SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số MỤC LỤC Nội dung Trang I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Đối tượng nghiên cứu Giới hạn đề tài Phương pháp nghiên cứu a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn c) Phương pháp thống kê toán học II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề nghiên cứu Nội dung hình thức giải pháp a) Mục tiêu giải pháp b) Nội dung cách thức thực giải pháp c) Mối quan hệ giải pháp, biện pháp 27 d) Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu, phạm vi hiệu ứng dụng 27 III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận 28 Kiến nghị 29 I PHẦN MỞ ĐẦU Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao Trong chương trình Tốn cấp THCS phần lớn hệ thống câu hỏi tập biên soạn phù hợp với trình độ kiến thức lực số đơng học sinh.Tuy có số tập địi hỏi học sinh phải có lực học định nắm được, dạng tốn tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức đại số mà người ta thường gọi chung tìm cực trị biểu thức Các toán phổ biến đề thi học sinh giỏi văn hóa cấp, đề thi giải tốn máy tính cầm tay, đề thi giải toán tiếng việt đề thi giải toán tiếng anh qua mạng internet Việc bồi dưỡng học sinh học tốn khơng đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải tốn sở kiến thức học Qua nhiều năm thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp khối lớp 9, nhận thấy học sinh cịn lúng túng nhiều gặp phải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số thường mắc phải sai sót giải dạng tập này, nhiều học sinh thi giải toán qua mạng internet chưa biết tính nhanh kết tốn máy tính cầm tay nên khơng đủ thời gian để hồn thành thi Do người giáo viên cần phân loại dạng tập định hướng phương pháp giải cho dạng, sau dạng toán cần cung cấp thêm cho học sinh phương pháp tìm cực trị biểu thức máy tính cầm tay để em vận dụng linh hoạt tình cụ thể giúp học sinh hiểu sâu sắc chất dạng toán giải dạng tốn cách thành thạo Từ rèn luyện cho học sinh kĩ giải toán tư sáng tạo Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số” với mong muốn chia sẻ vài kinh nghiệm cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi để đồng nghiệp tham khảo, mong nhận góp ý chân thành đồng chí để đề tài phát huy hiệu Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài: Đề tài: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số” giúp học sinh hiểu sâu sắc chất dạng tốn tìm cực trị biểu thức, nắm vững phương pháp giải dạng, giúp cho học sinh biết phân loại vận dụng phương pháp giải cách linh hoạt có hiệu Qua giúp học sinh phát huy tính tích cực tinh thần sáng tạo học tập, phát triển lực tư toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp em học sinh có tự tin học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo giải tốn niềm đam mê môn Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Thông qua đề tài nhằm cung cấp kiến thức cần thiết phương pháp giải toán, kinh nghiệm cụ thể q trình tìm tịi lời giải giúp học sinh rèn luyện thao tác tư lô-gic, phương pháp suy luận khả sáng tạo cho học sinh Trong đề tài lời giải chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính xác, tính sư phạm Học sinh tự đọc giải nhiều dạng tốn cực trị, giúp học sinh có kiến thức tốn học phong phú để học tốt mơn tốn môn khoa học khác Đối tượng nghiên cứu: Một số kinh nghiệm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi dạy chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Giới hạn đề tài: Đề tài nghiên cứu khuôn khổ số dạng tốn tìm cực trị biểu thức Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối lớp khối lớp trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk Thời gian nghiên cứu: Qua năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 2016 - 2017 Phương pháp nghiên cứu: a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: - Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu tài liệu mạng internet, tốn tìm cực trị biểu thức đề thi học sinh giỏi cấp qua năm - Tiến hành phân theo dạng tập đề xuất phương pháp giải cho thể loại tập - Đưa tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Điều tra, khảo sát kết học tập học sinh - Thực nghiệm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp khối lớp trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk qua năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 2016 - 2017 - Đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy c) Phương pháp thống kê toán học: - Thống kê kết học tập học sinh sau áp dụng đề tài - Đối chiếu so sánh năm học với II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn khơng phải học sách giáo khoa, không làm tập thầy, cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn tìm giá trị lớn tìm giá trị nhỏ biểu thức đại số dạng tốn quan trọng chương trình mơn đại số đại số làm sở để học sinh học tiếp chương sau Có thể nói tốn khó thường xuất đề thi học sinh giỏi, toán phong phú thể loại cách giải, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt biến đổi, sắc sảo lập luận phát huy tối đa khả phán đoán Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy học tốn, tơi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh kiến thức tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn cực trị cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, phân tích, nhận dạng tốn, lựa chọn phương pháp giải phù hợp Từ đó, hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập, kích thích tị mị ham tìm hiểu đem lại niềm vui cho em, đồng thời khơi dậy cho em tự tin học tập niềm đam mê môn Hơn nữa, toán cực trị gắn toán học với thực tiễn việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ việc tìm tối ưu thường đặt đời sống kỹ thuật Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Trong năm qua, trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi khối khối trường THCS Lê Đình Chinh trải nghiệm nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, có chun đề “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số” tơi đạt thành tích cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, áp dụng chuyên đề nặng phương pháp liệt kê toán, chưa phát huy hiệu học tập học sinh Chính vậy, để học sinh nắm vững giải thành thạo tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số dạy chun đề giáo viên nên phân theo dạng toán, qua dạng có ví dụ minh chứng xây dựng phương pháp giải chung cho dạng, đồng thời lồng ghép kỹ sử dụng máy tính cầm tay để tìm cực trị biểu thức Với ý tưởng tơi thể đề tài nghiên cứu: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số” sau đưa tập thể tổ chuyên môn thảo luận áp dụng vào thực tiễn nhận thấy rèn luyện cho học sinh kĩ giải tốn có khoa học, lập luận logic chặt chẽ Học sinh hứng thú, chủ động học tập Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Nội dung hình thức giải pháp: a) Mục tiêu giải pháp: Đề tài “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số” nhằm mục đích tìm tịi, tích lũy đề tốn nhiều dạng khác sở vận dụng kiến thức học, trang bị cho học sinh giỏi lớp lớp cách có hệ thống phương pháp giải dạng tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số từ đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng đề phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Tạo hứng thú, niềm đam mê, u thích dạng tốn cực trị đại số thơng qua tốn có tính tư b) Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp: Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ ) * Chú ý: Tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ ) đạt giá trị nhỏ a > đạt giá trị lớn a < * Phương pháp giải: Đặt A = ax + bx + c ( a ≠ ) Trường hợp a > 0: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A, ta thực qua ba bước sau: Bước 1: Thêm bớt hạng tử sử dụng hai đẳng thức: 2 ( a + b ) = a + 2ab + b ( a − b ) = a − 2ab + b để biến đổi biểu thức A cho A ≥ k (với k số); Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k Bước 3: Kết luận AMin = k x = x0 Trường hợp a < 0: Để tìm giá trị lớn biểu thức A, ta thực qua ba bước sau: Bước 1: Thêm bớt hạng tử sử dụng hai đẳng thức: 2 ( a + b ) = a + 2ab + b ( a − b ) = a − 2ab + b để biến đổi biểu thức A cho A ≤ k (với k số); Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k Bước 3: Kết luận AMã = k x = x0 * Thủ thuật tìm giá trị nhỏ tìm giá trị lớn tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ ) máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS: Ấn Nhập giá trị a, ấn phím Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Nhập giá trị b, ấn phím Nhập giá trị c, ấn phím Ấn phím , máy tính cho kết X1 nghiệm thứ tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ ) Ấn tiếp phím , máy tính cho kết X nghiệm thứ hai tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ ) Ấn tiếp phím , máy tính cho kết X giá trị x để tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ ) đạt giá trị nhỏ giá trị lớn Ấn tiếp phím , máy tính cho kết Y giá trị nhỏ giá trị lớn tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ ) * Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − x + Giải: Ta có: A = x − 2x 1 1  11  + − + = x − ÷ + 4 2  1  Vì  x − ÷ ≥ với x ∈ R 2   11 11  nên  x − ÷ + ≥ với x ∈ R 2 4  1 Dấu “=” xảy ⇔ x − = ⇔ x = 2 11 Vậy AMin = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = 9x2 + 6x + Giải: Ta có: B = (9x2 + 6x + 1) + = (3x + 1)2 + Vì (3x + 1)2 ≥ với x ∈ R nên (3x + 1)2 + ≥ với x ∈ R Dấu “=” xảy ⇔ 3x + = ⇔ x = − Vậy BMin = x = − 3 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức: C = – 6x – x2 Giải: Ta có: C = - x2 – 6x + = - (x2 + 6x + 9) + + = 10 – (x + )2 Vì (x + )2 ≥ với x ∈ R Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số nên 10 – (x + )2 ≤ 10 với x ∈ R Dấu “=” xảy ⇔ x + = ⇔ x = -3 Vậy CMax = 10 x = − Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức: D = - 2x2 + 5x +1 Giải:  25  25 33 5    Ta có: D = −2  x − x ÷+ = −2  x − 2x + ÷+ + = −  x − ÷  16  8 4    2 5 33  33   − 2 x − ÷ ≤ Vì  x − ÷ ≥ với x ∈ R nên với x ∈ R 4 4   5 Dấu “=” xảy ⇔ x − = ⇔ x = 4 33 Vậy DMax = x = Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E = ( x − 1) + ( x − 3) Đối với biểu thức E trên, học sinh dễ bị mắc sai lầm sau: Vì ( x − 1) ≥ với x ∈ R ( x − 3) 2 ≥ với x ∈ R nên ( x − 1) + ( x − 3) ≥ với x ∈ R 2 x −1 = x = ⇔ x − = x = Vậy EMax = x = x = Dấu “=” xảy ⇔  Phân tích sai lầm sau: Vì ( x − 1) ≥ (1) với x ∈ R ( x − 3) ≥ (2) với x ∈ R Nhưng kết luận giá trị nhỏ E khơng đồng thời xảy dấu bất đẳng thức (1) (2) Lời giải sau: Ta có: E = x − 2x + + x − 6x + = 2x − 8x + 10 = 2(x − 4x + 4) + = 2(x − 2) + Vì ( x − ) ≥ với x ∈ R nên 2(x − 2) + ≥ với x ∈ R Dấu “=” xảy ⇔ x - = ⇔ x = 2 Vậy EMin = x = * Bài tập tự rèn: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số a) x − 4x + b) 3x − 11x + c) 5x+2x − 12 Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) − x + 6x + 15 b) −3x − 2x-1 d) 49x − 56x + 18 d) − x − x c) 4x − x + Dạng 2: Biểu thức có dạng phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai b * Chú ý: Cho biểu thức A = Q ( x ) b số, Q ( x ) tam thức bậc hai Khi đó: Nếu b Q ( x ) có giá trị dương biểu thức A đạt giá trị lớn ⇔ Q ( x ) đạt giá trị nhỏ Sẽ khơng xác lập luận phân thức có tử số nên phân thức lớn mẫu nhỏ Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn: Xét tốn: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x −4 Với lập luận trên: Vì tử thức có giá trị khơng đổi nên A đạt giá trị lớn x2 – đạt giá trị nhỏ nhất, mà giá trị nhỏ biểu thức x – -4 ⇔ x = Do giá trị lớn biểu thức A − x = Điều Không phải giá trị lớn biểu thức A ,chẳng hạn với 1 x = A = > − khơng − * Phương pháp giải: Biến đổi tam thức bậc hai mẫu giống cách biến đổi dạng 1; Từ xác định giá trị cực trị theo quy tắc so sánh hai phân thức tử, tử mẫu dương * Thủ thuật tìm giá trị nhỏ tìm giá trị lớn biểu thức dạng máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS: Tìm giá trị nhỏ tìm giá trị lớn tam thức bậc hai mẫu thức cách ấn máy dạng sau thay giá trị vào mẫu thức phân thức cho tính kết * Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = Giải: 2 x − 6x + 17 2 Ta có: A = x − 6x + 17 = x − + ( ) Vì ( x − 3) ≥ với x ∈ R Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số nên (x – )2 + ≥ với x ∈ R ⇒ ( x − 3) +8 ≤ = với x ∈ R Dấu “=” xảy ⇔ x – = ⇔ x = Vậy AMax = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = Giải: −5 x − 2x + −5 B = = − = − Ta có: x − 2x + x − 2x + ( x − 1) + Vì ( x − 1) ≥ Với x ∈ R nên ( x − 1) + ≥ với x ∈ R 5 ≤ = với x ∈ R (x − 1) + 5 ≥ −1 với x ∈ R ⇔ − (x − 1) + Dấu “=” xảy ⇔ x – = ⇔ x = Vậy BMin -1 x = ⇒ Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 6x − − 9x 2 2 Giải: Ta có: C = 6x − − 9x = − 9x − 6x + = − ( 3x − 1) + Vì ( 3x − 1) ≥ với x ∈ R nên ( 3x − 1) + ≥ với x ∈ R ⇒ ( 3x − 1) ⇔ − +4 ≤ = với x ∈ R 2 ( 3x − 1) +4 ≥− ∈ với x R Dấu “=” xảy ⇔ 3x – = ⇔ x = Vậy CMin = − 1 x = b Dạng 3: Biểu thức đưa dạng a + Q ( x ) a, b số, Q ( x ) tam thức bậc hai Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số b * Dấu hiệu nhận biết: Biểu thức A đưa dạng A = a + Q ( x ) a, b số, Q ( x ) tam thức bậc hai A phải có dạng: a1 b1 a1 x + b1x + c1 a ,a ≠ 0; = A= a x + b x + c2 a b2 * Phương pháp giải: b - Thực chia tử thức cho mẫu thức, đưa dạng A = a + Q ( x ) b Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q ( x ) dạng sau thay vào biểu thức A ta có kết cần tìm * Thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS: a Tìm a: a = a  a1x + b1x + c1  − a ÷.a x + b x + c ấn dấu = cho kết Tìm b: Ấn   a x + b x + c2  b b Khi ta có A = a + a x + b x + c 2 Ấn máy tìm nhỏ biểu thức a x + b2 x + c dạng 1, sau thay giá trị nhỏ vào biểu thức A ta có kết cần tìm * Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = Giải: 3x + 6x + 11 x + 2x + 3x + 6x + 11 2 A = = 3+ = 3+ Ta có: 2 x + 2x + x + 2x + ( x + 1) + A đạt giá trị lớn ( x + 1) + đạt giá trị nhỏ ( x + 1) + đạt đạt giá trị nhỏ x = −1 Vậy A Max = + = x = −1 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = Giải: 2x + 8x + 10 x + 4x + 2x + 8x + 10 4 B = = 2+ = 2+ Ta có: 2 x + 4x + x + 4x + ( x + 2) −1 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk 10 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số ( 3x − 4y ) ≥ với x, y 2 nên 40 − ( x + ) − ( 3x − 4y ) ≤ 40 với x, y  x = −5 x + =  ⇔ Dấu “=” xảy ⇔  15 3x − 4y =  y = −  x = −5  Vậy DMax = 40  15  y = − Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E = x − 4xy + 5y + 10x − 22y + 31 2 Giải: E = ( x - 4xy+4y ) + ( y -2y +1) +10 ( x – 2y ) + 25 + = ( x – 2y ) + 2.5 ( x – 2y ) + 52 + ( y − 1) + = 2 (x – 2y + ) + ( y − 1) + 2 Vì ( x − 2y + ) ≥ với x, y ( y − 1) ≥ với y 2 nên ( x – 2y + ) + ( y − 1) + ≥ với x, y  x − 2y + =  x = −3 ⇔ y −1 = y =  x = −3 Vậy EMin =  y = Dấu “=” xảy ⇔  Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F = 19x + 54y + 16z − 16xz − 24yz + 36xy + Giải: F = ( 9x + 36xy + 36y ) + ( 18y − 24yz + 8z ) + ( 8x − 16xz + 8z ) + 2x + = ( x + 4xy + 4y ) + ( 9y − 12yz + 4z ) + ( x − 2xz + z ) + 2x + = ( x + 2y ) + ( 3y − 2z ) + ( x − y ) + 2x + 2 Vì ( x + 2y ) ≥ với x, y 2 ( 3y − 2z ) ≥ với y, z ( x − y ) ≥ với x, y 2x ≥ với x nên ( x + 2y ) + ( 3y − 2z ) + ( x − y ) + 2x + ≥ với x, y, z 2 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk 18 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số  x + 2y = 3y − 2z =  ⇔ ⇔x=y=z=0 Dấu “=” xảy  x − y =   x = Vậy FMin = x = y = z = Dạng 7: Biểu thức đa thức bậc cao * Phương pháp giải: Thực phương pháp tương tự dạng * Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − 10x + 26x − 10x + 30 2 Giải: A = ( x ) − 2x 5x + 25x + x − 2x.5 + 25 + = ( x − 5x ) + ( x − ) + Vì ( x + 5x ) ≥ với x ( x − 5) ≥ với x nên ( x − 5x ) + ( x − ) + ≥ với x 2  x =  x − 5x =  ⇔   x = ⇔ x = Dấu “=” xảy ⇔  x − = x =  Vậy AMin = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = ( x + x + ) Nhận xét: Ta thấy B ≥ giá trị nhỏ B x2 – x + ≠ Nếu ta khai triển đa thức theo đẳng thức ta đa thức bậc 4, việc tìm giá trị nhỏ đa thức bậc phức tạp Do ta cần tìm giá trị nhỏ đa thức x2 + x + dạng 2 1 1  Giải: Ta có: x + x + = x + .x + + =  x + ÷ + 4 2   Vì  x +  2 1 ÷ ≥ với x ∈ R 2 1 7  nên  x + ÷ + ≥ với x ∈ R 2 4  1 Dấu “=” xảy ⇔ x + = ⇔ x = − 2 Biểu thức b đạt giá trị nhỏ ⇔ Biểu thức x2 + x + đạt giá trị nhỏ mà giá trị nhỏ biểu thức x2 + x + , đạt x = − Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 19 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số 49 7 Lúc B =  ÷ =   16 49 Vậy BMin = x = − 16 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Giải: C = ( x − 1) ( x + ) ( x + ) ( x + 3) = ( x + 5x − ) ( x + 5x + ) = ( x + 5x ) – 36 Vì ( x + 5x ) ≥ với x nên ( x + 5x ) – 36 ≥ −36 với x x = Dấu “=” xảy ⇔ x2 + 5x = ⇔   x = −5 x = Vậy CMin = - 36   x = −5 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = x – 6x + 10x – 6x + 19 Giải: D = x – 6x + 10x – 6x + 19 = x – 6x + 9x + x – 6x + + 10 = ( x – 3x ) + (x – ) + 10 Vì ( x − 3x ) ≥ với x ( x − 3) ≥ với x nên ( x – 3x ) + (x – 3) + 10 ≥ 10 với x  x =  x − 3x =  ⇔   x = ⇔ x = Dấu “=” xảy ⇔  x − = x =  Vậy DMin = 10 x = Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E = x – 2x + x – 2x + Giải: E = x – 2x + x – 2x + = x – 2x + + x – 2x + = ( x3 – ) + ( x – ) Vì ( x − 1) ≥ với x ( x − 1) ≥ với x nên ( x – ) + ( x – ) ≥ với x 2 x3 − = ⇔ x =1 Dấu “=” xảy ⇔  x −1 = Vậy EMin = x = Dạng 8: Biểu thức đa thức có dấu giá trị tuyệt đối Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk 20 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số * Phương pháp giải: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đa thức có dấu giá trị tuyệt đối ta sử dụng bất đẳng thức sau đây: a ≥ Dấu “=” xảy ⇔ a = a + b ≤ a + b Dấu “=” xảy ⇔ ab ≥ (a, b dấu) a −b ≥ a − b Dấu “=” xảy ⇔ ab ≥ (a, b dấu) a + b + c ≤ a + b + c Dấu “=” xảy ⇔ ab ≥ 0; bc ≥ 0;ac ≥ (a, b, c dấu) * Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − + x − Giải: Với x ∈ R, ta có: A = x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = Do A ≥ Dấu “=” xảy ⇔ (x - 2) (5 – x) ≥ Lập bảng xét dấu: x x−2 + + 5−x + + ( x − 2) ( − x ) + Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 2) (5 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy AMin = ≤ x ≤ Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x + + x − Giải: Với x ∈ R, ta có: B = x + + x − = x + + − x ≥ x + + − x = Do B ≥ Dấu “=” xảy ⇔ (x + 1) (1 – x) ≥ Lập bảng xét dấu: x -1 x +1 + + 1− x + + ( x + 1) ( − x ) + Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 1) (1 – x) ≥ ⇔ -1 ≤ x ≤ Vậy BMin = -1 ≤ x ≤ Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức: C = 3x + − 3x − Giải: Với x ∈ R, ta có: C = 3x + − 3x − ≤ ( 3x + ) − ( 3x − ) = 3x + − 3x + = 12 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 21 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Do C ≤ 12 Dấu “=” xảy ⇔ (3x + 5) (3x –7) ≥ Lập bảng xét dấu: − x 3x + 3x − ( 3x + 5) ( 3x − ) + + - + 0 + +  x ≤ −  Từ bảng xét dấu ta thấy: (3x + 5) (3x –7) ≥ ⇔  x ≥  Vậy CMax = 12 x ≤ − x ≥ 3 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = x + + 2x + + 3x − 18 Giải: Với x ∈ R, ta có: D = x + + 2x + + 18 − 3x ≥ x + + 2x + + 18 − 3x = 24 Do D ≥ 24 Dấu “=” xảy ⇔ x +1; 2x + 5; 18 - 3x dấu Lập bảng xét dấu: x − -1 x +1 2x + 18 − 3x + + + + + + Từ bảng xét dấu ta có x +1; 2x + 5; 18 - 3x dấu ⇔ -1 ≤ x Vậy DMin = 24 -1 ≤ x ≤ + + ≤ Dạng 9: Biểu thức có chứa thức * Phương pháp giải: Với dạng toán ta cần ý đặt điều kiện thức có nghĩa, sau tùy theo đặc điểm biểu thức chứa mà ta sử dụng phương pháp sau đây: Phương pháp 1: Nếu biểu thức cho có dạng ax + bx + c ta biến đổi biểu thức lấy giống cách biến đổi dạng để tìm giá trị cực trị Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức A = −x + x + Giải: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 22 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Với x ∈ R, ta có: 1 1   A = −x + x + = −  x − 2x + ÷+1 = −  x − ÷ ≤ = 4 2   1 Dấu “=” xảy ⇔ x − = ⇔ x = 2 Vậy AMin = x = 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = 4x − 4x (x + 1) + (x + 1) + Giải: Với x ∈ R, ta có: B = ( 2x ) − 2.2x (x + 1) + (x + 1)  + =   (2x − x − 1) + ≥ =  x=−  Dấu “=” xảy ⇔ 2x − x − = ⇔ ( 2x + 1) ( x − 1) = ⇔  x = 1 Vậy BMin = x = − x = 2 Phương pháp 2: Nếu biểu thức có dạng f (x) + g(x) mà f(x) g(x) có dạng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu ta áp dụng đẳng thức để khai đưa biểu thức dạng có chứa dấu giá trị tuyệt đối thực dạng Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = x − 4x + + x − x + Giải: Với x ∈ R, ta có: 1  C = x − 4x + + x − x + = ( x − ) +  x − ÷ = x − + x − 2  1 = 2−x + x − ≥ 2−x+x − = 2 1  Do C ≥ Dấu “=” xảy ⇔ ( − x )  x − ÷ ≥ ⇔ ≤ x ≤ 2 2  Vậy CMin = ≤ x ≤ 2 2 Phương pháp 3: Nếu biểu thức có dạng f (x) + g(x) mà biểu thức f (x) + g(x) có giá trị số ta áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b (a,b ≥ 0) để tìm giá trị nhỏ Dấu “=” xảy ⇔ a.b = ⇔ a = b = Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = x − 25 + 42 − x Giải: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk 23 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số  x − 25 ≥ ⇔ 25 ≤ x ≤ 42  42 − x ≥ Biểu thức D có nghĩa khi:  Với 25 ≤ x ≤ 42 , ta có: D = x − 25 + 42 − x ≥ (x − 25) + (42 − x) = 17  x − 25 =  x = 25 ⇔ Dấu ‘=’ xảy ⇔   42 − x =  x = 42 Vậy DMin = 17 x = 25 x = 42 Phương pháp 4: Nếu biểu thức có dạng f (x) − g(x) mà biểu thức f (x) − g(x) có giá trị số ta áp dụng bất đẳng thức a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥ 0) để tìm giá trị lớn Dấu “=” xảy ⇔ b(a - b) = ⇔ b = a = b Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn biểu thức sau a) E = x + − x − b) F = 2x − 2006 − 2x − 2007 Giải: x + ≥ ⇔ x ≥8 x − ≥ a) Biểu thức E có nghĩa khi:  Với x ≥ , ta có: E = x + − x − ≤ (x + 1) − (x − 8) = = Dấu “=” xảy ⇔ x - = ⇔ x = Vậy EMax = x =  2x − 2006 ≥ 2007 ⇔x≥  2x − 2007 ≥ b) Biểu thức F có nghĩa khi:  2007 , ta có: F = 2x − 2006 − 2x − 2007 ≤ (2x + 2006) − (2x − 2007) = 2007 Dấu “=” xảy ⇔ 2x - 2007 = ⇔ x = 2007 Vậy FMax = x = Với x ≥ Phương pháp 5: Nếu biểu thức có dạng A = f (x) + g(x) , bậc f(x) g(x) mà giá trị biểu thức f (x) + g(x) khơng số ta tính A áp dụng bất đẳng thức Cơ-si để tìm max A suy max A * Bất đẳng thức Cô-si: Với a ≥ 0, b ≥ thì: a + b ≥ ab ( a + b ) ≥ 4ab Dấu “=” xảy ⇔ a = b Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn biểu thức G = − x − + x Giải: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk 24 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số 2 − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 + x ≥ Biểu thức G có nghĩa khi:  ( x + 1)(2 − x) = + ( x + 1)(2 − x) G2 = x + + - x + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm (x + 1) (2 - x) ta có ( x + 1)(2 − x) ≤ (x + 1) + (2 – x ) Dấu “=” xảy ⇔ x + = - x ⇔ x = Do đó: G ≤ + (x + 1) + (2 – x ) = ⇒ G Max = x = 2 Vì G ≥ nên suy GMax = x = 2 − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Cách khác: Biểu thức G có nghĩa khi:  1 + x ≥ G = x + + − x + (x + 1)(2 − x) = + (x + 1)(2 − x) = + 2x + − x − x  1  1 = + − x + x + = + −  x − 2x + ÷ = + −  x − ÷ ≤ + =  4  2 2 Dấu “=” xảy ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ G Max = x = 2 Vì G ≥ nên suy GMax = x = Phương pháp 6: Nếu biểu thức có dạng A = f (x) , bậc f(x) bậc g(x) g(x) ta nhân chia f(x) với số khác 0, sau áp dụng bất đẳng thức Cơ-si Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn biểu thức H = x −9 5x Giải: x − ≥ ⇔ x≥9 Biểu thức H có nghĩa khi:  x ≠ Ta có: H = x − = 5x x −9 3 5x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x −9 ta có: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk 25 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số x −9 +3  x −9  =  + 3÷ 2  x −9 = ⇔ x = 18 Dấu “=” xảy ⇔  x −9  + 3÷ x  Do đó: H ≤  = = 5x 10x 30 Vậy HMax = x = 18 30 x −9 ≤ Dạng 10: Biểu thức có dạng f (x) , bậc f(x) lớn bậc g(x) g(x) * Phương pháp giải: f (x) g(x) bậc f(x) lớn bậc g(x), ta biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số áp dụng bất đẳng thức Cơ-si Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phân thức có dạng * Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( Giải: A = x + 2009 ) x x + 2.2009x + 20092 20092 =x+ + 2.2009 x x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x 20092 ta có: x 20092 20092 x+ ≥ x x x 2009 ⇔ x = 2009 Dấu “=” xảy ⇔ x = x 20092 + 2.2009 = 4.2009 = 8036 x Vậy AMin = 8036 x = 2009 Do đó: A ≥ x Ví dụ 2: Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x + 2x + 17 2(x + 1) x + 2x + 17 ( x + 1) + 16 x + = = + Giải: B = 2(x + 1) 2(x + 1) x +1 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 26 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x +1 ta có: x +1 x +1 x +1 + ≥2 x +1 x +1 x +1 = ⇔ ( x + 1) = 16 Dấu “=” xảy ⇔ x +1 x + = x = ⇔ ⇔  x + = −4  x = −5(loaïi, x > 0) x +1 =4 x +1 Vậy BMin = x = Do đó: B ≥ 4x (với x > ) x −3 4x 4x − 36 + 36 4(x − 9) + 36 36 = = = 4( x + 3) + Giải: C = x −3 x −3 x −3 x −3 36 36 36 = x + 12 + = x − 12 + + 24 = 4( x − 3) + + 24 x −3 x −3 x −3 36 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 4( x − 3) ta có: x −3 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 36 36 ≥ 4( x − 3) x −3 x −3 36 Dấu “=” xảy ⇔ 4( x − 3) = x −3  x −3 =  x = 36 ⇔ ( x − 3)2 = ⇔  ⇔  x = 0(loại,vì x > 9)  x − = −3 4( x − 3) + Do đó: C ≥ 4( x − 3) 36 x −3 + 24 = 4.36 + 24 = 48 Vậy CMin = 48 x = 36 c) Mối quan hệ giải pháp, biện pháp: Các giải pháp, biện pháp nêu đề tài có mối quan hệ mật thiết với nhau, xếp theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp nhằm trang bị cho học sinh phương pháp giải tốn cực trị từ dễ đến khó, dạng tiền đề cho dạng khác thủ thuật tìm giá trị nhỏ tìm giá trị lớn biểu thức đại số máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS có vai trò hỗ trợ cho học sinh kiểm chứng lại kết đặc biệt học sinh sử dụng thủ thuật để giải nhanh toán cực trị thi giải toán qua mạng internet Để thực có hiệu giải pháp, biện pháp Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 27 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số nêu đề tài này, trước hết học sinh phải trang bị tốt kiến thức có kỹ biến đổi cách linh hoạt biểu thức cho cho tìm giá trị cực trị chúng, cần lưu ý đến bất đẳng thức có 2 sẵn đẳng thức ( A + B) = A + 2AB + B2 ( A − B ) = A − 2AB + B2 Đề tài “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số” tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp khối lớp Khi áp dụng giải pháp, biện pháp đề tài nên thực theo trình tự từ dạng đến dạng 10 để đảm bảo tính thống logic dạng tốn Đề tài khơng áp dụng cho học sinh khối lớp khối lớp mà cịn áp dụng cho học sinh khối lớp Chẳng hạn như các toán dạng (Biểu thức đa thức có dấu giá trị tuyệt đối) giáo viên áp dụng cho học sinh lớp Nói tóm lại, biện pháp giải pháp có mối quan hệ thống với nhau, cần phối kết hợp sử dụng nâng cao chất lượng hiệu công tác giảng dạy cho học sinh d) Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu, phạm vi hiệu ứng dụng: Trong năm qua, vận dụng đề tài vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Lê Đình Chinh với kết đạt sau: * Năm học 2014 – 2015: - Học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh mơn Tốn 9: Đạt giải khuyến khích (Em Nguyễn Lam Phương lớp 9A4) - Học sinh giỏi văn hóa cấp huyện mơn Tốn 9: Đạt giải nhì (Em Nguyễn Lam Phương lớp 9A4) đạt giải ba (Em Nguyễn Lê Huy lớp 9A4) - Học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn Casio lớp 9: Đạt giải khuyến khích (Em Nguyễn Lam Phương, em Nguyễn Lê Huy lớp 9A4) em công nhận học sinh giỏi môn Tốn Casio cấp huyện (Em Nguyễn Hồng Minh lớp 9A2) * Năm học 2015 – 2016: - Có em đạt danh hiệu học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn – Tiếng Việt qua mạng internet (Em Trần Văn Lâm lớp 9A1, em Nguyễn Đoàn Uyên Trang lớp 9A1 em Huỳnh Thị Hồng Chi lớp 9A4) - Học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn – Tiếng Việt qua mạng internet: Đạt giải khuyến khích (Em Huỳnh Thị Hồng Chi lớp 9A4) * Năm học 2016 – 2017: Tôi tiếp tục vận dụng đề tài vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi văn hóa mơn Tốn 8, bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn – Tiếng Anh Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk 28 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số khối qua mạng internet bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn – Tiếng Việt khối qua mạng internet Bằng chút kinh nghiệm thân thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu đề tài “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số” áp dụng Với kết đạt thống kê chưa cao phần góp phần khơi dậy niềm say mê học tập em học sinh Tôi hy vọng đề tài góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng mũi nhọn bộ môn toán ngành giáo dục nói chung trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận: Khi nghiên cứu đề tài: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số” tơi thấy việc áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả, học sinh có hứng thú trình tiếp thu kiến thức, học sinh nắm kiến thức cũ hơn, biết sử dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức; kĩ giải toán học vào dạng tập cụ thể Đề tài chuyên đề thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp mơn Toán khối khối Tuy nhiên, với 10 dạng tập đưa đề tài chưa phải đầy đủ dạng tập tìm cực trị biểu thức đại số Tôi hy vọng đề tài lần sau tiếp tục nghiên cứu đề tài với số dạng tốn khác “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số có điều kiện ràng buộc biến” chẳng hạn tốn sau: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y3 + xy biết x + y = Mặc dù cố gắng tơi chắn việc trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận nhiều ý kiến đóng góp xây dựng thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp để chuyên đề thực hấp dẫn có hiệu đến với thầy cô giáo em học sinh Xin chân thành cảm ơn! Kiến nghị: * Đối với giáo viên: Tận tâm với nghề dạy học, tìm tịi phương pháp để truyền thụ kiến thức đến học sinh đạt hiệu hơn, thường xuyên quan tâm đến chất lượng học tập học sinh, trân trọng thành đạt học sinh dù nhỏ Ln tìm tịi, sáng tạo dạy học, tận dụng hội tiếp xúc với học sinh, lắng nghe học sinh nói để tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh từ nâng cao chất lượng Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 29 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số * Đối với nhà trường: Tổ chức triển khai sáng kiến kinh nghiệm cấp trường, cấp huyện để giáo viên áp dụng đề tài đạt giải vào thực tiễn giảng dạy * Đối với phòng giáo dục: Thường xuyên tổ chức triển khai chuyên đề nâng cao chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn để giáo viên có điều kiện nghiên cứu, trao đổi học hỏi lẫn nhau, đồng nghiệp tìm giải pháp, biện pháp hay hoạt động dạy học Quảng Điền, tháng năm 2017 Người thực hiện: Nguyễn Văn Dũng NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk 30 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO STT TÊN TÀI LIỆU TÁC GIẢ 01 Sách giáo khoa, sách tập Toán 02 Sách giáo khoa, sách tập Toán 03 Sách bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đại số Vũ Hữu Bình lớp 04 Sách chủ đề nâng cao Toán 05 Sách bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn đại số Vũ Hữu Bình lớp Huỳnh Quang Lâu Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 31 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số 06 Sách bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đại số Trần Thị Vân Anh lớp 07 Sách nâng cao phát triển tốn Vũ Hữu Bình 08 Sách hướng giải tốn máy tính Casio TS NguyễnThái Sơn 09 Giải tốn máy tính cầm tay Tạ Quang Phượng 10 Các đề thi học sinh giỏi cấp năm học 11 Các tài liệu tham khảo mạng internet Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 32 ... dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số Nội dung hình thức giải pháp: a) Mục tiêu giải pháp: Đề tài ? ?Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức. .. tính cầm tay để tìm cực trị biểu thức Với ý tưởng tơi thể đề tài nghiên cứu: ? ?Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số? ?? sau đưa tập thể tổ chuyên môn thảo... Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 31 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm cực trị biểu thức đại số 06 Sách bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đại số Trần Thị Vân Anh lớp 07 Sách nâng