SỦ DỤNG PP THAM BIẾN ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THƯC

sử dụng phơng pháp tham biến để tìm cực tri của một biểu thức I.Phơng pháp d-ơng.

sử dụng phơng pháp tham biến

để tìm cực tri của một biểu

thức

I.Phơng pháp

d-ơng Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức f (x) =Q (x) - t Nếu f (x)≥ 0

(hoặc f (x)≤ 0) với mọi x thuộc tập xác định của Q (x) và tồn tại giá trị t 0 để có f (x) =0 (tức là có Q (x) =t 0 ) thì t 0 chínhlà giá trị nhỏ nhất hoặc là giá trị lớn nhất của biểu thức

Q (x)

II Ví dụ cụ thể

Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q=

Lời giải:

Xét f(x) =Q(x) – t = vì x2+1>0 ∀x ∈ R nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) =

x2+8x+7- t(x2+1) hay g(x) = (1-t)x2+8x+7-t (1)

xét tam thức g(x) = ax2+bx+c=a(x+ )2+ với ∆=b2-4ac (*)

• Nếu a=0 thì g(x) = bx+c luôn cùng dấu với c khi b=0 và g(x)=0 khi c=0

• Nếu a>0 thì g(x) ≥ 0 ∀x khi ∆≤ 0 và g(x) =0 ⇔ ∆=0

• Nếu a<0 thì g(x) ≤ 0 ∀x khi ∆≤ 0 và g(x) =0 ⇔ ∆=0

áp dụng vào (1) ta có: ∆=16 - (1- t)(7- t)=-t2+8t+9 ∆=0 khi t=-1 hoặc t=9

• Với t=-1 thì a=1-t=2>0 thì a=2>0 nên g(x)≥ 0 ⇒ f(x)≥ 0⇒ Q(x) có GTNN là-1 và xẩy ra khi f(x)=0⇔ g(x)=0⇔ 2(x+2)2=0⇔ x=-2

• Với t=9 thì a=1-t=-8<0 nên g(x) ≤ 0 ⇒ f(x)≤ 0⇒Q(x) có GTLN là 9 và xẩy ra khi

f(x)=0⇔ g(x)=0⇔ 2(2x-1)2=0⇔ x=

Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q= 2 2

2 4 3

y x

xy y

+

− với (x,y)≠ 0

Lời giải:

Vì x2+y2 luôn dơng với (x,y)≠ 0 nên dấu của f(x,y) chính là dấu của tử thức

g(x,y)=3y2-4xy-t(x2+y2) hay g(x,y)= (3- t)y2- 4xy- tx2 (2)

Nếu t=3 thì g(x,y)= -3x2-4yx vì ∆=4y2≥ 0 nên g(x,y)= 0⇔ y=0 ,x=0 (đã loại trừ)

Xét (2) theo biến y ta có ∆y=4x2+t(3-t)x2=(4+3t-t2)x2;∆y=0 ∀x khi t=-1 hoặc t=4

• Với t=-1 thì a=3-t=4>0 nên g(x,y)≥ 0⇒ f(x,y)≥ 0⇒ Q(x,y) có GTNN là -1và xẩy ra khi f(x,y)=0⇔ g(x,y)=0⇔ (2y-x)2=0⇔ x=2y(≠ 0)

• Với t=4 thì a=3-t=-1<0 nên g(x,y)≤ 0 ⇒ f(x,y) ≤ 0⇒ Q(x,y) có GTLN là 4 và xẩy ra khi f(x,y)=0⇔ g(x,y)=0⇔ -(y+2x)2=0⇔ y=2x (≠ 0)

Ví dụ 3 Tìm u,v đểbiểu thức Q= đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1

Lời giải:

Đặt f(X) =Q(X) – t = vì x2+1>0 ∀x ∈ R nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) =

ux +v- t(x2+1) hay g(x) = -tx2+ux+v-t Để GTLN Q(X) = 4 khi t 1 =4

(lúđó a1=-4<0) và GTNN Q(X) = -1 khi t 2 =-1 (lúc đó a2=1>0) xảy ra đồng thời thì dựa

vào (*) ta có







=

∆

=

∆

0

1

2

1

hay









= +

−

=

−

+

0 )1 (4

0 )4 (

16 2

2

v u

v

u

⇔







=

= 16

3 2

u v

Nghĩa là (u,v) bằng (4,3) hoặc (-4,3)

Bài tập làm thêm Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q sau đây

1) Q= 2) Q=

3) Q= (x-2y+1)2 +(2x+ay+5)2 4) Q =

5) Q = 6)Q= 7) Q=