chuyên đề 3 cực trị hàm số

ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 1 CHUYấN3. Chohms ()yfx= liờntctrờn (;)ab v ()fx cúohmtrờn 0 (; )ax v 0 (;)xb .Tacú: x a 0 x b '( )fx + 0 - ()fx C Gis ()fx cúohmcphaitrờn (;)ab v 0 (;)xabẻ .Khiúnu 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 fx fx ỹ ù = ù ý ù < ù ỵ hmstcciti 0 x 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 fx fx ỹ ù = ù ý ù > ù ỵ hmstcctiuti 0 x Chohms 32 (0)yax bx cxda=+++ ạ HmscúC,CT phngtrỡnh 2 '3 2 0yaxbxc=++= cú2nghimphõnbit. ngthngqua2imcctrcxỏcnhnhsau:Chia y cho 'y tacú: 2 2 ' 39 3 3 9 xb b bc yycxd aaa ổử ổử ổử ữ ữữ ỗ ỗỗ ữ ữữ =+ + - +- ỗ ỗỗ ữ ữữ ỗ ỗỗ ữ ữữ ỗỗ ỗ ốứ ốứ ốứ Gi 00 (;)Mx y limcctrtacú: 22 0 000 0 22 '( ) 39 3 3 9 3 3 9 x b b bc b bc yyxcxdcxd aaaaa ổử ổử ổử ổử ổử ữ ữữ ỗ ữữ ỗỗ ỗỗ ữ ữữ ữữ ỗ =+ +- +-= - +- ỗỗ ỗỗ ữ ữữ ữữ ỗ ỗỗ ỗỗ ữ ữữ ữữ ỗỗ ữỗ ỗ ỗ ốứ ốứ ốứ ốứ ốứ Doúphngtrỡnhngthngqua2imcctrl: 2 2 33 9 bbc yc xd aa ổử ổử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ =- +- ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ốứ ốứ x a 0 x b '( )fx - 0 + ()fx CT ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  2 Bàitập1.Chohàmsố 32 2 2 1 (2)(31)5 3 yxmmx m xm= + -+ + + +- .Tìm m đểhàm sốđạtcựctiểutại 2x =-  Hướngdẫn: YCBT '( 2) 0 ''( 2) 0 y y ì ï -= ï  í ï -> ï î  Bàitập2.Tìm m để 32 () 2 3( 1) 6( 2) 1fx x m x m x=+ - + cóđườngthẳngđiquaCĐ, CTsongsongvớiđườngthẳng yaxb=+  Hướngdẫn: 2 '( ) 0 ( ) ( 1) 2 0fx gx x m x m= = + - + -=  +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình () 0gx = phảicó2nghiệmphânbiệt 3m¹  +Thựchiệnchia ()fx cho ()gx tacó: 22 () (2 1)() ( 3) ( 3 3)fx x m gx m x m m=+- +   PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà: 22 (3)( 33)ymxmm=- - - - +  Bàitập3.Tìm m để 32 () 2 3( 1) 6 (1 2 )fx x m x m mx=+ -+ - cóCĐ,CTnằmtrênđường thẳng :4dy x=-  Hướngdẫn: 2 '( ) 0 ( ) ( 1) (1 2 ) 0fx gx x m x m m= = + - + - =  +Thựchiệnchia ()fx cho ()gx tacó: 2 ( ) (2 1) ( ) (3 1) ( 1)(1 2 )fx mx m gx m x mm m=+- +   PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà: 2 (3 1) ( 1)(1 2 )ymxmm m=- - + - -  +YCBT 2 (3 1) 4 1 (1)(12)0 m m mm m ì ï =- ï ï = í ï = ï ï î  Bàitập4.Tìm m để 32 () 7 3 f xxmx x=+ ++ cóđườngthẳngđiquaCĐ,CTvuônggóc với :37dy x=- . Hướngdẫn: 2 '( ) 0 3 2 7 0fx x mx= + +=  +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình '( ) 0fx= phảicó2nghiệmphânbiệt 21m>  +Chia ()fx cho '( )fx tacó: 2 12 7 () (3 ) '() (21 ) 3 99 9 m fx x mf x m x=+ +-+-   PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà: 2 27 (21 ) 3 99 m ymx=-+-  +YCBT 2 2310 (21 ).3 1 92 mm- =-= ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  3 Bàitập5.Tìm m để 32 11 () ( 1) 3( 2) 33 fx mx m x m x= +-+ đạtcựctrịtại 12 ;xx thỏa mãn: 12 21xx+=  Hướngdẫn: 2 '( ) 0 2( 1) 3( 2) 0fx mx m x m= - - + - =  +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình '( ) 0fx= phảicó2nghiệmphânbiệt: 0 66 11 22 m m ì ï ¹ ï ï ï  í ï -<<+ ï ï ï î  +Khiđótacó 12 ;xx lànghiệmphươngtrình '( ) 0fx= ,kếthợpvớiyêucầubàitoántacó: 12 1 12 2 12 12 2( 1) 3 4 2 3( 2) 2 . 2 3 21 3(2) . mm xx x mm m mm xx x mm m xx m xx m ìì ïï ïï += = ïï ïï é ïï = ïï ê ïï ïï ê == íí ê ïï = ïï ê ïï ë += - ïï ïï = ïï ïï ïï îî   Bài tập 6. Tìm m để 32 1 () 1 3 fx x mx mx=-+- đạtcựctrịtại 12 ;xx thỏamãn: 12 8xx-³  Hướngdẫn: 2 '( ) 0 2 0fx x mx m= - + =  +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình '( ) 0fx= phảicó2nghiệmphânbiệt: (;0)(1; )mÎ-¥È+¥  +Khiđótacó 12 ;xx lànghiệmphươngtrình '( ) 0fx= ,kếthợpvớiyêucầubàitoántacó: 12 2 12 12 165 2 2 .160 165 8 2 xx m m xx m m m m xx é ì ï - += ê ï £ ï ê ï ï ê = ³ í ê ï + ï ê ï ³ -³ ï ê ï î ë  Bàitập7.Tìm m để 32 2 2 33( 1)3 1yx x m xm=- + + - - - cóCĐ,CTcáchđềugốctọađộ Hướngdẫn: 22 '( ) 0 2 1 0fx x x m= - - +=  +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì '( ) 0fx= phảicó2nghiệmphânbiệt 2 00mm>¹  +Khiđó2điểmcựctrịlà 22 (1 ; 2 2 ); (1 ; 2 2 )Am mB m m +-+  +Theobàiratacó: 22 1 2 OA OB OA OB m= = =  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  4 Bàitập8.Tìm m để 322 2 ( ) 2( 1) ( 4 1) 2( 1)fx x m x m m x m=+ - + - + - + đạtcựctrịtại 12 ;xx thỏamãn: () 12 12 111 2 xx xx += + . Hướngdẫn: 22 '()0 3 4( 1) ( 4 1)0fx x m x m m= + - + - +=  +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì '( ) 0fx= phảicó2nghiệmphânbiệt 23 23 m m é <- - ê  ê ê >- + ë  +Tacó: () 12 12 12 12 1 0 111 1 2 2 5 m xx xx m xx xx m é = ê é += ê ê += +  =- ê ê = ê ê ë = ê ë  Bàitập9.Tìm m để 32 1 () ( 2) (5 4) 3 1 3 fx x m x m x m=+-++++ đạtcựctrịtại 12 ;xx  thỏamãn: 12 2xx<< . Hướngdẫn: 2 '( ) 0 2( 2) 5 4 0fx x m x m= + - + +=  +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì '( ) 0fx= phảicó2nghiệmphânbiệt 0 9 m m é < ê  ê > ê ë  +Tacó: 122 1 2(2)(2)00xxx x m<<  - - > <   Bài tập 10.Chohàmsố 32 1 1 3 yxmxxm= ++ . Tìm m đểkhoảngcáchgiữacác điểmcựctrịcủahàmsốlànhỏnhất. Hướngdẫn: +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì '( ) 0fx= phảicó2nghiệmphânbiệt m"  +Chia ()fx cho '( )fx tacó: () 2 11 2 2 () '() 1 1 33 3 3 fx x mf x m x m æö ÷ ç ÷ =- - +++ ç ÷ ç ÷ ç èø   PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà: () 2 22 11 33 ymxm=- + + +  +Khoảngcáchgiữahaiđiểmcựctrịlà:  222 222 21 21 4 4 13 4.13 ()(1)()(44) 9999 AB x x m x x m m æö ÷ ç ÷ =- + + - = + + ³ ç ÷ ç ÷ ç èø  min 2 13 0 3 AB m==  ChunđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  5 Bàitập11.Chohàmsố 32 232 33(1)yx mx mxmm=- + + - + - .Viếtphươngtrình đườngthẳngqua2điểmcựctrị Đápsố: 2 2yxmm=- +  Chohàmsố 432 (0)yax bx cx dxea= ++++ ¹ . Xétphươngtrình có đúng 1 nghiệm 1 nghiệm kép có đúng 1 cực trò có đúng 2 nghiệm: 1 nghiệm đơn có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trò gồm CĐ, CT '0:y é ü ï ï ê ï ê ï ì ï  ý ê ï ï = í ê ï ï ï ê ï ï ỵ þ ê ê  ë  Bàitập1.Chohàmsố 42 () 6 8 1yfx x x x== + .Tìmcựctrịcủahàmsố. Bàitập2.(B_2002).Tìm m để 42 2 (9)10ymx m x=+-+ có3điểmcựctrị. Hướngdẫn: 3 '0 4 2( 9) 0ymxmx= + - =  +YCBT  phươngtrình '0y = có3nghiệmphânbiệt 3 03 m m é <- ê  ê << ê ë  Bàitập3.Tìm m để 42 4 () 2 2fx x mx m m=- + + cóCĐ,CTlậpthànhtamgiácđều. Hướngdẫn: 2 0 '0 x y xm é = ê = ê = ê ë  +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình '0y = phảicó3nghiệmphânbiệt 0m>  +Khiđó3điểmcựctrịlà: 42 4 42 (; 2),(0; 2),(; 2)Ammm mBm mCmmm m + + -+  4 ,2AB BC m m AC m== + =  +Để ABCD đềuthì 3 4 23AB BC AC m m m m== += =  Bàitập4.Tìm m để 422 () 2 1 f xx mx=- + có3điểmcựctrịlà3đỉnhcủamộttamgiác vngcân. Hướngdẫn: 22 0 '0 x y xm é = ê = ê = ê ë  +Đểhàmsốcó3cựctrịthìphươngtrình '0y = phảicó3nghiệmphânbiệt 0m¹  +Khiđó3điểmcựctrịlà: 44 (0;1), ( ;1 ), ( ;1 )ABmmCmmABAC -  =  +Để ABCD vngcânthì .0 1AB AC m= =     ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  6 Chohàmsố 2 ax bx c y mx n ++ = +   Hàmsốcócựctrị  hàmsốcóCĐ,CT   '( ) 0fx= có2nghiệmphânbiệt.  Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịđượcxácđịnhnhưsau: Đặt 2 () , ()ux ax bx c vx mx n=++ =+  () () ux y vx = . Gọi 00 (;) Mx y làđiểmcựctrị. Khiđótacó: 00 000 00 '( ) ( ) 2 '( ) 0 '( ) ( ) ux ux b yx y x vx vx m m = =  = +   Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịlà 2 b yx mm =+  Bàitập1.Tìm m để 2 3 () 4 xxm yfx x -+ + == - có CÑ CT 4yy-=  Hướngdẫn: +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt '( ) 0fx= có2nghiệmphânbiệt 2 8120xxm- + - - = có2 nghiệmphânbiệtkhác 4 4m<  +Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịlà: 23yx=- + . Gọi 2 điểm cực trị là 11 22 (;2 3), (;2 3) Ax x Bx x-+ -+ .Tacó CÑ CT 12 423yy xx m-=-==  Bàitập2.Tìm m để 2 3(21) 1 mx mx m y x +++ = - cóCĐ,CTnằmvề2phíacủa Ox  Hướngdẫn: +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt '( ) 0fx= có2nghiệmphânbiệt () 1 ;0; 6 m æö ÷ ç ÷  Î -¥ - È +¥ ç ÷ ç ÷ ç èø  +Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịlà: 23ymxm=+ .Gọi2điểmcựctrịlà 11 22 (;2 3), (;2 3) Ax mx m Bx mx m++  +CĐ,CTnằmvề2phíacủa Ox 12 (2 3 )(2 3 ) ( 4) 0 0 4 mx m mx m m m m+ +=-<<<  Bàitập3.Tìm m để 2 25 1 xmx y x -+ - = - cóCĐ,CTnằmvề2phíacủa 2yx=  Hướngdẫn: +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt '( ) 0fx= có2nghiệmphânbiệt 3m<  +Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịlà: 22yxm=- + .Gọi2điểmcựctrịlà 11 22 (;2 ), (;2 ) Ax x m Bx x m-+ -+  +CĐ,CTnằmvề2phíacủa 2yx= () 11 22 (2 )(2 ) 0 2 2 6; 2 2 6xyxy m- -<Î +  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  7 Bàitập4.(A.2007)Tìm m để 22 2( 1) 4 2 xmxmm y x ++++ = + cóCĐ,CTcùngvớigốctọa độtạothànhmộttamgiácvuôngtạiO. Hướngdẫn: +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt '( ) 0fx= có2nghiệmphânbiệt 0m¹  +Gọi ,AB là2điểmcựctrị ()( ) 2;2, 2;42Am B mm -+ -  +Để OABD vuôngtạiO .0 426OAOB m==-   Bàitập5(B.2005)Cho 2 (1) 1 1 xmxm y x ++++ = + .Chứngminhrằngvới m bấtkì,đồthị hàmsốluôngcóCĐ,CTvàkhoảngcáchgiữahaiđiểmđóbằng 20 . Bàitập6.(B.2005)Cho ( ) 1 m ymx C x =+ .Tìm m đểhàmsốcócựctrịvàkhoảngcách từđiểmcựctiểuđếntiệmcậnxiêncủa () m C bằng 1 2  Hướngdẫn: +ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt '( ) 0fx= có2nghiệmphânbiệt 0m>  +LậpbảngbiếnthiêntacóđiểmCTlà 1 ;2Am m æö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç èø  +Tiệmcậnxiên () 2 1 :0, 2101 2 mx y d A m m mD-=D=-+==   BÀITẬPLUYỆNTẬP Bàitập1.Chohàmsố 2 1 xmx y x + = - .Tìm m đểhàmsốcóCĐ,CTvàkhoảngcáchgiữachúng bằng 10  Đápsố: 4m =  Bàitập2.Tìm m để 2 23xxm y xm -+ = - cóCĐ,CTtại 12 ,xx saocho 21 () () 16yx yx->  Đápsố: 117 117 m m é <- ê ê ê >+ ë  Bàitập3.Tìm m để 2 1 xxm y x ++ = + cóCĐ,CTnằmvề2phíađốivớitrục Oy  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  8 Đápsố: 1m >  Bàitập4.Tìm m để ( ) 2 23 1 m xmx yC x ++ = + cócựctrịvàkhoảngcáchtừ2điểmcựctrịđến đườngthẳng 20xy++= bằngnhau. Đápsố: 1 2 m =  Bàitập5.Tìmthamsố 0m > đểhàmsố 22 2 253xmxm m y x ++-+ = đạtCĐ,CTtạihoành độ x thỏamãn (0,2 )xmÎ  Đápsố: 1 1 2 3 2 m m é ê << ê ê ê > ê ë  Bàitập6.Chohàm 2 3 4 xxm y x -+ + = - .Tìm m để 12 4yy=+ với 12 ,yy lầnlượtlàcácgiátrị CĐ,CT. Đápsố: 3m =  Bàitập7.Tìm m để 2 23xxm y xm ++ = - cócựctrịthỏamãn CÑ CT 8yy->  Đápsố: 12 12 m m é <- - ê ê ê <- + ë  Bài tập 8.Tìm m để 22 3 2(41)322 2 mx m x m m y xm +++ + = + cómộtđiểmcựctrịthuộcgóc phầntưthứhaivàđiểmcựctrịcònlạithuộcgócphầntưthứtưcủamặtphẳngtọađộ. Đápsố: 1 25 m <-  Bàitập9.Tìm m để 22 (1) 42 1 xmxm m y x -+-+ - = - cócựctrịvàtích các giá trị cực trị bằngnhỏnhất. Đápsố: 7 5 m =  Bàitập10.Tìm m để 32 2 11 (1) 32 yx xmxm=++++ cócựcđạivàcựctiểutạiđiểmcó hoànhđộ xm> . ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  9 Đápsố: 3 (1) 4 mm<- ¹-  Bàitập11.Tìm m để 32 11 (1 ) 3( 2) 33 yx mx mx=+- +-+ cócựctrịtại 12 ,xx thỏamãn 12 21xx+= . Đápsố: 19 3 7 16 m - =  Bàitập12.Tìm m để 32 33(3)113yx m x m=+- +- cóhaiđiểmcựctrịtại ,AB saocho ,,(0;1)ABC - . Đápsố: 4m =  Bàitập13.Tìm m để 42 221yx mx m=- + - có3cựctrịvàcáccựctrịtạothànhmộttam giáccóchuvibằng () 41 65+  Đápsố: 4m =  Bàitập14.Tìm m để 32 51yx mx x m=- +- + cócựctrịvàkhoảngcáchgiữahaiđiểmcực trịbéhơn 2  Đápsố: Bàitập15.Tìm m để 32 33(2)1yx x mmx=- + + + + cócựctrịvàkhoảngcáchgiữahai điểmcựctrịbằng 25 . Đápsố: Bàitập16.Tìm m để 42 21yx mx=- + cóbađiểmcựctrịtạothànhmộttamgiáccótrọng tâmlàgốctọađộ. Đápsố: Bàitập17.Tìm m để () 422 11 1 42 yx mxmm= +- có3cựctrịlậpthànhmộttamgiác đều. Đápsố:  . - = - có cực trị vàtích các giá trị cực trị bằngnhỏnhất. Đáp số:  7 5 m =  Bàitập10.Tìm m để 32 2 11 (1) 32 yx xmxm=++++ có cực đạivà cực tiểutạiđiểmcó hoànhđộ xm> . Chuyên đề luyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  9 Đáp số:  . 12 ,xx thỏamãn 12 21xx+= . Đáp số:  19 3 7 16 m - =  Bàitập12.Tìm m để 32 33 (3) 113yx m x m=+- +- cóhaiđiểm cực trị tại ,AB saocho ,,(0;1)ABC - . Đáp số:  4m =  Bàitập 13. Tìm m để 42 221yx. - có 3 cực trị vàcác cực trị tạothànhmộttam giáccóchuvibằng () 41 65+  Đáp số:  4m =  Bàitập14.Tìm m để 32 51yx mx x m=- +- + có cực trị vàkhoảngcáchgiữahaiđiểm cực trị béhơn 2  Đáp số:  Bàitập15.Tìm m để 32 33 (2)1yx