PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN sự TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG môi TRƯỜNG có CHIẾT SUẤT THAY đổi

PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN SỰ TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƢỜNG CÓ CHIẾT SUẤT THAY ĐỔI MỞ ĐẦU Nội dung đề tài đƣợc trích từ chuyên đề mà dùng để giảng dạy cho học sinh lớp chuyên lý học sinh đội tuyển HSG tỉnh tham dự kì thi HSG quốc gia môn vật lý Các tập quang hình học nói chung, toán khúc xạ môi trƣờng có chiết suất thay đổi gặp khó khăn cho học sinh nhƣ giáo viên giảng dạy Đây phần kiến thức mà đề thi học sinh giỏi thƣờng xuyên gặp tính ứng dụng cao thực tế Với mục tiêu giúp học sinh có cách nhìn nhận tổng quát định hình tƣ toán chiết suất môi trƣờng thay đổi xin đƣa vài khía cạnh nhỏ để đồng nghiệp học sinh tham khảo Vận dụng phƣơng pháp giải đƣợc nhiều toán thuộc chƣơng trình toán chƣơng trình thi HSG Tỉnh, quốc gia, khu vực, quốc tế thuộc phần khác vật lý Phƣơng pháp chủ yếu đề cập đến phƣơng pháp vi phân ( chia nhỏ ), phƣơng pháp nhận thức khoa học đƣợc vận dụng vào dạy học hầu hết toán vật lý có yếu tố thay đổi, đặc biệt giảng dạy nghiên cứu vật lý Ngoài việc định hƣớng chung cho toán chiết suất thay đổi đề tài đƣa nhiều tập minh họa twd đơn giản đến phức tạp, có toán đề thi học sinh giỏi quốc gia, chọn đội tuyển quốc tế thi học sinh gioi châu Á, quốc tế Cấu trúc đề tài bao gồm: Phần mở đầu Nội dung đề tài Phần 1: Phƣơng pháp giải chung cho toán xuôi toán ngƣợc Phần 2: Các tập minh họa Phần 3: Các tập tự giải Kết luận Phần 1: Phƣơng pháp giải chung cho toán xuôi toán ngƣợc DẠNG 1: biết phƣơng trình đƣờng truyền tìm chiết suất n giả sử chiết suất môi trƣờng n = n(y) biết đƣờng truyền tia sáng y = y(X) tia sáng bay vào môi trƣờng nói điểm x0 với góc tới i0 biết chiết suất môi trƣờng n0 Hãy tìm qui luật biến đổi chiết suất Giải Chia môi trƣờng thành lớp mỏng cho n không đổí xet điểm M tia sáng với góc tới i n sin i  n0 sin i0  h.so n02 sin i0 1 n  n02 sin i0 dx cosi n tani= , tan   cot i    sin i0 dy sini n0 sin i0 n0 n y M Mặc khác coti  dy i dy  y ,  n  n02 sin i0  n0 sin i0 y , dx  x0  n  n0 sin i0  ( y , ) dx x Các trƣờng hợp riêng y = ax2  y,  2ax  (y, )2  4a2 x2  4ay  n  n0 sin i0  4ay đƣờng truyền đoạn phƣơng trình : y = AsinBx y ,  ABcosBX  (y, )2  A2 B2 cos2 BX  A2 B2  A2 B2 sin2 Bx  A2 B2  B2 y2  n  n0 sin i0  A2 B2  B2 y2 đƣờng truyền cung tròn :  y  b  x  a   y  b 2  R2  R   x  a  lấy đạo hàm hai vế 2   y  b  y ,  2  x  a  x ,  2  x  a   y   2 x  a  y  b  xa y b R2   y  b   xa  R y   n  n0 sin i0  y ,2  n0 sin i0   y b  y  b  y b  2 ,2 DẠNG 2: Biết qui luật biến đổi n tìm phƣơng trình biểu diễn đƣờng truyền ( Cách làm tƣơng tự) n  n0 sin i0  ( y , )2 ,tìm đƣợc y’ lấy nguyên hàm ta tìm đƣợc y Từ : Phần 2: Các tập minh họa Bài : Chiết suất thuỷ tinh tuântheo công thức : n( x)  n0 1 x , Trong n0 = 1,2 , r r = 13cm ánh sáng từ vị trí x = theo phƣơng trục y pháp tuyến mặt thuỷ tinh điểm A với góc ló   300 Xác định quĩ đạo tia sáng thuỷ tinh Tính chiết suất thuỷ tinh A Tìm độ dày d y Giải  Chia thuỷ tinh thành nhiều lớp mỏng theo trục 0y ta có : A n0 sin 0  n1 sin 1   n sin  theo 0   /  sin  n0 x   (1) n r d x Để tìm quĩ tích tia sáng chất thuỷ tinh ta xét lớp mỏng đồng chất có tia khúc xạ OB , vẽ đƣờng vuông góc với OB cắt Ox C.Đặt BC = a, OC = b sin   bx b x   (2) từ (1) (2) ta có a = b = r lớp mỏng a a a tuỳ ý nên suy toạ độ điểm B(x,y) thoả mãn phƣơng trình đƣờng tròn ( x  r )2  y  r Gọi chiết suất lớp chứa diểm A nA nA  sin  sin   (3) sin  cos A n  Vì n0  nA sin  A  cos A      nA   nA  n02  sin  = 1,3 Tính độ dày d thuỷ tinh  x  r  từ hệ : nA   y2  r n0 x 1 A r ta tìm đƣợc xA = 1cm có độ dày d = yA = 5cm y Bài 2: Giữa môi trƣơng suốt chiết suất no n1 (no>n1>1) có mặt song song dày e Chiết suất thay đổi theo phƣơng yquy luật n = n1  ky ; k  n n o e.no2 n1 e môi  trƣờng no có tia sáng đơn sắc, chiều tới điểm O x n0 mặt theo phƣơng hợp với Oy góc α a) Lập pt đƣờng tia sáng b) Xđ vị trí tia sáng ló khỏi mặt Giải: 1.Chia mặt thành nhiều lớp //0x Trong tia sáng coi nhƣ truyền theo đƣờng thẳng Xét điểm M(x,y), M'(x+dx,y+dy) tgi = ( dy 1 ) (1); Mặt khác: nosin α = n.sin i dx =>sin i= no sin  dx  dy n  no2 sin  no sin  y x=  y n ( y )  n sin  2 o  no sin  n no sin  dy no cos   ky (2); Từ (1) (2): y+dy M y  i x x+dx = 2sin  (cos   cos   ky ) k y = Vậy k cos  x2  x sin  sin  y'=0 => x   ymax e b sin  cos    2a k cos  e.n02 cos   = k no2  n12 y ym M1 x  n12 cos   e  cos   (1  ) Trƣờng hợp1: ymax < e hay k no điểm Mo(x1,0), x1 thỏa mãn phƣơng trình y = → M1( sin 2 ,0) k n12 Trƣờng hợp : ymax > e  cos   (1  ) điểm ló M2(x2,e) x2 thỏa mãn no phƣơng trình y = e x+,-= e.no2 sin 2 no2  n12  a.no2 sin  no2  n12 n12  sin  no Lấy dấu -: M2(x -,e) Bài 3: Một cầu bán kính Rchiết suất biến thiên theo công thức nr  Ra dó:a ra số dƣơng,r khoảng cáchtính từ tâm cầu Chiếu vào cầu tia sáng đơn sắc dƣới góc i0 tới i xác định khoảng cách ngắn nhấttừ tâm hình cầu đến tia sáng Giải : chia hình cầu thành lớp vỏ cầu mỏng đồng tâm cho lớp chiết suất thay đổi không đáng kể i2 I2 I1 r1 r2 + định luật khúc xạ I1: sini0 = n1sinr1 I2 : n1sini2 = n2sinr2 + định lí hàm sin : sini s inr1  ( R1  I1 , R2  I ) R1 R2  n1R2 sin i2  n2 R2 s inr2  R1 sin i0  n1R1 s inr1  n2 R2 s inr2   ni Ri s inri + dmin ri = 900 d = Ri  R sin i0  dni  d R.a.sini0 Ra d  ra a  R 1  sin i0  Bài 4; Một môi trƣờng suốt có chiết suất n biến thiên theo biến số y Một tia sáng đơn sắc đƣợc chiếu vuông góc với mặt phẳng giới hạn môi trƣờng điểm y y = chiết suất môi trƣờng có giá trị n0 n2 chứng tỏ tia sáng bị uốn cong môi trƣờng suót n1 Định n = f(y) để tia sáng truyền môi trƣờng theo parabol Giải : Tia sáng bị uốn cong - ta áp dụng thuyết sóng Xét hai tia sáng theo phƣơng tia tới chiếu tới mặt giới hạn hai điểm khác trục y.tại chiết suất khác Giả sử :n2 > n1 => v2 < v1 - sóng cầu nguyên tố điểm tới phát có bán kính khác mặt sóng không song song nhƣ sóng tới Do tia sáng uốn cong phía chiết suất tăng Định biểu thức chiết suất môi trƣờng Chia môi trƣờng thành lớp vô mỏng cho lớp chiết suất coi nhƣ không đổi - Định luật khúc xạ: n1 sin i1  n2 sin i2   const -Xét hai điểm đƣờngtruyền ánh sáng ứng với tọa độ:  y  0  y  ; B   A x   x  n3 i3 i2 n2 i1 n1 Theo ta có :nAsiniA = nBsiniB nA = n0, iA = 900  sin iB  n0 n  nB n( y ) parabol ta có : tan   dy  2ax=2 ay dx y  x : sini B  cos = 1+tan 2  n 1   n( y )  4ax  4ay  n( y )  n0  4ay Bài : Một tia sáng rọi dƣới góc tới  lên chồng suốt có bề dày nhƣ nhau, chiết suấttấm sau nhỏ k lần so với chiết suất nàm Hỏi góc tới tối thiểu phải bao nhiêu,thì tia sáng không xuyên qua hết chồng đó? Tấm có chiết suất n, thảy có N Giải : Các suốt nên tia sáng không qua hết phản xạ toàn phần song song  với nên có hệ thức n0=1 sin   n1 sin i1  n2 sin i2   nN sin iN i1 Giả thiết phản xạ toàn phần m m+1 i2 đó: sini m  n n/k i3 n/k2 nm1 n   sin   nm sin im  nm1  m nm k k Vì k> nên số thứ tự m lớn  nhỏ   900 , nên điều kiện sin   n có nghĩa lớp thứ m+1 có chiết suất nhỏ trái với km giả thiết Vậy lớp gây phản xạ toàn phần với  nhỏ lớp thứ N-1 Nên sin   n k N 1 Bài 6: Một chùm sáng hẹp tới đập vuông góc với mặt song song điểm A(x=0) Chiết uất biến đổi theo công thức : nx= (nA,R số) Chùm sáng rời điểm B theo góc α Hãy tính nA 1 x / R y a) nB điểm B  B b) xB d c) bề dày biết nA=1,4 R=10cm α=600 A x Giải: a,Chia thành nhiều lớp song song Oy đó, coi nhƣ anh sáng truyền theo đƣờng thẳng tuân theo định luật khúc xạ ánh sáng nhỏ => nA.sin  /2= n1sinφ1= n2sinφ2= = nBsinφB (1) y Mặt khác tia ló không khí  nB.sin(90-φB) = sinα => nB.cosφB=sinα (2) Từ (1) và( 2) suy n B2  n A2  sin   n B  1,646 n1 nA (n  n A ) R  x B  B  1,49cm b, từ nB= xB nB 1 R n2 n3 A c,Lấy O cách A khoảng R, ta chứng minh đuờng truyền tia sáng theo B cung tròn bán kính R theo cung AB Xét M  AB M OK R  x x sin φi= sin 0MK =  1 R R R x hệ thức (2) đpcm A Dựng A' cho OA = OA' => ABA'=  / H k A' Bài 7: Một nguồn sáng điểm nằm chất lỏng cách mặt chất lỏng khoảng H Một ngƣời đặt mắt 600 x không khí phía mặt chất lỏng để quan sát ảnh nguồn sáng Giả thiết chiết suất chất lỏng thay đổi H theo phƣơng vuông góc với mặt chất lỏng theo quy luật: n  2 y với y khoảng cách từ điểm xét tới mặt H S y chất lỏng Biết tia sáng truyền từ nguồn sáng ló khỏi mặt chất lỏng tới mắt theo phƣơng hợp với mặt chất lỏng góc 600 Hỏi tia ló điểm cách nguồn sáng khoảng theo phƣơng nằm ngang? Giải: Dạng tia sáng phác thảo nhƣ hình vẽ Chọn hệ tọa độ 0xy nhƣ hình vẽ Sử dụng tính chất thuận nghịch đƣờng truyền tia sáng ta rút toán tổng quát 0  900  600  300 ;n   H  7H 11H y  H x  H    4  x H H 41 H  x 2 Sử dụng tích phân tổng quát: + n sin     11  dx  0 S H  n sin 0 n (y)  n 02 sin  dy y 7H  n (y)  n 20 sin    y H H + n  2 + Xét: I  0 H dy 7H  y H  H H  dy 7H y 7H  y   z   7H  dz  dy;  + Đặt: z  y   y  H  z  11H  H I Vậy: S  11H   11  7H H 11H dz H  H  z 4H  z  11    Bài 8: a Xét mặt song song suốt có chiết suất biến đổi theo khoảng cách z tính từ mặt dƣới Chứng minh n A sin   nB sin  b Một ngƣời đứng đƣờng nhựa rộng, dài phẳng, ngƣời z thấy đằng xa hình nhƣ có “mặt nƣớc” α n nhƣng lại gần ngƣời thấy “nƣớc” A lại lùi xa cho khoảng cách từ ngƣời đến “nƣớc” không đổi Giải n(z) thích ảo ảnh O c Hãy xác định nhiệt độ mặt đƣờng nB β (nói phần b) với giả thiết mắt ngƣời độ cao 1,6m so với mặt đƣờng Khoảng cách từ ngƣời tới “nƣớc” 250m Chiết suất không khí 15oC áp suất khí chuẩn 1,000276 Ở độ cao lớn 1m so với mặt đƣờng nhiệt độ không khí đƣợc coi không đổi 30o Áp suất không khí áp suất tiêu chuẩn Gọi chiết suất không khí n giả thiết n – tỉ lệ với khối lƣợng riêng không khí Giải: a) Chia mỏng thành nhiều lớp mỏng cho chiết suất lớp coi nhƣ không đổi: n1 , n2 nk Ta có: n A sin   n1 sin 1  n2 sin   nk sin  k  nB sin  (1) b) Lớp không khí gần mặt đƣờng nóng, chiết suất giảm theo độ cao Tia sáng từ M theo đƣờng cong với góc khúc xạ tăng dần, tới P góc 90o có phản xạ toàn phần nên tia sáng cong lên lọt vào mắt Mắt nhìn thấy ảnh M’ theo phƣơng cuối tia sáng tới mắt, ảnh lộn ngƣợc nên ảnh ảo có nƣớc c) Ta có pV  m RT  p  RT   ~ T  Khối lƣợng riêng chất khí áp suất không đổi tỉ lệ nghịch với T (nhiệt độ tuyệt đối) Theo giả thiết  ~ n   n   k '   n   k T Xác định k : t = 15oC (288K) n  1,000276   n  1 k  k  0,079488 288 0,079488 (2) T Theo (1), tia sáng có phản xạ toàn phần P α = 90o nên: nP  n(T1 ) sin  (3) Với T1 = 303K nhiệt độ không khí H có độ cao lớn 1m nP chiết suất không khí sát mặt đƣờng có nhiệt độ T cần xác định nP  n(T ) l2 h2 sin     1 l  h  (h / l ) l h = 1,6m l = 250m suy sin   0,99998 mà ta có nP  n(T1 )  n(303)  1,000262 thay vào (3) ta đƣợc nP  1,000262.0,99998  1,000242 thay vào (2) ta đƣợc : T = 328K = 55oC Mắ t β h H(T1) M P T l M’ Bài 9: Một đoạn sợi quang thẳng có dạng hình trụ bán kính R, hai đầu phẳng vuông góc với trục sợi quang, đặt không khí cho trục đối xứng trùng với trục 10 tọa độ Ox Giả thiết chiết suất chất liệu làm sợi quang thay đổi theo quy luật: n  n1  k r , r khoảng cách từ điểm xét tới trục Ox, n1 k số dƣơng Một tia sáng chiếu tới đầu sợi quang điểm O dƣới góc  nhƣ hình Gọi  góc tạo phƣơng truyền tia sáng y điểm có hoành độ x với trục Ox Chứng minh ncos = C n chiết suất điểm có hoành độ x đƣờng truyền tia sáng C số Tính  C O x  Viết phƣơng trình quỹ đạo biểu diễn đƣờng truyền tia sáng sợi quang Hình Tìm điều kiện để tia sáng chiếu đến sợi quang O không ló thành sợi quang Chiều dài L sợi quang thỏa mãn điều kiện để tia sáng ló đáy sợi quang theo phƣơng song song với trục Ox? Giải : Tại O: sin= n1sin0 Chia sợi quang thành nhiều lớp mỏng hình trụ đồng tâm Xét mặt phẳng xOy, lớp dày dy Tại điểm góc tới tia sáng (900-), ta có n(y)sin(900-)= n1sin(900- 0) n(y)cos = n1cos0 = C C = n1cos0= n1  sin 0  n1  sin   n12  sin  n1 Vậy, C  n12  sin  Xét M có toạ độ (x,y), tia sáng có góc tới i = (900- ) C n(y) cos = C; cos  n(y) dx cos  C  cot    dy  cos  n (y)  C2 y  x Áp dụng  C dy y ; x C dy n1 (1  k y )  C n (y)  C2 dy by  arcsin với a  n12  C2 = sin; b = kn1 2 b a a b y 2 2 C kn y arcsin +C1 Điều kiện ban đầu: x = y =0 suy C1 = kn1 sin  sin  kn sin  kn1 y sin x  sin x kn1 C kn1 n12  sin  x Vậy quỹ đạo tia sáng đƣờng hình sin 11 x Điều kiện để tia sáng truyền sợi quang là: sin   R Muốn với  kn1R  kn1 Muốn ló theo phƣơng song song Ox x = L, y có độ lớn cực đại kn1 Hay n12  sin  L   p với p số nguyên không âm Suy (2p  1) n12  sin  L với p = 0, 1, 2kn1 Bài 10: Một đoạn sợi quang thẳng có dạng hình trụ bán kính R, hai đầu phẳng vuông góc với trục sợi quang, đặt không khí cho trục đối xứng trùng với trục tọa độ Ox Giả thiết chiết suất chất liệu làm sợi quang thay đổi theo quy luật: n   2r , r khoảng cách từ điểm xét tới trục Ox, có đơn vị cm Một tia sáng chiếu tới đầu sợi quang điểm O dƣới góc  xấp xỉ 900 (sinα ≈ 1) nhƣ hình 1 Viết phƣơng trình quỹ đạo biểu diễn đƣờng truyền tia sáng sợi quang Tìm điều kiện R để tia sáng truyền sợi quang mà không bị ló thành sợi quang Giải: Chia sợi quang thành nhiều lớp mỏng hình trụ đồng tâm Xét mặt y  β i  O x phẳng xOy, lớp dày dy có chiết suất n  n0  y với n0  / + Tại O: sin= n0sinβ (với n0 = 2/ ) => β = 600 => i0 = 300 + Xét điểm M có tọa độ (x, y) (y > 0) lớp có chiết suất n  n0  y Ta có: n0.sini0 = n.sini => sin i  n0 sin i0  n 1 2y 12 Mà tanθ = cot i  => dy   8y dx dy  dx  dx  dy 1  sin i dx dy  8y Nguyên hàm hai vế ta đƣợc: x    y  C Điều kiện ban đầu: x = y = => C =  phƣơng trình quĩ đạo tia sáng: y  2 x  3.x  Vậy quĩ đạo tia sáng đƣờng parabol 2) C1 Điều kiện để tia sáng không bị ló thành sợi quang tọa độ y đỉnh parabol phải nhỏ R: => R   0,375cm C2 Điều kiện để tia sáng không bị ló thành sợi quang lớp chiết suất diễn phản xạ toàn phần tia sáng phải cách trục ox khoảng nhỏ R=> R   0,375cm Bài 11: Một vỏ cầu có bán kính R1 bán kính R2 đƣợc làm chất suốt có chiết suất n2 Từ môi trƣờng có chiết suất n1, n1 tia sáng đƣợc chiếu tới vỏ cầu dƣới góc tới i1 Trƣớc vào i1 I i n2 bên trong, tia sáng chiếu đến mặt vỏ cầu dƣới góc tới J i2 (hình 2) Thiết lập hệ thức liên hệ i1, i2 với R1, R2 n1, n2 O Một cầu tâm O, bán kính R đƣợc làm chất R2 suốt Cách tâm O khoảng r, chiết suất cầu R1 2R n  điểm đƣợc xác định : r Từ không khí, Rr chiếu tia sáng tới cầu dƣới góc tới i = 30o : Hình a Xác định khoảng cách ngắn từ tâm O tới đƣờng tia sáng b Xác định góc lệch tia sáng tới tia sáng ló cầu / Cho biết : sin x dx  0,386 sin x  /6  Giải : Áp dụng định luật khúc xạ : n1.sini1 = n2.sinr (1) Áp dụng định lý hàm số sin tam giác OIJ: OI/sini2 = OJ/sinr (2) Từ (1) (2) suy ra: n1.R1.sini1 = n2.R2.sini2 (3) Chia cầu thành vỏ cầu mỏng : bán kính r, bán kính r + dr Chiết suất vỏ cầu coi nhƣ không đổi nr Áp dụng (3) => nr.r.sini = nR.R.sin30o = R/2 13 R 1  ( x  1) với x = R/r 2R r Rr (4) => xmax = hay rmin = R/3 (sini)max = 1, i = 90o  dr tan i R 1 tan i d    d( ) tan i  x tan i.dx  dx r r x x x sin i  Đạo hàm hai vế (4) cos i.di  (4) (5) (6) dx (7) tan i tan i 4.sin i dx  cos i.di  di x x 4.sin i  Theo tính thuận nghịch chiều truyền ánh sáng, góc ló góc tới : i = i' = π/6 (8) Góc hợp tia tới tia ló : /  4.sin i   i  i'2.max  2.[   di]  4,14rad  237 o  / sin i  Từ (6) (7) => d  i1 I n1 i2 n2 J O i R2 φ R1 Hình Hình Bài 12: Một chùm sáng hẹp đƣợc chiếu gần nhƣ vuông góc tới mặt hai mặt song song đặt không khí A (x A = 0), chiết suất n x = Rn A n A , R số Chùm Rx y C  B D sáng rời khỏi mặt B (Hình vẽ) tạo với mặt góc  Hãy tính: E x A Chiết suất nB B tọa độ xB điểm B Tính bề dày d Biết nA = 1,4; R = 10 cm;   600 Giải: Do chiết suất mặt phụ thuộc vào x nên tia sáng qua mặt truyền theo đƣờng cong Để tính đƣợc giá trị chiết suất n B ta cần tìm mối liên hệ n B  Ta chia mặt làm nhiều lớp đẳng chiết song song - Hình vẽ - Theo định luật khúc xạ ta có : n0 sin i0  n1 sin i1   n p sin i p 14   sin i  Hay n A sin i A  nB sin i B với i A  B Tại B tia sáng ló không khí với góc tới  nA x   (1) nB R  iB Suy ra: n   nB sin(  iB )  sin(90   )  cos  nB cos iB  nB   A   nB   nB2  nA2  cos2 n B  n 2A  cos2  1, 42  cos 600  1, 487  xB  R nB  nA 1, 486  1,  10  0,585(cm) nB 1, 487 Để tính bề dày ta nên dùng phƣơng pháp tích phân: - Ta chia mặt làm nhiều lớp đẳng chiết song song Xét yếu tố vi phân lớp dó có kích thƣớc dx dy  Ta có tgix  Trong đó: y dy  dy  dx.tgix dx sin ix  sin iA nA x    tgix  nB R xB ( R  x)dx R   R  x  Rx R2   R  x   d  y  xB (2R  xB )  0,585.(2.10  0,585)  3,37(cm) Bài 13: Một sợi quang học gồm lõi hình trụ, bán kính a, làm vật liệu suốt có chiết suất biến thiên đặn từ giá trị n  n1 trục đến n  n2 (với 1 n2  n1 ) theo công thức n  n  y   n1   y , y khoảng cách từ điểm có chiết y a x O suất n đến trục lõi,  số dƣơng Lõi đƣợc bao bọc y lớp vỏ làm vật liệu có chiết suất n2 không đổi Bên sợi O quang không khí, chiết suất 0 n1 x n2 n0 1 Gọi Ox trục sợi quang học, O tâm đầu sợi quang Một tia sáng đơn sắc đƣợc chiếu vào sợi quang học điểm O dƣới góc  mặt phẳng xOy 15 Viết phƣơng trình quỹ đạo cho đƣờng tia sáng sợi quang xác định biểu thức tọa độ x giao điểm đƣờng tia sáng với trục Ox Tìm góc tới cực đại  max , dƣới ánh sáng lan truyền bên lõi sợi quang Giải: - Vì môi trƣờng chiết suất biến đổi liên tục nên ánh sáng truyền theo đƣờng cong Chia môi trƣờng thành nhiều lớp mỏng song song mặt phẳng Ox Xét M(x,y)     Theo định luật khúc xạ: n  y  sin      const  n1 sin   1  2  2   n1   y cos  n1cos1    y cos  cos1 (7) Với góc 1 đƣợc xác định từ định luật khúc xạ O: n12  sin  sin   n1 sin 1  cos1  n1 (8) - Ta thấy phƣơng trình (7) hoàn toàn trùng hợp với phƣơng trình (6) mô tả quỹ đạo hình sin với    v0  sin 1 sin  Nhƣ quỹ đạo tia sáng đƣờng hình sin:  A n1 A    sin     y  Asin  x  sin  x  n1  cos1   v0cos1  y  sin  n sin  2  n  sin   n1   x   (9) - Độ cao cực đại mà tia sáng đạt đƣợc biên độ: ymax  A  sin   n1 - Những điểm cắt chùm tia với trục Ox thỏa mãn điều kiện y =  n  sin  2  n  sin    x  k  x    y n  sin  n1 2 Vị trí có k 1  0 n1 M x n2 16  x  n12  sin  n1 Để ánh sáng lan truyền bên lõi sợi quang ymax  a  sin   a  sin    a n1  sin  max ;  max  arcsin  a n1  n1 Chú ý từ điều kiện n  y   n1   y n  y    n1; n  y  a   n2 n12  n22 Vậy  max  arcsin  an1  n12  n22  Phần 3: Các tập tự giải Bài 1: Một chùm sáng song song hẹp đến rọi vuông góc lên mặt hai mặt song song ,bề dày b, có chiết suất biến thiên theo qui luật n(y) = n0 +ay Hãy xác định độ nghiêng tia ló so với pháp tuyến mặt Xem chiết suất biến thiên điểm tới tia sáng có y = Bài : Một tia sáng rọi lên hai mặt song song dƣới góc tới   600  x chiều dày 2cm bề rộng 2b chiết suất thay đổi theo phƣơng pháp tuyến mặt theo quy luật n  n1  n2  n1 y d Hãy xác định góc ló tia sáng theo mép bản, n1 =1 n2 = Hãy giải toán với   300 Bài : Chiết suất khí hành tinh X giảm theo độ cao h theo qui luật n = n0  h Bán kính hành tinh R Hãy tìm xemở độ cao bao nhiêuthì tia sáng vòng quanh hành tinh độ cao không đổi Bài : Giữa hai môi trƣờng có chiết suất n0 n1 (n0 > 1; n1 =1)có lớp đồng chất chiều  cao h = H 1   y  với H số chiết suất lớp thay đổi theo qui luật n  n0   H n0  từ môi trƣờng có chiết suất n0 có tia sáng vào môi trƣờng nói trêntại điểm (y = 0) với góc tới  17 với giá trị  tia sáng quay trở lại môi trƣờng cũ Tìm phƣơng trình biểu diễn đƣờng truyền tia sáng với  khoảng cách điểm vào cực đại Bài 5: Một chùm tia sáng hẹp tới đập vuông góc với hai mặt song songở điểm A(x = 0) chiết suất biến đổi theo công thức: n x  nA (nA, R số dƣơng) x 1 R Chùm tia tới rời điểm B theo góc  Hãy tính y  nB B A xB bề dày d d Áp dụng : nA = 1,2;R = 13cm;   300 x KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu giảng dạy thấy việc hƣớng dẫn học sinh sử dụng phƣơng pháp có tính ƣu việt hơn, toán phức tạp có liên quan đến nhiều tƣợng quang học nhƣ cần sử dụng phép biến đổi toán học khó, cồng kềnh Phƣơng pháp kích thích đƣợc tƣ sáng tạo em, đồng thời phát huy tính tích cực chủ động tạo hào hứng học tập nghiên cứu khoa học học sinh Nó dẫn đƣờng nghiên cứu, cho phép học sinh giải đƣợc hầu hết toán chiết suất thay đổi Trong viết cố gắng chọn lọc tập để phù hợp với đồng nghiệp lựa chọn để giảng dạy công tác bồi dƣỡng học sinh giỏi Còn học sinh lớp chuyên, em đội dự tuyển Quốc gia Quốc tế, việc cần phải nắm đƣợc phƣơng pháp bắt buộc có toán phức tạp mặt tƣợng nhƣ xây dựng phƣơng trình toán học Do khả có hạn với kinh nghiệm ban đầu thu thập đƣợc, viết tránh khỏi sai sót Rất mong đƣợc đóng góp ý kiến đọc giả Cuối xin cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo tổ Vật lý, em học sinh lớp đội tuyển giảng dạy năm qua đóng góp nhiều ý kiến 18 nhận xét giá trị cách diễn đạt nội dung viết TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PHAN HỒNG LIÊN, LÂM VĂN HÙNG, NGUYỄN TRUNG KIÊN-Các tập vật lý đại cƣơng- NXBGD 2009 [2] I E IRÔĐỐP, I.V XAVALIÉP, O.I.ĐAMSA- Tuyển tập tập vật lí đại cƣơng Ngƣời dịch LƢƠNG DUYÊN BÌNH, NGUYỄN QUANG HẬU NXB đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội [3] VŨ THANH KHIẾT, VŨ ĐÌNH TÚY- Các đề thi học sinh giỏi vật lý- NXBGD 2008 [4] VŨ THANH KHIẾT, NGUYỄN ĐÌNH NOÃN, VŨ ĐÌNH TÚY- Chuyên đề bồi dƣỡng học sinh giỏi vật lý Trung học phổ thông-Tập 4- NXBGD 2006 [5] Đề Olympic APHO [6] Đề thi HSG Quốc gia 19 [...]... tia sáng đơn sắc đƣợc chiếu vào sợi quang học tại điểm O dƣới góc  0 trong mặt phẳng xOy 15 1 Viết phƣơng trình quỹ đạo cho đƣờng đi của tia sáng trong sợi quang và xác định biểu thức tọa độ x của giao điểm đƣờng đi tia sáng với trục Ox 2 Tìm góc tới cực đại  max , dƣới đó ánh sáng vẫn có thể lan truyền bên trong lõi của sợi quang Giải: - Vì môi trƣờng chiết suất biến đổi liên tục nên ánh sáng sẽ truyền. .. để tia sáng không bị ló ra ngoài thành sợi quang lớp chiết suất diễn ra phản xạ toàn phần của tia sáng phải cách trục ox một khoảng nhỏ hơn R=> R  3  0,375cm 8 Bài 11: 1 Một vỏ cầu có bán kính ngoài R1 và bán kính trong R2 đƣợc làm bằng chất trong suốt có chiết suất n2 Từ môi trƣờng ngoài có chiết suất n1, một n1 tia sáng đƣợc chiếu tới vỏ cầu dƣới góc tới i1 Trƣớc khi đi vào i1 I i 2 n2 bên trong, ... là một hằng số chiết suất lớp này thay đổi theo qui luật n  n0 1  2  H n0  từ môi trƣờng có chiết suất n0 có một tia sáng đi vào môi trƣờng nói trêntại điểm 0 (y = 0) với góc tới  17 1 với giá trị nào của  tia sáng quay trở lại môi trƣờng cũ 2 Tìm phƣơng trình biểu diễn đƣờng truyền tia sáng 3 với  bằng bao nhiêu thì khoảng cách điểm đi vào và đi ra là cực đại Bài 5: Một chùm tia sáng hẹp tới... cần sử dụng những phép biến đổi toán học khó, cồng kềnh Phƣơng pháp đã kích thích đƣợc tƣ duy sáng tạo của các em, đồng thời phát huy tính tích cực chủ động và tạo sự hào hứng trong học tập và nghiên cứu khoa học của học sinh Nó dẫn đƣờng nghiên cứu, cho phép học sinh giải đƣợc hầu hết các bài toán về chiết suất thay đổi Trong bài viết này chúng tôi đã cố gắng chọn lọc các bài tập để phù hợp với các... bản hai mặt song song ,bề dày b, có chiết suất biến thiên theo qui luật n(y) = n0 +ay Hãy xác định độ nghiêng của tia ló so với pháp tuyến mặt ra Xem rằng chiết suất biến thiên ít và điểm tới của tia sáng có y = 0 Bài 2 : Một tia sáng rọi lên bản hai mặt song song dƣới góc tới   600  x chiều dày của bản là 2cm và bề rộng là 2b chiết suất của bản thay đổi theo phƣơng pháp tuyến của bản mặt theo quy... xác định góc ló ra của tia sáng theo mép bản, nếu n1 =1 và n2 = 2 Hãy giải bài toán trên với   300 Bài 3 : Chiết suất khí quyển của một hành tinh X giảm theo độ cao h theo qui luật n = n0  h Bán kính hành tinh là R Hãy tìm xemở độ cao bằng bao nhiêuthì một tia sáng đi vòng quanh hành tinh ở độ cao không đổi Bài 4 : Giữa hai môi trƣờng có chiết suất n0 và n1 (n0 > 1; n1 =1 )có một lớp đồng chất chiều... a, làm bằng vật liệu trong suốt có chiết suất biến thiên đều đặn từ giá trị n  n1 trên trục đến n  n2 (với 1 n2  n1 ) theo công thức n  n  y   n1 1   y , trong đó y là khoảng cách từ điểm có chiết 2 y a x O 2 suất n đến trục lõi,  là hằng số dƣơng Lõi đƣợc bao bọc bởi một y lớp vỏ làm bằng vật liệu có chiết suất n2 không đổi Bên ngoài sợi O quang là không khí, chiết suất 0 n1 x n2 n0 1... sáng trong sợi quang 2 Tìm điều kiện của R để tia sáng truyền trong sợi quang mà không bị ló ra ngoài thành sợi quang Giải: Chia sợi quang thành nhiều lớp mỏng hình trụ đồng tâm Xét trong mặt y  β i  O x phẳng xOy, các lớp đó dày dy và có chiết suất là n  n0 1  2 y với n0  2 / 3 + Tại O: sin= n0sinβ (với n0 = 2/ 3 ) => β = 600 => i0 = 300 + Xét điểm M có tọa độ (x, y) (y > 0) ở lớp có chiết suất. .. thiết chiết suất của chất liệu làm sợi quang thay đổi theo quy luật: n  n1 1  k 2 r 2 , trong đó r là khoảng cách từ điểm đang xét tới trục Ox, n1 và k là các hằng số dƣơng Một tia sáng chiếu tới một đầu của sợi quang tại điểm O dƣới góc  nhƣ hình 4 1 Gọi  là góc tạo bởi phƣơng truyền của tia sáng y tại điểm có hoành độ x với trục Ox Chứng minh rằng ncos = C trong đó n là chiết suất tại điểm có hoành... 1 Bài 12: Một chùm sáng hẹp đƣợc chiếu gần nhƣ vuông góc tới mặt của một bản hai mặt song song đặt trong không khí tại A (x A = 0), chiết suất n x = Rn A trong đó n A , R là hằng số Chùm Rx y C  B D sáng rời khỏi bản mặt tại B (Hình vẽ) và tạo với bản mặt một góc  Hãy tính: E x A 1 Chiết suất nB tại B và tọa độ xB của điểm B 2 Tính bề dày d của bản Biết nA = 1,4; R = 10 cm;   600 Giải: 1 Do chiết