Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.. 2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, )
a/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau thoả mãn:
- Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) M ( M số) (1)
- Tồn xo,yo cho:
f( xo,yo ) = M (2)
b/ Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau thoả mãn :
- Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) m ( m số) (1’)
- Tồn xo,yo cho:
f( xo,yo ) = m (2’)
2/ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1’) chưa nói cực trị biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A
chưa thể kết luận minA = khơng tồn giá trị x để A = ta phải giải sau:
A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 A = x -2 = x = 2
Vậy minA = khi x =
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai:
(2)Tìm GTNN P a
Tìm GTLN P a
Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 +
a b
x ) + c = a( x + 2ba )2 + c -
2
4
b a
Đặt c - a b
4
2
=k Do ( x + a b
2 ) 2
nên :
- Nếu a a( x + a b
2 )
2 0 , P k MinP = k x =
-a b
2
-Nếu a a( x + 2ba )2 ` P ` k MaxP = k x =
- a b
2
2/ Đa thức bậc cao hai:
Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36
-36 minA = -36 y = x2 – 7x + = x
1 = 1, x2 =
3/ Biểu thức phân thức :
a/ Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN A = 6 5 9
2
x
x
Giải : A = 6 5 9
2
x
x =
2
x
x = (3 1)
2
2
(3)Ta thấy (3x – 1)2
nên (3x – 1) +4
1
(3x 1) 4
1
theo tính
chất a b a
1
b
1
với a, b dấu) Do (3 12)2 4
x
2
A
-21
minA = -21 3x – = x =
3
Bài tập áp dụng:
1 Tìm GTLN BT : A 2 x 4x
HD giải:
2
2
1 1
A max A= x
x 4x x 5
2 Tìm GTLN BT : A
x 6x 17
HD Giải:
2
2
1 1
A max A= x
x 6x 17 x 3 8 8
3 (51/217) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 23
2 x 2x
b/ Phân thức có mẫu bình phương nhị thức
Ví dụ : Tìm GTNN A =
1 2 x x x x
Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
2
2 4
2
x x x x
x x
= + 2 ) ( ) ( x x
minA = chi x =
Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có :
A =
2 2
2 2
3( 1) 8( 1) 6 8
2 2
1 1
y y y y y y y
y y y y
y y
= - y
2
+
1
y = ( y
1
-1)2 + 2
(4)Bài tập áp dụng:
1, (13/200) Tìm GTNN GTLN bt: P 2 1 x x x
2, (36/210) Tìm GTNN bt : B x2 2x2 2006
x
3, ( 45/ 214) Tìm GTNN GTLN bt: C 2
5
x
x x
4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN bt : a, D 22 2
2
x x
x x
b,
2
2
2
E
2
x x
x x
c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ : Tìm GTNN GTLN A =
1 x x
Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số :
A =
1 4 2 x x x x = ) ( 2 x x
- -1
Min A= -1 x =
Tìm GTLN A =
1 4 4 2 x x x x
= -
1 ) ( 2 x x
Bài tập áp dụng:
1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN bt: a, A 2
x x
b,
2 B x x
3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN bt: a, C x2 4x
x
Với x > 0; b,
5 D x x
Với x >
4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN bt: a,
2 E x
x
với x > 0; b,
3
2
1
Fx
x Với
x >
6, (68/28 ) Tìm GTNN bt:
2 2 17
2 x x Q x
(5)7, (69/28 ) Tìm GTNN bt: R 34
x x
x
Với x >
8, (70/28 ) Tìm GTNN bt: S x3 2000
x
Với x >
III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = 1
sử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A
A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải
Cách 1: sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A x + y = x2 + 2xy + y2 = (1) Mà (x – y)2 Hay: x2 - 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 )
x2 + y2
2
minA = 21 x = y = 21
Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A
A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 -
)2 +
2
minA = 12 x = y = 21
Cách 3/ Sử dụng điều kiện cho để dưa biến
Đặt x =
+ a y =
- a Biểu thị x2 + y2 ta :
x2 + y 2 = (
+ a)2 + (
- a)2 =
+2 a2
=> MinA = 21 a =
x=y =12
Bài tập : Tìm Min A = a2 ab b2 3a 3b 2014
(6)Cách Ta có: A= a2 2a 1 b2 2b 1 ab a b 1 2011
2
= a 2a 1 b 2b 1 ab a b 1 2011 = a 1 2b11a b 1 b12011
2 2
= a 1 b1 a1 b1 2011
2
2 1
a 2011
2 4
b b b
a
2
2 3 1
1
= a + 2011
2
b
b
Min A = 2011
1
a
1
1
b
a b b
Cách 2:
2 2 2
2
2A 3 2014 = a 2 a 2.2 4022
= a 1 4022
a ab b a b a b b ab b a b
b a b
Min 2A = 4022
a
1
2
b a b
a b
=> Min A = 2011
BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài CMR : Min P = Với P = a2 ab b2 3a 3b 3
Bài CMR: khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn ĐT:
2 4 2 2 8 6 15 0
x y z x y z
Hướng dẫn Ta có:
2 2 2
2 2
VTx 2x 1 4y 8y 4 z 6z 9 1= x-1 2y2 z 1
Bài 3: Có hay khơng số x,y,z thỏa mãn đẳng thức sau:
1)x2 4y2 z2 4x 4y 8z 22 0
2) x2 4y2 9z2 2x 12y 12z 1994
(7)
2 2
2 2
1) VT 4 4 16
= x+2 1
x x y y z z
y z
2 2
2 2
2) VT = x 12 12 1986
= 3 1986 1986
x y y z z
x y z
Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m2 4mp 5p2 10m 22p 28
Hướng dẫn Ta có:
2 2
2
2
A = 4 10 20 27
= 2.5 25
= 2
m mp p p p m p
m p m p p
m p p
Bài 5: CMR: Max B = Với B a2 5b2 2a 4ab 10b 6
Hướng dẫn Ta có:
2 2
Ba 4ab 4b b 6b 2 a4b 1
2
= - 4 9 2 1
a ab b b b a b
2
= - 2 1
a b a b b
2 2
= - 1 4
a b b
Bài 6: Tìm GTNN
a) A=a2 5b2 4ab 2b 5
( Gợi ý A = a - 2b 2b124 )
b) B = x2 y2 xy 3x 3y 2029
( Gợi ý B = x-y 2y 32x 32 2011
)
c) C x2 4y2 9z2 4x 12y 24z 30
( Gợi ý C = x+2 22y323z421
)
d) D= 20x2 18y2 24xy 4x 12y 2016
( Gợi ý
2 2
D= 4x-3y 2x1 3y 2011 )
Bài 7: Tìm số a, b, c, d thỏa mãn : a2 b2 c2 d2 a b c d
(8)Ta có :
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
0
4
4 4 4
2 2
a b c d ab a b c a b c d a b c d a b c d ab ac ad
a b c d ab ac ad
a ab b a ac c a ad d a
a b a c a d a
Dấu “=” sảy : a2b2c2d 0 a b c d 0 BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Tìm số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e
Bài 2: Tìm số a, b, c, thỏa mãn : a2 b2 1 ab a b
Bài 3: Tìm số a, b, thỏa mãn : 4a2 4b2 4ab 4a 4b 4 0
Bài 4: Tìm số x, y, z thỏa mãn : x2 4y2 z2 2x 8y 6z 14
Bài 5: Tìm số m, p, thỏa mãn : m2 5p2 4mp 10m 22p 25
IV Các ý giải toán cực trị :
1, Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến
Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2
ta đặt x – = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +22 minA= 2 y=0 x=2
2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị
chẳng hạn : -A lớn A nhỏ nhất
B lớn B nhỏ với B >
Ví dụ : Tìm GTLN
4
2
1
( 1)
x A
x
(Chú ý A> nên A lớn
A nhỏ
nhất ngược lại)
Ta có :
A =
2 2
4 4
( 1) 2
1
1 1
x x x x
x x x
Vậy
1
(9)min1
A = x = Do maxA =1 x =
3,Chú ý Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường sử dụng BĐT biết
Bất đăng thức có tính chất sau
a ) a > b , c > d với a, b, c, d > a.c > b d b) a > b c > a.c > b.c
c) a > b c < a.c < b.c d) a > b a, b, n > an > bn
Bất đẳng thức Cô si: a + b ab ; a2 + b2
2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2
Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2
Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4
2x + 3y 26 Vậy maxA = 26
2
x y
x y
Thay y =
2
x
vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 x=
-4
Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y
Vậy Max A = 26 x =4 , y = 6
3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau
- Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang
(10)Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2
xy lớn x – y nhỏ ; xy nhó x – y lớn giả sử x > y ( xảy x = y)
Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y =
Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y =
=========================================================== MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau
VD1: cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức :
1
A =
x y
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 4,
x y ta có:
1 4
xy xy
(1)
Lại có:
2
x y xy
(2 )
Từ (1) (2) suy :
1 4
A =
1 x
2
y xy
Vậy Min A =
Phân tích sai lầm:
Đẳng thức sảy (1) 4
x y xy
Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến KL khơng có giá trị nhỏ KL sai
Giải đúng: Vì x + y = nên A = x+y x
x y
y y x
(11)Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số khơng âm 4x y,
y x Ta có :
4
2
x y x y
y x y x
Dấu “=” xẩy
1
2 3
1
1
3
x y y x x
y x
x y
y x y
Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy dấu khơng Có hướng giải tốn đúng.
2, Sai lầm không sử dụng hết điều kiện toán:
VD2:cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT :
2
1
A = x+
x y y
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x,
x Ta có:
1
x+ x
x x (1)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số khơng âm y,
y Ta có:
1
y+ y
y y
(2)
Từ (1) (2) =>A => Min A =
Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) 1 1
x x x
Đẳng thức sảy (2) 1
y y y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có :
x + y 1
(12)Ta có :
2
2 1
A = + x +y +
x y
Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy - 1
2= (1)
2 2
1 1
2
x y x y xy (2) Từ (1) (2) =>A +
1
2+4 =
25
2 =>Min A = 25
2
x=y =1
2
Lưu ý: Khi giải tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện đầu cần kiểm tra lại giả thiết Có hướng giải toán đúng.
3,
Sai lầm chứng minh điều kiện :
VD1: Tìm GTLN bt:
1 A =
6 17
x x Lời giải sai: A đạt Max x2 6x 17
đạt Min Ta có : x2 6x17x 32 8
Do Min x2 6x 17 8 x 3
Vậy Max A =
8 x3
Phân tích sai lầm: Kết lập luận sai chỗ cho “ A có tử khơng đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đua nhận xét tử mẫu số dương
Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x2 6x 17 x 32 8 8
nên tử mẫu
A dương
VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4
Ta có : A = x2 + y2 2xy => A đạt GTNN
2 2
2
x y xy
x y x y
Khi MinA =
Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai lập luân sai lầm chỗ ta c/m f(x,y) g(x,y) chưa c/m f(x,y) m với m hắng số
Chẳng hạn: Từ x2 4x – => x2 đạt nhỏ x2 = 4x – (x – )2 = x =2
(13)Lời giải đúng: Ta có x + y =4 x + y =16 2 (1)
Ta lại có : x - y 2 x -2xy+y 2
(2)
Từ (1) (2) => 2( x2 + y2 ) 16 => A = x2 + y2 8
V y Min A = v ch x = y = 2.ậ à ỉ
Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu số tự nhiên, số nguyên … Có hướng giải tốn đúng.
4, Sai lầm chứng minh điều kiện 2
VD1: Tìm GTNN bt: A = x + x
Lời giải sai : x + x =
2
2 1 1 1
x +2 x x
2 4 4
Vậy: Min A =
P/tích sai lầm: sau c/m f(x)
chưa trường hợp xảy f(x)=
1
x (vơ lí )
Lời giải đúng: ĐKTT x x 0 : A = x + x 0 => Min A = x0
VD2: Tìm GTLN A = xyx z+y y+z z+x với x, y , z số không âm x
+y+ z =1
Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xyx y 2 ta có :
2
2
2
4x z+y x+y+z
4y z+x x+y+z
4z x+y x+y+z
=> 64xyx z+y y+z z+x =>xyx z+y y+z z+x 64
Vậy Max A =
64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa chi khả xảy dấu “=”
ĐK để Max A =
64là :
z+y = x
y+x = z
x+z = y x + z + y =
x + z + y = x, y, z
x, y, z
x y z
(14)Lời giải đúng: Ta có : 1 = x +y+ z x.y.z (1)
3
2 = x +y + z+x + y+ z x +y z+x y+ z (2)
Từ (1) (2) => 2 3 x y z x +y z+x y+ z hay:
3
3
2 A A
9
Max A =
3
2
x +y = z+x = y+ z
1
3
, ,
x y z x y z
x y z
VD3: Tìm giá trị nhỏ : A (x a)(x b) x
với x > 0, a, b số
dương
Lời giải sai: Ta có: ax ax.2 bx ab bx
x a
x a x b x
x b
Do đó: A (x a)(x b) 4x ab ab
x x
Min A = ab x a b
Phân tích sai lầm: Nếu a b khơng có: A = ab
Lời giải : Ta có
2
(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab
A x (a b)
x x x
Theo bất đẳng thức Cauchy : x ab ab x
nên A ≥ ab + a + b = a b2
min A = a b2 chi ab
x x ab
x x
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
VD1: Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk 1 1xy 12 Tìm GTNN bt: A = x y
Do x > 0, y > nên 0, y
x áp dụng bất đẳng thức côsi cho số
1 ,
(15)ta có: 1 1
2 x y x y
Hay
1
4 xy => xy 4
Mặt khác ta có: x > 0, y > => x0, y 0 áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:
2 4
x y xy
Vậy: Min A = : 1
x y
x y x y
VD2 : Tìm GTNN của biểu thức : A x2 x 1 x2 x 1
Ta có:
2
2 3
x x x x R
2 4
2
2 3
x x x x R
2 4
Áp dụng BĐT Cô- si cho số x2 x 1, x2 x 1
ta có :
2 2 4
x x 1 x x x x x x x x 1
Max A =
4
2
x x 1
x
x x x x
VD3 Tìm giá trị nhỏ : A x y z y z x
với x, y, z > 0.
Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương:
3
x y z x y z
A
y z x y z x
Do x y z x y z x y z
y z x y z x
Cách : Ta có : x y z x y y z y
y z x y x z x x
Ta có
x y
y x (do x, y > 0)
(16)chứng minh x y z
y z x ta cần chứng minh :
y z y z x x (1) (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ
tìm giá trị nhỏ x y z y z x
VD 4: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z =
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khơng âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ 3.3 xyz
(1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khơng âm x+y, y +z, z + x ta có :
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3 (x y)(y z)(z x)
(2)
Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ 9.3A A ≤
max A =
x = y = z =
VD 5: Tìm GTNN A xy yz zx
z x y
với x, y, z > , x + y + z = 1.
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz xy yz 2y z x z x
Tương tự : yz zx 2z ; zx xy 2x
x y y z Suy 2A ≥ 2(x + y + z) =
min A = với x = y = z =
VD 6: Tìm GTNN 2
1
A 4xy
x y xy
(17)Ta có:
2
4
2 1 1
2
1 1
2
x y
xy x y xy
x y xy
x y xy x y x y
x y xy
Ta có: 2 2
1 1
A 4xy 4xy
x y xy x y 2xy 4xy 4xy
=>
2 2 2 2
2
4 5 11
A 4xy 11
x 2xy y 4xy x y x y x y x y
VD 7: : Cho
2
x , Tìm GTLN A = 2x2 5x 2 + x+3 - 2x
Giải : Ta có : A = 2x2 5x 2 + x+3 - 2x = 2x 1 x 2 + x+3 - 2x
Với
2
x ta có:
2x
x
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x 1, x+2 Ta có: 2x x+2 2x x+2
Hay : 3x 2x x+2
Dấu “ = ” xảy 2x x+2 x=1
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x 3, Ta có: x 4 3
2 x x
Hay : x
2 x
Dấu “ = ” xảy x 4 x=1
Do đó: A x
3x
2
- 2x = Dấu “ = ” xảy x=1
VD 8: : Cho x, y, z > x + y + z =1 Tìm GTNN của: S =1
x y z
Ta có: S = x + y + z
x y z
=
4 9
1+4+9+ y x z y x z
x y y z z x
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương y,4x
x y ta có :
4
2
y x y x
(18)Tương tự ta có : 4z 9y 9z y 12
y z y z ;
9
2
x z x z
z x z x
S + + + + 12 + =36
Dấu “=” sảy :
2 2 2 4 3
4
3 1 1 y x
x y y x y
y x
z y
z y
z x x
y z
x z x y z
x z
x y z z
z x x y z
Vậy Min S = 36 1, 1,
3
y x z
Không phải lúc ta dùng trực tiếp bất đẳng thức Côsi số đề Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cơ-si tìm cực trị nó:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức đó
VD1 : Tìm giá trị lớn A 3x 5 3 x, ĐKXĐ : 5
7 3
x x x
Bình phương hai vế ta có : A2 = + 2 3 x 5 3 x
Với
3 x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3x 5 7 3x ta có:
3x 5 3 x2 3 x 3 x hay 2 3 x 3 x
A2 =>A Dấu “=” xảy : 3x - = - 3x hay x = VD2: Tìm GTNN biểu thức: A = -x2 2x 8 -x2 x 2
(*)
ĐKXĐ :
2
2
2
-x
1
1
1
-x
x x x x x x x x x
Khi -x2 2x 8 -x2 x 2 x 6 0
(19)Từ (*) => A = -x2 2x 8 -x2 x 2 2 -x2 2x 8 -x2 x 2
= -2x2 3x 10 2 x 2 4 x x 1 2 x
= 2 x x 2 x1 4 x 2 2 x x 2 x1 4 x
= 4 x22 2 x x 2 x1 4 x x1 4 x22
4 x2 x1 4 x2 2
A = 4 x2 x1 4 x x0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số : y 1 x 1x
Bài 2: Tìm GTLN hàm số : y x 2 4 x
Bài 3: Tìm GTLN hàm số : A x 5 23 x
Bài 4: Tìm GTLN hàm số : A 2x 3 23 2 x
Bài 5: Tìm GTLN hàm số : A 5x 7 17 5 x
Bài 6: Tìm GTLN hàm số : A 3x 2 20 3 x
Bài 7:Tìm GTLN : A x 1 y 2 biết x + y =
Bài Tìm GTNN : A = -x2 4x 21 -x2 3x 10
Bài 9( 76/29) Tìm GTNN : A = xy yz zx với x, y, z dương x + y + z
12
Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN : A x 4 y 3 biết x + y = 15
Biện pháp 2: nhân chia biểu thức với số khác không.
(20)Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có: A = x -
5x =
1 x -
x - 3
.3
1
2
3
5x 5 30
x
x x
Dấu “=” xảy
x -
18
9
x x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 7x - 7x-9
Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x - 93 3 27x
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số:
1) Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử nhau
VD1: cho x > Tìm GTNN biểu thức: A = 3x4 316
x
Giải : Ta có A = 3x4 316 3x 163 x x x 163
x x x
Áp dụng BĐT Cơ-si Ta có :
3
16 16
A = x+x+x+ 4.2
x x x x x
Vậy Min A =
16
2
x x
x
VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max Min A = x y( - x - y ) 2 với
, x + y
x y
Xét 0 x y4 Ta có :
4
x
+y+ - x - y
x 2 2
A = .y( - x - y ) 4
2
x
x
Dấu “=” xẩy x = y = - x - y y = ; x =2
2
(21)Rễ thấy: – x - y2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy x + y =
=> A = x y( - x - y ) 2 đạt GTNN x2y đạtGTLN
Ta có :
3
2
2 x+y x+x+2y
3
x.x.2y
x y =
2 2
=32 hay x
2y 32 (2)
Từ (1) (2) => x y( - x - y ) 2 -64 Dấu ‘=’ xảy
2
x y x
x y y
VD3 Tìm GTLN A = x2(3 – x) biết x ≤ 3.
Giải : Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = 4.x2 x2.(3 – x) Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho số không âm x2, x2, (3 – x) ta : x2.x2.(3 – x) ≤
x x x
2 1
3
Do A ≤ (1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1( 71/28) Cho x > , y > x + y Tìm GTNN P 5x 3y 12 16 x y
Bài 2( 70/28) Cho x > , Tìm GTNN N x3 2000
x
Bài 3( 68/ 28) Cho x , Tìm GTNN
2 2 17
Q
2( 1)
x x
x
Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN M 34
x x
x
Bài 5( 72/ 29) Cho x > y x.y =5 , Tìm GTNN Q x2 1, 2xy y2
x y
Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 x > , Tìm GTLN
2
(22)===========================================================
2) Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có trong biểu thức cho.
VD1: Cho < x < , Tìm GTNN B 2
x x x
Ta có : B 1
2
x x x x
x x x x
Min B=
2
x x
x
x x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1( 74/ 29) Cho < x <1, Tìm GTLN B
1 x x
Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN A 25
x x
Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN biểu thức: A = 2x2 2x
x
Bài 4: Tìm GTNN biểu thức: B = x - x
Bài 5: Tìm GTNN biểu thức: A = x2 x
x
Bài 6: Tìm GTNN biểu thức: A =
x+1
x
( với x > -1 )
Bài 7: Tìm GTNN biểu thức: B = x-1
x
( với x > )
Bài 8: Tìm GTNN biểu thức: C = 2x-1
x
( với x > )
Bài 9: Tìm GTNN biểu thức: D = - x
x x
( với < x < )
(23)VD1 : Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm GTNN biểu thức:
2 2
P x y z
y z z x y x
Ta có : x2
y z +
y z 2
2
4
x y z x
x y z y2
x z +
x z
2
4
y x z y
y x z z
y x +
y x 2
2
4
z y x z
z y x =>
2 2
4 4
x y z y z x z y x
x y z y z z x y x
Hay:
2 2
2
x y z x y z
x y z y z z x y x
=>
2 2
P
2
x y z x y z x y z
x y z y z z x y x
Vậy Min P =
2 2 4
x y z
y z
y x z
x y z x z
z y x
y x
Lưu ý: Nếu ta thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào z2 , x2 , y2
y+x y+z z+x ta
khử (x + y), ( z + y), ( x + z) khơng tìm x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy đồng thời Khi khơng tìm giá trị nhỏ
VD2 : Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b
x y (a b
(24)Giải Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = a b x y a ay bx b
x y x y
Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương : ay bx ay bx ab
x y x y
Do A a b ab a b2
2
min A a b với
ay bx
x y
x a ab a b
1
x y y b ab
x, y
Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
2
a b a b
A (x y).1 (x y) x y a b
x y x y
Từ tìm giá trị nhỏ A
VD3 Tìm GTNN
2 2
x y z
A
x y y z z x
biết x, y, z > ,
xy yz zx 1
Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4:
2 2
x y z x y z
x y y z z x
Theo bất đẳng thức Cauchy
x y y z z x
xy ; yz ; zx nên x y z xy yz zx
2 2
xy yz zx
x+y+z
hay
2 2
min A =
1 x y z
3
(25)Bài 1: Tìm GTNN hàm số : y x2 2x 1 x2 2x 1
Cách 1: y x2 2x 1 x2 2x 1 x 1 x 1
Nếu: x < -1 y x x1 x 1 x 1 2x2
Nếu: -1 x 1 y x x1 x x 1
Nếu: x > y x x1 x x 2 x2
Vậy y nhỏ -1 x 1
Cách : áp dụng BĐT a b a b ( Dấu “=” sảy a.b 0)
Ta có : y x 1 x x 1 x 2
Vậy y nhỏ -1 x 1
Bài 2: Cho x, y > 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y
Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có :
A = x(4 -2x ) = – x 22 2x 2 2 2
=
2
2 x 2
=> Max A = 2
2
2
x x
y x xy
Cách 2: Ta có : A = 1.2
2 x xy Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi
cho số 2x, xy ta có:
2
2
2
2
2
2 4.2
x xy
x xy x xy
x xy x xy x y
Thay số
ta có : 2 x y2
=A
Vậy Max A =2 22x xyx xy 4 xy12
BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Tìm GTNN HS: a, y 4x2 4x 1 4x2 12x 9
b,
2 4 4 6 9
(26)Bài 2: Tìm GTNN HS: a, y 4x2 20x 25 x2 8x 16
b,
2
25 20 25 30
y x x x x