Bài tập Sử dụng nguyên lí Dirichlet để tìm cực trị Đại Số lớp 9 có lời giải | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

[r]

Hướng dẫn tập tương tự dạy trực tuyến

“ Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải tốn tìm cực trị Đại Số”

Bài Cho số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Tìm GTNN biểu thức Rx4 2  y4 2 z42

Lời giải Dự đoán điểm rơi x4 y4 z4 1

  

Theo nguyên lý Dirichlet thì số x4 1

 ; y41 và z41 ln tờn tại sớ có tích

khơng âm

Khơng mất tính tởng qt giả sử là x4 1

 và y41.

Suy ra: x4 1 y4 1 0 x y4 x4 y4 1 x y4 2x4 2y4 4 3x4 3y4 3

             

x4 2 y4 2 3x4 y4 1

     

x4 2 y4 2 z4 2 3x4 y4 1 z4 2

       

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta cũng có:

x4 y4 1 1  z4 x2 y2 z22 xy yz zx2 9

           Suy ra: Rx4 2  y4 2 z4 227

Dấu “=” xảy 4

4

4

3

1

1 xy yz zx

x y x y z

x y z 

   



        

   

Vậy Min(R) = 27  x  y z

Bài 2 Cho số a b c, , >0sao cho a2+ + +b2 c2 abc=4

Tìm giá trị lớn biểu thức S=ab bc ca abc+ + -Lời giải.

Dự đoán điểm rơi a b c  1

Theo nguyên lí Dirichlet thì sớ (a- ,) (b- ,) (c- 1) có tích khơng âm Khơng mất tính tởng qt, giả sử (a- 1)(b- 1)³

( 1)( 1)

c a b abc bc ca c

Nên ab bc ca abc+ + - £ ab c+ Mà

( )

2 2 2

4=a + + +b c abc³ 2ab c+ +abcÞ 4- c ³ ab c+ Þ2 2- c³ abÞ ab c+ £ Từ hai BĐT ta suy Max(S)=2 a= = =b c

Bài 3:Cho a,b,c không âm thỏa mãn ab bc ca  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T 1

a b b c c a

  

  

Lời giải

Theo ngun tắc DIRICHLET Trong ba sớ a1,b1,c1 có nhất hai sớ có tích khơng âm giả sử a1 b1 0 ab a b    1 a b ab   1 ab bc ca   1

Mặt khác từ ab bc ca c ab

a b

      



Nên   2

1 1 1 1 1

1 1

P a b

ab ab

a b b c c a a b b c a b a b

a b a b

 

           

 

          

 

Ta chứng minh

   

 

 

 

 

2 2

2

3

2 2

1 1

2 1

1 2

1

2 2 2

0 ( )

2 2

a b a b

a b a b

a a b b

a a a b b b

dung

a b a b

    

           

       

 

       

     

   

Vậy   2  

1 1

2

1

a b

a b a b

a b a b a b



   

         

       

Ta chứng minh  

2

a b a b

a b



 

    

  

Đặt a b t thi , : 0 t 2 Ta có

   

2

2

1 5

2 0

2 2 2

1

4

0 ( )

2

t t t t t

t t

t t t

t t

t t t

dung Vi t

t t

    

            

    

      

Do vai trò bình đẳng a, b, c nên

1 1

2

a b b c c a       

5 2

Min T  khi:

 

 

 

 

2

2

1

( 1)( 1)

1 1; 0

1

0

2

ab bc ca

a b

a b ab ab bc ca a b c va cac hoan vi

a a b b

a b

   



   

             

  

  

  