Chuyên đề tìm cực trị (GTLN, GTNN) cho học sinh THCS

Trong Toán học, cực trị là một khái niệm rất hẹp nhưng kiến thức liên quan đến nó thì vô cùng rộng r•i. Trong chương trình Toán THCS những bài toán cực trị có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học, Đại số và Hình học. Học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 đều đ• gặp những bài toán cực trị với những yêu cầu như : tìm số x lớn nhất sao cho..., tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của biểu thức ..., xác định vị trí của điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ...) của hình H nào đó đạt giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) ...,

Mục lục

Mục lục 1

A – phần mở đầu 2

I - Lí do chọn đề tài 2

II- Mục đích nghiên cứu 2

III- Khách thể và đối tợng nghiên cứu 2

IV- Giả thuyết khoa học 3

V- Nhiệm vụ nghiên cứu 3

VI- Giới hạn đề tài 3

VII- Các phơng pháp nghiên cứu 3

B Phần nội dung 4

Chơng I : Đại cơng về cực trị 4

Chơng II : cực trị số học 4

I - phép chia hết và phép chia có d 4

II - Đồng d thức và phơng trình đồng d 7

III - Số nguyên tố 9

IV - Phơng trình DIOPHANTE 10

V- Một số bài toán cực trị khác 13

Chơng III : Cực trị đại số 14

I Phơng pháp sử dụng tam thức bậc hai 14

II Phơng pháp tìm cực trị dựa vào luỹ thừa bậc chẵn 16

III.Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối 19

IV.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tập giá trị hàm 20

V Phơng pháp tìm cực trị sử dụng bất đẳng thức Côsi 22

VI.Phơng pháp tìm cực trị sử dụng BĐT Bunhiacôpxki 26

VII.Phơng pháp tìm cực trị sử dụng phơng pháp phân chia 29

VIII.Một số sai lầm khi giải toán cực trị 32

IX Bài tập 34

Hớng dẫn giải bài tập 39

c kết luận 53

Tài liệu tham khảo 54

I - Lí do chọn đề tài

1 Lí do khách quan

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tợng

nh-ng mô hình ứnh-ng dụnh-ng của nó rất rộnh-ng rãi và gần gũi tronh-ng mọi lĩnh vực của đời sốnh-ng xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phơng pháp chung

để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo – hoàn thiện nhân cách

Trong Toán học, cực trị là một khái niệm rất hẹp nhng kiến thức liên quan

đến nó thì vô cùng rộng rãi Trong chơng trình Toán THCS những bài toán cực trị

có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học, Đại số và Hình học Học sinh từlớp 6 đến lớp 9 đều đã gặp những bài toán cực trị với những yêu cầu nh : tìm số xlớn nhất sao cho , tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của biểu thức , xác định vị trícủa điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ) của hình H nào đó đạt giá trị lớn nhất( nhỏ nhất ) , đặc biệt đây là những bài để học sinh dành điểm tối đa trong các đềthi tốt nghiệp THCS Nhng khi giải có thể giáo viên không dạy phơng pháp tổngquát hoặc có dạy nhng học sinh không đợc tiếp thu theo hệ thống dạng toán Nóichung khi gặp toán cực trị đa phần học sinh e ngại và lúng túng trong cách giải.

2 Lí do chủ quan

Là sinh viên năm cuối, khi nghiên cứu SGK Toán THCS tôi nhận thấy sự cầnthiết phải hình thành một cách có hệ thống các dạng bài toán cực trị và ph ơng phápgiải để dạy học sinh Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu Đợc sựkhuyến khích, giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè và đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình chu

đáo của thầy giáo Nguyễn Quang Hoè – giảng viên khoa Toán Tin trờng ĐHQuảng Bình, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu bớc đầu đề tài :

“ Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS ”

II- Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp giải một số dạng toán cực trị thờng gặptrong trờng THCS , nâng cao dần kỹ năng kỹ xảo giải các dạng toán trên Đồngthời làm tài liệu phục vụ cho việc giảng dạy của giáo viên tốt hơn cũng nh gạt bỏtâm lý e ngại của học sinh khi giải toán cực trị

III- Khách thể và đối tợng nghiên cứu

1 Khách thể nghiên cứu

Phơng pháp giải một số dạng toán cực trị

2 Đối t ợng nghiên cứu

Học sinh trờng THCS (do điều kiện cha cho phép nên đề tài mới chỉ mangtính tham khảo)

IV- Giả thuyết khoa học

Nếu học sinh đợc học “ phơng pháp giải một số dạng toán cực trị ” thì trình

độ , kỹ năng , kỹ xảo của học sinh chắc chắn sẽ đợc nâng lên sau khi thực hiện đềtài này là hiển nhiên không còn là giả thuyết nh các đề tài khác Tôi mong rằng saukhi thực hiện đề tài, học sinh không còn cảm thấy sợ toán cực trị nữa mà ngợc lại đaphần các em cảm thấy hứng thú hơn khi học toán và đều nắm đợc phơng pháp giảimột số dạng toán mà đề tài đề cập

V- Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng cơ sở lí luận , phơng pháp giải một số dạng toán cực trị Số học ,

Đại số

- áp dụng giảng dạy cho học sinh đại trà, học sinh giỏi và học sinh ôn thivào THPT trong công tác giảng dạy sau này

VI- Giới hạn đề tài

Vì đề tài đang ở bớc đầu nghiên cứu nên tôi chỉ mới xây dựng phơng phápcho một số dạng toán cực trị thờng gặp

VII- Các phơng pháp nghiên cứu

B Phần nội dung Chơng I : Đại cơng về cực trị.

Bài toán cực trị xuất phát từ thực tiễn và trong khi giải quyết những bài toánlớn Cực trị là tên gọi chung cho những bài toán tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) và giátrị nhỏ nhất ( GTNN) Trong lí thuyết Toán học hiện đại thì các phân môn Số học,

Đại số , Hình học đều có thể đợc định nghĩa qua tập hợp Việc giải bài toán cực trị

đối với mỗi phân môn thì có sự giới hạn tập hợp số để xét Trong chơng trình THCSchỉ xét giới hạn trong trờng số thực R đối với phân môn Đại số và Hình học còn đốivới phân môn Số học thì chỉ xét trên vành số nguyên Z

Theo lí thuyết Giải tích cổ điển, xét tập hợp số thực xE R , khi đó nếu Ekhông rỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE ) hoặc cận dới

đúng m của E ( m = infE ) hoặc cả hai Tuy nhiên có thể cả M và m đều khôngthuộc E Khi ME ( hoặc mE) ta viết M = maxE ( hoặc m = minE ) đây là cáchviết tắt theo chữ Latin ( max = maximum , min = minimum ) mà trong trờng phổthông ta thờng gọi là giá trị lớn nhất ( GTLN ) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN )

Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm đồngthời cả hai điều kiện :

i) M  E hoặc m  E

ii) x  E để M = E hoặc m = E

Sau đây là những dạng bài tập và phơng pháp cụ thể đối với thuộc phân môn

Số học và Đại số xét theo quan điểm trên :

Cho hai số nguyên dơng a , b

ớc chung lớn nhất của a và b đợc kí hiệu là ƯCLN ( a,b) hay (a, b) Số d gọi

là ớc chung của a và b khi và chỉ khi d là ớc của ƯCLN(a ,b) :

d | a và d | b  d | (a,b) Bội chung nhỏ nhất của a và b đợc kí hiệu là BCNN(a,b) hay [a,b] Số m làBCNN(a,b) khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b) :

m  a và m  b  m  [a,b] Hai số đợc gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b) = 1

* Tuy nhiên , trong việc tìm ƯCLN của hai số dơng a, b ( a>b) ngời ta còn có thể

sử dụng thuật toán Euclide nh sau :

b c

i

i

p

n p

n p

Nếu (p,q) 1 thì ta phân tích A(n) rồi chứng minh tích đó chia hết cho m

Ta cũng có thể phân tích A(n) thành tổng nhiều số hạng cùng chia hết cho m

3 Ta thờng sử dụng kết quả sau :

Nếu số d khi chia a cho b > 0 là r ( 0< r <b) thì số d khi chia an ( n>1) cho b

là số d khi chia rn cho b ( số d này bằng rn nếu rn < b )

C Bài tập áp dụng.

* Qui ớc :

Nếu a là số lớn nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu max(a,b,c,d) = a

Nếu b là số nhỏ nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu min(a,b,c,d) = b

Ví dụ 1 :

Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất sao cho 2n – 1  7

Giải :

XÐt phÐp chia sè nguyªn n cho 3 th× n chØ cã mét trong ba d¹ng : n = 3k ; n = 3k+1 ;

n = 3k+3 ( k Z)

Víi n = 3k ta cã : 2n – 1 = 8k – 1  7

Víi n = 3k+1 ta cã : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + 1 kh«ng chia hÕt cho 7

Víi n = 3k+2 ta cã : 2n – 1=4.8k-1= 4(8k -1) + 3 kh«ng chia hÕt cho 7

VËy víi n  3 th× 2n – 1  7 mµ n lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt nªn n = 3

221 664 3

1994

3

1994 3

Sè mò cña 7 trong 1994! lµ : 329

Sè mò cña 19 trong 1994! lµ : 109 VËy trong 1994! cã c¸c thõa sè : 3992 ; 5495 ; 7329 ; 19109

Suy ra : (1994!)1995 = (3992 5495 7329 19109 M )1995 Víi M lµ tÝch c¸c thõa sè kh«ngchøa c¸c thõa sè nguyªn tè 3 ; 5 ; 7 ; 19

* Víi k = 109.1995 th× ( 1994!)1995  1995k

* Víi k = 109.1995 + 1 th× ( 1994!)1995 kh«ng chia hÕt cho 1995k

VËy k = 109.1995 lµ sè tù nhiªn lín nhÊt cÇn t×m

VËy P  6n th× n lµ íc cña 30 vµ lµ béi cña 3 hoÆc béi cña 3 céng thªm 1 

n = {1;2;3;6;10;15;30} Thay c¸c gi¸ trÞ trªn vµo P = ( n+5)(n+6) vµ 6n th× ta cã

n = {1;3;10;30} (*) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n

và ta kí hiệu : a  b ( mod m ) Đây là một đồng d thức với a là vế trái, b là vế phải.

Nói riêng, a  0 ( mod m ) nghĩa là a chia hết cho m

Trong trờng hợp b m thì a  b ( mod m ) có nghĩa là chia a cho m có d là

b

1.2 Các tính chất của đồng d thức

1.2.1 Ta có : a a với a

a  b ( mod m)  b  a ( mod m)

a  b ( mod m) và b  c ( mod m)  a  c ( mod m)

1.2.2 Nếu a  b ( mod m) và c  d ( mod m) thì a  c  b  d ( mod m) ; ac 

bd ( mod m)

Suy ra :

i) a  b ( mod m)  a  c  b  c ( mod m)

ii) a + c  b (mod m )  a  b - c ( mod m)

iii) a  b ( mod m)  na  nb ( mod m)

iv) a  b ( mod m)  an  bn ( mod m)

1.2.3 a  b (mod m) 

d

b d

Trong đó a,b,m>0 là những số đã biết , x là ẩn

2.2 Tính chất

2.2.1 Phơng trình đồng d ax  b ( mod m) có nghiệm duy nhất nếu (a,m) = 1.( ta hiểu phơng trình đồng d ax  b ( mod m) có nghiệm duy nhất nghĩa là tất cảcác nghiệm đều thuộc một lớp các số đồng d với b modun m )

2.2.2 Bằng các phép biến đổi của dồng d thức bao giờ ta cũng đa phơng trình

đồng d bậc nhất về dạng ax  b ( mod m) với m > a > 0 và m > b 0

.

) ( mo d

) ( m od

2 2

2

1 1

1

n n

a

m b

x a

m b

x a

Bằng cách biến đổi tơng đơng các đồng d thức ta có thể quy hệ phơng trình

đồng d bậc nhất một ẩn về phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn

B Ph ơng pháp giải bài toán cực trị đối với ph ơng trình đồng d

Từ lí thuyết ở trên, ta biết rằng luôn đa đợc phơng trình (hệ phơng trình )

đồng d về dạng ax  b ( mod m) Do đó vấn đề ở đây là từ điều kiện đề bài tachuyển về phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d một ẩn, biến đổi tơng đơng về ph-

ơng trình dạng ax  b ( mod m ) rồi theo điều kiện bài toán ta suy ra GTLN( GTNN) của ẩn cần tìm

C Bài tập áp dụng

Ví dụ 6 Tìm số nguyên x lớn nhất , nhỏ nhất thoả mãn :

- 10 < x < 25 và 17x 13(mod11) Giải : Ta có :

17x 13(mod11)  6x  2 ( mod 11)  3x 1 ( mod 11)

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 , chỉ có hai ớc là 1 và chính nó

Các số còn lạ gọi là hợp số Từ đó suy ra, số 0 và số 1 không phải là sốnguyên tố, số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất

2.3 Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số N là số không vợt quá N

Từ đó suy ra : nếu số N > 1 không có một ớc nguyên tố nào từ 2 cho đến N thì N

là một số nguyên tố

2.4 Có vô số số nguyên tố dạng ax + b với (a,b) = 1

2.5 Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n  1, mọi số nguyên tố lớn hơn 3

đều có dạng 6n  1 ( n > 0 )

B Ph ơng pháp tìm cực trị với số nguyên tố

Không có phơng pháp chung để giải các dạng bài tập về số nguyên tố, ta ờng phân tích thành dạng tích từ dữ kiện đề bài rồi sử dụng tính chất chia hết để lọchoặc có thể quét các trờng hợp nếu số lần quét có thể kiểm soát đợc

p p a

p p a

Một phơng trình có nhiều ẩn số với tất cả các hệ số đều là những số nguyên

và ta phải tìm nghiệm nguyên của nó đợc gọi là phơng trình DIOPHANTE

Nói chung phơng trình DIOPHANTE có nhiều nghiệm nguyên nên ta còn gọi là

Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng : ax + by = c trong đó a,b,c lànhững số nguyên , a và b đồng thời khác 0

2.1.2 Một số tính chất

* Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi (a,b)=1

* Nếu phơng trình ax + by = c có một nghiệm nguyên (x0,y0) thì nó có vô sốnghiệm nguyên dạng :

y

bt x

2

) (

2 2

2 2

q p

đơn giản Phơng pháp giải chung cho những bài toán đơn giản này là từ dữ kiện đềbài ta thiết lập phơng trình rồi sử dụng tính chất chia hết hoặc đồng d thức hoặckiến thức liên phân số để tìm nghiệm riêng hoặc nghiệm tổng quát Trên khoảngnguyên xác định ta tìm đợc max , min thoả mãn đề bài

C Bài tập áp dụng

Ví dụ 11

Có ba ngời đi câu cá Trời đã tối nên họ bỏ cá trên bờ sông rồi mỗi ngời tìmmột nơi để ngủ Ngời thứ nhất thức dậy đếm số cá thấy chia 3 thì thừa 1 nên ném 1con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà Ngời thứ 2 thức dậy tởng hai bạn còn ngủ, đếm

số cá chia 3 thấy thừa 1 con nên ném 1 con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà Ngờithứ 3 thức dậy tởng mình dậy sớm nhất đếm số cá chia 3 thấy thừa 1 con nên ném 1con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà Hỏi họ câu đợc nhiều nhất bao nhiêu con cábiết số cá không vợt quá 170 con

Giải :

Gọi số cá câu đợc của ba ngời là x và y là số cá còn lại khi cả ba đã lấy điphần của mình thì ta có phơng trình :

38 27 8 1

1 ) 1 ( 3

2 3

t x

8 144

27 380





z y

x

Giải :

Với mọi bộ (x,y,z) thoả mãn phơng trình ta giả sử 0 xyz thì :

1991 3 1991

3 1991

1 1 1 1 1 1

1

1

0           x

x z

y x x x

y

giá trị không nhiều hơn 2.1991 Với mỗi giá trị của x ta có :

1991 2 1991

1991 2 2

1 1

y z y

Với x,y đã biết thì có nhiều nhất là một giá trị tơng ứng của z

Vậy có nhiều nhất là 23.1991 nghiệm

Ta có 4xy = (x+y)2 – (x-y)2 = 20052 – (x-y)2

Giả sử x > y ( không thể có x = y) Ta có : xy lớn nhất  x-y nhỏ nhất ; xy nhỏnhất  x-y lớn nhất

Vậy GTNN của A là 5

Ví dụ 16

Cho dãy (1) gồm 50 số hạng : 20 +12; 20 + 22 ; 20 + 32 ; ; 20 +492; 20 + 502

Xét dãy (2) gồm 49 số là ƯCLN của mỗi số hạng của dãy (1) , không kể sốhạng cuối cùng với số hạng đứng liền sau nó trong dãy ấy Tìm số lớn nhất trongdãy thứ (2).

Giải :

Ta có : 49 số số hạng đầu của dãy (1) có dạng : 20 + n2 ( n=1,2, ,49) Gọi d

là số bất kì của dãy (2) , d =ƯCLN(20 + n2, 20 + (n+1)2)

Ta có : (20 + n2 + 2n +1) - (20 + n2)  d  2n+1d  2(20+n2)-n(2n+1) d  40-nd 2(40-n)+(2n+1) d  81d

Do đó d  81 Với d = 81 ta có 40 – n 81 Do n  {1,2,3, ,49} nên n = 40 Vậy số lớn nhất trong dãy (2) là 81, đó là ƯCLN(20 + 402, 20 + 412)

I Phơng pháp sử dụng tam thức bậc hai

Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai

Tổng quát : Cho tam thức bậc hai : P = ax 2 + bx + c (a0)

Vậy minB = 2 , tại y = 0  x= - 7

Dạng 3: Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai

- Biến đổi mẫu thức thnàh dạng tam thức bậc hai

II.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho :

Vậy ymin = 1

4 tại x

2 = 12

2x

đạt max  x  hoặc x1 0

DÊu = x¶y ra khi

T×m min cña mçi biÓu thøc sau :

a) C = ( x – 1)(x – 3 )(x2– 4x + 5) b) D = x2 – 2xy + 2y2 + 2x – 10y + 17 Bµi sè 3

T×m max cña biÓu thøc sau :

E = xy + yz + xz biÕt x + y + z =12 Bµi sè 4

T×m max ( min ) cña mçi biÓu thøc sau :

f(A)x2 + g(A)x + k = 0 (1) ( k là một số thực ) thì rõ ràng với mỗi x thuộc tập nguồn

D thoả (1) sẽ cho một ảnh h(A) của tập đích E của A Vì vậy bằng cách gián tiếpdựa vào điều kiện có nghiệm của phơng trình (1) ta sẽ xác định đợc tập đích E và

do đó chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA , minA

Ví dụ 20 : Tìm giá trị max và min của biểu thức

 Víi m =  7 2 15 th× x = 5 15

2

KÕt hîp hai trêng hîp trªn vµ ®iÒu kiÖn (*) ta cã :

maxB = 1 khi x = 2,5 ; min B = 7 2 15  khi x= 5 15

DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a2 = a3 = = an

Tõ ®©y ta dÔ dµng suy ra :

0 2

0 2

2 2

2 2

2 2

ca a

c

bc c

b

ab b

(1 a)(1 b)(1 c)(1 d)    (1 a)(1 b)(1 c)(1 d)    

1abcd

Cho a lµ sè thùc bÊt kú T×m min cña B =

Cho a,b lµ nh÷ng sè kh«ng ©m vµ a+b = 1 T×m max cña

C = 16ab(a – b)2

VI Ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ sö dông B§T Bunhiac«pxki.

A LÝ thuyÕt c¬ b¶n

Cho a1 , a2 , a3 , , an và b1,b2,b3, , bn là 2n số thực tuỳ ý Khi đó ta có :

*Dạng1: (a1 +a2 +a3 + +an )(b1 +b2 +b3 + +bn ) (a1b1+ a2b2+a3b3+ +anbn)2 (1)

(a a   a )(b b  b ) a b a b  a b (2) Dấu bằng xảy ra ở (1) và (2) khi 1 2 n

a a  a ii) Nếu x1 + x22 + + xn = C2 thì

max (a1x1 + a2x2 + + anxn) = 2 2 2

C a a  a Dấu bằng khi 1 2 n

a a  a  min (a1x1 + a2x2 + + anxn) = 2 2 2

3 đạt đợc khi x = y = z =

23