phương pháp biểu diễn tổng và bài toán thấm đối xứng trục trong môi trường không đồng chất

Trang 1

2C VÀ TRUNG HỌC CHUYÊN NGHIỆP ¡ở ĐẠI HỌC TONG HOP HÀ NỘI L218+

PHẠM HỮU VĨNH

-

PHƯƠNG PHAP BIEU DIEN TONG VA

BAI TOAN THAM DOI XUNG TRUC

TRONG MOI TRUONG KHONG DONG CHAT

— Luận án Phĩ Tiển sỉ —

(Tĩm lát nội dụng )

Trang 2

Luận án được hồn thành tại Viện Tốn học thuộc Viện Khoa học Việt nam,

Người hướng dẫn :

1, Giáo sư tiến sĩ Lê văn Thiêm, Viện trưởng Viện Tốn học

2 Phĩ tiến sĩ Ngơ văn Lược, Viện Tốn học Người nhận xéL luận án :

1, Phĩ tiến sĩ Trịnh quang Khuynh, Viện Khoa học tính tốn và điều khiển

2 Phĩ tiến sĩ Trần Anh Bảo, trường Đại học Sư phạm IJ,

Ha-ndt,

vao

Cơ quan nhận xét luận ấn;

Trường Đại học Thủy lợi, Hà-nội

Bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án của Nhã nước giờ ngày tháng nằm tại

Cĩ thể đọc luận án tại:

1 Thư viện Viện Toản học

2 Thư viện trưởng Đại học Tơng hợp, Hà-nội Ý kiến nhận xét xin gửi về :

Trang 3

PHƯƠNG PHÁP BIÊU DIEN TONG VA BAI TOAN THẤM ĐỐI XỨNG TRỤC TRONG MƠI TRƯỜNG

KHƠNG ĐỒNG CHẤT

Bản luận án này, tiếp tục theo phương bưởng của G.N.Pơlơdi và những kết quả mới đạt được của một số tác giả thuộc trường phái phương pháp biều điễn

tơng, xây dựng nghiệm giải tich-số của bài tốn thế,

đổi xứng trục, đừng và khơng dừng, trong mơi trường khong đồng chất, đồng thời áp dụng các kết qua dat

được về mặt lý thuyết đề giải các bài tốn thấm đối

xứng trục trong mơi trường khịng đồng chi

San đây, chủng tơi trình bày về ý nghĩa và nội dung co bản của luận án

Trong cịng trình đầu tiên cơng bố năm 1960 [21 ] G.N.ĐPơlơdi đã đưa ra một phương pháp mới bằng số cĩ hiệu lực giải các bài tốn biên hai chiều và ba chiều, gọi là phương pháp Biều diễn tơng và P — biến dang Thực chất của phương pháp này là đưa việc tìm các giả trị riêng va vécto riêng của ma trận, xuất hiện khi thay bài tốn biên của phương trình vật lý — Tốn bằng bài tốn sai phân tương ứng, về việc giải chính xác các bài tốn sai phân hữu bạn bình thường Nghiệm của bài tốn được cho đườởi đạng hiền, hoặc đưới dang các cơng thức giải tích, chỉ chứa một số íl thịng số (ít.hơn rất nhiều lần sơ với các điềm nút lưới) được

xác định bởi hệ phương trình đại số luyến tính khép kín Tỉnh ưu việc của phương pháp Biều diễn tổng là: 1 Mặc dù số điềm nủt lưới rất lớn (thậm chị kề cả

đối với miền vơ hạn), nhưng kbi dùng phương pháp

Biền diễn tơng thì số thơng số tham gia vào bài lốn

Trang 4

khơng lớn Do đĩ, hệ phương trình đại số luyến tính phải giải sẽ khơng lớn Điều này cĩ một ý nghĩa rất quan trọng Bởi vì nĩ khắc phục được nhược điềm của một số phương pháp sai phản trước đây là số điềm nút lưới tương ứng với số phương trình, và khi tăng số điềm nút lưới để giảm độ sai số của phương pháp thì số phương trình phải giải sẽ tương ứng tăng theo Nhờ tính ưu việt kề trên của phương pháp Biều điễn tơng mà khối lượng tính tốn được giảm đi đáng kể và như vậy tránh được sự tích lũy sai số trong quả trình tính

tốn

2 Nghiệm của bài tốn cho đưới dạng hiền, được viết dưới đạng biều thức giải tích cĩ thể tỉnh bằng số một cách đơn giản tại bất kỳ điểm nào của miền nghiệm, Cũng vì lý do này mà người ta thường gọi nghiệm của bài tốn xây dựng bằng phương pháp Biều diễn tơng là nghiệm giải tích — số

3 Bằng phương pháp Biéu diễu tơng ngồi tính chất định lượng, ta cịn cĩ thể nghiên cứu một số tính chất định tính của nghiệm bài ốn biên, như ảnh hưởng của điều kiện biên và điều kiện ban đầu vào nghiệm của bài tốn

Tiếp tục của cơng trình của G.N, Pơlơdi, năm 1963

trong luận án tiến sĩ của mình LI Liatscơ đã trực tiếp phát triển phương pháp Biều diễn tơng vào một lớp các bài lốn biên đối với phương trình Poatxdng trong miền vơ bạn và áp dụng giải các bài tốn thấm cĩ áp đưởi các cơng trình thủy lợi[ 11 Tuy hiện nay những thành tựu đạt được trong lĩnh vực phương pháp Biều

diễn tơng đã vượi khá xa lúc đỏ và kết quả áp dụng

phương pháp Biều diễn tơng để giải các bài tốn thấm đã đa dạng và phong phủ hơn nhiều, song cĩ thê xem

Trang 5

1.1 Liatseơ là người đầu tiên mở ra một giai đoạn mời áp dụng một cách cĩ hiệu quả phương pháp Biều điễn” tống vào lĩnh vực các bài tốn thấm, Tiếp theo I I: Lia- tseơ, hàng loạt các cơng trình khác của A.À GIasencơ, 1.M Vẻlieơ Ivanhencơ, B L Macarơp, A E, Grisencd, G.E.MIittêski đã ra đời Cĩ thể kề ra đây một số thị dụ quan trong A A Glusencd da phat triền phương pháp Biểu điễn tơng của G.N.Pơlơdi đề giải các bài tốn biên hỗn hợp ba chiều đối với phương trình Hem- hịn và Poalxơng trong miền vị hạn [3] Trên cơ Sở những nghiệm nhận được trong miền vơ hạn ba chiều, A.A.Glusencị đã đưa ra phương pháp giải một lớp

khá rộng các bài tốn thấm khơng gian, dừng cĩ ap

trong mơi trường đồng chất và phân lớp I 1 Liatseơ: 7 và LM, Vêlieơ Ivanhencơ đã xây dựng nghiệm giải tích

số của các bài tốn thấm trong mơi Wrong nhiều lớp, xây dựng cơng thức biển diễn tổng đối với phương trình đỉy (X grad ø) = E trong đĩ % là hàm hằng số lửng khủe [13] Trường hợp khi X là một hàm cũng được nghiên cửu nhiều trong thời gian gần day B L Maca- rịp chuyên nghiên cứu cáo bài tốn thế đối xứng Irục trong mơi trường đồng chất, Mở rộng phương pháp Biều điễn tơng của G.N Polodi, V.L Macarép đã xây dựng các hàm đặc biệt của đối số rời rạc loại 1 và loại 2 của bài tốn thế đối xứng trục, xét cấu trúc các hệ

thức giữa các hàm đặc biệt đĩ và trên cơ sở: nghiên

cứu tỉnh chất các hàm thu được mà mở rộng xây dựng nghiệm của bài tốn thế đối xứng trục cbo các miền

vo han [23], {24}, [2ð1.(171.[18}-[19] [20]

Ở Việt nam, trong hơn 10 năm qua đã hình thành

một nhĩm các người nghiên cứu về phương pháp Biểu điển tơng và áp dụng phương pháp Biều diễn tơng đề

Trang 6

giải các bài tốn thấm, Các đồng chí Trịnh Quang

Khuynh, Ngị Văn Lược, Hồng Định Dung và lác giả đã đạt được một số kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực này

(4-5 J [6], [7-10], [27-35 j,

Bay gio, chung tơi xin trình bày về nội dung cha hẳn luận án, V.L.Macarơp liên tiếp Irong các cơng trình của mình [23,21], [25 ] [17] đã xây dựng

nghiệm đưởi dạng cơng thức Biểu diễn tơng của bài tốn thế đối xửng Irục Những kết quả dạt được cĩ thề

áp dụng đề giải các bài tốn [hấm dừng, đối xứng trục trong mơi trường đồng chất Song, Irong thực tế ta thường gặp các bài lốn thấm trong mơi trường hai lớp hoặc nhiều lớp Bề giải lớp các bài tốn này, ta cĩ thể sử dụng nghiệm đã được B L Macarỏp xày dựng Khi đư, ta phải viết nghiệm trong từng lớp phụ thuộc vào các thịng số khác nhau Các thong 86 nay sé được xác định nhờ điều kiện liên hợp trên biên phân chia giữa hai lớp đất, bằng cách đưa về giải hệ phương trình đại số tuyến tính khép kin tương ứng với số thịng số

Số thong sd này bằng số các điềm núi lưới trên biên

phân chia Nhưng vì kích thước của miền thấm lớn hơn rất nhiều so với kích thước của các cơng trình thủy lợi, nên số thịng số phải xác định (tương ửng với số phương trình đại số tuyến tính phải giải) sẽ khả lớn và vấn đề trở nên khịng thề giải quyết được nến miền thấm trở thành miền vị hạn (thi đụ nửa dải ngang hoặc dải ngang) Vấn đề đặt ra là cĩ thể khắc phục được khĩ khăn và bế tắc nĩi trên hay khơng? Nĩi cách khác cĩ thể giải phĩng được các thơng số, thực ra khơng cần thiết, đã tham gia vào nghiệm của bài

tốn trong quá trình giải hay khơng? Đề giải đáp vấn đề đặt ra, ta phải giải quyết những vấn đề sau đây:

Trang 7

1 Xây đựng nghiệm trong tồn bộ miền thấm chưa cÂ biên phân chía, tức ià ta phải ehuy &n sang giải bài

tốn thế đối xứng Irục trong mơi trưởng khơng đồng chất

2, Ta cĩ thê mở rộng kết quả nhàn được sang miền

vị bạn được khơng ? Và do đỏ ta cĩ thể xảy đựng được nghiệm cho bài (ốn thấm đối xứng trục trong mơi

trường khơng sống chal đối với miền vị hạn được khơng?

3 Từ trường bợp mơi trường hai lớp, ta cĩ thê xây

đựng nghiệm (rong miền nhiều lớp và hơn nữa trong

miền khơng đồng chal bất kỳ được khơng ? Cũng tức là từ việc giải bài tốn với bai hệ số thấm khác nhau (mơi trường hai lớp), ta cơ thể chuyền sang giải bài tốn với hệ số thấm là hàm hằng số từng khúe, và hơn nữa là hàm của một biến được khơng ?

4 Nếu cĩ yếu tố thời gian tham gia trong phương trình (thí dạ cáo đặc trưng của dong thấm phụ thuộc theo thời gian) thì phương trình loại enliplie đã xét ở

trên trở thành loại parabịlic, Đối với lớp phương trình

này, các vấn đồ 1 2 3 cĩ giải quyết được khơng ? Nĩi cách khác ta cĩ thê chuyền từ bài tốn thấm dừng Lrong

mơi lrường khơng đồng chất sang bài tốn thầm khơng

dừng được khịng ? Khĩ khăn chủ yếu ở đây là ta cĩ thể chuyển từ bài tốn phẳng (hai biến) sang bài tốn khơng gian (ba biến, trong đĩ biến thứ ba là thời gian)

được khơng ?

Tất cả những vấn đề đặt ra ở trên đã được tác giả

nghiên cứu giải quyết và đĩ là nội dung chính của bản

luận án này Ngồi chương mở đầu trình bày cơ sở lý thuyết thấm đối xửng trục và phương pháp biều diễn

tơng, bản luận án gồm 3 chương (đài 282 trang) bao

Trang 8

Chương I — Xay dựng nghiệm giải tich-số của bài

tốn thế, dừng, đối xứng trục Irong mơi trường Khơng đồng chất, gồm 3 phần : Phần À xét bài tốn biên : 3 ừ du }* - ở ứ dụ )+ x —— du =l(,y) ( : dx ox dy dy x ox trong miền hình chữ nhật : Xạ <Š X S Xm+l YoS¥ S Yau trong dé % = % (y) va f (x, y) là hàm cho trước, vi ơ Bđ YoSƠ< My L1 Yn SYS Ynt

Ở đây X là đại lượng đặc trưng cho tính chất Vật

lý nào đỏ của mơi (trường, ÿ = Yn, 1a biên ngang phân

chia giữa hai mơi trường cĩ tỉnh chất Vật lý khác nhan

Hàm phải tim tu (x, y) thỏa mãn các điều kiện biên sau đây : (2) UG Y) | yevo = G1 (8), ` ¬= fs UK Y)laex, = hy) (3)

(SY) | xox, = Pa):

(Œĩ thê xĩt các điều kiện biên hỗn hợp mà khơng

gặp khĩ khăn gì đặc biệt như trong chương Ì và chương

II của bản luận án đã chỉ ra) Ngồi ra, trên biên phan

Trang 9

Phối hợp các phương pháp của G ẤN Polơdi [ 22],

L1 Liatseơ [12], và V L Maearơp [23124] {25 ], tác

giả đã xây đựng được nghiệm giải tích-số của bài tốn đặt ra Nghiệm phải tìm được biểu diền qua các hàm đặc biệt của đối số rời rạc loại 1 và loại 3 củ› bài tốn thế đối xứng trục Đối với bài tốn đang xét, các hàm

đặc biệt được biểu diễn qua các ẩa thức Logiăngđrơ và hàm Lơgiăngđrơ loại hai Do đỏ, việc giải bài tốn trở nên đơn giản hơn, vì các đa ¡hức Lơgiắngđrơ đã được nghiên cứu kỹ và rất quen thuộc đối với chúng la

Xây dựng hệ thức các mối quan hệ giữa các hàm

đặc biệt loại 1 và 2 của bài tốn nghiên cứu các lính

chất của chúng và sử đụng kết quả đã tìm được ở trên, bằng cách chuyển qua giới hạn, lác giả đã xây dung được nghiệm giải tích-số của bài tốn irong nửa dải ngang, tức là đã xây dựng được nghiệm lrong miền

vỏ hạn Tuy nhiên, việc xây dựng nghiệm trong nửa mặt phẳng vẫn chưa giải quyết được

Trong một số bài lốn Vật lý và Cơ học, ta thường

gặp trường hợp chỉ cần tìm được nghiệm ngay trên trục đối xứng, cịn tại các điểm khác thi khịng cần thiết đến Cho nên, vấn đề đặt ra là từ các kết quả nhận

được ở trên, ta cĩ thể xây dựng được nghiệm giải tích- số ở trên trục đối xứng biểu uiễn qua các điều kiện

biên và qua các giá trị của vế phải phương trình vi phan hay khong? Thue chit của vấn đề là: ta phải giải bài tốn (1), (2) (3), (4), nhung thay cho điền kiện

Trang 10

Bằng các phép biến đơi, sử dụng phương pháp của

I1 Liasencơ [16 ] và những kết quả đạt được ở trên, tac gia đã xây đựng được nghiệm trong miền hữu hạn

va vo han với các điều kiện biên hỗn hợp Phần B xét phương trình (1), trong đỏ Xụ, Yo < Y < Yu, * Vv ke Yn, < < Yn, ` X(wì = ¬— (6) tv Yuy 4 SYS Yay, kn > Joy << Yn +1 u"u(Œ,yY)ly.v 74 (x, y) | 4 ) _1_ gummy) ! Xe dy x qn ngt 0 vee ND (7)

Bai toam dua vé xdc dinh cac gia iri riéng va véc-

lo riéng cha ma (ran cO N—1 hang cgiản đoạn» (ứng

voi N—1 biên phân chia) Dùng phương phap ctia I 1

Liatscé va A E Grisenes [14] viét nghiệm Irong lừng lớp phụ thuộc các Lhịng số và xác định các thơng số

đĩ bằng cách khâu nghiệm dọc theo các biên phân chỉa,

su đĩ sử đụng kết quả trong phần Á, tác gia đã xây dựng nghiệm giải tích số của bài tốn thế, dừng, đối

xứng trục trong moi trường nhiều lop Van dé tim nghiệm trên trục đối xứng cũng được xét đến và giải

quyết, :

Phần € — Xét phương trình (1) trong đĩ X = X%(y) là hàm của biến y, với giả thiết nĩ liên tục tới đạo hàm

Trang 11

hạng hai và cĩ tồn tại đạo hàm hạng ba giới nội, với các điều kiện biên : (- ou + ku == Pr (x), dy yey, (= + ise = 1 (Xx) dy 1 (- eu = sơ) (8) Ox J ` ( —+ katt) ox x=x = 8 (¥) m1 lrong d6 r, ry, 8, 8y]a nhtrng ham cho trirde ; ky, ky Ke, k; là những hằng số khơng âm

Vì hài Lốn sai phân Lương ứng khơng phải là bài loin tu lién hop Lheo nghĩa Lagiănggiơ, nên để chuyền sang bài Lốn Lự liên hợp, lac gia đã sử dụng phương pháp của V.L Macarỏp [18] nhân mỗi phương trình của hệ với một thửa số xác định và nhận được ma trận

các hệ số của bài tốn lyr liên hợp trùng với ma trận

các hệ số của bai loan sai phan Sau khi thiết lập cơng thức tương tự như cơng thức Cristơphen-Đacbu trong lý thuyết các đa thức trực giao [1] [2] và sử dụng các kết quả đã đạt được trong phần A, tác giá đã đi đến

cơng thứe biêu diễn tơng cho nghiệm của bài tốn thế,

dừng, đối xứng trục trong mơi trường khơng đồng chất, Sau đĩ, tác giả cũng đã xây dựng được nghiệm giải tíich-số lrên trục đối xứng của bài tốn đặt ra

Chương II — Xây đựng nghiệm giải tích-số của bài loan thế, khơng dừng, đối xứng trục trong mới trường khơng đồng chất

1 Xét phương trình

Trang 12

foro oa ì t ở d (‹ u }* ở (« du }" x du _ 1 uw đx ox 2 =f y, Ð wo trong mién D(x, <x Okt Vo SY Gasp t > to) vou % ={ Xị yo<Y<S#m * ke Yup Y <Yntb

f (x, y t) 14 ham cho trước, cịn a? là hằng aố xác định

Hàm phải tìm u(x, y, Ð thỏa mãn cáo điều kiện ban đầu và điều kiện biên sau đây : u(%,y, ĐÍt—tạ = Œ (xy), (Ip (- oe + k, v) =r(y, t), ox MAN 1 du (x + ku) =r(y, t) (UD ox x=x (- ou + ke) = 8 (x, ft) oy yey (> + Kg ») = s(x.) oy y =Y

trong dé q(x, Yy), ríy.1),r(y,Đ, s, Ð, sịŒ, t) la

Trang 13

Đề giải bài tốn () (1D, (ID (TY) ta sử dụng kết quả trong chương ltïm các giá trị riêng và vectơ riêng

của bài tốn sai phan tương ứng, sau đỏ dùng phương

pháp của I.L.Liaseneơ [16] giải bài ốn bién Stuyéc- Liuyin, xây dựng nghiệm they cae đa thức Sêbuse) loại hai, sau đĩ thực biện P — biển dạng đối với biểu thức nhận được, ta tìm được nghiệm của bài tốn đặt ra viết đưới đạng ma trận hoặc đưới dạng khai triển,

2, Xét bài todn (1), (1) (1), 0V), những trong (TH)

thay cho điều kiện biên dọc x = xị là điền kiện biên trên Irục đối xứng:

ở ( eu ) 4% đề u + a X ơn ) _ !

dx ox dx? dy dy

1 ou a2 cl

Dũng két qua cia §, chwong Iva nhiing két qua cha chương L tác giả đã xây dụng được nghiệm giải tích

số của bai toan thé, khong dừng, đối xứng trục trên

trục đối xứng trong mơi trường khịng đồng chất

3 Xây dựng nghiém ctia bai toan (1) (IH) (IV) trong mơi trường nhiều lớp Dùng kết quả Lhu được trong §¡ và tiến hành tương tự như trong phần B của chương I, áp dụng phương pháp của L.I Liasenco [16] xác định các giá trị riêng của bài tốn sai phân với hệ số biến thiên, tác giả đã đi đến nghiệm phải tìm của bài

tốn

xc0 = f (0, y, t) Oy (Vv) Vv

4 Xây đựng nghiệm giải tích số của bài tốn thế, khơng dừng, đối xứng trục trong moi trường khơng đồng chất, Tiến hành như trong phần C chương I, va mở rộng sang trường hợp khịng gian, tác giả đã xây dung thành cơng nghiệm của bài ốn với trường hợp

Trang 14

% = %(y) Troug chương If, việc mổ rộng các kết quả

tìm được sang miền vơ hạn và xét trường hợp X =

X(Œ y) là những vấn đề chưa được giải quyết

Chương IH — là phần áp đụng giải bài tốn thấm dừng, đối xửng trục qua màng lọc của lỗ khoan trong mơi trường bai lớp đất với hệ số thấm khác nhau, sau

đỏ xét thí dụ cho một mơi trường hop cu thể bằng số

dé minh họa phương pháp Mục địch của chương này là:

1 minh hoa lược đồ tính tốn cu thể cho từng

bước đề đi đến kết quả cuối cùng,

2 xây dựng được nghiệm eụ thé cho một bài tốn

cụ thể,

3 chứng minh lính đơn giản của phương pháp

cho một bài tốn phức tạp Kết quả cho thấy:

1, Khi độ dày của hai lớp đất bằng nhau, phương

pháp thật sự trổ nên đơn giản Cĩ thê tinh dé dang

ma trận các giá trị riêng và ma trận các vectơ riêng

Bài tốn đưa về giải hệ ba phương trình đại số tuyến

tính xác định các hằng số chưa biết, và cĩ thê tính

chúng bằng các cơng cụ tỉnh tốn và các bằng số đơn giản

2 Kết quả đúng đắn và phù hợp, cĩ thê tin cậy

được (so sánh với kết quả của niột trường hợp gần tương tự),

Kết quả áp dụng phần lý thuyết để giải một bài

thấm đặt ra cho phép ta khẳng định khả năng áp dụng giải một lớp khá rộng: các bài tốn thấm đối xứng true trong mơi trường khong déng chat Song trong pham

vị luận áp, vấn đề này chưa đặt ra để giải quyết,

Trang 15

Noi dung chỉ tiết của các phần trong ban luận án

này đã được báo cáo trong sêmina « Phương pháp Tốn Lý » của Viện Tốn thuộc Viện khoa học Việt-nam và

những kết quả chính đã được trình bày trong tơ bộ mơn

Tốn-Cơ thuộc khoa Tốn trường Đại học Tơng hợp,

Hà nội Một phần kết quả của luận án đã được cơng bố trong [33 — 35 }

Tac giả xin tràn trọng cẩm ơn giáo sư tiến sĩ Lê Vin Thiêm, Viện trưởng Viện Tốn, phĩ tiến sĩ Ngơ

Văn Lược ở Viện Tốn thuộc Viện khoa học Việt nam

đã hưởng dẫn và giúp đỡ tác giả hồn thành bản luận án này Tác giả xin trân trọng cảm ơa Ban chủ nhiệm khoa Tốn, các đồng chỉ trong tồ bộ mịn và nhiều đồng chí khác trong khoa Tốn trường Đại học Tơng hợp

Hà nội đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi

cho tác giả trong quá trình làm luận án, Cuối cùng,

tác giả xin tran trong cam on cac déng chí thành viên trong sêmina «Phương pháp Tốn Lý » của Viện Tốn

và các đồng chi trong tơ bộ mơn Tốn Cơ đã gĩp nhiều ý kiến quý báu vào nội dung bản luận án này

Trang 16

TẢI LIỆU DẪN 1 _T.BElTMAH, A.9BHElH Bucmne TPäHCILGHTHHC ynkuuH *f, 2, ML «nayka», 1966 2.- YT Ceré, Oprorowaapuiic Muorowenn M., PASM, 1962

3 A.A.JIYWIEHKO Hexoropne npocrancrBenunre 3a-

Aan Tcopun Purerpagun Maa Kuescxoro Yu-ra, 1989 4 HOANG ĐÌNH DŨNG Giải băng phương pháp Biều diễn tơng các bài tốn biên đối với phương trình vì phân loại elip cấp bốn dạng tơng quát với hệ số khơng đơi Tập san Tốn học, tập V, số 3, 1977,

5 HỒNG ĐÌNH DŨNG Cơng thức Biéu diễn tơng đối 1 với phương trình AAVW — 2k ae X mién yo han Tap san Phương pháp Tốn Lý, Viện Tốn, số 1, 1976,

napaGoundeckoro tuna Uacra I BM, sun 6,, 1968 = f(x,y) trong

7 NGƠ VĂN LƯỢC, Về một bài tốn thấm khơng đồng

chất qua cọc cừ, Tập san Tốn học, Tập I, số 3, 1973 8 NGƠ VĂN LƯỢC Bài tốn thấm khơng đồng chất qua đập bê tơng trên nền vơ hạn Tập san Tốn học, tập 2 số 1—2, 1974

9 NGO VAN LUOC HeKoTOpRI€ ĐODMYMHI CYMMADHHX Ip©CTAB/JIEHHII 11H YDABH€HHÍ 39/1111THW€CKOTO THHA € KYCOHHO—HeHDEDHBHBMH KO2(HneHTrawn Acta Ma-

Trang 17

10 NGO VAN LUOC Hexoropne kpaepue 3â144H 148

OAHOTO K/IACCA ÿDABH€HHl € HÊPe€M€HHHMH KG92@HH_.H+~

eutamn Acta Mathematica Vietnamica Tom 2, N°1, 1977

11 H H /THIHIKO PemeHne H1bTD2HHOHHHX 31a

MỆTOOM CÿyMMAPHHX ID€ACTAB/IeHHl V31 KneBCKOTO

yn-—ra, 1968

12 Hí H JIUIKO, H, M, BEJIHKOMHBAHEHKO Hnc- JIÊHHO~~8113/HTHWECKRO€ DGIIGHHG KPAGBHX 2Ä1AâH TEO-

pun puaprpagun H3a «Hayxospa AyMKA», Kuen, 1973 13 H.H JI5IHKO, H.M BEJIMHKOHBAHEHKO, T.E MHIGTEHKH O qirc16HHO— aHa1HTHWeCKOM p€HI€- HHH HGKOTOPHX KPA€BHX 34HâW AAR YDABHCHHf đỉv (Xgradø) = F npu kycouno — nocrosuuom % MP

1969

14 H, kỊ THIHKO, ÀÁ.E PTPHIHEHKO Hnc1enHo—-ana-

Ilyaccoua B H€KOTOPELX MHOrocuolinerx O6nacTax BIIM,

nhm 13, Wan, KnepcKoro yH-ra 1971,

rocaofinoti cpexe BIIM, Bun 2, KTY, 1966

16 H.H JSINEHKO, CoéctpenHpe 3HaueHHa nH CcO6-

nnenramu BIIM, sun 10, Maa KPy, 1970

17 B JI MAKAPOB, O pemenHu KpaeBHX 3444 Oce

JaHOBKE JIA HeKOTOPHX OỐ/ACTGH, He AeKAWHX B KOHewHol acTH npocrpancrBa BIIM, sun 11, Haa KTY 1970

Trang 18

18 B JI MAKAPOB O pemrennn KpaeBblx sanau naa KOHEUHO—DA3HOCTHBIX ypaBHeRHi Broporo nopsaKa 1 CH€ILHAJESHB€ ÙYHKIHH 1H€KD€THOTO aprymMenra BITM,

Bum l2, IT3n, KIW, 1970,

19 B.JI.MAKAPOB O saxoxaenin HpHỐ/1H2£E€HHOrO

ĐCIHIGHHW HGKOT7ODBIX KpacBHX 34134 OCCCHMMCTpIM-

HOFO HOTCHHHA1A Hđ OCI CHMM€TpHH, BIIM, Born 7 H3a KY, 1969

MỆTDHNHOTO HOTCHHIH3đ3 BA OCH CHMM€TDUH M€GTOIOM CyMMADpHBX IpacTancHIni, BIM, pun T1 Han, KT, 1970

21 I.,H,IIO/IO3KHH O6 onHOM HCIEHHOM MeTone

ĐGUIEHHf KDAGBHX j8/1A4 J1 YDABIGHHH B 1ACTHHX

nponzpoxnmx, HẠNH GCGP, r 134 N°1, 1960

22 T.H.IIO.IO3KHII Hnexennioe peneHIC 1BYMGDRBIX

HỆ YHKHHH NICKPCTHOTO AapryMeHra 3a KP, 1962 28 P H,TIOUIO2KHỦI, B vI MAKAPOB O6ðo6ømenne

(POpMY41 Cÿ MMADHHX HD€JCTABJTEHHÍT OCGCCHMMGTPHHOFO IoTreniutaxa, BIIM, ph, 7, Han KTW, 1967,

24, T,H IIO/IO3KHỦ, B./I MAKAPOB Oõo6menne (}ÌDDMYST CYMMADHBIX HDC/LCTAB/I€HHiH O0CGCHMM€TDHWHOFO

HOTEHHIHA/18 H CHCHI4/bBHBIE (}YHKUHHH NHCKPGTHOTO

apryMcura ICDBOTO H 8TOpOrO poga qacrb | BIIM, - Bbin 8, H3aa KPY, 1969

25 .T H IO/7IO3KHH B.JI MAKAPOB Oố6o61mmenne POpMYyA CYMMapHELX MpeAcTaBACHHTl OCeCHMMeTpH dHOrO IOTCHHHAIA H CHÊHHAIBHB (ĐÙYHKHHH ANCKpeTHoro

Trang 19

ApTYM€HTA H€DBOFO HH BTODOTO pOAA, HACTb 2 BIIM, Bun 9, 13a KY 1969

26 LE VAN THIEM Sar le probleme (infiltration

travers un sol a deux couches Acta Scientarium Viet- namicarium Tom 1 Hanoi, 1964 -

27 PHAM HOU VINH Vé mot vai phương hướng

nghiên cứu lý thuyết thấm, Tập san Tốn cơ, tập 1,

trường Đại học Tơng hợp, Hà nội, 1973

28 PHAM HUU VĨNH Giải bài tốn thấm dưới hệ đế

qua nhiều lớp đất bằng phương pháp Biểu diễn tơng,

Thong bao Khoa học Tốn học Tập IV Trường Đại

học Tơng hợp, Hà nội, 1971 (Bảo cáo trong hội nghị

Cơ học chất lỏng tồn miền Bắc lăn thứ nhất, năm 1970) 29 PHAM HỮU VĨNH Giải bài tốn thốt nưởa vào

vanh và hệ rãnh bằng phương pháp Biều diễn tơng

Thơng báo Khoa học Tốn học Tập IV Trường Đại học

Tơng hợp, Hà nội 1971 (Báo cáo trong hội nghị Cơ học

chất lỏng tồn miền Bắc lần thứ nhất, năm 1979)

30 PHAM HỮU VĨNH Giải bài tốn thấm dưới bản cọo với cao trình thượng hạ lưu chênh lệch, qua hai mơi trường đất khác nhau Tập san Tốn cơ, tập 1,

Trường Đại học Tổng hợp, Hà nội 1977

31 PHAM HỮU VĨNH Giải bài tốn thấm quanh đập

đất cĩ tường răng Thơng báo Khoa học, Tốn học Tập

V, Trường Đại học Tơng hợp, Hà nội

32 PHAM HUU VINH Giải bài Llốn thấm qua màng lọc vào lễ khoan trong mơi trường hai lớp đất bằng

phương pháp Biều diễn tơng Bảo cáo trong hội nghĩ

Cơ học tồn quốc lần thứ hai, năm 1977,

Trang 20

33 PHAM HỮU VĨNH Nghiệm giải tích—số của bài

tốn thế đối xứng trục trong mơi trường nhiều lớp, Tap chi Tốn học, tập VL số 3, 1978,

34 PHẠM HỮU VĨNH Giải bài tốn thế đối xứng trục

khơng đừng trong miền nhiều lớp bằng phương pháp Biều diễn tơng Sẽ đăng trong tạp chỉ Tốn học, tập VI

số 1, 1979

35 PHAM HỮU VĨNH Giải bài tốn thấm qua màng

lọc của lỗ khoan bằng phương pháp Biều diễn tơng

Cài 2) Tập san Phương pháp Tốn Lý, số 1, Viện Khoa học Việt nam, 1977,

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	448,54 KB