SKKN Vận Dụng Các Ứng Dụng Toán Học Thường Dùng, Giải Bài Toán Tìm Cực Trị Của Một Đại Lượng Vật Lí

Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Phần I - mở đầu i sở khoa học đề tài Trong chơng trình THPT, khối lớp nào, chơng phần có loại tập: tìm giá trị cực đại hay cực tiểu đại lợng U đại lợng v thay đổi (bài toán cực trị) Nhng học sinh giải loại toán lúng túng, thiếu nhìn tổng quát, cách thức tiếp cận vấn đề, không vạch đợc phơng án giải cho toán cụ thể Nhiều học sinh giải đợc tập nhng tiếp thu toán cách thụ động, thiếu sáng tạo, áp dụng cách máy móc Trong năm trở lại đây, Bộ GD&ĐT tiến hành tổ chức thi trắc nghiệm môn Vật lí, năm đề có tập tìm cực trị đại lợng vật lí Nếu học sinh đợc giải dạng toán học trờng phổ thông, việc chọn đợc đáp án câu trắc nghiệm loại toán không phức tạp Hơn để giúp học sinh nắm vững kiến thức có nhiều cách, cách sử dụng tập vật lí vì: + Bài tập vật lí giúp học sinh hiểu, khắc sâu thêm phần lý thuyết giúp học sinh có phơng pháp giải tập + Bài tập vật lí phơng tiện tốt để phát triển t duy, óc tởng tợng, sáng tạo, tính tự lực suy luận + Khi làm tập vật lí học sinh bắt buộc phải nhớ lại kiến thức vận dụng, đào sâu kiến thức, đứng mặt điều khiển hoạt động nhận thức phơng tiện kiểm tra kiến thức, kỹ học sinh + Trong việc giải tập, học sinh tự giác, say mê tìm tòi có tác dụng rèn luyện cho em đức tính tốt nh tinh thần tự lập, vợt khó, nghị lực, tính cẩn thận, tính kiên trì Xuất phát từ lý chọn đề tài: Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng vật lí II mục đích đề tài Nghiên cứu đề tài Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng vật lý nhằm: Nâng cao chất lợng học tập học sinh học môn vât lí, giúp em hiểu chất vấn đề, phơng án giải vấn đề từ vận dụng linh hoạt vào việc giải tập, tạo điều kiện để em học tốt môn Vật lí THPT, nắm kiến thức chuẩn bị cho hai kì thi quan trọng: Tốt nghiệp THPT kì thi tuyển sinh Đại học, nh giải vấn đề phát sinh dời sống ngày Khắc phục khó khăn tại, tìm phơng án thích hợp giải vấn đề toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Góp phần đổi phơng pháp giảng dạy môn theo hớng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh Góp phần nâng cao chất lợng đội ngũ học sinh khá, giỏi môn Vật lý Góp phần hình thành lòng say mê, hào hứng học tập môn vật lý, từ hình thành phát triển lực tự học, tự bồi dỡng kiến thức cho học sinh IiI Đối tợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: học sinh lớp 10, 11, 12, đội tuyển học sinh giỏi môn vật lí - Đối tợng nghiên cứu: vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng vật lí - Phạm vi nghiên cứu: + Lớp A1, A2 niên khóa 2005 2008 + Lớp 10A1, 10A2 năm học 2008 2009 + Lớp 11A1, 11A2, 12A3, 12A4 năm học 2009 2010 + Đội tuyển học sinh giỏi năm từ 2007 đến 2010 Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ -1- Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí III Kế hoạch nghiên cứu - Điều tra, quan sát trạng việc giải toán cực trị vật lí trờng THPT - Chỉ nguyên nhân, điều kiện ảnh hởng - Trên sở đa phơng án hớng dẫn học sinh giải toán cực trị vật lí trờng THPT IV Phơng pháp nghiên cứu - Phơng pháp quan sát biểu hứng thú học tập việc giải toán cực trị - Phơng pháp nghiên cứu sản phẩm: giải học sinh, kiểm tra, kết thi học sinh giỏi cấp trờng hay tỉnh V Thời gian hoàn thành Trong khoảng thời gian 05 năm kể từ năm học 2004 2005 đến năm học 2009 2010 với phơng pháp nghiên cứu hoàn thành đề tài Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ -2- Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Phần ii - nội dung I Kiến thức Để giải tập vật lí loại tìm cực trị kiến thức vật lí đặc trng cho loại tập đó, ngời học phải biết nhận diện đại lợng vật lý, từ vận dụng kiến thức toán để giải vấn đề Do giáo viên phải giúp học sinh nắm vũng cách xác, chất logic kiến thức sau: Kiến thức toán 1.1 Tam thức bậc hai Xét y = ax2 + bx + c (a 0), với x R b x = 4a 2a b x = - Nếu a > y có giá trị cực tiểu ymax = 4a 2a - Nếu a < y có giá trị cực đại ymax = Trong đó: = b2 4ac 1.2 Bất đẳng thức Cauchy (không mở rộng ) Với hai số a, b > a+b ab Dấu = xảy a = b 1.3 Bất đẳng thức Bunhiacovxki (không mở rộng ) Với bốn số: a, b, x, y R ( ax + by )2 ( a2 + b2 )( x2 + y2 ) Dấu = xảy a x = b y 1.4 Bất đẳng thức Bernuolli (1 + a )n + na dấu = xảy a = n = 1.5 Phơng pháp hình học 1.5.1 Giản đồ véc tơ - Cơ sở: Một dao động điều hoà xem hình chiếu chuyển động tròn xuống đờng thẳng nằm mặt phẳng quỹ đạo - Nội dung: - Để mô tả dao động điều hoà x = Acos(t + ) véc tơ quay ta làm nh sau + Dựng trục Ox nằm ngang M + Dựng véc tơ OM có: + Gốc gốc toạ độ O trục Ox Độ dài biên độ dao động, OM = A x Véc tơ OM hợp với trục Ox góc pha ban đầu O x (Chiều dơng ngợc chiều kim đồng hồ) + Cho véc tơ OM quay quanh O với tốc độ góc hình chiếu điểm M lên trục Ox biểu diễn dao động điều hoà x = Acos( t + ) Hệ quả: Để tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà phơng, tần số ta lần lợt biểu diễn dao động véc tơ quay giản đồ véc tơ, sau áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm véc tơ tổng, biểu diễn dao động tổng hợp 1.5.2 Định lý hàm sin Cho ABC với AB = c; BC = a; AC = b a b c = = sin A sin B sin C Các dạng toán tìm cực trị đại lợng vật lý thờng gặp 2.1 Trong học Dạng 1: Tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ vật vật khác Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ -3- Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Ví dụ 2.1.1: (Vật lí 10) Hai vật A B chuyển động thẳng hai đờng thẳng hợp với góc = 300 phía giao điểm O, với vận tốc tơng ứng v1 v2 = v1 Khi khoảng cách hai vật nhỏ vật A cách O đoạn d1 =30 (cm) Hỏi lúc vật B cách O đoạn bao nhiêu? Ví dụ 2.1.2: (Vật lí 10) Hai ôtô chuyển động hai đờng thẳng vuông góc hớng tới giao điểm O, với vận tốc không đổi lần lợt v1 =15m/s v2 =10m/s Tại thời điểm khoảng cách hai ôtô nhỏ ôtô thứ cách giao điểm hai quỹ đạo đoạn S1 = 250m Hỏi lúc ôtô thứ hai cách giao điểm đoạn S2 bao nhiêu? Dạng 2: Tìm độ lớn lực cực đại, cực tiểu tác dụng vào vật Ví dụ 2.1.3: (Vật lí 10) Một vật có khối lợng m đợc kéo lên mặt phẳng nghiêng góc , với vận tốc không đổi sợi dây nối Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng Hãy xác định góc hợp sợi dây mặt phẳng nghiêng để lực căng dây nhỏ Tính giá trị lực căng dây lúc áp dụng: m = 50kg; g = 10m.s-2; = 0,5; = 300 Ví dụ 2.1.4: (Vật lí 10) Cho hệ nh hình vẽ m = 0,5kg, M = 1kg Hệ số ma sát m M à1 = 0,1 , M sàn à2 = 0,2 Khi thay đổi ( < m F < 900), tìm F nhỏ để M thoát khỏi m tính Ví dụ 2.1.5 (Vật lí 10) Xác định lực hút mạnh Trái M Đất tàu vũ trụ Phơng Đông độ cao h? áp dụng số: m = 2tấn, h = 320 km, lấy g0 = 10 m.s-2; R = 6400 km Dạng 3: Tìm thời gian ngắn nhất, vận tốc nhỏ chuyển động Ví dụ 2.1.6 (Vật lí 10) Một ngời đứng bờ hồ điểm A Ngời phải tới đợc điểm B mặt hồ thời gian ngắn Cho biết khoảng cách từ B tới bờ hồ BC = d; AC = s, vận tốc ngời bơi nớc v1 vận tốc bờ v2 ( v2 > v1 ) Hỏi ngời phải theo kiểu từ A đến B Ví dụ 2.1.7 (Vật lí 10) Ôtô chuyển động thẳng với vận tốc v1 = 54km/h Một hành khách A cách ôtô đoạn a = 400m cách đờng đoạn d = 80m, muốn đón ôtô Hỏi ngời phải chạy theo hớng với vận tốc nhỏ bao hiêu để đón đợc ôtô? Dạng 4: Tìm thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu Ví dụ 2.1.8 (Vật lí 12) Đồng hồ lắc làm lắc đơn chạy với chu kỳ dao động T0 = 2s nhiệt độ t0 = 250C Biết hệ số nở dài dây treo lắc = 10- K-1 Khi nhiệt độ t = 150C Hãy tính thời gian chạy sai tối thiểu đồng hồ sau ngày đêm 2.2 Trong điện học Dạng Tìm cực trị công suất Ví dụ 2.2.1 (Vật lí 11) Cho mạch điện nh hình vẽ Biết UAB = 24V không đổi Các điện trở có giá trị R0 = 2, R1 R0 UA =3, R2 = 2, Rx biến trở chạy Di chuyển chạy R1 biến trở Tìm giá trị biến trở để công suất toả nhiệt C D đoạn mạch CD đạt giá trị cực đại Tìm giá trị cực đại R2 Rx Ví dụ 2.2.2 (Vật lí 12) Cho mạch điện nh hình vẽ L= H;C= 10- F ; r = 50 R biến trở Đặt vào hai đầu A, B hiệu điện xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi 220V 50Hz R A Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ M L, r N C B -4- Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí a Tìm giá trị R để công suất tiêu thụ toàn mạch cực đại Tìm giá trị cực đại b Tìm giá trị R để công suất tiêu thụ biến trở cực đại Tìm giá trị cực đại Dạng Tìm cực trị hiệu điện Ví dụ 2.2.3 (Vật lí 12) Cho mạch điện nh hình R M L vẽ Trong R không đổi, độ tự cảm cuộn dây N C A B điện dung tụ điện thay đổi Đặt vào hai đầu mạch hiệu điện xoay chiều có giá trị hiệu dụng tần số không đổi a Khi điện dung tụ điện biến thiên, tìm C để hiệu điện hai tụ điện đạt cực đại Tính giá trị cực đại b Khi độ tự cảm cuộn dây biến thiên, tìm L để hiệu điện hai đầu cuộn dây cực đại Tính giá trị cực đại # Cách phân loại mang tính tơng đối, cha thể nói đầy đủ, bao quát toàn dạng loại toán nêu II thực trạng vấn đề - Khi học sinh gặp toán cực trị thờng lúng túng đâu, lập phơng trình gì, cần sử dụng kiến thức toán hay kiến thức vật lí nào, trí có học sinh hiểu sai chất toán cực trị vật lí Hay trình thực hành vật lí, biện pháp để tìm giá trị cực đại dòng điện I cách thay đổi giá trị biến trở (lớp 11), đa vào hay lõi sắt ống dây (lớp 12) học sinh lí giải đợc Nói cách khác học sinh không hiểu chất toán cực trị vật lí - Đối với thầy, cô dạy phần thờng nhằm mục đích giải toán mà không tính đến tính kế thừa phơng pháp giải toán - Để khắc phục điều bám sát quy trình chung cho giải toán cực trị với hệ thống câu hỏi thống để phân tích tợng toán cho học sinh Đồng thời phải thờng xuyên hớng dẫn học sinh vận dụng kiến thức toán liên quan Qua toán thờng tổng kết khái quát nhận dạng toán iiI - biện pháp đ tiến hành giảI vấn đề Phơng pháp chung: Bớc 1: Phân tích đầu bài, nhận diện đại lợng cần khảo sát (U), đại lợng thay đổi (x) Bớc 2: Huy động kiến thức liên quan, chọn hàm (U), chọn đối (x) lập hàm U = f(x) Bớc 3: Sử dụng công cụ toán tìm cực trị U = f(x) Bớc 4: Biện luận kết Dùng tam thức bậc hai Ví dụ 2.1.1 Hai vật A B chuyển động thẳng hai đờng thẳng hợp với góc = 300 phía giao điểm O, với vận tốc tơng ứng v1 v2 = v1 Khi khoảng cách hai vật nhỏ vật A cách O đoạn d1 =30 (m) Hỏi lúc vật B cách O đoạn bao nhiêu? x Tóm tắt Phân tích A v1 Tính chất chuyển động hai vật? v1 = const v2 = - Chọn hệ quy chiếu nh cho đơn giản nhất? = 30 - Phơng trình chuyển động vật d1 =30 (m) O - Khoảng cách hai vật đợc tính nh d2 = ? nào? v2 - Lập hàm d theo x y? d nào? B y Khảo sát d nh nào? Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ -5- Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Hớng dẫn + Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ + Phơng trình chuyển động vật A: x = x0 v1t (m) (1) + Phơng trình chuyển động vật B: y = y0 v2t (m) + Khoảng cách hai vật thời điểm t 2 Ta có: AB = OB OA AB = OB + OA 2OA OB cos Hay d2 = y2 + x2 2xycos (2) Thay x, y từ (1) vào (2) ta có: d2 = y v12 t v1 ( x0 )t + x02 + y 02 x0 y 3 áp dụng tính chất tam thức bậc hai có a > suy ra: Khoảng cách d đạt cực tiểu khi: t = tm = 3x0 y Thay vào (1) với xmA = 30 (m), 2v1 vật B cách O đoạn 90 (m) Ví dụ 2.1.2: Hai ôtô chuyển động hai đờng thẳng vuông góc hớng tới giao điểm O, với vận tốc không đổi lần lợt v1 =15m/s v2 =10m/s Tại thời điểm khoảng cách hai ôtô nhỏ ôtô thứ cách giao điểm hai quỹ đạo đoạn S1 = 250m Hỏi lúc ôtô thứ hai cách giao điểm đoạn S2 bao nhiêu? y Phân tích Tóm tắt - Tính chất chuyển động hai ô tô? v1 =15m/s A - Chọn hệ quy chiếu nh cho đơn v2 =10m/s giản nhất? S1 = 250m v S2 = ? - Phơng trình chuyển động ô tô - Khoảng cách hai xe đợc tính nh nào? v1 B x - Lập hàm d theo x y? d nào? O Khảo sát d nh nào? Hớng dẫn + Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ + Phơng trình chuyển động ôtô thứ nhất: x = x0 v1t (m) (1) + Phơng trình chuyển động ôtô thứ hai: y = y0 v2t (m) + Khoảng cách hai vật thời điểm t 2 Ta có: AB = OB OA AB = OB + OA Hay d2 = y2 + x2 (2) Thay x, y từ (1) vào (2) ta có: d2 = 325t2 (30x0 + 20y0)t + áp dụng tính chất tam thức bậc hai có a > suy ra: Khoảng cách d đạt cực tiểu khi: t = tm = x02 + y02 3x0 + y Thay vào (1) với xmA = 250(m), 65 vật B cách O đoạn 375 (m) Ví dụ 2.1.6 Một ngời đứng bờ hồ điểm A Ngời phải tới đợc điểm B mặt hồ thời gian ngắn Cho biết khoảng cách từ B tới bờ hồ BC = d; AC = s, vận tốc ngời bơi nớc v1 vận tốc bờ v2 (v2 > v1) Hỏi ngời phải theo kiểu từ A đến B Tóm tắt Phân tích BC = d - Nếu chuyển động theo đờng AB AC = s ACB sao? v2 = const - Chuyển động ngời gồm giai Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ -6- Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí B v1 = const đoạn? Tính chất chuyển động? v2 > v1 AD = ? - Thời gian chuyển động phụ thuộc vào đại lợng nào? - Lập hàm thời gian theo x? Tìm t theo cách nào? Biện luận? d D A v2 v1 s C x Hớng dẫn + Theo ra, bơi thẳng từ A đến B ( Hình vẽ ), thời gian bơi đoạn AB ngắn nhất, v1 < v2 + Giả sử ngời theo đờng gấp khúc ADB ta xác định đoạn x để thời gian theo đờng ADB ngắn + Thời gian để ngời từ A đến B theo đờng ADB t= Đặt sx d + x ( s x)v1 + v d + x + = v2 v1 v1 v y = - xv1 + v2 d + x2 = v2 d + x v1 x (1) Khi đó, để tmin ymin Từ (1) suy ra: y2 + 2v1xy +v12 x2 = v22(d2 + x2 ) hay x2 - 2v1 y v 22 d y x + = (2) v 22 v12 v 22 v12 v12 y2 v22d y2 v12 v22d 2 Phơng trình (2) có = 2 2 = y ( 2 + 2 ) 2 (v2 v1 ) v2 v1 (v2 v1 ) v2 v1 v2 v1 v22 v22d 2 2 Để toán có nghĩa suy ra: y ( 2 ) 2 y d (v2 v1 ) (v2 v1 ) v2 v1 hay ymin = d v22 v12 x = dv1 v 22 v12 + Nếu s > x nên chạy đoạn s - dv1 v 22 v12 bơi tới B + Nếu s x nên bơi từ A đến B Dùng bất đẳng thức Cauchy Ví dụ 2.2.1 Cho mạch điện nh hình vẽ Biết UAB = 24V không đổi Các điện trở có giá trị R0 = 2, R1 =3, R2 = 2, Rx biến trở chạy Di chuyển chạy biến trở Tìm giá trị biến trở để công suất toả nhiệt đoạn mạch CD đạt giá trị cực đại Tìm giá trị cực đại Tóm tắt Phân tích UAB = 24V - Công thức tính công suất tiêu thụ điện trở? R0 UA - Hoạt động biến trở mà toán sử dụng? R0 = - Tính điện trở mạch CD, toàn mạch? R1 R1 =3 C D - Tính dòng điện mạch chính? R2 = R2 Rx - Lập hàm PCD theo Rx? Rx - Tìm cực trị PCD nh nào? PCD = Pmax Rx = ? Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ -7- Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Hớng dẫn + Đoạn mạch CD gồm điện trở R1 // ( R2 nt Rx ) + Điện trở tơng đơng của đoạn mạch CD: RCD = + 3R x + Rx (1) + Công suất toả nhiệt đoạn mạch CD: PCD = I2RCD => PCD = R Từ (2) ta thấy, để (PCD)max ( RCD + ) RCD U AB ( RCD + R0 RCD (2) ) Vận dụng hệ bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: R0 ) = 4R0 RCD = R0 ( RCD + RCD U AB = 72W Vậy RCD = Thay vào (1) va (2) suy Rx = PCDmax = RCD Ví dụ 2.2.2 Cho mạch điện nh hình vẽ L= H;C= 10- 4F ; r = 50 R biến trở Đặt vào hai đầu A, B hiệu điện xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi 220V 50Hz a Tìm giá trị R để công suất tiêu thụ toàn mạch cực đại Tìm giá trị cực đại đó? b Tìm giá trị R để công suất tiêu thụ biến trở cực đại Tìm giá trị cực đại đó? Phân tích Tóm tắt - Đại lợng mạch thay đổi? L = H; C = 10- 4F - Công suất tiêu thụ mạch, biến trở R ML, r N C A r = 50 B tính nh nào? - Lập hàm công suất? R - áp dụng bất đẳng thức cô si để tìm cực trị U = 220V; f = 50Hz P? a) P = Pmax R = ? b) PR = Pmax R = ? Hớng dẫn + Tổng trở toàn mạch: Z = ( R + r ) + ( Z L Z C ) + Công suất tiêu thụ toàn mạch: P = (R + r)I2 = U AB (Z Z C ) R+r+ L R+r (1) + Công suất tiêu thụ biến trở R: PR = I R = U AB R= Z2 U AB (2) r + (Z L Z C ) + 2r R+ R a Theo (1) để công suất tiêu thụ toàn mạch đạt cực đại thì: R + r + (Z L Z C ) R+r Vận dụng hệ bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: (Z Z C ) R + r + L R+r = ( Z L Z C ) R+r = Z L Z C Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ -8- Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Từ suy ra: R = 50 Pmax = Chú ý: Nếu r = Pmax U AB = 242 W 2( R + r ) U AB R = Z L Z C Và Pmax = 2R r + (Z L Z C ) b Theo (2), để công suất tiêu thụ biến trở đạt cực đại thì: R + R Vân dụng hệ bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: r + (Z L Z C ) R + R = r + ( Z L Z C ) R = r + ( Z L Z C ) Pmax = U AB 2( R + r ) Từ suy R = 50 Pmax = 17,32 W U AB = P Công suất tiêu thụ biến trở 2( R + r ) công suất tiêu thụ toàn mạch, R = Z L Z C Chú ý: Nếu r = Pmax = Ví dụ 2.2.3 Có n điện trở khác nhau: R1; R2; R3; ;Rn Nếu mắc chúng song song nhánh điện trở điện trở tơng đơng toàn mạch Rtd Nếu mắc chúng nối tiếp Rtd' n Trờng hợp điện trở tơng đơng toàn mạch Rtd Chứng minh rằng: Rtd dấu = xảy Hớng dẫn 1 1 = + + + + Khi mắc song song ta có: Rtd R1 R2 Rn + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: 1 1 1 + + + n.n + + + R1 R2 Rn R1 R2 Rn (1) + Khi mắc nối tiếp ta có: Rtd = R1 + R2 + +Rn + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: R1 + R2 + +Rn n.n R1 + R2 + + Rn (2) Lấy (1) nhân với (2) vế theo vế ta đợc Rtd' n (đpcm) Rtd Dấu xảy có n điện trở giống Bài toán 2.2.4 Mạch điện nh hình vẽ (H2) E = 9V; r = Biến trở R có điện trở toàn phần RMN = 10 Điện trở ampe kế không đáng kể, điện trở vôn kế vô lớn Phải để C vị trí công suất tiêu thụ toàn biến trở lớn nhất? Giá trị lớn bao nhiêu? Phân tích Tóm tắt , r Vai trò ampe kế vôn kế, ảnh hởng E = 9V, r = chúng mạch? M RMN = 10 A V B - Hoạt động biến trở mà sử dụng? RA = R1 C - Công suất tiêu thụ biến trở RMN? RV = - Lập hàm công suất theo điện trở thành phần RMN PR = Pmax RCM? x=? N - áp dụng bất đẳng thức cô si để PMN max? A H2 - Biện luận? Hớng dẫn + Con chạy C chia biến trở RMN thành hai phần RCM RCN ta có: RCM + RCN = 10 (1) Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ -9- Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí + Mạch điện đợc vẽ lại nh hình bên (H3.1) E, r R R => Điện trở tơng đơng toàn biến trở: R = CM CN RCM + RCN + Điện trở tơng đơng toàn mạch: Rtd = R1 + R + Cờng độ dòng điện chạy qua mạch: I = Rtd + r = A V R1 ( R+ R1 + r R C RCN (3) )2 Từ (3), để công suất tiêu thụ toàn biến trở đạt cực đại thì: ( R + R1 + r R ) 2min Vận dụng hệ bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: ( R + R = R1 + r Pmax = B RCM R1 + R + r + Công suất tiêu thụ toàn biến trở: PMN = I R = (2) R1 + r R ) 2min = 4R 4R (4) Từ (1), (2), (4) suy ra: - Vị trí chạy C thoả mãn RCM = 7,24 RCN = 7,26 - Công suất cực đại toàn biến trở Pmax = 10,25W Dùng bất đẳng thức Bunhiacovxki Bài toán 2.1.3 Một vật có khối lợng m đợc kéo lên mặt phẳng nghiêng góc , với vận tốc không đổi sợi dây nối Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng Hảy xác định góc hợp sợi dây mặt phẳng nghiêng để lực căng dây nhỏ Tính giá trị lực căng dây lúc áp dụng: m = 50kg; g = 10m.s-2; = 0,5; = 300 Phân tích Tóm tắt y - Các lực tác dụng lên vật? Chọn hệ trục tọa m = 50kg độ? g = 10m/s T x - Tính chất chuyển động vật? = 0,5 - Điều kiện lực? = 300 - Xây dựng biểu thức T? áp dụng bất đẳng T = Tmin = ? O thức Bunhiacovxki tìm Tmin? Xác định ? =? - Biện luận Hớng dẫn + Phân tích lực tác dụng vào vật, viết biểu thức định luật Newton, sau chiếu lên hai phơng Ox Oy nh hình vẽ, từ tìm đợc: T= mg(sin + cos ) cos + sin + Thấy Tmin (cos + àsin)max Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacovxki: (cos + àsin) + => (cos + àsin )max = + mg(sin + cos ) Do đó: Tmin = 1+ Thay số Tmin = 417N Mặt khác dấu bất đẳng thức xảy àcos = sin hay tan = => = arctan Thay số : = 2603448 Ví dụ 2.1.4 Cho hệ nh hình vẽ m = 0,5kg, M = 1kg Hệ số ma sát m M à1 = 0,1 , M sàn à2 = 0,2 Khi thay đổi ( < < 900), tìm F nhỏ để M thoát khỏi m tính Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ - 10 - Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Tóm tắt m = 0,5kg M = 1kg à2 = 0,2 =? F = Fmin m F M Phân tích - Các lực tác dụng lên vật M, m? Chọn hệ quy chiếu nh nào? - Hiện tợng xảy bài? - Điều kiện để M trợt khỏi m? - Xây dựng biểu thức F? áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovxki tìm Fmin? Xác định ? - Biện luận Hớng dẫn + Dùng lực F để kéo vật M, độ lớn lực F nhỏ vật m chuyển động với vật M lúc lực quán tính tác dụng lên m cha đủ lớn để thắng đợc lực ma sát nghỉ m M Khi độ lớn lực F đạt tới giá trị lực quán tính tác dụng vào vật m thắng đợc lực ma sát nghỉ m M, vật M bắt đầu thoát khỏi vật m đồng thời ma sát hai vật ma sát trợt + Lực quán tính tác dụng vào m có độ lớn hợp lực tác dụng vào M Nh vậy, lực F có độ lớn nhỏ để vật M thoát khỏi vật m lực quán tính tác dụng lên m cân với lực ma sát trợt m M + Phân tích lực tác dụng vào hai vật, viết biểu thức định luật Newton, sau chiếu lên hai trục Ox Oy nh hình vẽ, kết hợp với phân tích trên, từ tìm đợc: F= ( à1 + )( M + m) g cos + sin (1) Khi thay đổi, từ (1) nhận thấy rằng: Fmin (cos + à2sin)max Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacovxki: (cos + à2sin) + 22 =>(cos + à2sin)max = + 22 Do đó: + Fmin = ( à1 + )( M + m) g + 22 Thay số: Fmin = 4,41N + Mặt khác, dấu = bất đẳng thức xảy àcos = sin Hay tan = à2 => = arctanà2 Thay số: 110 Dùng bất đẳng thức Bernoulli Ví dụ 2.1.5: Xác định lực hút mạnh Trái Đất tàu vũ trụ Phơng Đông độ cao h? áp dụng số: m = tấn, h = 320 km, lấy g0 = 10m/s2, R = 6400 km m Phân tích Tóm tắt - Hiện tợng xảy bài? m = h - Lực tác dụng lên tàu vũ trụ? Lực đóng h = 320 km vai trò lực gì? g0 = 10m/s R = 6400 km - Viết biểu thc Fhd? R Fhd = Fmax - áp dụng bất đẳng thức Bernoulli tìm Fmax? h=? Xác định h? - Biện luận Hớng dẫn + Khi Mặt Đất tàu chịu lực hút có độ lớn: Fd = G mM = mg0 R2 + Khi độ cao h so với Mặt Đất tàu chịu lực hút có độ lớn: Fh = G Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ (1) mM (2) ( R + h) - 11 - Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí + Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế, đồng thời thay Fd = mg0 suy ra: Fh = mg h + R h Ta có: (Fh)max + R h h h Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli: + + + Do đó: (Fh)max = R R R = 1+ h R mg 10 3.10 10 = = 10 = 9,09(kN ) h 320 11 1+ 1+ R 6400 Ví dụ 2.1.8 Đồng hồ lắc làm lắc đơn chạy với chu kỳ dao động T0 = 2s nhiệt độ t0 = 250C Biết hệ số nở dài dây treo lắc = 10- K-1 Khi nhiệt độ t = 150C Hãy tính thời gian chạy sai tối thiểu đồng hồ sau ngày đêm Phân tích Tóm tắt - Nguyên tắc hoạt động đồng hồ lắc? Những yếu tố làm T0 = 2s t0 = 250C cho đồng hồ chạy sai? -5 -1 - Khi đồng hồ chạy nhanh, đồng hồ chạy chậm? = 5.10 K - Viết biểu thức thời gian đồng hồ chạy nhanh ngày? t = 15 C - áp dụng bất đẳng thức Bernoulli tìm min? = 24h Biện luận t = ? Hớng dẫn + Chu kì lắc đơn đợc tính: T = l Gọi T0 chu kì lắc đơn đồng hồ g chạy đúng, T chu kì chạy sai lắc Thì thời gian đồng hồ chạy sai sau ngày đêm là: t = T T0 T0 86400( s ) + Chu kì lắc chạy nhiệt độ t0 là: T0 = + Chu kì lắc chạy sai nhiệt độ t là: T = l0 g l [1 + (t t )] g 1 T = [1 + (t t ) = [1 + (t t )] => T = T0 [1 + (t t0 )]2 Ta có: T0 Đồng hồ chạy sai [1 + (t t0 )] áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: [1 + (t t )] + (t t ) => Tmin = T0 [ + (t t ) ] Vậy thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu sau ngày đêm là: t = (t t ) 86400s Thay số: t = 21,6 s Ví dụ 4.1 Đồng hồ lắc chạy mặt Đất với chu kì T0, ngời ta đa đồng hồ lên độ cao h so với Mặt Đất mà không điều chỉnh lại (coi nhịêt độ không đổi) sau ngày đêm đồng hồ chạy sai tối thiểu bao nhiêu? Phân tích Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ - 12 - Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí - Nguyên tắc hoạt động đồng hồ lắc? Những yếu tố làm cho đồng hồ chạy sai? - Khi đồng hồ chạy nhanh, đồng hồ chạy chậm? - Viết biểu thức thời gian đồng hồ chạy nhanh ngày? - áp dụng bất đẳng thức Bernoulli tìm min? Hớng dẫn + Chu kì lắc đơn đợc tính: T = l Gọi T0 chu kì lắc đơn đồng hồ g chạy đúng, T chu kì chạy sai lắc Thì thời gian đồng hồ chạy sai sau ngày đêm là: t = T T0 T0 86400( s) + Gia tốc trọng trờng Mặt Đất là: g0 = G M l T0 = g0 R + Gia tốc trọng trờng độ cao h so với Mặt Đất là: g1 = G M l T1 = 2 g2 ( R + h) Trong m khối lợng Trái Đất, R bán kính Trái Đất Ta có: T1 = T0 g0 = g1 R = R+h T1 = T0 h h 1+ 1+ R R Đồng hồ chạy sai h 1+ R 1 h h h ) = (1 + ) T1 = T0 (1 Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli: 2R 2R R h 1+ R Vậy thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu (chạy chậm) sau ngày đêm là: t = h 86400s 2R Sử dụng phơng pháp giản đồ véc tơ Ví dụ 2.2.3 Cho mạch điện nh hình vẽ Trong R không đổi, độ tự cảm cuộn dây điện dung tụ điện thay đổi Đặt vào hai đầu mạch hiệu điện xoay chiều có giá trị hiệu dụng tần số không đổi a Khi điện dung tụ điện biến thiên, tìm C để hiệu điện hai tụ điện đạt cực đại Tính giá trị cực đại b Khi độ tự cảm cuộn dây biến thiên, tìm L để hiệu điện hai đầu cuộn dây cực đại Tính giá trị cực đại R M L N C A B Tóm tắt mạch RLC r = U = const f = const a) C C = const UCmax= ? b) L L = const ULmax= ? Phân tích - Đại lợng thay đổi? Lập hàm U theo Z thay đổi? - Giản đồ véc tơ cho mạch điện có đặc điểm gì? - Viết biểu thức UC (UL) theo góc ? - Khi thi U cực đại? Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ - 13 - Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Hớng dẫn N a Khi điện dung tụ điện biến thiên + Giãn đồ véc tơ nh hình vẽ (H5.1a) Ta có: sin = R R + Z L2 U RL = const A UL UR M áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABN U AB sin sin Vậy UCmax sin = hay = 900 U Từ suy ra: Ucmax = AB R + Z L2 R suy ra: UC = + Xét cho tam giác vuông BAN suy ra: ZC = H5.1a R R + Z C2 ZL R + Z L2 Hay C = ZL ( R + Z L2 ) UL = const áp dụng định lí hàm sin cho tam giác ODE suy ra: UL = Vậy ULmax sin = hay = 900 U Từ suy ra: Umax = AB R DU AB U AB sin sin O R + Z C2 + Xét cho tam giác vuông ODE suy ra: ZL = UC B b Khi độ tự cảm L cuộn dây biến thiên + Giãn đồ véc tơ nh hình vẽ (H5.1b) Ta có: sin = U AB UR H5.1b R + Z C2 ZC R + Z C2 Hay L = Z C UC E U RC Chú ý: Khi mạch có điện trở R0 cuộn dây có điện trở r thay R biểu thức bằng: R = R0 + r Ví dụ 2.1.6 Ôtô chuyển động thẳng với vận tốc v1 = 54km/h Một hành khách A cách ôtô đoạn a = 400m cách đờng đoạn d = 80m, muốn đón ôtô Hỏi ngời phải chạy theo hớng với vận tốc nhỏ bao hiêu để đón đợc ôtô? Tóm tắt Phân tích v1 = - Tinh chất chuyển động ngời A 54km/h xe? = 15 m/s - Quãng đờng mà ngời xe đợc v2 a= thời gian t? d 400m - Điều kiện để xe ngời gặp với d = 80m v = vmin? B Biểu diễn hình vẽ? áp dụng định lí v = vmin C v1 hàm số sin tìm ? =? Hớng dẫn + Giả sử gọi C vị trí ngời đón đợc ôtô (Hình vẽ) + Ta có: AC = v2.t ; BC = v1.t với t thời gian ngời để đón đợc xe + áp dụng định lý hàm số sin tam giác ABC: = 900 AC BC v t v t = = sin sin sin sin Vậy : (v2)min = v1.sin = d v1 = 10,8 km Và AC AB A ngời chạy a theo hớng vuông góc với AB Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ - 14 - Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí Một số ví dụ vận dụng VD 6.1 Hai tàu chuyển động thẳng với độ lớn vận tốc v hớng đến giao điểm O theo quỹ đạo hai đờng thẳng hợp với góc 600 Xác định khoảng cách nhỏ hai tàu Biết ban đầu chúng cách O lần lợt khoảng l1 = 20km l2 = 30km ĐS: dmin = 8,7km VD 6.2 Một nhỏ AB chiều dài L dựng đứng cạnh tờng thẳng đứng (hình vẽ) Một bọ dừa đậu đầu B A Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động bên phải theo sàn với tốc độ không đổi v bọ bắt đầu bò dọc theo với vận tốc không đổi u Trong trình bò thanh, bọ đạt đợc độ cao cực đại sàn ngang, đầu không rời khỏi tờng B uL L ĐS: hmax = ĐK: t 2v v VD 6.3 Dùng dây kéo vật khối lợng 50 kg trợt mặt sàn nằm ngang Dây kéo nghiêng góc lên so với phơng ngang Hệ số ma sát vật mặt sàn = 0,5 Lấy g = 10m.s-2 Hỏi phải kéo lực F tối thiểu bao nhiêu? Lúc góc nghiêng bao nhiêu? ĐS: Fmin = 223,6N; = 26033 VD 6.4 đoạn sông thẳng có dòng nớc chảy với C vận tốc v0 , ngời từ vị trí A bờ sông muốn chèo thuyền tới vị trí B bờ sông bên ( hình vẽ ) Cho AC = b ; CB = a Tính độ lớn nhỏ vận tốc thuyền so b với nớc mà ngời phải chèo để tới đợc B bv0 ĐS: vmin = a2 + b2 B v0 A VD 6.5 Hai điện tích điểm q1 = q2 = q > đặt hai điểm A, B không khí Cho biết AB = 2a M điểm nằm đờng trung trực đoạn thẳng AB cách AB đoạn h Hãy xác định h để cờng độ điện trờng M đạt cực đại Tính giá trị cực đại ĐS: h = a ; EMmax = 4kq 3 a VD 6.6 Cho mạch điện nh hình vẽ Biết E = 39V; r = 4; R1 = 3; R3 = E, r 12 Tìm giá trị biến trở R2 để công suất tiêu thụ mạch đạt cực đại? Tính giá trị cực đại đó? R1 R2 ĐS: R2 = 3; Pmax = 81W VD 6.7 Cho mạch điện nh hình vẽ Biết uAB = 40cos100t (V) có giá R3 trị hiệu dụng không đổi Tụ điện C2 có điện dung thay đổi đợc Bỏ qua điện trở dây nối khoá K a Khi C1 = C2 = C thấy K mở K đóng L, R MC1 C2 UMB không đổi Khi K mở công suất tiêu thụ mạch A B P = 16W hiệu điện hai đầu cuộn dây Ud = 40V Tính R, L, C K b Khi K mở, điều chỉnh C = C UMB đạt Umax Tính C Umax Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ - 15 - Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí 4.10 H;C= F 10 40 F ; Umax = V ĐS: a R = 10; L = b C = 12.10 VD 6.8 Con lắc đồng hồ xác dao động bình chân không Vật nặng lắc đợc làm kim loại có khối lợng riêng 8,50g.cm-3 Chu kì lắc chạy 2,00 s điều kiện Hãy tính mức sai lệch tối thiểu đồng hồ sau ngày đêm bình chứa không khí Cho: khối lợng riêng không khí D0 = 1,25g.l-1 gia tốc trọng trờng g = 10,0 m.s-2 ĐS: 6,35 s VD 6.9 Đặt vật sáng song song, cách ảnh E khoảng L Di chuyển khoảng vật thấu kính hội tụ có tiêu cự f Hãy tìm giá trị nhỏ L để thấu kính cho ảnh rỏ nét C ĐS: L = 4f VD 6.10 Có hai vật M1 M2 đầu cách khoảng l Cùng lúc hai vật chuyển động thẳng đều, M1 chạy B với vận M v2 M v1 tốc v1 , M2 chạy C với vận tốc v2 Tính khoảng cách ngắn hai vật thời gian để đạt khoảng cách kể từ lúc A B l bắt đầu chuyển động ĐS: dmin = lv sin v12 + v 22 + 2v1v cos ; t= (v1 + v cos ) v + v 22 + 2v1v cos Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ - 16 - Vận dụng ứng dụng toán học thờng dùng, giải toán tìm cực trị đại lợng Vật lí hần iii kết luận I Kết Qua trình giảng dạy thấy với việc hớng dẫn phân loại nh - Học sinh nắm đợc bài, hiểu sâu đợc chất vấn đề, từ số học sinh đam mê, yêu thích môn vật lí ngày tăng: + Năm học 2006 2007 đội tuyển học sinh giỏi tỉnh môn vật lí phụ trách đạt 01 giải nhì, 02 giải ba 01 giải khuyến khích + Năm học 2007 2008 tham gia bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi môn vật lí 12 kết quả: 02 em đạt giải ba tỉnh + Năm học 2009 2010 đội tuyển học sinh thi giải toán máy tính Vinacan phụ trách có 02 em 02 em đoạt giải ba tỉnh Tôi tham gia bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi môn vật lí 12 kết quả: 02 em đạt giải khuyến khích - Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ logíc, kết cao - Năng lực t kỹ thực thao tác t đặc trng môn học sinh đợc cao rõ rệt học sinh khá, giỏi - Học sinh dễ dàng tiếp thu có kỹ giải tập tơng tự, sở học sinh tích lũy tợng để phân tích giải đợc tập tổng hợp phức tạp II Bài học tổng kết Qua trình vận dụng đề tài giảng dạy nhận thấy giáo viên chuẩn bị tảng kiến thức vật lí tốt, kiến thức toán sở dùng phơng pháp s phạm phân loại tập có phơng pháp giải, dẫn dắt học sinh giải toán theo trình tự học sinh dễ nắm vững kiến thức, từ t duy, sâu chuỗi kiến thức lại có t tợng vật lí logic khoa học, sở học sinh trình bày cách tối u III Điều kiện áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh ba khối: 10, 11, 12 Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh đại trà giỏi lớp 10, 11 đặc biệt hữu ích cho học sinh lớp 12 nghiên cứu phần Điện xoay chiều, đội tuyển thi học sinh giỏi + Các học sinh yếu, trung bình nắm đợc phơng pháp giải để vận dụng cho trờng hợp đơn giản + Các học sinh khá, giỏi sở nắm đợc kiến thức áp dụng vào trờng hợp phức tạp từ nâng cao khả t học sinh VI Hạn chế Hạn chế đề tài cha đề cập đến toán liên quan đến khảo sát hàm số Cha nghiên cứu sâu tập phức tạp Một số vấn đề trình bày học sinh giỏi, trình bày đợc học sinh trung bình yếu VII Hớng tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài Để nâng cao chất lợng học tập học sinh tiếp tục vận dụng đề tài cho với phơng pháp khảo sát hàm số, đơn giản hóa vật lí để phù hợp với đối tợng học sinh nh tiếp tục nghiên cứu vận dụng toán phức tạp thuộc chơng trình Vật lí THPT Tiên Lữ, ngày 10 tháng 05 năm 2010 Giáo viên thực Nguyễn Thành Dân Ngời thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trờng THPT Tiên Lữ - 17 -