KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 1 A. A.A. A. Lý do ch Lý do chLý do ch Lý do chọ ọọ ọn đ n đn đ n đề ềề ề tài tàitài tài Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là bài toán luôn có mặt hầu hết trong các kỳ thi HSG và tuyển sinh Đại Học. Không những thế nó còn là bài toán hay và khó nhất trong đề thi. Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhất nhỏ luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để làm sao cho học sinh học tốt chủ đề này luôn là môt vấn đề khó. Chủ đề này thường dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó. Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhất nhỏ nhất có nhiều phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán cực trị mà chỉ chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi. Một trong các phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số cố định. Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua ví dụ để HS rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải cho riêng mình. Vì những lý do trên chúng tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh BĐT và tìm GTLN, GTNN. B. B.B. B. N NN Nộ ộộ ội Dung i Dungi Dung i Dung 1. 1.1. 1. Phương pháp đưa v Phương pháp đưa vPhương pháp đưa v Phương pháp đưa về ềề ề m mm mộ ộộ ột bi t bit bi t biế ếế ến nn n trong các trong cáctrong các trong các bài toán bài toánbài toán bài toán hai bi hai bihai bi hai biế ếế ến nn n. . Bi Bi Bi Biế ếế ến đ n đn đ n đổ ổổ ổi gi i gii gi i giả ảả ả thi thithi thiế ếế ết tt t và bi và bivà bi và biể ểể ểu th u thu th u thứ ứứ ức c c cc c c cầ ầầ ần tìm c n tìm cn tìm c n tìm cự ựự ực tr c trc tr c trị ịị ị đ đđ để ểể ể tìm m tìm mtìm m tìm mố ốố ối quan h i quan hi quan h i quan hệ ệệ ệ gi gigi giữ ữữ ữ chúng r chúng rchúng r chúng rồ ồồ ồi i i i tì tìtì tìm cách m cáchm cách m cách đ đđ đặ ặặ ặt t t t ẩ ẩẩ ẩn ph n phn ph n phụ ụụ ụ h hh hợ ợợ ợp lý p lýp lý p lý, , , , đưa đưađưa đưa bi bibi biể ểể ểu th u thu th u thứ ứứ ức cc c đ đđ đã cho v ã cho vã cho v ã cho về ềề ề hà hàhà hàm m m mm m m mộ ộộ ột bi t bit bi t biế ếế ến đ n đn đ n để ểể ể kh khkh khả ảả ảo sát. o sát.o sát. o sát. Thí d Thí dThí d Thí d ụ ụụ ụ 1: 1:1: 1: Cho x, y là s ố th ự c và tho ả mãn x ଶ + y ଶ = 2 . Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t và giá tr ị nh ỏ nhất của biểu thức: ܲ=2 ሺ ݔ ଷ + ݕ ଷ ሻ − 3ݔݕ ሺCao đ ሺCao đሺCao đ ሺCao đ ẳ ẳẳ ẳ ng kh ng khng kh ng kh ố ốố ố i A, B i A, B i A, B i A, B – –– – 2008ሻ 2008ሻ2008ሻ 2008ሻ Ho HoHo Hoạ ạạ ạt đ t đt đ t độ ộộ ộng khám phá: ng khám phá:ng khám phá: ng khám phá: - Từ giả thiết x ଶ + y ଶ =2 có thể đưa bài toán về một ẩn không? - Ta nghĩ tới hằng đẳng thức: ݔ ଶ + ݕ ଶ = ሺ ݔ+ ݕ ሻ ଶ − 2ݔݕ ; ݔ ଷ + ݕ ଷ = ሺ ݔ+ݕ ሻሺ ݔ ଶ − ݔݕ+ݕ2 - Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện x ଶ + y ଶ để sử dụng giả thiết. - Biến đổi biểu thức P và thế vào ݔ ଶ + ݕ ଶ =2 ta có: ܲ=2 ሺ ݔ+ݕ ሻሺ ݔ ଶ − ݔݕ+ ݕ ଶ ሻ − 3ݔݕ = 2 ሺ ݔ+ݕ ሻሺ 2 − ݔݕ ሻ − 3ݔݕ - Từ giả thiết: ሺ ݔ+ ݕ ሻ ଶ − 2ݔݕ=2⇒ ݔݕ= ሺ௫ା௬ሻ మ ିଶ ଶ www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 2 Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể P về hàm một biến số nếu ta đặt: ݐ=ݔ + ݕ Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: ݔ ଶ + ݕ ଶ ≥ ሺ ௫ା௬ ሻ మ ଶ L LL Lờ ờờ ời gi i gii gi i giả ảả ải ii i : :: : Ta có: ܲ=2 ሺ ݔ+ݕ ሻሺ ݔ ଶ − ݔݕ+ ݕ ଶ ሻ − 3ݔݕ = 2 ሺ ݔ+ ݕ ሻሺ 2 − ݔݕ ሻ − 3ݔݕ Ta có: ݔݕ= ሺ௫ା௬ሻ మ ିଶ ଶ , vì thế sau khi đặt ݐ=ݔ+ݕ, thì ܲ ሺ ݐ ሻ =2ݐ ቆ 2 − ݐ ଶ − 2 2 ቇ − 3 ݐ ଶ − 2 2 =−ݐ ଷ − 3 2 ݐ ଶ + 6ݐ+ 3 Ta có: ݔ ଶ + ݕ ଶ ≥ ሺ ௫ା௬ ሻ మ ଶ ⇒ሺݔ+ ݕሻ ଶ ≤4⇒ −2≤ݐ≤2 Xét hàm số: ܲ ሺ ݐ ሻ =−ݐ ଷ − ଷ ଶ ݐ ଶ + 6ݐ+ 3 với −2≤ݐ≤2 Ta có: ܲ ᇱ ሺ ݐ ሻ =−3ݐ ଶ − 3ݐ+6 Ta có bảng biến thiên Vậy: max ሾ ି ଶ;ଶ ሿ ݂ ሺ ݐ ሻ =݂ ሺ 1 ሻ = ଵଷ ଶ khi ݔ= ଵା √ ଷ ଶ ;ݕ= ଵି √ ଷ ଶ ݔ= ଵି √ ଷ ଶ ;ݕ= ଵା √ ଷ ଶ min ሾ ି ଶ; ଶ ሿ ݂ ሺ ݐ ሻ =݉݅݊ ሼ ݂ ሺ −2 ሻ ; ݂ ሺ 2 ሻሽ =݉݅݊ ሼ −7; 1 ሽ = −7 khi ݔ=ݕ=−1 t - 2 1 2 P’ሺtሻ − 0 + Pሺtሻ ଵଷ ଶ - 7 1 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 3 Thí d Thí dThí d Thí d ụ ụụ ụ 2: 2:2: 2: Cho x, y ≥ 0 và x + y = 1. Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t và giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u thức: ܵ= ሺ 4ݔ ଶ + 3ݕ ሻሺ 4ݕ ଶ + 3ݔ ሻ + 25ݔݕ ሺĐ ሺĐሺĐ ሺĐ ạ ạạ ạ i h i hi h i h ọ ọọ ọ c kh c khc kh c kh ố ốố ố i D i D i D i D – –– – 2009ሻ 2009ሻ2009ሻ 2009ሻ Ho HoHo Hoạ ạạ ạt đ t đt đ t độ ộộ ộng khám phá: ng khám phá:ng khám phá: ng khám phá: - Từ giả thiết x + y = 1 có thể đưa bài toán đã cho về một ẩn không? - Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện ݔ+ ݕ để sử dụng giả thiết. Chú ý hằng đẳng thức: ݔ ଶ + ݕ ଶ = ሺ ݔ+ݕ ሻ ଶ − 2ݔݕ ݔ ଷ + ݕ ଷ = ሺ ݔ+ݕ ሻሺ ݔ ଶ − ݔݕ+ ݕ ଶ ሻ Sau khi khai triển và thế vào x + y = 1, ta có: ܵ=16ݔ ଶ ݕ ଶ − 2ݔݕ+ 12 - Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể S về hàm một biến số nếu ta đặt: ݐ=ݔݕ Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: 0≤ݔݕ≤ ሺ௫ା௬ሻ మ ସ L LL Lờ ờờ ời gi i gii gi i giả ảả ải ii i : :: : Ta có: ܵ= ሺ 4ݔ ଶ + 3ݕ ሻሺ 4ݕ ଶ + 3ݔ ሻ + 25ݔݕ=16ݔ ଶ ݕ ଶ + 12 ሺ ݔ ଷ + ݕ ଷ ሻ + 34ݔݕ =16ݔ ଶ ݕ ଶ + 12 ሺ ݔ + ݕ ሻሺ ݔ ଶ − ݔݕ+ ݕ ଶ ሻ + 34ݔݕ = 16ݔ ଶ ݕ ଶ + 12 ሾሺ ݔ+ݕ ሻ ଶ − 3ݔݕ ሿ + 34ݔݕ ሺ ݀ ݔ+ ݕ=1 ሻ = 16ݔ ଶ ݕ ଶ − 2ݔݕ+12 ሺ ݀ ݔ+ ݕ=1 ሻ Đặt xy = t. Ta có: do ݔ≥0,ݕ≥0 ݊ê݊ 0≤ݔݕ≤ ሺ௫ା௬ሻ మ ସ = ଵ ସ ⇒ 0≤ݐ≤ ଵ ସ Xét hàm số: ݂ ሺ ݐ ሻ =16ݐ ଶ − 2ݐ+ 12 với 0≤ݐ≤ ଵ ସ . Ta có: ݂ ᇱ ሺ ݐ ሻ =32ݐ − 2 Bảng biến thiên t 0 ଵ ଵ ଵ ସ f’ሺtሻ − 0 + fሺtሻ 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 4 ଶହ ଶ ଵଽଵ ଵ Vậy: min ቂ; భ ర ቃ ݂ ሺ ݐ ሻ =݂ ቀ ଵ ଵ ቁ = ଵଽଵ ଵ khi ݔ= ଶା √ ଷ ସ ;ݕ= ଶି √ ଷ ସ ݔ= ଶି √ ଷ ସ ;ݕ= ଶା √ ଷ ସ max ቂ; భ ర ቃ ݂ ሺ ݐ ሻ =݉ܽݔቄ݂ ሺ 0 ሻ ; ݂ ቀ ଵ ସ ቁ ቅ=݉ܽݔቄ12; ଶହ ଶ ቅ= ଶହ ଶ khi ݔ=ݕ= ଵ ଶ Thí d Thí dThí d Thí d ụ ụụ ụ 3 33 3 : :: : Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t, nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c: ܣ=3ሺݔ ସ + ݕ ସ + ݔ ଶ ݕ ଶ ሻ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 với x, y là các số thoả mãn điều kiện: ሺݔ+ ݕሻ ଷ + 4ݔݕ≥2. ሺĐ ሺĐሺĐ ሺĐ ạ ạạ ạ i h i hi h i h ọ ọọ ọ c kh c khc kh c kh ố ốố ố i B i B i B i B – –– – 2009ሻ 2009ሻ2009ሻ 2009ሻ Ho HoHo Hoạ ạạ ạt đ t đt đ t độ ộộ ộng khám phá: ng khám phá:ng khám phá: ng khám phá: - Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để dễ sử dụng hơn. Chú ý hằng đẳng thức: ݔ ଶ + ݕ ଶ = ሺ ݔ+ݕ ሻ ଶ − 2ݔݕ ݔ ଷ + ݕ ଷ = ሺ ݔ+ݕ ሻሺ ݔ ଶ − ݔݕ+ ݕ ଶ ሻ và ሺݔ+ ݕሻ ଶ ≥4ݔݕ . Khi đó điều kiện bài toán trở thành: ݔ+ݕ≥1 - Ta biến đổi được A như sau: ܣ=3 ሺ ݔ ସ + ݕ ସ + ݔ ଶ ݕ ଶ ሻ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 = ଷ ଶ ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ ଶ + ଷ ଶ ሺݔ ସ + ݕ ସ ሻ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 ≥ ଷ ଶ ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ ଶ + ଷ൫௫ మ ା௬ మ ൯ మ ସ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 ሺdo ݔ ସ + ݕ ସ ≥ ൫௫ మ ା௬ మ ൯ మ ଶ ሻ hay ܣ≥ ଽ ସ ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ ଶ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 - Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể A về hàm một biến số được không?ሺnếu ta đặt: ݐ=ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ - Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: ݔ ଶ + ݕ ଶ ≥ ሺ ௫ା௬ ሻ మ ଶ L LL Lờ ờờ ời gi i gii gi i giả ảả ải ii i : :: : Theo bất đẳng thức hiển nhiên: ሺݔ+ݕሻ ଶ ≥4ݔݕ, nên từ ሺ ݔ+ݕ ሻ ଷ + 4ݔݕ≥2⇒ ሺ ݔ+ ݕ ሻ ଷ + ሺ ݔ+ ݕ ሻ ଶ ≥ ሺ ݔ+ ݕ ሻ ଷ + 4ݔݕ≥2 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 5 ⇒ ሺ ݔ + ݕ ሻ ଷ + ሺ ݔ+ݕ ሻ ଶ ≥2 ⇒ ሾሺx+yሻ-1ሿሾ ሺ ݔ+ݕ ሻ ଶ + ሺ ݔ+ ݕ ሻ + 2ሿ≥0 ⇒ ሺx+yሻ - 1≥0 ሺdo ሺ ݔ+ ݕ ሻ ଶ + ሺ ݔ+ݕ ሻ + 2= ቂ ሺ ݔ+ݕ ሻ + ଵ ଶ ቃ ଶ + ସ >0,∀ݔ, ݕሻ Bài toán được đưa về tìm min, max của: ܣ=3ሺݔ ସ + ݕ ସ + ݔ ଶ ݕ ଶ ሻ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 với x, y thoả mãn: x+y ≥1. Ta biến đổi A như sau: ܣ=3 ሺ ݔ ସ + ݕ ସ + ݔ ଶ ݕ ଶ ሻ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 = ଷ ଶ ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ ଶ + ଷ ଶ ሺݔ ସ + ݕ ସ ሻ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 ≥ ଷ ଶ ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ ଶ + ଷ൫௫ మ ା௬ మ ൯ మ ସ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 ሺdo ݔ ସ + ݕ ସ ≥ ൫௫ మ ା௬ మ ൯ మ ଶ ሻ hay ܣ≥ ଽ ସ ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ ଶ − 2 ሺ ݔ ଶ + ݕ ଶ ሻ + 1 Vì ݔ ଶ + ݕ ଶ ≥ ሺ ௫ା௬ ሻ మ ଶ ሺdo x+y ≥1ሻ nên ݔ ଶ + ݕ ଶ ≥ ଵ ଶ Đặt ݐ=ݔ ଶ + ݕ ଶ Ta có: ݂ ሺ ݐ ሻ = ଽ ସ ݐ ଶ − 2ݐ+ 1 với ݐ≥ ଵ ଶ ⇒ ݂ ᇱ ሺ ݐ ሻ = ଽ ସ ݐ− 2 Ta có bảng biến thiên: t ସ ଽ ଵ ଶ + ∞ f’ሺtሻ + fሺtሻ ଽ ଵ + ∞ Vậy min ௧ஹ భ మ ݂ ሺ ݐ ሻ =݂ ቀ ଵ ଶ ቁ = ଽ ଵ xẩy ra khi t = ଵ ଶ Suy ra ܣ≥ ଽ ଵ . Mặt khác ta dễ thấy ݔ=ݕ= ଵ ଶ thì ܣ= ଽ ଵ Tóm lại: minA = ଽ ଵ khi ݔ=ݕ= ଵ ଶ Thí d Thí dThí d Thí d ụ ụụ ụ 4: 4:4: 4: Cho hai s ố th ự c x, y ሺkhác 0ሻ thay đ ổ i tho ả mãn đi ề u ki ệ n: ሺ ݔ + ݕ ሻ ݔݕ = ݔ ଶ + ݕ ଶ − ݔݕ Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c: www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 6 ܣ = 1 ݔ ଷ + 1 ݕ ଷ ሺĐ ሺĐሺĐ ሺĐ ạ ạạ ạ i h i hi h i h ọ ọọ ọ c kh c khc kh c kh ố ốố ố i A i Ai A i A – –– – 2006 20062006 2006 ሻ ሻሻ ሻ Ho HoHo Hoạ ạạ ạt đ t đt đ t độ ộộ ộng khám phá: ng khám phá: ng khám phá: ng khám phá: - Từ giả thiết ሺ ݔ+ݕ ሻ ݔݕ=ݔ ଶ + ݕ ଶ − ݔݕ có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không? - Biến đổi biểu thức A, ta được: ܣ= ݔ ଷ + ݕ ଷ ݔ ଷ ݕ ଷ = ሺ ݔ+ ݕ ሻ ሺݔ ଶ − ݔݕ+ ݕ ଶ ሻ ݔ ଷ ݕ ଷ = ൬ ݔ+ݕ ݔݕ ൰ ଶ = ൬ 1 ݔ + 1 ݕ ൰ ଶ - Do giả thiết là biểu thức mà số mũ trong các hạng tử ở vế trái lớn hơn vế phải nên ta đặt x = ty thì ta có thể rút được x hoặc y theo t: ሺ ݔ+ݕ ሻ ݔݕ=ݔ ଶ + ݕ ଶ − ݔݕ ⟹ đặt x = ty ⟹ ݕ= ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ;ݔ=ݐݕ= ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ - Vậy đến đây ta có thể đưa có thể A về hàm một biến t. Đến đây ta khảo sát hàm biến t là đi đến được kết quả. L LL Lờ ờờ ời gi i gii gi i giả ảả ải ii i : :: : Từ giả thiết, ta có: ܣ= 1 ݔ ଷ + 1 ݕ ଷ = ݔ ଷ + ݕ ଷ ݔ ଷ ݕ ଷ = ሺ ݔ+ ݕ ሻ ሺݔ ଶ − ݔݕ+ ݕ ଶ ሻ ݔ ଷ ݕ ଷ = ൬ ݔ+ ݕ ݔݕ ൰ ଶ = ൬ 1 ݔ + 1 ݕ ൰ ଶ Đặt: ݔ=ݐݕ từ giả thiết ሺ ݔ+ݕ ሻ ݔݕ=ݔ ଶ + ݕ ଶ − ݔݕ ⟹ ሺ ݐ + 1 ሻ ݐݕ ଷ =ሺݐ ଶ − ݐ+ 1ሻݕ ଶ do đó: ݕ= ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ;ݔ=ݐݕ= ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ Từ đó ܣ= ൬ 1 ݔ + 1 ݕ ൰ ଶ = ቆ ݐ ଶ + 2ݐ+1 ݐ ଶ − ݐ+ 1 ቇ ଶ Xét hàm số: ݂ ሺ ݐ ሻ = ݐ ଶ + 2ݐ+ 1 ݐ ଶ − ݐ+1 ܿó ݂ ᇱ ሺ ݐ ሻ = −3ݐ ଶ + 3 ሺ ݐ ଶ − ݐ+ 1 ሻ ଶ Ta có bảng biến thiên: t − ∞ - 1 1 + ∞ f’ሺtሻ - + - www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 7 fሺtሻ 1 4 0 1 Vậy: GTLN của A là: ݂ ଶ ሺ 1 ሻ =16 khi ݔ=ݕ= ଵ ଶ . 2. 2.2. 2. Phương pháp kh Ph ương pháp khPhương pháp kh Phương pháp khả ảả ảo sát l o sát lo sát l o sát lầ ầầ ần lư n lưn lư n lượ ợợ ợt t t tt t t từ ừừ ừng bi ng bing bi ng biế ếế ến nn n trong bài toán trong bài toántrong bài toán trong bài toán ba bi ba biba bi ba biế ếế ến. n.n. n. Đ ĐĐ Đố ốố ối v i vi v i vớ ớớ ới b i bi b i bấ ấấ ất đ t đt đ t đẳ ẳẳ ẳng th ng thng th ng thứ ứứ ức nhi c nhic nhi c nhiề ềề ều bi u biu bi u biế ếế ến, ta có th n, ta có thn, ta có th n, ta có thể ểể ể kh khkh khả ảả ảo sát l o sát lo sát l o sát lầ ầầ ần lư n lưn lư n lượ ợợ ợt t t tt t t từ ừừ ừng bi ng bing bi ng biế ếế ến m n mn m n mộ ộộ ột b t bt b t bằ ằằ ằng ng ng ng cách cách cách cách ch chch chọ ọọ ọn m n mn m n mộ ộộ ột bi t bit bi t biế ếế ến làm tham s n làm tham sn làm tham s n làm tham số ốố ố bi bibi biế ếế ến thiên và c n thiên và cn thiên và c n thiên và cố ốố ố đ đđ đị ịị ịnh các bi nh các binh các bi nh các biế ếế ến còn l n còn ln còn l n còn lạ ạạ ại, bài toán i, bài toán i, bài toán i, bài toán lúc này tr lúc này trlúc này tr lúc này trở ởở ở thành b thành bthành b thành bấ ấấ ất đ t đt đ t đẳ ẳẳ ẳng th ng thng th ng thứ ứứ ức m c mc m c mộ ộộ ột bi t bit bi t biế ếế ến. n.n. n. Luô LuôLuô Luôn có tâm th n có tâm thn có tâm th n có tâm thế ếế ế nhìn nhìnnhìn nhìn bi bibi biể ểể ểu th u thu th u thứ ứứ ức cc c nhi nhinhi nhiề ềề ều u u u bi bibi biế ếế ến n n n mà ta c mà ta cmà ta c mà ta cầ ầầ ần tì n tìn tì n tìm m m m GTLN, GTNN dư GTLN, GTNN dưGTLN, GTNN dư GTLN, GTNN dướ ớớ ới d i di d i dạ ạạ ạng ngng ng là làlà là m mm mộ ộộ ột t t t hàm s hàm shàm s hàm số ốố ố đ đđ để ểể ể ta s ta sta s ta sử ửử ử d dd dụ ụụ ụng đư ng đưng đư ng đượ ợợ ợc c c c công c công ccông c công cụ ụụ ụ hi hihi hiệ ệệ ệu qu u quu qu u quả ảả ả trong trong trong trong gi gigi giả ảả ải ii i toán toán toán toán là đ là đlà đ là đạ ạạ ạo hàm o hàmo hàm o hàm. . Sơ đ Sơ đSơ đ Sơ đồ ồồ ồ t tt tổ ổổ ổng quát ng quátng quát ng quát Gi GiGi Giả ảả ả s ss sử ửử ử tìm c tìm ctìm c tìm cự ựự ực tr c trc tr c trị ịị ị c cc củ ủủ ủa bi a bia bi a biể ểể ểu th u thu th u thứ ứứ ức ba bi c ba bic ba bi c ba biế ếế ến x, y, z: Pሺx, y, zሻ n x, y, z: Pሺx, y, zሻn x, y, z: Pሺx, y, zሻ n x, y, z: Pሺx, y, zሻ v vv vớ ớớ ới đi i đii đi i điề ềề ều ki u kiu ki u kiệ ệệ ện T nào đó. n T nào đó.n T nào đó. n T nào đó. • Bư BưBư Bướ ớớ ớc 1: c 1:c 1: c 1: Xem Xem Xem Xem Pሺx, y, zሻ là hàm theo bi Pሺx, y, zሻ là hàm theo biPሺx, y, zሻ là hàm theo bi Pሺx, y, zሻ là hàm theo biế ếế ến x, còn y, z la h n x, còn y, z la hn x, còn y, z la h n x, còn y, z la hằ ằằ ằng s ng sng s ng số ốố ố. Kh . Kh. Kh . Khả ảả ảo sát o sát o sát o sát hàm này tìm c hàm này tìm chàm này tìm c hàm này tìm cự ựự ực tr c trc tr c trị ịị ị v vv vớ ớớ ới đi i đii đi i điề ềề ều ki u kiu ki u kiệ ệệ ện T. n T.n T. n T. Ta đư Ta đưTa đư Ta đượ ợợ ợc: c: c: c: ࡼሺ࢞,࢟,ࢠሻ≥ࢍ ሺ ࢟,ࢠ ሻ ሺࢎặࢉ ࡼሺ࢞,࢟,ࢠሻ≤ࢍ ሺ ࢟,ࢠ ሻ ሻ • Bư BưBư Bướ ớớ ớc 2: c 2:c 2: c 2: Xem gሺy, zሻ là Xem gሺy, zሻ làXem gሺy, zሻ là Xem gሺy, zሻ là hàm bi hàm bihàm bi hàm biế ếế ến y, còn z là n y, còn z làn y, còn z là n y, còn z là h hh hằ ằằ ằng s ng sng s ng số ốố ố. Kh . Kh. Kh . Khả ảả ảo sát hàm nà o sát hàm nào sát hàm nà o sát hàm này v y vy v y vớ ớớ ới i i i đi điđi điề ềề ều ki u kiu ki u kiệ ệệ ện T. Ta đư n T. Ta đưn T. Ta đư n T. Ta đượ ợợ ợc c c c ࢍ ሺ ࢟,ࢠ ሻ ≥ࢎ ሺ ࢠ ሻ ሺࢎặࢉ ࢍሺ࢟,ࢠሻ≤ࢎ ሺ ࢠ ሻ ሻ • Bư BưBư Bướ ớớ ớc 3: c 3:c 3: c 3: Cu CuCu Cuố ốố ối cùng i cùng i cùng i cùng Kh KhKh Khả ảả ảo sát hàm m o sát hàm mo sát hàm m o sát hàm mộ ộộ ột bi t bit bi t biế ếế ến n n n hሺ hሺhሺ hሺz zz zሻ ሻሻ ሻ v vv vớ ớớ ới đi i đii đi i điề ềề ều ki u kiu ki u kiệ ệệ ện T n T n T n T tìm tìmtìm tìm min, min, min, min, max maxmax max c cc củ ủủ ủa hàm này a hàm nàya hàm này a hàm này. . Ta đi đ Ta đi đTa đi đ Ta đi đế ếế ến k n kn k n kế ếế ết lu t lut lu t luậ ậậ ận: n: n: n: ࡼ ሺ ࢞,࢟,ࢠ ሻ ≥ࢍ ሺ ࢟,ࢠ ሻ ≥ࢎ ሺ ࢠ ሻ ≥ ሺࢎặࢉ ࡼሺ࢞,࢟,ࢠሻ≤ࢍ ሺ ࢟,ࢠ ሻ ≤ࢎ ሺ ࢠ ሻ ≤ࡹሻ Thí d Thí dThí d Thí d ụ ụụ ụ 5: 5:5: 5: Cho hai s ố th ự c x, y, z là 3 s ố th ự c thu ộ c ሾ 1 ; 4 ሿ và ݔ ≥ ݕ , ݔ ≥ ݖ . Tìm giá tr ị nh ỏ nhất của biểu thức: ܲ= ݔ 2ݔ+ 3ݕ + ݕ ݕ +ݖ + ݖ ݖ +ݔ ሺĐ ሺĐሺĐ ሺĐ ạ ạạ ạ i h i hi h i h ọ ọọ ọ c kh c khc kh c kh ố ốố ố i A i A i A i A – –– – 2011ሻ 2011ሻ2011ሻ 2011ሻ Ho HoHo Hoạ ạạ ạt đ t đt đ t độ ộộ ộng khám phá: ng khám phá: ng khám phá: ng khám phá: - Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào? - Xem P là một hàm theo biến z, con x, y là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho suy ra GTNN của P, tức là ܲሺݔ,ݕ,ݖሻ≥ܲሺݔ,ݕሻ - Khảo sát hàm Pሺx, yሻ, ở đây có thể đưa Pሺx, yሻ về hàm một biến không? - Bằng cách đặt ẩn phụ ݐ= ට ௫ ௬ để đưa ܲሺݔ,ݕሻ về hàm một biến. Tìm GTNN của hàm một biến - Vậy ܲ ሺ ݔ, ݕ,ݖ ሻ ≥ܲ ሺ ݔ,ݕ ሻ =ܲሺݐሻ≥ ଷସ ଷଷ L LL Lờ ờờ ời gi i gii gi i giả ảả ải ii i: :: : www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 8 Ta có: ܲ = ݔ 2ݔ+ 3ݕ + ݕ ݕ+ ݖ + ݖ ݖ +ݔ Xem đây là hàm theo biến z; còn x, y là hằng số. ܲ ᇱ ሺ ݖ ሻ = − ݕ ሺݕ+ ݖሻ ଶ + ݔ ሺݖ +ݔሻ ଶ = ሺ ݔ−ݕ ሻ ሺݖ ଶ − ݔݕሻ ሺ ݕ + ݖሻ ଶ ሺݖ+ ݔሻ ଶ Theo giả thiết: ݔ≥ݕ⇒ݔ −ݕ≥0 nếu ܲ≥0⇔ݖ≥ ඥ ݔݕ ሺdo x, y, z ∈ ሾ 1;4 ሿ ሻ t ඥ ݔݕ P’ሺz ሻ - 0 + Pሺz ሻ min Từ bảng biến thiên: ܲ≥ܲ൫ ඥ ݔݕ ൯= ௫ ଶ௫ାଷ௬ + ଶ √ ௬ √ ௫ା √ ௬ = ೣ ଶ ೣ ାଷ + ଶ ଵା ට ೣ Đặt ݐ= ට ௫ ௬ , do ݔ≥ݕ,ݔ≥ݖ và x, y, z ∈ ሾ 1;4 ሿ nên 1≤ݐ≤2. Xét hàm ݂ ሺ ݐ ሻ = ௧ మ ଶ௧ మ ାଷ + ଶ ଵା௧ ݂ ᇱ ሺ ݐ ሻ = ିଶൣସ௧ య ሺ ௧ିଵ ሻ ାଷሺଶ௧ మ ି௧ାଷሻ൧ ሺଶ௧ మ ାଷሻ మ ሺଵା௧ሻ మ <0,∀ ݐ∈ ሾ 1;2 ሿ Suy ra fሺtሻ giảm trên ሾ 1;2 ሿ , do đó ܲ≥ܲ൫ ඥ ݔݕ ൯=݂ ሺ ݐ ሻ ≥݂ ሺ 2 ሻ = ଷସ ଷ ଷ www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 9 Đẳng thức xẩy ra: ቐ ݖ = ඥ ݔݕ ݐ= ට ௫ ௬ =2 ⇒ݔ=4,ݕ=1,ݖ=2 Vậy: ܲ = ଷସ ଷଷ ݇ℎ݅ ݔ=4,ݕ=1,ݖ=2 Thí d Thí dThí d Thí d ụ ụụ ụ 6: 6:6: 6: Cho hai s ố th ự c ܽ , ܾ , ܿ là 3 s ố th ự c thu ộ c ቂ ଵ ଷ ; 3 ቃ . Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u thức: ܲ = ܽ ܽ + ܾ + ܾ ܾ + ܿ + ܿ ܿ + ܽ Ho HoHo Hoạ ạạ ạt đ t đt đ t độ ộộ ộng khám phá: ng khám phá: ng khám phá: ng khám phá: - Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào? - Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của P của, tức là ܲሺܽ,ܾ,ܿሻ≤݃ሺܾ,ܿሻ - Xem Pሺb, cሻ là một hàm theo biến c, còn b là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của Pሺb, cሻ, tức là ݃ሺ ܾ,ܿሻ≤ℎሺܾሻ - Tiếp theo khảo sát hàm hሺbሻ suy ra ℎሺܾሻ≤ ଼ ହ - Vậy: ܲሺܽ,ܾ,ܿሻ≤݃ሺܾ,ܿሻ≤ℎሺܾሻ≤ ଼ ହ L LL Lờ ờờ ời gi i gii gi i giả ảả ải ii i : :: : Đặt ܲሺܽሻ= ܽ ܽ+ ܾ + ܾ ܾ+ ܿ + ܿ ܿ+ ܽ Xem đây là hàm theo biến a; còn b, c là hằng số. ܲ ᇱ ሺ ܽ ሻ = ܾ ሺܽ+ ܾሻ ଶ − ܿ ሺܽ+ ܿሻ ଶ = ሺ ܾ− ܿ ሻ ሺܽ ଶ − ܾܿሻ ሺܽ+ ܾሻ ଶ ሺܽ+ ܿሻ ଶ • Trường hợp 1: ܽ≥ܾ≥ܿ và ܽ,ܾ,ܿ ∈ቂ ଵ ଷ ;3ቃ Suy ra: ܾ− ܿ≥0; ܽ ଶ − ܾܿ≥0 nên ܲ ᇱ ሺ ܽ ሻ ≥0. Do đó: Pሺaሻ tăng trên ቂ ଵ ଷ ;3ቃ ⇒ܲ ሺ ܽ ሻ ≤ܲ ሺ 3 ሻ = 3 3 + ܾ + ܾ ܾ+ ܿ + ܿ ܿ+3 =݃ ሺ ܿ ሻ ሺxem gሺcሻ là hàm theo biến cሻ Mặt khác ݃ ᇱ ሺ ܿ ሻ = − ܾ ሺܾ+ ܿሻ ଶ + 3 ሺܿ+ 3ሻ ଶ = ሺ ܾ− 3 ሻ ሺ3ܾ− ܿ ଶ ሻ ሺܾ+ ܿሻ ଶ ሺܿ +3ሻ ଶ ≤0 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 10 Do đó: gሺcሻ giảm trên ቂ ଵ ଷ ;3ቃ ⇒݃ ሺ ܿ ሻ ≤݃ ൬ 1 3 ൰ = 3 3 + ܾ + 3ܾ 3ܾ+ 1 + 1 10 =ℎሺܾሻ ሺxem hሺbሻ là hàm theo biến bሻ Ta có ℎ ᇱ ሺ ܾ ሻ = 3 ሺ 3ܾ+ 1ሻ ଶ − 3 ሺܾ+ 3ሻ ଶ = ሺ 1 − ܾ ሻ ሺ1 + ܾሻ ሺ3ܾ+ 1ሻ ଶ ሺܾ +3ሻ ଶ Ta có bảng biến thiên: b ଵ ଷ 1 3 h ’ ሺb ሻ + - hሺbሻ ଼ ହ Suy ra ℎ ሺ ܾ ሻ ≤ℎ ሺ 1 ሻ = ଼ ହ Vậy: ܲ ሺ ܽ,ܾ,ܿ ሻ ≤ܲ ሺ 3,ܾ,ܿ ሻ ≤ܲ ቀ 3,ܾ, ଵ ଷ ቁ ≤ܲ ቀ 3,1, ଵ ଷ ቁ = ଼ ହ khi ܽ=3;ܾ=1;ܿ= ଵ ଷ . • Trường hợp 2: ܿ≥ܾ≥ܽ và ܽ,ܾ,ܿ ∈ቂ ଵ ଷ ;3ቃ Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: ܲሺܿ,ܾ,ܽሻ≤ ଼ ହ Mặt khác: ܲ ሺ ܽ,ܾ,ܿ ሻ − ܲ ሺ ܿ,ܾ,ܽ ሻ = = ሺ ܽ− ܾ ሻሺ ܾ− ܿ ሻሺ ܽ− ܿ ሻ ሺ ܽ+ ܾ ሻሺ ܾ+ ܿ ሻሺ ܽ+ ܿ ሻ ≤0 ⇒ܲሺܽ,ܾ,ܿሻ≤ 8 5 Vậy ܯܽݔ ܵ= ଼ ହ , xẩy ra khi và chỉ khi ሺ ܽ,ܾ,ܿ ሻ =ቄ ቀ 3,1, ଵ ଷ ቁ ; ቀ ଵ ଷ ,3,1 ቁ ; ቀ 3, ଵ ଷ ,1 ቁ ቅ Thí d Thí dThí d Thí d ụ ụụ ụ 7: 7:7: 7: Cho ba s ố th ự c dương ܽ , ܾ , ܿ th ả o mãn đi ề u ki ệ n : abc + a + c = b www.VNMATH.com