Chuyen de 3 Cuc tri dai so

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Khái niệm cực trị biểu thức Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x 0, y0, z0) ∈ S mà ta có: P(x0, y0, z0) ≥ P(x, y, , z) P(x0, y0, z0) ≤ P(x, y, , z) ta nói P(x, y, , z) lớn nhỏ (x0, y0, z0) miền S P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x0, y0, z0) ∈ S gọi P đạt cực đại (x0, y0, z0) Pmax (x0, y0, z0) Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ (x 0, y0, z0) ∈ S gọi P đạt cực tiểu (x0, y0, z0) Pmin (x0, y0, z0) Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là: *) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ P ≥ k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức *) Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ P ≤ k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức Chú ý không thiếu bước hai bước VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2 Một học sinh tìm giá trị nhỏ biểu thức A sau: Ta có x2 ≥ ; (x - 2)2 ≥ nên A ≥ Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có khơng? Giải: Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A ≥ chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức khơng xảy ra, khơng thể có đồng thời: x2 = (x - 2)2 = Lời giải là: A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x + = 2(x2 -2x - +1) + = 2(x - 1)2 + Ta có: (x - 1)2 ≥ , ∀ x ⇒ 2(x - 1)2 + ≥ ∀ x ⇒ A ≥ ∀x Do A = ⇔ x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A với x = Kiến thức cần nhớ: Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc: * a2 ≥ 0, tổng quát: a2k ≥ (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = * -a2 ≤ 0, tổng quát: -a2k ≤ (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = * a ≥0 (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0) *- a ≤a≤ a (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0) * a + b ≥ a + b (Xảy dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0) * a − b ≥ a−b (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ 0) 1 * a + ≥ , ∀ a >0 a + ≤ −2 , ∀ a 0 ⇒ (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = b) a b CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN (Một số dạng toán cực trị đại số) DẠNG 1: BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = x2- 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) ≥ k (k số) với gía trị biến trường hợp xảy đẳng thức Lời giải: A(x) = x2- 4x+1 = x2- 2.2x+1 = (x2- 2.2x+4)- = (x- 2)2- Với giá trị x: (x - 2)2 ≥ nên ta có: A(x) = (x- 2)2- ≥ -3 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số: A(x)nhỏ = - với x=2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = -5x2- 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x) dạng B(x) ≤ k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức Lời giải: B(x) = -5x2 – 4x+1 = -5 (x2+ x) +1 2  2 2 2  = -5 x + x +   −    + 5 5      2 4 − 5 x +  −  + = 5 25     2  = -5  x +  + + 5  2  = -5  x +  + 5  2 2 2   Với giá trị x:  x +  ≥ nên -5  x +  ≤ 5 5   9 2  suy ra: B(x)= -5  x +  + ≤ 5 5  , x = 5 Đáp số: B(x)lớn = với x = 5 Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)= Ví dụ 3: (Tổng quát) Cho tam thức bậc hai P = ax2 +bx + c Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a < Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A (x) + k Sau xét với trường hợp a>0 a0 a x +  ≥ P ≥ k 2a   b   +Nếu a0) 2a giá trị lớn k (nếu a -4 A = - 2x >3 + Trong khoảng ≤ x ≤ x - 2 = x - x - 5 = - (x - 5) = - x ⇒ A=x-2+5-x=3 + Trong khoảng x > x - 2 = x - x - 5 = x - ⇒ A = x - + x - = 2x - Do x > nên 2x > 10 A = 2x – > So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A ≤ x ≤ Đáp số: Amin = ≤ x ≤ Cách 2: Ta sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ tổng giá trị tuyệt đối.Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải: A = x - 2+ x −5 = x - 2+ − x Ta có: x - 2 + 5 - x ≥ x - + - x = x - 2 ≥  (x - 2) (5 - x) ≥ A=3 5 - x ≥  ≤ x ≤ Vậy giá trị nhỏ A ≤ x ≤ DẠNG 4: BÀI TỐN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn M = 4x - 4x + Hướng dẫn giải: Gợi ý: Sử dụng tính chất a ≥ b, ab >0 ⇒ 1 ≤ theo quy tắc so sánh a b hai phân số tử, tử mẫu dương Lời giải: Xét M = 3 = (2 x) − x + + = (2x - 1)2 + 4x - 4x + Ta thấy (2x - 1)2 ≥ nên (2x - 1)2 + ≥ 3 Do đó: (2x - 1)2 + ≤ 2x – = => x = Đáp số: Mlớn nhất= với x = Trả lời: Vậy M lớn Ví dụ 8: 2x - x - Tìm giá trị nhỏ B = Hướng dẫn giải: Ta có: B = Vì 1 = - (x - 1)2 + x - 2x + =2x - x - (x - 1)2 ≥ => (x + 1)2 + ≥ 1 => (x - 1)2 + ≤ => - (x - 1)2 + ≥ x – 1= => x =1 Đáp số: Mnhỏ = - với x = Vậy B nhỏ - Chú ý: Khi gặp dạng tập em thường xuyên lập luận M (hoặc B) có tử số nên M (hoặc B) lớn (nhỏ nhất) mẫu nhỏ (lớn nhất) Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức x −3 Mẫu thức x2 - có giá trị nhỏ -3 x = 1 = - giá trị lớn phân thức x −3 1 Chẳng hạn với x = =1>2 x −3 1 Như từ -3 < suy - > 1 Vậy từ a < b suy > a b dấu a b Nhưng với x = DẠNG 5:BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN THỨC CĨ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC Ví dụ x2 + x + Tìm giá trị nhỏ A = ( x + 1) Cách1: Gợi ý: Hãy viết tử thức dạng lũy thừa x + 1, đổi biến cách viết A dạng tổng biểu thức lũy thừa của A Lời giải: Do Ta có: A= Từ tìm giá trị nhỏ x +1 x2 + x + = (x2 + 2x + 1) - (x +1) + = (x + 1)2 - (x + 1) + 1 ( x + 1) ( x + 1) − + + ( x + 1) 2 = 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x +1 Đặt y= Ta có: biểu thức A trở thành: x +1 A = - y + y2 = y2 – 2.y A = - y + y2 1 + ( )2 + 2 3 1  ≥ = y−  + 4 2  Vậy giá trị nhỏ A khi: 1 1 y =− =0⇒ y= ⇔ = 2 x +1 ⇔ x+1=2 ⇔ x=1 Đáp số: Anhỏ = x = Cách 2: Gợi ý: Ta viết A dạng tổng số với biểu thức khơng âm Từ tìm giá trị nhỏ A Lời giải: A= x + x + x + x + 3x + x + + x − x + = = 2 ( x + 1) 4( x + 1) 4( x + 1) 3( x + 1) + ( x − 1) A= 4( x + 1) A= ( x − 1) + 4( x + 1)  x −1  A= +   2( x + 1)  A=  x −1  +  ≥  2( x + 1)  x-1=0 ⇒ x=1 Đáp số: Anhỏnhất= x=1 Vậy giá trị nhỏ A DẠNG 6: BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠNG A( x) A( x ) ≥ (HOẶC ≤ 0) k k2 Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn biểu thức: M(x) x + x + 10 = x + 2x + (Với x thuộc tập hợp số thực) Hướng dẫn giải: Gợi ý: Từ M(x) x + x + 10 = ta có: x + 2x + 3x + x + + 3( x + x + 3) + M(x) = = x2 + 2x + x2 + 2x + (?) Ta chia tử thức mẫu thức biểu thức cho x + 2x + khơng? Vì sao? Trả lời: Vì x2 + 2x + = x + 2x + + = (x+1) > với giá trị x nên sau chia tử mẫu cho x2 + 2x + ta M(x) = + ( x + 1) + (?) Bài toán xuất điều mới? Trả lời: Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn biểu thức ( x + 2) + (?) Hãy tìm giá trị lớn ( x +) + từ suy giá trị lớn M(x) Trả lời: Vì (x+1)2 ≥ Nên (x+1)2 + ≥ Với x với x Do ( x + 1) + ≤ Từ ta có: 1 M(x) = + ( x + 1) + ≤ + = 2 Dấu “=” xảy x+1=0 hay x=-1 x=-1 Đáp số: M(x)Lớn =3 với x = -1 Vậy giá trị lớn M(x) = BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x2 + x + 4, b) B = 2x2 - x + 5, Lời giải: a) Ta cã : A=  15   15 15  A = x + x + =  x2 + x +  + = x +  + ≥ ∀x 4  2 4  15 x = - Vậy A = 15 đạt x = - x  39   b) Ta cã : B = 2 x − +  + = 2 x − 16    1 39 39 ≥ ∀x  + 4 8 39 x = 39 Vậy B = đạt x = B= Bài tập 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) M = - x2 - 3x + 4, b) N = - 3x2 + 2x - 1, Lời giải: a) Ta cã :  25 3 25 25   M = − x − 3x + = − x + 3x +  + = − x +  + ≤ ∀x 4 2 4   25 x = - 25 Vậy M = đạt x = - M= 2  1 b) Ta cã : N = -3 x -  − ≤ − ∀x  3 x = 3 Vậy N = − đạt x = 3 N= − Lời bình: Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2042 b) B = (x - 1)(x - 4)(x - 5)(x - 8) + 2006 Lời giải: a) Ta có A = [(x - 1)(x + 6)][(x + 2)(x + 3)] + 2042 = (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6) + 2042 = (x2 + 5x)2 - 62 + 2042 = (x2 + 5x)2 + 2006 ≥ 2006 ∀x A = 2006 x2 + 5x = ⇔ x = x = - Vậy A = 2006 x = x = - b) Ta có B = [(x - 1)(x - 8)][(x - 4)(x - 5)] + 2006 = (x2 - 9x + 8)(x2 - 9x + 20) + 2006 = [(x2 - 9x + 14) - 6].[(x2 - 9x + 14) + 6] + 2006 = (x2 - 9x + 14)2 - 62 + 2006 = (x2 - 9x + 14)2 + 1970 ≥ 1970 (x2 - 9x + 14)2 ≥ ∀x 10 B = 1970 ⇔ x2 - 9x + 14 = ⇔ x = x = Vậy B = 1970 x = x = Lời bình: Bài tốn ví dụ có tốn tổng qt là: Tìm giá trị nhỏ của: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + e với a, b, c, d, e số a + b = c + d Đối với dạng toán giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ) để đưa tam thức bậc hai vận dụng cách làm ví dụ 1, Khi hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ cần lưu ý: có nhiều cách đặt ẩn phụ dạng toán này, thường cách đặt sau đem lại hiệu giúp ta có lời giải gọn hơn: a+b Biểu thức dạng: [f(x) + a].[f(x) + b] ta đặt ẩn phụ t = f(x) + Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = (x + 5)4 + (x + 1)4 b) B = (x - 3)4 + (x + 7)4 Lời giải: a) Đặt y = x + ta có: A = (y + 2)4 + (y - 2)4 = y4 + 8y3 + 24y2 + 24y + 16 + y4 - 8y3 + 24y2 - 24y + 16 = 2y4 + 48y2 + 32 ≥ 32 ∀y Dấu "=" xảy y = ⇔ x + = ⇔ x = - Vậy A = 32 x = - b) Đặt y = x + ta có: B = (y - 5)4 + (y + 5)4 = y4 - 20y3 + 150y2 - 500y + 625 + y4 + 20y3 + 150y2 + 500y + 625 = 2y4 + 300y2 + 1250 ≥ 1250 ∀y B = 1250 y = ⇔ x + = ⇔ x = - Vậy B = 32 x = - Lời bình: Ví dụ a, b có tốn tổng qt là: Tìm giá trị nhỏ của: (x + a)4 + (x + b)4 (a, b số) a+b Với toán ta thường chọn cách đặt ẩn phụ y = x + Bằng cách đặt ẩn phụ sau khai triển rút gọn ta nhận đa thức dạng a0y4 + b0y2 + c0 với a0, b0, c0 > Đến hồn tồn ta giải tiếp toán Bài tập vn: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 11 a) (x - 3)2 + (x + 1)2 b) (x - 1)2 + (x + 3)2 + (x + 5)2 c) (x - a)2 + (x - b)2 + (x - c)2, (a, b, c số) Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) b) (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) c) (x2 + 8x + 8)(x2 + 8x + 16) d) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) e) (x2 - 4x - 5)(x2 - 12x + 27) Biểu thức đa thức bậc hai nhiều biến: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) M = 2x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y + 12 b) N = x2 + 5y2 - 4xy + 6x - 14y + 15 Lời giải: a) Ta có: M = 2x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y + 12 = (x2 + y2 - 2xy) + (2x - 2y) + + (x2 - 4x + 4) + = (x - y)2 + 2(x - y) + + (x - 2)2 + = (x - y + 1)2 + (x - 2)2 + ≥ ∀x, y x − y + = M=7⇔ ⇔ x − = x =  y = Vậy M = x = y = b) Ta có: N = x2 + 5y2 - 4xy + 6x - 14y + 15 = x2 - 2x(2y - 3) + (2y - 3)2 + 5y2 - (2y - 3)2 - 14y + 15 = (x - 2y + 3)2 + (y2 - 2y + 1) + = (x - 2y + 3)2 + (y - 1)2 + ≥ ∀x, y x − y + =  x = −1 N=5⇔  ⇔ y − = y = Vậy N = x = - y = Lời bình: Lời giải ý a) ta tìm cách tách hạng tử M cách thích hợp để đưa biến vào đẳng thức đưa M dạng tổng bình phương Với cách làm học sinh áp dụng để làm câu khác loại thường gặp khó khăn thao tác tách như để kết ý Như việc tìm cách tách mang tính chất mị mẫm, nhiều thời gian, đường lối phương pháp chung cho loại biểu thực Lời giải ý b) rõ cho ta đường lối để đạt mục đích đưa biểu thức ban đầu dạng tổng bình phương là: 12 - Đầu tiên ta nhóm hạng tử chứa ẩm x lại thêm bớt để đưa toàn hạng tử chứa ẩn x vào bình phương đa thức - Tiếp ta thêm bớt để đưa nốt ẩn y vào bình phương đa thức lại Với cách làm này, học sinh cần nắm vững đẳng thức đáng nhớ, với thao tác thêm bớt hạng tử đưa dần biến biểu thức vào đẳng thức Phương pháp gọi phương pháp đưa dần biến vào đẳng thức, vận dụng phương pháp học sinh dễ dàng làm tốt tập với biểu thức đa thức bậc hai nhiều biến Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30 Lời giải: Cách 1: Ta có: H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30 = (x2 + y2 + - 2xy + 2x - 2y) + 3(x2 - 4x + 4) + 2(y2 - 6y + 9) - = (x - y + 1)2 + 3(x - 2)2 + 2(y - 3)2 - ≥ - ∀x, y x − y + = x =  H = −1 ⇔ x − = ⇔ y = y − =  Vậy H = - x = y = Cách 2: Ta có: H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30 2   y+5  y+5   y+5 =  x − 2x. +   + 3y −   − 14y + 30           y +  11y − 66y + 95  = 4 x −  +   y +  11 95 99  = 4 x −  + y − 6y + + −  4  ( ) y +  11  = 4 x −  + ( y − 3) − ≥ −1∀x, y   y+5  =0 x = x − H = −1 ⇔  ⇔ y = y − =  Vậy H = - x = y = Bài tập vn: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) 5x2 + 2y2 + 2xy - 26x - 16y + 54, b) (x - y)2 + (x + 1)2 + (y - 5)2 + 2006, c) (x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 13 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) x2 + 2y2 + 3z2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2014, b) x2 + 6y2 + 14z2 - 8yz + 6zx - 4xy + 2005, c) x2 + 5y2 + 3z2 - 4xy + 2xz - 2yz - 6z + 2014 Bài 3: Tìm giá trị lớn của: a) A = 4xy + 8yz - 4x2 - 10y2 - 3z2 - 4xz - 12z + 1969, b) B = xy, biết x, y hai số thực thoả mãn x + 2y = DẠNG 3: Biểu thức phân thức biến Bài tập 1: a) Tìm giá trị lớn của: A = ; 9x − 12x + 11 b) Tìm giá trị nhỏ của: B = - 4x + 20x − 29 Lời giải: a) Ta có: 9x2 - 12x + 11 = (9x2 - 12x + 4) + = (3x - 2)2 + ≥ > ∀x 1 ≤ ∀x ⇒ A= 9x − 12x + 11 A = ⇔ 3x - = ⇔ x = Vậy max A = x = b) Ta có: - 4x2 + 20x - 29 = - (4x2 - 20x + 25) - = - (2x - 5)2 - ≤ - < ∀x 1 ≥ − ∀x ⇒ B= - 4x + 20 x − 29 B = − ⇔ 2x - = ⇔ x = Vậy B = − x = Lời bình: - Biểu thức A B ví dụ phân thức biến có tử số mầu tam thức bậc hai Để biểu thức dạng tồn giá trị nhỏ hay lớn tập xác định mẫu thức phải nhận giá trị âm dương với giá trị biến - Với biểu thức dạng này, ta làm theo cách nhận xét dấu tử mẫu biểu thức cho từ chuyển tốn tìm giá trị nhỏ giá trị lớn mẫu Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = 5x − 26x + 41 , với x ≠ ( x − 2) Lời giải: 14 Cách 1: Ta có: D= 5x − 26x + 41 ( x − 2) = ( ) x − 4x + − 6( x − 2) + ( x − 2) = − 1 + x −2 ( x − 2) 2        =  − 1 + ≥ 4∀x ≠  − 2  + 1 + =  x − 2 x − 2  x−2     −1= ⇔ x = x−2 Vậy D = x = Cách 2: D=4⇔ Ta có: D = 5x − 26x + 41 ( x − 2) = ( ) x − 4x + + x − 10x + 25 ( x − 2) ( x - 5) =4+ ( x − 2) ≥4 ( x - 5) ≥ 0∀x ≠ ( x − 2) ( x - 5) = ⇔ x = D=4⇔ ( x − 2) Vậy D = x = Lời bình: - Với cách giải 1, hồn tồn thể phương pháp chung để làm với biểu thức loại Với cách biến đổi ta đổi biến cách đặt t = ví dụ ta D = 9t - 6t + 5, biểu thức quen thuộc x−2 xét đến - Với cách 2, sở việc tách khơng khả thi biểu thức loại có hệ số phức tạp Lẽ dĩ nhiên biểu thức loại sử dụng phương pháp miền giá trị để làm 4x + Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: A = x +1 Lời giải: * Vì x2 + > ∀x nên A xác định với x Cách 1: ( ) ( ) 4x + x + − 4x − 4x + ( 2x − 1) Ta có: A = = =4− x +1 x +1 x +1 ⇒ A ≤ ∀x ( 2x − 1) − x +1 A = ⇔ 2x - = ⇔ x = ≤ 0∀x 15 Vậy max A = x = ( ) ( ) 4x + - x + + x + 4x + ( x + 2) ≥ −1∀x = = -1 + x +1 x +1 x +1 A = - ⇔ x + = ⇔ x = - Vậy A = -1 x = - Cách 2: * Vì x2 + ≠ ∀x, nên A xác định với x 4x + Gọi A0 giá trị biểu thức A = , phương trình: x +1 4x + A0 = ⇔ A x − 4x + A − = (1) phải có nghiệm x +1 Ta lại có: A = +> Nếu A0 = (1) ⇔ - 4x - = ⇔ x = − +> Nếu A0 ≠ (1) có nghiệm ⇔ ∆' > ⇔ - A0(A0 - 3) ≥ ⇔ (4 - A0)(A0 + 1) ≥ ⇔ - ≤ A0 ≤ = −2 • A0 = - ∆' = ⇔ x = A0 • A0 = ∆' = ⇔ x = Vậy max A = x = = A0 Vậy A = -1 x = - Lời bình: Ta thấy, theo cách ta cần tách tử thức thành tổng đa thức chia hết cho mẫu thức đa thức viết dạng bình phương nhị thức Điều hiểu sau: 4x + a ( x + 1) + ( − ax + 4x + − a ) Ta có: A = = x +1 x +1 Ta cần tìm a để - ax2 + 4x + - a bình phương nhị thức ⇒ ta phải có: ∆' = + a(3 - a) = ⇔ a2 - 3a - = ⇔ a = - a = + Với a = 4, ta có cách tách để tìm max A + Với a = - 1, ta có cách tách để tìm A 16 Đến ta thấy, để giải toán dạng học sinh cần phải biết cách tìm điều kiện để tam thức bậc hai viết dạng bình phương nhị thức mà chưa học phương trình bậc hai Vậy trước dạy đến dạng giáo viên nên cho học sinh tìm điều kiện a, b, c để ax + bx + c viết thành bình phương nhị thức (b2 - 4ac = 0) Bài tập vn: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = ; − 25x + 10x − 12 11x − 70 x + 112 b) B = (víi x ≠ 3) ; x − 6x + x2 − x +1 c) C = (víi x ≠ 1) x − 2x + Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) M = ; 4x − x + 21 x + 10 x + 20 b) N = (víi x ≠ −3) ; x + 6x + x + x − 14 c) P = (víi x ≠ 1) x − 2x + Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau: 2x + a) D = ; x +2 2x − x + b) E = ; x + 2x + 2( x + x + 1) c) F = ; x2 +1 x + xy + y d) G = ( víi x ≠ 0) x2 + y2 ***************************** DẠNG 4: Biểu thức có chứa thức (DẠNG TOÁN DÀNH CHO LỚP 9) Kiến thức cần nhớ: 2n 2n A cã nghÜa ⇔ A ≥ (víi n ∈ N * ) ; A = ⇔ A = (víi n ∈ N * ) Các bất đẳng thức Cơsi, Bunhiacơpxki, Mincơpxki Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x − 4x + 17 b) B = x − 2x + Lời giải: a) * Điều kiện để A có nghĩa: x2 - 4x + ≥ ⇔ ≤ x ≤ Ta có: A = x − 4x + = (x ) − 4x + − = ( x − 2) − ≥ ∀x A = ⇔ (x - 2)2 = ⇔ x = x = Vậy A = x = x = b) * Ta có: x2 - 2x + = (x - 1)2 + > ∀x, B có nghĩa với x Ta có: B = x − 2x + = (x ) − 2x + + = ( x − 1) + ≥ 3∀x Dấu "=" xảy (x - 1)2 = ⇔ x = Vậy B = x = Lời bình: Biểu thức A, B ví dụ có dạng tổng qt M = ax + bx + c với a > a, b, c số cho trước b  b − 4ac  Với a > ta có: M = ax + bx + c = a  x +  − 2a  4a  + Nếu b2 - 4ac ≥ M = 0; + Nếu b2 - 4ac < M = − b − 4ac ; 4a + M khơng có giá trị lớn Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) C = - x + x + b) D = - 3x + 2x + Lời giải: a) * Điều kiện để C có nghĩa: - x2 + 2x + ≥ ⇔ − 2 ≤ x ≤ + 2 ( ) Ta có: C = - x + 2x + = − x − 2x + + = − ( x − 1) + ≤ 8∀x C = ⇔ (x - 1)2 = ⇔ x = (TMĐK) Vậy max C = x = b) * Điều kiện để D có nghĩa: - 3x2 + 2x + ≥ ⇔ 1− 1+ ≤x≤ 3 2 16  16 16  Ta có: D = - 3x + 2x + = − 3 x − x +  + = − 3 x −  + ≤   9 3 3   1 16 D= ⇔ x − = ⇔ x = (TMĐK) 3 18 Vậy max D = 16 đạt x = 3 Lời bình: Biểu thức tổng quát biểu thức C D là: N = ax + bx + c với a < a, b, c số cho trước b  b − 4ac  Với a < ta có: N = ax + bx + c = a  x +  − 2a  4a  + Nếu b2 - 4ac < N vô nghĩa; + Nếu b2 - 4ac = N = ⇔ x = − + b2 - 4ac > max N = − b ; 2a b − 4ac N = 4a Với toán chứa thức dạy giáo viên cần ý yêu cầu học sinh tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa trước sử dụng phép biến đổi biểu thức Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x + x − b) B = x + x − + c) C = x − x + + Lời giải: a) x có nghĩa x ≥ Do A = x + x − ≥ - ∀x ≥ ⇒A=-2⇔x=0 Vậy A = - x = b) x - có nghĩa x - ≥ ⇔ x ≥ Do ta có: B = x + x − + ≥ 2.5 + + = 13 B = 13 ⇔ x = Vậy B = 13 x = c) x + có nghĩa x + ≥ ⇔ x ≥ - Do ta có:  11   C = x − x + + = ( x + ) − x + +  + =  x + − 4   C= 11 ⇔ Vậy C = x+2 = 1 11 11  + ≥ ∀x 2 4 1 ⇔ x+2 = ⇔ x = − 4 11 x = − 4 Lời bình: 19 Các biểu thức loại này, ta cần lưu ý đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa trước biến đổi Với điều kiện để biểu thức có nghĩa thường làm cho miền xác định (D) biểu thức bị thu hẹp so với tập R Chính điều mà học sinh dễ nhầm lẫn thực biến đổi để điều kiện 1, điều kiện toán, chẳng hạn ví dụ 3a) học sinh thường sai sau: 1  1 9 A=x + x −2=x + x + −2 = x +  − ≥− 4  2 4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: ⇒ A = − a) A = b) B = ( x - 2)( − x ) (1 - x )( x − ) Lời giải: a) Điều kiện để A có nghĩa: (x - 2)(6 - x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ (1) Với điều kiện (1) x - ≥ - x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta được: x−2+6−x A = ( x - )( − x ) ≤ =2 Dấu "=" xảy x - = - x ⇔ x = (TMĐK (1)) ⇒ max A = x = Ta lại có A ≥ với ≤ x ≤ A = ⇔ x - = - x = ⇔ x = x = ⇒ A = x = x = b) Điều kiện để B có nghĩa (1 - x)(x - 7) ≥ ⇔ ≤ x ≤ (2) Với điều kiện (2) x - ≥ - x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta được: x −1+ − x B = (1 - x )( x − ) = ( x − 1)( − x ) ≤ =3 B = x - = - x ⇔ x = ⇒ max B = x = B ≥ với ≤ x ≤ B = ⇔ x = x = Lời bình: - Với biểu thức ví dụ 3, để tìm giá trị lớn ta hồn tồn khai triển biểu thức dấu biến đổi theo cách làm ví dụ - Đối với học sinh lớp 9, giáo viên hướng dẫn học sinh làm theo cách sử dụng bất đẳng thức Côsi cần lưu ý điều kiện để áp dụng bất đẳng thức Côsi điều kiện dấu "=" xảy Trong ví dụ 3b) học sinh dễ sai với cách biến đổi sau: 20 (1 - x )( x − ) ≤ − x + x − = −3 B= ⇒ max B = - Như học sinh sai khơng ý đến điều kiện số hạng vận dụng bất đẳng thức Côsi phải không âm, với điều kiện ≤ x ≤ - x ≤ x ≤ Do cần đổi dấu hai nhân tử dấu B trước áp dụng bất đẳng thức Cơsi Bài tốn tổng qt dạng là: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = ( ax - b )( c − dx ) với a, b, c, d số dương cho trước Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + x +1 + x2 − x +1 Lời giải: 2 1 1   Vì x + x + =  x +  + ≠ ∀x vµ x − x + =  x −  + ≠ ∀x 2 2   nên A xác định ∀x Cách 1: Vì A > nên ta có: ( )( ) A2 = x + x + + x − x + + x + x + x − x + ( ) = 2x + + x + − x = 2x + + x + x + ≥ + = x2 ≥ x4 ≥ ∀x ⇒ A ≥ ∀x, A = ⇔ x = Vậy A = x = Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm ta có ( )( ) A = x + x + + x − x + ≥ 24 x + x + x − x + = 24 x + x + ≥  x = DÊu " =" xả y ⇔x=0 x + x + = x − x +  Vậy A = x = Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức Mincơpxki ta có: A = x2 + x +1 + x2 − x +1 21 2 1  3 1  3    + x −  +  = x +  +  2   2         2 2 2  3 1  3    +  − x +   ≥ = x +  +     2   2        2 1 3     = 1+ = ≥ x + + − x +  + 2       A=2⇔ 3 1 1  x +  =  − x ⇔ x =  2 2  Vậy A = x = Lời bình: Với cách giáo viên dạy hồn tồn hướng dẫn cho học sinh lớp Để làm theo cách hay cách 3, trình bầy giáo viên cần yêu cầu học sinh chứng minh bất đẳng thức phụ trước vận dụng Điều hạn chế cách học sinh lớp không giới thiệu bậc n, em học bậc hai bậc ba Do vậy, dạy cho học sinh cách giáo viên cần giới thiệu cho học sinh bậc n trước Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x − 2x + + x + 6x + b) B = x + − x - + x + 15 - x - c) C= x+4 x-4 + x-4 x-4 Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) M = x −3 + 5-x b) N = x + + 14 - x c) P = 3x − + - 3x Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) D = x − + - 2x b) E = x −1 + - x c) F = x − + - 2x d) H = 2x − + 15 - 3x ***************************** 22 ... nhiêu? Lời giải: x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9 = x4 - 2.x2.3x + (3x)2 + x2 - 2x .3 +32 = (x2 - 3x)2 + (x - 3) 2 ≥ Xảy đẳng thức khi: x2–3x = x(x -3) = x=0  x =3 x =3 x? ?3= 0 x? ?3= 0 x =3 Vậy giá trị nhỏ biểu... nghĩa: - 3x2 + 2x + ≥ ⇔ 1− 1+ ≤x≤ 3 2 16  16 16  Ta có: D = - 3x + 2x + = − 3? ?? x − x +  + = − 3? ?? x −  + ≤   9 3? ?? 3   1 16 D= ⇔ x − = ⇔ x = (TMĐK) 3 18 Vậy max D = 16 đạt x = 3 Lời bình:...  25 3? ?? 25 25   M = − x − 3x + = − x + 3x +  + = − x +  + ≤ ∀x 4 2 4   25 x = - 25 Vậy M = đạt x = - M= 2  1 b) Ta cã : N = -3? ?? x -  − ≤ − ∀x  3? ?? x = 3 Vậy N = − đạt x = 3 N=