SKKN BỒI DƯỠNG HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ VỀ CHUYÊN ĐỀ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: BỒI DƯỠNG HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ VỀ CHUYÊN ĐỀ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS mơn Tốn có nhiều chun đề cần bồi dưỡng Về việc này, người giáo viên đưa kiến thức mở rộng mà đòi hỏi kiến thức phải có hệ thống, phù hợp với kiến thức học phù hợp với tiến độ chương trình SGK Như nhằm giúp cho em học sinh đựơc bồi dưỡng phát huy đựơc khả mà khơng bị nhồi nhét, đồng thời người giáo viên thể gương cho học sinh tính nghiên cứu có hệ thống để học sinh noi theo II) ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu Ap dụng cho học sinh giỏi lớp chủ yếu Cơ sở nghiên cứu phương pháp nghiên cứu - Dựa sở có học sinh giỏi có đủ khả tiếp thu kiến thức mở rộng sách giáo khoa - Tìm tịi nghiên cứu sách tham khảo, chọn lọc soạn thành hệ thống cho phù hợp với học sinh - Học hỏi tiếp thu ý kiến, kiến thức phưong pháp giảng dạy bạn bè, đồng nghiệp - Không ngừng tự học để nâng cao kiến thức rèn luyện tay nghề III) NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Nội dung A Hệ thống kiến thức, gồm phần: i/ Định nghĩa: - Định nghĩa - Các bước giải tốn cực trị Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm ii/ Một số dạng thường gặp phương pháp giải  Tam thức bậc hai  Đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối  Một số đa thức dạng khác hay gặp  Phân thức có tử số, mẫu thức tam thức bậc hai  Phân thức có mẫu bình phương nhị thức  Dạng phân thức khác  Tìm cực trị biểu thức biết quan hệ biến  Vận dung bất đẳng thức biết: Côsi, Bunhiacôpxki  Dùng tính chất số đối, số nghịch đảo bình phương  Sử dụng tính chất khác  Phương pháp tìm miền giá trị iii/ Một số sai lầm thường gặp  Sai lầm chứng minh điều kiện 1: Có hai ví dụ  Sai lầm chứng minh điều kiện 2: Có hai ví dụ iv/ Hệ thống tập B Phương pháp: Kèm theo phần hệ thống tập Kết nghiên cứu: Học sinh phát huy khả hệ thống kiến thức phần tương đối tốt ****************************** Giaùo viên: Nguyễn Thành Luân Trang Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I/ Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Định nghĩa: + ĐN 1: Cho biểu thức f(x,y…) xác định miền D Ta nói M giá trị lớn f(x,y…) miền D hai điều kiện sau thỏa mãn - Với x, y … thuộc D f(x,y…) ≤ M với M số - Tồn x0, y0, … Thuộc D cho f(x0,y0…) = M + ĐN 2: Cho biểu thức f(x,y…) xác định miền D Ta nói m giá trị nhỏ f(x,y…) D hai điều kiện sau thỏa mãn - Với x, y … thuộc D f(x,y…) ≥ m với m số - Tồn x0, y0 … thuộc D cho f(x0,y0…) = m Như để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần: - Chứng minh A ≤ M với M số Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm - Chỉ dấu “=” xảy Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần: - Chứng minh A ≥ m với m số - Chỉ dấu “=” xảy Ta kí hiệu: GTLN A MaxA GTNN A Min A II/ Một số dạng thường gặp phương pháp Tam thức bậc hai: Ví Du 1: Tìm minA với A = 3x + 12 x + Giải: A = 3( x + x + 4) − 11 = 3( x + 2)2 − 11 ≥ −11 Vậy minA = - 11 ⇔ x = −2 Ví dụ 2: Tìm maxB với B = −2 x + x + Giải: 1 1 9   B = −2  x x ì + ữ+ = x − ÷ + ≤ 16  4 8   Vậy maxB = ⇔x= + Bài toán tổng quát: Cho tam thức bậc hai C = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Tìm maxC; a < Tìm C; a > 2  b  b   b2 b  b2  Giải: C = ax + bx + c = a  x + x ì + ữ + c − = a  x + ÷ + c − 2a  2a   4a 2a  4a     b2 Đặt k = c − Do 4a - b    x + ÷ ≥ nên: 2a   b   Nếu a < a  x + ÷ ≤ , C ≤ k 2a   maxC = k ⇔ x = − b 2a Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang Trường THCS Eayông - Sáng kiến kinh nghiệm b   Nếu a > a  x + ÷ ≥ , C ≥ k 2a   MinC = k ⇔ x = − b 2a Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối VD1: Tìm GTNN E = x − + x − Giải: + Cách 1: Khi x -10 Do đó: 12 – 2x > ⇔ E > (1) * Khi ≤ x ≤ E = x – + – x = (2) * Khi x > E = x – + x – = 2x – 12 Do x > nên 2x > 14 Do 2x – 12 > ⇔ E > (3) Từ (1), (2), (3) ta đựơc minE = ⇔ ≤ x ≤ + Cách 2: Sử dụng tính chất A + B ≤ A + B Dấu “=” xảy AB ≥ Ta có E = x − + x + = x − + − x ≥ x − + − x ≥ ⇔ E ≥ Dấu “=” xảy ( x − 5)(7 − x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy minE = ⇔ ≤ x ≤ Ví Dụ khác: Cho a) (0,5x2 + x)2 −3 0,5x + x 2 b) x − x + + x − x − Tìm GTNN biểu thức cho ? Một số đa thức dạng khác hay gặp Ví dụ: Tìm GTNN A = x( x – )( x – )( x – ) Giải: A = ( x2 – 7x) (x2 – 7x + 12) Đặt y = x2 – 7x + Thì A = (y – 6) (y + 6) = y2 – 36 ≥ -36 MinA = -36 ⇔ y = ⇔ x = x = Ví dụ: Tìm GTNN B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm Giải: B = x2 + y2 – 2xy + x2– 2x + + = (x – y)2 + (x – 1)2 + ≥ MinB = ⇔ x = y = Ví dụ khác: Tìm GTNN biểu thức sau: a) M = x2 – 2xy + 2y2 + 2x – 10y +17 b) P = x2 – xy + y2 – 2x – 2y c) F = x2 + xy + y2 – 3x – 3y Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Ví dụ: Tìm GTNN A = 6x − − x2 −2 −2 Giải: A = x − x + = (3 x − 1) + Ta có: (3x2 – 1) ≥ nên (3x2 – 1) + ≥ Do theo tính chất a ≥ b; a, b dấu ⇒ −2 −2 1 ≤ a b −1 ta có: (3x − 1)2 + ≤ ⇒ (3 x − 1) + ≥ = Dấu “=” xảy 3x – = ⇔ x = −1 ⇔x= Vậy A = 3 Phân thức có mẫu bình phương nhị thức Ví dụ: Tìm GTNN A = x − 8x + x2 − 2x + Giải: 3( x − x + 1) − 2( x − 1) + = 3− + + Cách 1: A = ( x − 1) x − ( x − 1) Đặt y = ⇒ A = – 2y + y2 = (y – 1) + ≥ x −1 Min A = ⇔ y = ⇔ = ⇔ x = x −1 + Cách 2: Viết A dạng tổng với biểu thức không âm ( x − 2) ≥ Vậy A = ⇔ x = A=2+ ( x − 1) Các dạng phân thức khác Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm Ví dụ: Tìm GTNN GTLN A = − 4x x2 + x − x + − x − ( x − 2) = − ≥ −1 Vậy Min A = -1 ⇔ x = Giải: A = x2 + x +1 Ta có: A = −1 x2 + − x2 − x − (2 x + 1) = 4− ≤ Vậy max A = ⇔ x = 2 x +1 x +1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức biết quan hệ biến Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ A = x3 + y3 + xy biết x + y = Giải: Sử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y) (x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 + Cách 1: Thay y = -x + đưa tam thức bậc biến x + Cách 2: Sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức A = x2 + y2 Ta có: x + y = ⇒ x2 +2xy+ y2 = (1) Mặt khác: (x – y)2 ≥ ⇔ x2 - 2xy+ y2 ≥ (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: 2(x2 + y2) ≥ ⇔ x2 + y2 ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = y = 1 Vậy A = ⇔ x = y = 2 Vận dụng bất đẳng thức biết Ví dụ: Tìm GTLN A = x − + y − với x + y = Giải: Đ/k: x ≥ 1, y ≥ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki (ax + by )2 ≤ (a + b )( x + y ) Ta có: A = x − + y − = x − + x −1 = y − Max A = ⇔  x + y = y−2 ≤ 2( x − + y − 2) =  x = 1,5 ⇔  y = 2,5 Ví dụ: Cho a, b, c ≥ 0, a+b+c = Tìm Max B với B = a + b + b + c + a + c (dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxi) Ví dụ: Tìm GTNN của: C = ( x + 2)( x + 3) với x > x Giải: Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang Trường THCS Eayông Ta có: C = Sáng kiến kinh nghieäm x2 + 5x +  6 =  x + ÷+ x x  x Theo BĐT Cơsi ta có: x + ≥ Do đó: C ≥ + x Dấu “=” xảy ⇔ x = ⇔ x = Vậy minC = + ⇔ x = Tìm GTLN, GTNN biểu thức thông qua cực trị biểu thức khác cách dùng tính chất -A lớn ⇔ A nhỏ lớn ⇔ B nhỏ ( vơí B > ) B C lớn ⇔ C2 lớn ( Vơí C > 0) Ví dụ: Tìm GTNN GTLN biểu thức A = Giải: Vì A > ta có A lớn ⇔ A nhỏ ⇔ Xét biểu thức nhỏ A lớn A ( x + 1) x4 + x2 + 2x2 = = = 1+ A x +1 x4 + x +1 + Ta có: 2x + ≥ 0, x4 + > nên Suy ra: x4 + ( x + 1) 2 x2 ≥0 x4 + 1 ≥ Nên Min =1 ⇔ x=0 A A Do đó: Max A = ⇔ x = + Ta có: (x2 -1)2 ≥ ⇔ x4 + ≥ 2x2 Dấu “=” xảy x2 = Mà x4 + > nên Max 2x ≤ ≤ Suy ra: A x +1 1 = ⇔ x2 = ⇔ x = ± Do đó: Min A = ⇔ x = ± A 10 Sử dụng tính chất Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm - Nếu hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số - Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Ví dụ: Tìm GTLN A = (x2 – 3x+1)(-x2 +3x + 21) Ta có: x2 – 3x + + 21 + 3x – x2 = 22 = Const Nên A lớn ⇔ x2 – 3x + = 21 + 3x – x2 ⇔ x = x = -2 Khi A = 11.11 = 121 Vậy max A = 121 ⇔ x = x = -2 11 Phương pháp miền giá trị hàm số Ví dụ: Tìm GTNN GTLN biểu thức A = Giải: Xét hàm số y = − 4x x2 + − 4x ; TXĐ: R x2 + Gọi y0 = a giá trị hàm số tương ứng với y0 ∈ R Do đó: a = − 4x (1) có nghiệm x2 + (1) ⇔ ax2 + a = – 4x ⇔ ax2 + 4x + a - = (2) * Nếu a = (2) có nghiệm x = * Nếu a ≠ (2) có nghiệm ∆′ ≥ nghĩa là: – a(a – 3) ≥ ⇔ −a + 3a + ≥ ⇔ −1 ≤ a ≤ Vậy hàm số có miền giá trị [ −1; 4] nên A = -1 Max A = (Hiển nhiên ∃x ∈ TXĐ thỏa dấu “ =”) III/ Một số sai lầm thường gặp lập luận Sai lầm chứng minh điều kiện Ví dụ 1: Tìm GTLN B = x −4 + Lời giải sai: B phân thức có tử khơng đổi nên B đạt GTLN x – có giá trị nhỏ Mà x2 – ≥ - dấu “=” xảy x = Lúc B = Giáo viên: Nguyễn Thành Luân −1 Trang Trường THCS Eayông Suy max B = Sáng kiến kinh nghiệm −1 ⇔ x = Điều sai Ví dụ: x = ta có: B = −1 > Sai chỗ dùng phép biến đổi bất đẳng thức sai Ví dụ 2: Tìm GTNN A = x2 + y2 biết x + y = + Lời giải sai: A = x2 + y2 ≥ 2xy [do (x – y)2 ≥ ] Dấu “=” xảy x = y; mà x + y = nên ta suy x = y = Do đó: A ≥ 2.2.2 = Vậy A = ⇔ x = y = Mặc dù kết lập luận sai Sai chỗ: A ≥ 2xy; mà 2xy biểu thức phụ thuộc vào biến ( xem định nghĩa) Giải đúng: Theo giả thiết x + y =4 ⇔ x2 + 2xy + y2 = 16 (1) Mặt khác: (x – y)2 ≥ ⇔ x2 - 2xy + y2 ≥ (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: 2(x2 + y2 ) ≥ 16 ⇔ x2 + y2 ≥ Dấu “=” xảy x = y mà x + y = suy x = y = Vậy A = ⇔ x = y = 2 Sai lầm chứng minh điều kiện Ví dụ 3: Tìm GTNN A = x + x   Lời giải sai: Ta có A = x + x =  x + ÷− ≥ − 2 4  Vậy A = 1 −1 Ví dụ 4: Tìm GTNN biểu thức B = (x – 1)2 + (x – 3)2 Lời giải sai: ta có (x – 1)2 ≥ (1) (x – 3)2 ≥ (2) Nên B = (x – 1)2 + (x – 3)2 ≥ (3) Vậy B = Sai dấu (1) xảy x = Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 10 Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm Dấu (2) xảy x = Nên khơng có giá trị x thỏa dấu (3) IV/ PHẦN KẾT LUẬN CHUNG Trên kinh nghiệm mà thực rút thực tế giảng dạy Cụ thể: phương pháp thực 15 học sinh lớp có học lực trở lên vào năm 2006 13 em nắm tốt phương pháp này( Đạt 87%) Tôi mong kinh nghiệm góp phần vào việc tìm cực trị mơn Đaị số nhanh chóng khơng bị mắc phải sai lầm giải toán cực trị Rất mong góp ý q thầy đồng nghiệp Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 11 ... có mẫu bình phương nhị thức  Dạng phân thức khác  Tìm cực trị biểu thức biết quan hệ biến  Vận dung bất đẳng thức biết: Cơsi, Bunhiacơpxki  Dùng tính chất số đối, số nghịch đảo bình phương... Một số dạng thường gặp phương pháp giải  Tam thức bậc hai  Đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối  Một số đa thức dạng khác hay gặp  Phân thức có tử số, mẫu thức tam thức bậc hai  Phân thức. .. nghieäm CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I/ Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Định nghĩa: + ĐN 1: Cho biểu thức f(x,y…) xác định miền D Ta nói M giá trị lớn f(x,y…) miền D hai điều