SỰ TRUYỀN của ÁNH SÁNG TRONG môi TRƯỜNG có CHIẾT SUẤT BIẾN THIÊN

+ Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình Vật lí chuyên phần quang hình học học sinh được học ở cuối sách vật lí 11, phần này đề cập chủ yếu đến sự truyềncủa ánh sáng qua các môi trường Các

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

- Cơ sở khoa học của đề tài:

+ Cơ sở lí luận: Đề tài được thực hiện trên cơ sở lý luận và phương pháp luận

của chủ nghĩa Mác-Lênin, tư tưởng Hồ Chí Minh về giáo dục, các văn kiện Đại hộiĐảng.Vai trò và nhiệm vụ của giáo dục và đào tạo đã được thể hiện trong các vănkiện của Đại hội Đảng: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu” phát triểngiáo dục là nhằm “nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân lực, đào tạo nhân tài”

+ Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình Vật lí chuyên phần quang hình học

học sinh được học ở cuối sách vật lí 11, phần này đề cập chủ yếu đến sự truyềncủa ánh sáng qua các môi trường (Các hiện tượng khúc xạ và phản xạ toànphần), từ việc nắm bắt được các hiện tượng đó, học sinh có cơ sở vững chắc đểtìm hiểu tiếp về các dụng cụ quang như: Kính lúp, kính hiển vi, kính thiên văn Trong các phần này ta chủ yếu xét sự truyền của tia sáng qua các môi trường cóchiết suất không đổi (tức là môi trường trong suốt và đồng tính), như đã biếttrong môi trường như vậy thì đường đi của tia sáng luôn là thẳng

Nhưng thực tế có trường hợp tia sáng truyền trong môi trường có chiết suấtthay đổi, ví dụ như ánh sáng mặt trời truyền trong các lớp không khí gần mặtđường bị đốt nóng Khi đó quỹ đạo của tia sáng không còn là đường thẳng nữa

và bài toán trở nên tương đối phức tạp

Khi dạy bài toán ánh sáng truyền trong môi trường chiết suất biến thiên chohọc sinh, tôi nhận thấy phần lớn các em gặp khó khăn trong việc hiểu hiệntượng, và vận dụng các phép toán về tích phân và giải phương trình vi phân

Trước thực tế đó tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Sự truyền của

ánh sáng trong môi trường có chiết suất biến thiên”

Với phương pháp dùng tích phân, phương trình vi phân, kết hợp với cácđịnh luật quang học, sẽ giúp các em học sinh, nắm bắt được các dạng bài tập khótrong phần quang Hy vọng rằng đề tài sẽ có ích đối với các em học sinh và đồngnghiệp trong quá trình dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi

- Mục đích của đề tài: Nhằm đề xuất một số phương pháp hướng dẫn học

sinh giải bài tập về bài toán ánh sáng truyền trong môi trường chiết suất biến

thiên, có sử dụng các phép tính tích phân và giải phương trình vi phân, đồng thờitrang bị cho bản thân tác giả những kiến thức cơ bản trong công tác ôn luyện vàbồi dưỡng học sinh giỏi

- Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Các bài tập vật lí đại cương, các tài liệu

ôn thi học sinh giỏi, phần quang hình, các phép toán cao cấp được áp dụng vàovật lí Thực hiện ở lớp chuyên lí 11 – trường THPT Chuyên Thái Nguyên

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 CÁC KIẾN THỨC LÍ THUYẾT CÓ LIÊN QUAN

1.1 Ánh sáng khúc xạ liên tiếp qua các bản mặt song song ghép sát nhau.

Có hai trường hợp xảy ra:

TH1: Chiết suất tăng dần theo thứ tự trên, khi đó góc tới ở lớp kế tiếp sẽ

giảm dần Trường hợp này không thể có phản xạ toàn phần ở bất cứ lớp nào

TH2: Chiết suất giảm dần theo thứ tự trên, khi đó góc tới ở các lớp kế tiếp

sẽ tăng dần, dẫn đến tới một lớp nào đó tia sáng hướng đến mặt phân cách trongđiều kiện thỏa mãn điều kiện phản xạ toàn phần (Trong hình vẽ giả sử là tia sánghướng tới mặt phân cách từ lớp thứ 3) thì tia sáng sẽ bị phản xạ toàn phần Ta dễchứng minh được đường đi của tia sáng đối xứng qua pháp tuyến tại điểm xảy raphản xạ toàn phần

1.2 Nguyên lí Fec-ma

* Khái niệm quang trình của tia sáng

HÌNH VẼ 1

Một tia sáng đi từ A đến B, theo một con đường có độ dài s, chiết suất củamôi trường truyền sáng là n

Quang trình của tia sáng ứng với đường đi s là:

l n s

* Nguyên lí Fec-ma

Trong vô số các con đường khả dĩ đi từ điểm A đến điểm B thì ánh sáng sẽ

đi theo con đường có quang trình ngắn nhất

( Trong môi trường đồng tính thì quang trình ngắn nhất ứng với đườngtruyền là đoạn thẳng )

Trường hợp tổng quát nguyên lí Fec-ma phát biểu như sau:

Tia sáng là đường truyền của ánh sáng có quang trình cực trị

1.3 Nguyên lí Huy-ghen

Mỗi điểm của môi trường mà mặt đầu

sóng đạt tới sẽ trở thành một tâm phát sóng

nguyên tố Mặt đầu sóng ở thời điểm sau sẽ là

mặt bao của các mặt đầu sóng nguyên tố đó

HÌNH VẼ 2

2 HỆ THỐNG BÀI TẬP VÍ DỤ

Phần này tác giả phân loại các bài tập thường gặp thành ba dạng bài toán, trong mỗi dạng bài toán đều có phần lời giải chi tiết và phân tích tỉ mỉ cách làm nhằm giúp các em có thể hình dung một cách tổng quát cách làm của mỗi dạng bài toán

Ngay sau mỗi dạng bài tập đặc trưng có hướng dẫn, tác giả đưa ra một số bài tập vận dụng, đặc biệt các bài tập vận dụng này đều có lời giải chi tiết giúp các em có thể tự kiểm tra và đối chiếu phương pháp giải, giúp ích nhiều cho việc tự học của học sinh

Bài toán 1: Biết phương trình đường đi của tia sáng, phải tìm hàm chiết suất phụ thuộc vào tọa độ

Bài toán 2: Biết hàm chiết suất của môi trường phụ thuộc tọa độ, tìm phương trình quỹ đạo của tia sáng

Bài toán 3: Vận dụng nguyên lí Fec-ma và nguyên lí Huy-ghen

Bài toán 4: Một số bài toán về ảo cảnh và phản xạ toàn phần

BÀI TOÁN 1: BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐI CỦA TIA SÁNG PHẢI TÌM HÀM CHIẾT SUẤT CỦA MÔI TRƯỜNG PHỤ THUỘC TỌA ĐỘ.

Bài toán tổng quát

Bài toán cho một tia sáng truyền trong một môi trường trong suốt có chiếtsuất n biến thiên theo tọa độ Biết rõ quỹ đạo của tia sáng dưới dạng hàm số

 

y  f x n i dx dy

HÌNH VẼ 3

Giả sử rằng chiết suất của môi trường chỉ phụ thuộc vào tọa độ x Như vậy

ta chia môi trường thành những lớp mỏng theo phương song song với trục Oy,mỗi lớp mỏng đó có bề dày dx, và coi như chiết suất trong lớp mỏng đó có giátrị không đổi và bằng n Các lớp mỏng xếp liên tục liên tiếp nhau tạo thành hệthống nhiều bản mặt song song liên tiếp

Như vậy ĐL khúc xạ ánh sáng được viết liên tiếp cho các lớp:

0sin 0 1sin 1 ksin k

n i n i  n i

Xét tại lớp bất kì, có chiết suất n, góc tới của tia sáng tại lớp này là i 

0sin 0 sin

n i n i (1) Trong đó n i là các giá trị chiết suất và góc tới tại lớp biên 0; 0

Tiếp đó ta lập mối quan hệ giữa dy, dx và giá trị lượng giác của góc i Ví

dụ trên hình 3 ta thấy tani dy f x' 

dx

Giải hệ (1) và (2) ta sẽ được hàm chiết suất phụ thuộc tọa độ

BÀI 1

Một tia sáng đi tới một môi trường trong

suốt có chiết suất n phụ thuộc vào biến y dưới

một góc vuông tại điểm y = 0 ( như hình vẽ 4)

Tìm dạng của hàm chiết suất n phụ thuộc vào

biến y Cho ny0   và tia sáng truyền trongn0

môi trường này có dạng đường Parabol với

phương trình y a x 2

ĐS: n n 0 1 4 ay

1

n  O

 

n y y

x

HÌNH VẼ 4

PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Vì chiết suất của môi trường chỉ biến thiên theo phương của trục Oy, nên tachia môi trường thành các lớp mỏng theo phương của trục Ox (tức là vuông gócvới Oy) như hình 5

Định luật khúc xạ ánh sáng viết liên tiếp cho từng lớp có dạng

0sin 0 1sin 1 2sin 2 sin

CHÚ Ý: Khi viết định luật khúc xạ ánh sáng tại vị trí biên ( Tại O trong trường hợp này ) ta phải hiểu rằng điểm đang xét là điểm rất gần O thuộc phần chứa môi trường khảo sát

Bình phương hai vế phương trình trên ta được:

1

dx i

Một tia sáng chiếu vuông góc vào

mặt phẳng ngăn cách hai môi trường

(như hình vẽ 6), môi trường có chiết

suất n chỉ phụ thuộc vào tọa độ y Tìm

dạng của hàm n y để bên trong môi

trường này tia sáng truyền theo đường

hình sin, với phương trình quỹ đạo là

cos

y a x

y a

O x

y a

Bình phương hai vế để rút ra n: n n 0 1a22sin2t

Bài toán tổng quát

Bài toán cho một tia sáng truyền trong một môi trường trong suốt có chiếtsuất n biến thiên theo tọa độ Biết rõ sự phụ thuộc của chiết suất của môi trườngvào tọa độ, chẳng hạn nf x  Yêu cầu lập phương trình đường đi của tiasáng

Phương pháp giải chung

Các bước giải ban đầu hoàn toàn giống bài toán 1 Nhắc lại cụ thể như

sau

y

x O

 

y  f x n i dx dy

HÌNH VẼ 8

Giả sử rằng chiết suất của môi trường chỉ phụ thuộc vào tọa độ x Như vậy

ta chia môi trường thành những lớp mỏng theo phương song song với trục Oy,mỗi lớp mỏng đó có bề dày dx, và coi như chiết suất trong lớp mỏng đó có giátrị không đổi và bằng n Các lớp mỏng xếp liên tục liên tiếp nhau tạo thành hệthống nhiều bản mặt song song liên tiếp

Như vậy ĐL khúc xạ ánh sáng được viết liên tiếp cho các lớp:

0sin 0 1sin 1 ksin k

n i n i  n i

Xét tại lớp bất kì, có chiết suất n, góc tới của tia sáng tại lớp này là i 

0sin 0 sin

n i n i (1) Trong đó n i là các giá trị chiết suất và góc tới tại lớp biên 0; 0

Tiếp đó ta lập mối quan hệ giữa dy, dx và giá trị lượng giác của góc i Ví

dụ trên hình 8 ta thấy tani dy f x' 

dx

Ở đây vì đã biết rõ hàm chiết suất của môi trường phụ thuộc vào tọa độ x

nên ta thay hàm chiết suất vào (1), từ đó rút ra sini tiếp tục là tani rồi sau đó thếvào (2)

Đến đây việc tìm phương trình quỹ đạo dẫn đến việc giải phương trình vi

phân, phương pháp chung là giải phương trình vi phân bằng phép phân li biến

số

BÀI 3

Xét một bản trong suốt, song song,

có bề dày d và có giá trị chiết suất cho bởi

Một tia sáng đi vào từ không khí tới

điểm A, vuông góc với mặt bản ( x  ) A 0

và ló ra ở điểm B với góc ló là 



A

B y

x

B

x d

PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Trong bài toán này dữ kiện đề bài cho biết hàm chiết suất của môi

trường phụ thuộc tọa độ Yêu cầu tìm phương trình quỹ đạo của đường truyềnánh sáng

Chiết suất của môi trường biến thiên theo trục Ox nên ta chia môi trườngthành nhiều lớp mỏng theo phương song song với Oy

Chiết suất của bản tại điểm A là n A n0, góc tới tại điểm A là 0

0 90

i  (nhưhình vẽ 10)

y

x A

Để tìm mối quan hệ giữa hai góc  và  ta xét sự khúc xạ ánh sáng tạiđiểm B từ trong bản mỏng ra không khí, pháp tuyến là đường thẳng đứng qua B

Ta có: n Bsin 1.sin  2 2

2

sinsin

sincos 1 sin

B

B B

n

n n

c) Lập phương trình quỹ đạo của đường đi của tia sáng

Xét tại một điểm tới C bất kì trong bản như hình vẽ 11

y

x A



B i

C

 n y

Kết quả thu được: x2  y2  2Rx0

Kết luận phương trình đường đi của tia sáng là một cung tròn tâm I có tọa độ R;0 bán kính R

BÀI 4

1) Một vỏ cầu có bán kính ngoài R1 bán

kính trong R2 được làm bằng chất trong suốt có

chiết suất n2 Từ môi trường ngoài có chiết suất

n1, một tia sáng được chiếu tới vỏ cầu dưới góc

tới i1 Trước khi đi vào bên trong, tia sáng

chiếu tới mặt trong của vỏ cầu dưới góc tới i2

(Xem hình vẽ 12) Hãy thiết lập mối quan hệ

giữa các đại lượng i i n n R R 1 2; ; ; ; ;1 2 1 2

HÌNH VẼ 12

2) Một quả cầu tâm O bán kính R được làm bằng một chất trong suốt Chiết

suất tại một điểm bên trong quả cầu biến thiên theo khoảng cách r từ điểm đó tới

tâm quả cầu theo hệ thức n r 2R

R r



 Từ không khí chiếu vào quả cầu một tiasáng với góc tới i = 300 Xác định khoảng cách ngắn nhất từ tâm O đến quỹ đạocủa tia sáng

ĐS: 1) n R1 1sini1n R2 2sini2; 2) min

3

R

r 

PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

1) Tại I tia sáng từ môi trường có chiết

suất n1 khúc xạ vào trong quả cầu với góc tới

i1; Tại J từ môi trường có chiết suất n2 tia sáng

khúc xạ tiếp vào trong quả cầu với góc tới i2

Nhận xét: Dạng của ĐL khúc xạ ánh sáng qua các lớp mỏng liên tiếp khác với trường

hợp lớp mỏng được chia thành nhiều bản mỏng song song Đó là vì góc khúc xạ tại lớp này không bằng góc tới của lớp kia.

a) Chia quả cầu thành nhiều lớp mỏng

giới hạn bởi các mặt cầu bán kính r và r + dr

Chiết suất của lớp mỏng này là n và coi như

không đổi (Xem hình vẽ 13)

Dễ thấy rằng khi khoảng cách giữa tâm

của quả cầu và tia sáng nhỏ nhất thì góc tới tại

2

Quỹ đạo của tia sáng truyền trong môi trường không không đồng nhất được

cho bởi phương trình x A.sin y

B

 trong đó A và B là hai hằng số dương Hãy

lập biểu thức của chiết suất n trong không gian giới hạn bởi hai mặt phẳng x = A

và x = -A Giả sử rằng n chỉ phụ thuộc vào x và tại x = 0 thì giá trị n = n0 Hãy

vẽ đồ thị n = n(x) trong đoạn [-A, A]

ĐS:  

1/2 2

O y

x A

Đồ thị chiết suất phụ thuộc tọa độ x như hình bên dưới

HÌNH VẼ 15

BÀI 6

Giữa hai môi trường trong suốt có chiết suất n0 và n1 ( n0 n1 1 ) có mộtbản hai mặt song song bề dày e Bản mặt được đặt dọc theo trục Ox của hệ trụctọa độ Oxy như hình vẽ Chiết suất của bản chỉ thay đổi theo phương vuông góc

với mặt bản theo quy luật n n 0 1 ky với

2 2

0 1 2 0

k en



 Từ môi trường chiết

suất n0 có một tia sáng đơn sắc được chiếu tới điểm O trên mặt bản theo phươnghợp với Oy một góc  (Xem hình 16)

a) lập phương trình đường truyền của tia sáng trong mặt bản

b) Xác định vị trí tia sáng ló ra khỏi mặt bản

x y

PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Lập phương trình quỹ đạo

O

x y

Ta chia bản mặt song song thành nhiều lớp mỏng, mỗi lớp coi như có chiếtsuất không đổi n Xét một lớp bất kì như hình vẽ trên Lớp này có chiết suất n,góc tới của tia sáng từ lớp này tới mặt phân cách là i (Xem hình 17)

Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng liên tiếp từ điểm O đến điểm đang xét ta có:

1

ky i

ky dy dx

sincos

TH1: ymax e thì tia sáng sẽ ló ra khỏi mặt dưới của bản (mặt mà tia sáng

sin 2 cos4sin



 thì tia sáng sẽ ló ra khỏi bản ở mặt dưới Tọa độ

điểm mà tia sáng ló ra là: 2sin 2 ;0

  1 1 2 2

n n x n   x trong đó x là khoảng cách từ trục của lõi và  làhằng số Lõi được bao bọc bởi một lớp vỏ trong suốt có chiêt suất n2 Bên ngoàisợi quang là không khí có chiết suất n0

Đặt Oz là trục của sợi quang O là tâm của một đầu sợi

Cho: n 0 1,000; n 1 1,500; n 2 1,460;a 25m

1) Một tia sáng đơn sắc chiếu tới điểm O với góc tới i, mặt phẳng tới làmặt xOz

a) Chứng tỏ rằng tại mỗi điểm trên quỹ đạo của tia sáng trong sợi quang,

điểm có chiết suất n và tia sáng tới điểm đó hợp với trục Oz góc  thỏa mãn mốiquan hệ n.cos C trong đó C là hằng số

   là hệ số góc của quỹ đạo tại điểm

có tọa độ (x,z) thu được một phương trình của x’

c) Tìm phương trình tường minh của x phụ thuộc vào z Đây là phương

trình quỹ đạo của tia sáng trong sợi quang

d) Hãy vẽ quỹ đạo của tia sáng trong một chu kì, với hai góc i khác nhau

2) Tia sáng truyền đi trong sợi quang

a) Hãy tìm giá trị góc tới lớn nhất iM để tia sáng có thể truyền đi được bêntrong lõi của sợi quang

b) Hãy xác định tọa độ z, tại vị trí giao điểm của quỹ đạo và trục Oz Trong

trường hợp  i 0

PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

1)a) Xét tại điểm O Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng cho môi trường tới ở

bên ngoài sợi quang và môi trường khúc xạ ở bên trong sợi quang:

0sin i 1sin 1

n  n  (1)

Ở đây 1 là giá trị của góc  tại điểm O phía trong sợi quang

Vì chiết suất n chỉ phụ thuộc vào tọa độ x nên ta chia sợi quang thànhnhững lớp mỏng, mỗi lớp được giới hạn bởi các mặt trụ có bán kính x và x + dx

Tại mỗi lớp này chiết suất n được coi như không đổi:   2 2

1 1

n n x n   x

Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng liên tiếp cho các lớp ta thu được:

1sin 1 2sin 2 sin

 

 

Đạo hàm hai vế và thu gọn ta được:

2 2 1 2

Ta thu được phương trình vi phân của dao động điều hòa: x''2x0

Nghiệm của pt này có dạng: x A cosz





Vậy phương trình quỹ đạo của tia sáng là:

2)a) Điều kiện để tia sáng truyền đi được trong lõi là A a nghĩa là:

Từ đó tính được giá trị lớn nhất của i là iM 20,130

2)b) Giải điều kiện:

BÀI TOÁN 3: NGUYÊN LÍ FEC-MA VÀ NGUYÊN LÍ HUY-GHEN

Bài toán tổng quát.

Cần tìm điều kiện để tia sáng truyền theo một quỹ đạo nào đó Hoặc tìmgóc lệch của tia sáng khi truyền qua một môi trường trong suốt có chiết suấtthay đổi

Phương pháp giải chung.

- Vận dụng nguyên lí Fec-ma về điều kiện cực trị của quang trình:

+ Trước hết xét đường đi bất kì của tia sáng theo quỹ đạo cần tìm

+ Tính quang trình ứng với đường truyền đó

+ Giải điều kiện cực trị quang trình, từ đó tìm được điều kiện thỏa mãn

- Vận dụng nguyên lí Huy-ghen: (Xét mặt đầu sóng ở các mặt giới hạn môitrường)

+ Tính thời gian truyền sáng của các tia sáng giới hạn

+ Từ đó tính được độ trễ về thời gian truyền sáng

+ Vẽ mặt đầu sóng tại mặt giới hạn Từ đó suy ra quỹ đạo tiếp theo của tiasáng

BÀI 8