Đây là một vấn đề khó trong các kì thi ĐH- CĐ. Nhằm giúp các bạn hs nắm thêm được một phương pháp trong quá trình tìm đk của tham số ở các bài toán phương trình, hệ, bất phương trình mình xin biên soạn tài liệu phương pháp hàm số. Đây mới là một phần nhỏ của phương pháp hàm số, ở phần sau sẽ cung cấp cho hs và gv ứng dụng hàm số vào giải phương trình -hệ - bất phương trình.
Trang 1
CÁC DẠNG CƠ BẢN
Nghiệm của phương trình u x( )=m là số giao điểm của đường thẳng y =m và đồ thị hàm số y =u x( )
Bất phương trình ( )u x ³m đúng min ( )
x I
Î
Bất phương trình ( )u x £m đúng max ( )
x I
Î
Bất phương trình ( )u x ³m có nghiệm với max ( )
x I
Î
Bất phương trình ( )u x £m có nghiệm với min ( )
x I
Î
BÀI TẬP
Bài tập 1 Cho hàm số f x( )=mx2 +2mx-3
a) Tìm m để phương trình ( )f x =0 có nghiệm x Î ê úéë1;2ùû
b) Tìm m để bất phương trình ( )f x £0 nghiệm đúng " Î ê úx éë1; 4ùû
Hướng dẫn:
2
3
2
Ta xét hàm số ( )g x với x Î ê úéë1;2ùû , dựa vào bảng xét dấu ta có 3 1
8 £m£ là giá trị cần tìm
Trang 22 1;4
8
Bài tập 2 Tìm m để bất phương trình m.4x +(m-1 2) x+ 2+m- >1 0 đúng " Î x
Hướng dẫn:
+ Đặt t =2x >0 ta có:m.4x +(m-1 2) x+ 2 +m- >1 0 đúng " Î x
2
4
t
+ Xét hàm số ( ) 2 4 1
t
g t
+
= + + với t >0 ta có:
2
2 2
g t
nghịch biến trên é +¥êë0; ) nên
0
Bài tập 3 Tìm m để phương trình x x + x +12 =m( 5- +x 4-x) có nghiệm
Hướng dẫn:
+ Điều kiện 0£ £x 4
+ Khi đó ta có
+ Đặt
x
+ Do đó ( ) ( )
( )
g x
f x
h x
= tăng trên 0; 4éêë ùúû YCBT
[0;4] [0;4]
Trang 3 Bài tập 4 Tìm m để phương trình ( )3
x + x - £m x - x- có nghiệm
Hướng dẫn:
+ Điều kiện x ³1
+ Khi đó ta có:
x + x - £m x - x- f x = x + x - x + x- £m
g x =x + x - h x = x + x- với x ³1 ta có ( )g x và ( )h x là các hàm tăng với x ³1 nên ( )f x =g x h x( ) ( ) là hàm tăng với x ³1
Ta có YCBT
1
Bài tập 5 Tìm m để (4+x)(6-x)£x2-2x +m nghiệm đúng " Î -x éê 4;6ùú
ë û
Hướng dẫn:
+ Điều kiện - £ £4 x 6
2
= Î ê úë û Mặt khác ta có:
t = +x -x = - +x x + - +x x =t - Khi đó bất phương trình trở thành:
t£ - +t +m " Ît éê ùú f t =t + -t £m " Ît éê ùú
Ta có '( )f t =2t+ >1 0 , " Ît éê0;5ùú f t( )
ë û tăng nên:
[0;5]
( ) , 0;5 max ( ) (5) 6
f t £m " Ît éê ùú f t = f = £m
Bài tập 6.(ĐH A_2007) Tìm m để 3 x- +1 m x + =1 24x2-1 có nghiệm thực
Hướng dẫn:
+ Điều kiện x ³1 Khi đó ta có :
Trang 4+ Đặt 4 1 4 2 )
x
t
3
Bài tập 7.(ĐH B_2007) Chứng minh rằng: Với mọi m >0, phương trình :
x + x- = m x- luôn có đúng hai nghiệm phân biệt
Hướng dẫn: Điều kiện x ³2 Biến đổi phương trình ta có:
2
x
é = ê
Khi đó YCBT ( )g x =m có đúng một nghiệm thuộc (2;+¥) Thật vậy ta có:
g x = x x + > " >x Dựa vào bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1.(ĐH A_2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
42x + 2x +2 64 - +x 2 6- =x m
Bài tập 2 Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x Î -éê 3;6ùú
ë û :
3+ +x 6- -x 18+3x-x £m -m+2
Bài tập 3 Tìm m để phương trình x+ 3x2 + =1 m có nghiệm thực
Bài tập 4 Tìm m để phương trình 4x2+ -1 x =m có nghiệm thực
Bài tập 5 Tìm m để phương trình (4m-3) x + +3 (3m-4 1) - +x m- =1 0 có nghiệm thực
Bài tập 6 Tìm m để bất phương trình x2-2x+24 £x2-2x+m có nghiệm thực thuộc đoạn 4;6éêë- ùúû
Bài tập 7 Tìm m để phương trình mx+ (m-1)x+ =2 1 có nghiệm thực thuộc đoạn 0;1
é ù
ê ú
ë û