \right|+ +\left|
{\int\limits_{{{{x}_{k}}}}^{b}{{f(x)dx}}} \right|$
Trang 12(C) y
x
f x( ) = x( 4 -3⋅x 2)+2
3
2 -1
1)25
()23(2
1
5 2
4 1
1
2
−+
−
=+
−
=+
x dx x
x dx x
-2 O 1
Hình 14a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành
b/Tính diện tích của hình phẳng được tô màu ở trên
−
2
14
10
45
2
2 2
4
x
x x
x x
Trang 13Giải
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = -2 , x = 2 được tính bởi công thức :
1
2 4 2
4 1
22 15
76
15
22
= +
+
=
Bài toán 15 Cho hàm số y = -x3 - x + 1 có đồ thị ( C) (Hình 15)
a/ Xét chiều biến thiên của hàm số đó Hoctoancapba com
b/ Tính diện tích của hình phẳng (màu đen ) ở Hình 15
(C)
y
x
f x( ) = -x( 3 -x)+1 3 2 -1
4
-2 O 1
A B
Hình 15Giải
1
0
1 3 0
1
A
e
Hình 16
Trang 14Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S cần tìm là S =∫e x x dx=∫e x xdx
1 1
lnln
2
x v
dx x du xdx
421
ln2
1.21
ln2
x xdx x
S
e e
=
x
x x
y có đồ thị ( C )
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành
b/Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y =0 , x = 0 , x = 3
GiaoDiem
3 -1
=
−+
⇔
=+
−+
⇔
=
2
11
2
10
1
020
1
20
'
2 2
x
x x
x
x x
x x x
x x y
Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ lần lượt là ( - 2 ; 0) và ( 1 ; 0)
b/ Diện tích S cần tìm là
dx x
x x dx x
x x dx x
=+
0
2 3
0
2
1
21
21
2
1
3)1ln22
(0
1)1ln22( )1
2()
1
2
(
2 2
−
=+
−++
−
x x dx x
x
2ln42
92ln22
14ln22
92
Trang 15(C) y
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x , trục hoành y = 0 , trục tung x = 0 và đường thằng x = -1
Vì e2x > 0 với mọi x thuộc R nên e2x > 0 x∈[−1;0]nên diện tích S của hình phẳng đã cho là :
)
11(2
1)(
2
11
02
e e
5
1 5
1 5
3 9
4 2 1 9
Trang 16Hình 20Giải :
Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=− 5x+4 , trục hoành , trục tung và đường thẳng x
= 0 , x = 1
15
384
54
=+
x
f x( ) = x( 2 -3⋅x)+2
2 -1
4
Hình 21Giải
2 3
0 2 3
Trang 17y
x
f x( ) = x+2 x-1
2 -1
4
-2 O
1 -4
Hình 22Giải :
x dx x
x dx
x
x dx x
x dx
4 0
2 2
4 0
2 1
2 1
2 1
2 1
2
Mà
4
2 ) 1 ln 3 ( ) 1
3 1 ( 1
3 ) 1 ( 1
dx x
x dx
3 1 ( 1
3 1 1
=
− +
dx x
x dx
x
x
B
5ln343ln32)3ln5(ln3
Trang 18Với y ≥ 0 ta có : y = r2 − x2 có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
Và có diện tích
2
2
2
0
2 2 2
2 1
r dx
x r dx
x r S
r r
b) Diện tích của elip
Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình : 2 1
2 2
x
, 0 < b < a
(P)
x y
Bài toán 23 Cho hình phẳng sau Biết rằng hình phẳng đó được giới hạn bởi parabol (P) : 3
Giải : Nửa elíp (E) cắt trục hoành tại các điểm ( - 3 ; 0) và ( 3 ; 0)
(E ) cắt trục tia Oy tại điểm ( 0 ; 1)
Suy ra (E ) có nửa trục lớn a = 3 , và nửa trục bé b = 1
Trang 19Phương trình của nửa (E ) là : 1
9
2
2
= + y
33
1()
33
214
Bài tập tương tự :
1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a) y = x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = -2 , x = 1
II/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
)(
Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ x 0 của giao điểm của hai đồ thị.
Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Thay x = x 0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm
2/ Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Vd1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y= x2 −3x và y =x−3
10
)1)(
3(0)3()3(0)3(
3
2
y
y x
x x
x x
x x x
x
x
Trang 20Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ lần lượt là:
Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho
Giải: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
0)12()12(0
122
44
⇔
=
−+
⇔
12
10
1
0120)1)(
x x
x
Vậy hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là :
1x, 2
1- x
3/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :
Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x =b (a<b)
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng
x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức :
dx x g x f S
b a
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e
Trên đoạn [ ]1; e phương trình xlnx – x = 0 chỉ có một nghiệm x = e
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y =xlnx , y = x và hai đường thẳng
x = 1, x = e có diện tích S được tính theo công thức :
dx x x
1 1
ln)
ln(ln
4
32
124
11
0
2 3 2